數(shù)列通項(xiàng)公式的若干求法.doc

數(shù)列通項(xiàng)公式的若干求法08年上海高考數(shù)列選擇題14，以及最后一道我們叫做壓軸題的大題都是數(shù)列題，特別是05年的上海高考試題中19，20連著兩道為數(shù)列大題?？梢姅?shù)列在歷年高考中的地位。4.數(shù)列是特殊的函數(shù)，而不等式是深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)與數(shù)列的重要工具，三者的綜合求解題對(duì)基礎(chǔ)和能力實(shí)現(xiàn)了雙重檢驗(yàn)，三者的綜合求證題所顯示的代數(shù)推理是近年來數(shù)學(xué)高考命題的新的熱點(diǎn).等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式，對(duì)基本的運(yùn)算技能要求比較高.Sn與an之間的關(guān)系經(jīng)常是考查的重點(diǎn)，需要靈活應(yīng)用.遞推數(shù)列是近年高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容之一，常考常新.關(guān)于通項(xiàng)公式(1)一個(gè)數(shù)列如果有通項(xiàng)公式，那么它是一個(gè)函數(shù)解析式，這個(gè)函數(shù)的定義域是正整數(shù)集N(或它的有限子集1，2，n)，這樣的數(shù)列可以用圖象來表示，其圖象是由一系列孤立的點(diǎn)(n，f(n)所組成的圖形.(2)有的數(shù)列沒有通項(xiàng)公式，例如由的不足近似值與過剩近似值構(gòu)成的兩個(gè)數(shù)列：1.4，1.41，1.414，1.4142，1.5，1.42，1.415，1.4143，就沒有通項(xiàng)公式.因此，研究遞推公式給出數(shù)列的方法就可使我們研究數(shù)列的范圍擴(kuò)展，在數(shù)列研究中，不僅很多重要的數(shù)列是用遞推公式給出，而且它也是求得數(shù)列通項(xiàng)公式的一種途徑.例 (n=1，2，n)這樣的公式就叫做遞推公式，有了這樣的公式，加上其它一些己知條件(例如己知數(shù)列an的第1項(xiàng)是1)，便可知本問題中這個(gè)數(shù)列的前8項(xiàng)是可見，除了用通項(xiàng)公式給出數(shù)列的方法之外，還可以用這樣的方法來給出數(shù)列：先給出數(shù)列的第1項(xiàng)或前n項(xiàng)，再給出數(shù)列中后面的項(xiàng)用前面的項(xiàng)來表示的公式，像這樣一種給出列的方法叫做遞推法，其中的公式叫做遞推公式.不過我們要注意把握這段教材的尺度，要密切注視近幾年新教材高考的動(dòng)向，不必也不需要過分加深.還要注意像“”，可轉(zhuǎn)化為 或 事實(shí)上，若給出上面數(shù)列的前8項(xiàng)，學(xué)生也就可以寫出這數(shù)列的后面的項(xiàng)，數(shù)列an中每一項(xiàng)的分母就是前一項(xiàng)的分子，每一項(xiàng)的分子就是前一項(xiàng)的分子、分母之和.因此，可以要求學(xué)生根據(jù)這一規(guī)律寫出an的第9項(xiàng)、第10項(xiàng).注意：這樣的公式不是遞推公式，因?yàn)閿?shù)列bn是由數(shù)列an中的項(xiàng)通過構(gòu)造出來，不是bn自己之中的項(xiàng)通過遞推構(gòu)造出來的.如果改成列的第1項(xiàng)、第2項(xiàng)，那就是遞推公式了.要小結(jié)一下求一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，有哪些基本方法：(1)直接法：己給出數(shù)列的項(xiàng)適合某些條件，可由條件直接寫出通項(xiàng)公式，或者通過對(duì)己知條件進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算得出通項(xiàng)公式；(2)觀察分析法：根據(jù)給出的數(shù)列構(gòu)成的規(guī)律，觀察數(shù)列的各項(xiàng)與它所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，經(jīng)過適當(dāng)變形，進(jìn)而寫出第n項(xiàng)an的表達(dá)式，即為通項(xiàng)公式；(3)待定系數(shù)法：求通項(xiàng)公式的問題，就是當(dāng)n=1，2，3，時(shí)，求f (n)，使得f (n)依次等于a1，a2，的問題，因此，我們可以先設(shè)出第n項(xiàng)an關(guān)于變數(shù)n的表達(dá)式，再分別令n=1，2，3，并取an分別等于a1，a2，然后通過解方程(組)確定待定系數(shù)的值，從而得出符合條件的通項(xiàng)公式；(4)遞推歸納法：根據(jù)己知數(shù)列的初始條件及遞推公式，歸納出通項(xiàng)公式. 求通項(xiàng)公式是學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)的一個(gè)難點(diǎn)。由于求通項(xiàng)公式時(shí)滲透多種數(shù)學(xué)思想方法，因此求解過程中往往顯得方法多、靈活度大、技巧性強(qiáng)。現(xiàn)舉數(shù)例。一 觀察法已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。例1 已知數(shù)列 寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。解 觀察數(shù)列前若干項(xiàng)可得通項(xiàng)公式為二 公式法已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)時(shí)，通常用公式。用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”即a1和an合為一個(gè)表達(dá)式。例2 已知數(shù)列an的前n和滿足求此數(shù)列的通項(xiàng)公式。解 由條件可得，當(dāng)所以三 累差迭加法若數(shù)列an滿足的遞推式，其中又是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則可用累差迭加法求通項(xiàng)。例3 已知數(shù)列6，9，14，21，30，求此數(shù)列的通項(xiàng)。解 各式相加得四 連乘法若數(shù)列an能寫成的形式，則可由， ， 連乘求得通項(xiàng)公式。例4 已知數(shù)列an滿足，求an的通項(xiàng)公式。解 , 兩式相減得,，于是有以上各式相乘，得，又a1=1，an=n (nN)五 求解方程法若數(shù)列an滿足方程時(shí)，可通過解方程的思想方法求得通項(xiàng)公式。例5 已知函數(shù)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解 由條件即，又