《振型的正交性》PPT課件

四、多自由度體系的振動(dòng),多自由度無阻尼自由振動(dòng)振型的正交性多自由度的受迫振動(dòng)桿系結(jié)構(gòu)有限元?jiǎng)恿Ψ治龆嘧杂啥葧r(shí)程分析方法結(jié)論與討論,雖然很多工程問題可以化為單自由度問題計(jì)算，但為了有足夠的分析精度，一些問題也必須作多自由度進(jìn)行分析。在等效粘滯阻尼理論下，第二章討論了兩和多自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程，理論上阻尼矩陣C=Cij，Cij表示j自由度單位速度引起的i自由度方向的阻尼力。但實(shí)際上Cij一般是確定不了的。目前多自由度問題分析先求無阻尼自由振動(dòng)確定頻率、振型等動(dòng)力特性，然后利用振型的正交性，在假定阻尼矩陣也正交條件下，將多自由度分析通過振型分解化為單自由度問題的組合來解決。再一次體現(xiàn)了，化未知問題為已知問題的研究方法和思想。對(duì)復(fù)雜荷載情況（象地震地面運(yùn)動(dòng)等離散荷載）要用時(shí)程分析方法或隨機(jī)振動(dòng)理論來解決（第六章）。因此，首先介紹無阻尼自由振動(dòng)。,4.1多自由度無阻尼自由振動(dòng),多自由度運(yùn)動(dòng)方程為,無阻尼自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程為,設(shè)其解為Asint，代入運(yùn)動(dòng)方程可得(-2M+K)Asint=0為使系統(tǒng)有非零的振動(dòng)解答，必須-2M+K=0（1）或者(-2M+K)A=0（2）上述兩式分別稱為頻率和特征方程。由式（1）展開可得雙n次方程，對(duì)一般建筑工程結(jié)構(gòu)，求解可得到n個(gè)實(shí)的不等的正根，它們即為系統(tǒng)的頻率。但一般更多是從式（2）出發(fā)。,4.1多自由度無阻尼自由振動(dòng),式（2）可改寫為2MA=KA（3）數(shù)學(xué)上稱作廣義特征值問題。為了將其化為標(biāo)準(zhǔn)實(shí)對(duì)稱矩陣特征值問題，需作如下改造：設(shè)M=(M1/2)TM1/2（4）M1/2A=X則A=(M1/2)-1X（5）代回式（3）得2(M1/2)TX=K(M1/2)-1X（6）方程兩邊再左乘(M1/2)T-1，則2X=(M1/2)-1TK(M1/2)-1X（7）記(M1/2)-1TK(M1/2)-1=D（8）由于K是對(duì)稱矩陣，從式（8）可見D是對(duì)稱矩陣。將式（8）代入式（7）可得2X=DX（9）,4.1多自由度無阻尼自由振動(dòng),式2X=DX（9）就是實(shí)對(duì)稱矩陣標(biāo)準(zhǔn)特征值問題的方程，利用線性代數(shù)所介紹的特征值問題解法就可求得D矩陣的特征對(duì)2，X，再由式（5）可求得廣義特征問題的振型矩陣A。由數(shù)學(xué)可知，對(duì)建筑工程一般問題，從n階的特征方程（3）可求得n個(gè)特征對(duì)，也即有n個(gè)頻率i以及和i對(duì)應(yīng)的振型Ai。按i從小到大排列可得結(jié)構(gòu)的頻譜，1和A1分別稱為第一頻率（基本頻率或基頻）、第一振型。其他依次稱第二、第三等等頻率、振型。有了任意n自由度問題自由振動(dòng)解法、結(jié)論，兩自由度問題可以作為它的特例，按上述解法、思路進(jìn)行分析。,4.1多自由度無阻尼自由振動(dòng),對(duì)兩自由度問題來說，根據(jù)具體問題運(yùn)動(dòng)方程可以用剛度法建立，也可以用柔度法建立。因此，教材上分別基于剛度法和柔度法進(jìn)行了具體討論，給出了頻率、振型和剛度系數(shù)、質(zhì)量的關(guān)系以及和柔度系數(shù)、質(zhì)量的關(guān)系。這些公式能記住更好，但我認(rèn)為不記也沒關(guān)系，關(guān)鍵是記住如下一些基本概念。1）在無阻尼自由振動(dòng)下-M=Ku，也即慣性力和彈性恢復(fù)力平衡，且它們同相位。因此如果設(shè)振幅為A，式（3）也可通過列慣性力、恢復(fù)力的幅值方程得到。2）當(dāng)基于柔度法時(shí)，位移由慣性力引起，柔度法特征方程同上理由（同相位），也可直接列幅值方程建立A=2fMA（10）3）拿上具體問題后，關(guān)鍵是正確確定M、K或f，有了它們不管什麼結(jié)構(gòu)，由統(tǒng)一格式可寫出式（3）或式（10）。,4.1多自由度無阻尼自由振動(dòng),4）兩自由度問題n=2。展開特征方程將得到雙二次頻率方程，根據(jù)具體的剛、柔度系數(shù)和質(zhì)量，解此頻率方程即可得頻率1和2。5）將頻率1和2代回特征方程只能得到和某頻率對(duì)應(yīng)的位移比值（齊次方程只能得到比值），對(duì)它可以進(jìn)行“規(guī)格化”,一般使最大值等于1，即可得振型。6）自由振動(dòng)的通解可由各頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)解答疊加得到，振幅、相位由質(zhì)量的初位移、初速度（n個(gè)自由度有2n個(gè)初始條件）來確定。綜上可見，有了M、K或f，剩余工作主要是數(shù)學(xué)運(yùn)算了。但要達(dá)到熟練掌握，必須到SMCAI里多看一些例子、多做一些練習(xí)。限于學(xué)時(shí)這里不舉例了。,4.2振型的正交性,因?yàn)閕2MAi=KAi、j2MAj=KAj前一式左乘AjT、后一式左乘AiT，再將兩式相減，由于質(zhì)量、剛度的對(duì)稱性，可得(i2-j2)AjTMAi=0(11)由此可得AjTMAi=0(12)上式乘j2，考慮到j(luò)2MAj物理意義是第j振型對(duì)應(yīng)的慣性力幅值，因此式（12）表明第j振型對(duì)應(yīng)的慣性力在第i振型位移上不做功。從式（12）和特征方程立即可證AjTKAi=0(13)它表明第j振型對(duì)應(yīng)的彈性恢復(fù)力在第i振型位移上不做功。,4.2振型的正交性,式(12)和式(13)從數(shù)學(xué)上說，是不同振型對(duì)質(zhì)量、剛度加權(quán)正交。也即振型具有正交性。從第i振型幅值方程，立即可得i2AiTMAi=AiTKAi(14)記Mi*=AiTMAi(15)稱作第i振型廣義質(zhì)量，記Ki*=AiTKAi(16)稱作第i振型廣義剛度。則i2=Ki*/Mi*(17)也即第i頻率的平方可象單自由度一樣，由廣義剛度和質(zhì)量來求。式(12)和(13)是最基本、最常用的正交關(guān)系。,4.2振型的正交性,因?yàn)閕2MAi=KAi(a)兩邊同時(shí)左乘AjTKM-1，則i2AjTKM-1MAi=i2AjTKAi=i2AjTKM-1KAi=0(b)式(a)兩邊同時(shí)左乘AjTKM-1KM-1，則可證i2AjTKM-1KAi=i2AjTK(M-1K)2Ai=0(c)按此思路繼續(xù)左乘,即可證明AjTK(M-1K)nAi=0(18)類似地，請(qǐng)自行證明AjTM(K-1M)nAi=0(19)式(18)和式(19)中n是正整數(shù)。它們還可合并為一個(gè)式子，請(qǐng)大家思考如何合并？這是更一般的正交關(guān)系。,4.2振型的正交性,式(12)和(13)或式(18)和(19)正交性在多自由度分析中有極重要的作用，應(yīng)該深刻理解。利用正交性可作如下工作：1）在正確確定K、M前提下，可用它校核振型計(jì)算的正確性。2）已知振型、K、M的條件下，可用它求振型對(duì)應(yīng)的頻率。3）可用正交性將任意位移分解成振型的組合。例如有位移y，可設(shè)y=ciAi，ci為組合系數(shù)。等式兩邊同時(shí)左乘AjTM，根據(jù)正交性則有AjTMy=cjMj*(d)由此可求出組合系數(shù)cj，代回y=ciAi即可得按振型分解的結(jié)果。,4.2振型的正交性,4）可將多自由度問題化成單自由度問題來解決。實(shí)際上，只要設(shè)u(t)=yi(t)Ai，代入運(yùn)動(dòng)方程可得Mi(t)Ai+Kyi(t)Ai=0(e)方程兩邊同時(shí)左乘AjT，根據(jù)正交性則有Mj*j(t)+Kj*yi(t)=0(20)從式(20)可得(根據(jù)單自由度自由振動(dòng)結(jié)果)yi(t)=aisin(it+ci)(f)代回多自由度所假設(shè)的解，即可得u(t)=aisin(it+ci)Ai(21)5）式(21)中的待定常數(shù)ai、ci可由初始條件確定。如何確定請(qǐng)自行考慮。6）正交性還是受迫振動(dòng)分析的基礎(chǔ)。,4.3多自由度的受迫振動(dòng),4.3.1多自由度受迫振動(dòng)的振型分解法多自由度任意荷載下運(yùn)動(dòng)方程為,象上節(jié)4）一樣，設(shè)u=yi(t)Ai，也即位移分解成各振型的組合，組合系數(shù)yi(t)稱廣義坐標(biāo)。則Mi(t)Ai+Ci(t)Ai+Kyi(t)Ai=P(t)(a)如果阻尼矩陣對(duì)振型不正交，也即AjTCAi0(b)則式(a)將是聯(lián)列的微分方程組，求解將是很困難的。為此，通常引入正交阻尼假設(shè)，也稱Rayleigh(瑞利)比例阻尼如下C=0M+1K(22)也即認(rèn)為阻尼和系統(tǒng)質(zhì)量、剛度成正比，0比1可用振型正交性由阻尼比i，j和頻率i，j確定(作業(yè))。,4.3多自由度的受迫振動(dòng),在正交阻尼假設(shè)下，AiTCAi=Ci*(23)式(a)兩邊同時(shí)左乘AiT，則可得Mi*i(t)+Ci*i(t)+Ki*yi(t)=AiTP(t)(24)其中Mi*、Ci*、Ki*分別稱為第i振型廣義質(zhì)量、廣義阻尼、廣義剛度。再記第i振型廣義荷載為AiTP(t)=Pi*(t)(25)則式(24)是廣義坐標(biāo)yi(t)的單自由度方程Mi*i(t)+Ci*i(t)+Ki*yi(t)=Pi*(t)(26)利用Duhamel積分可求出式(26)的解答為,代回u=yi(t)Ai，即可得多自由度受迫振動(dòng)解答。,4.3多自由度的受迫振動(dòng),如果P(t)=Pf(t)(27)則Pi*(t)=AiTPf(t)=Pi*f(t)(c)記i=AiTP/Mi*=Pi*/Mi*(28)稱為第i振型的振型參與系數(shù)。則可得Mi*i(t)+Ci*i(t)+Ki*yi(t)=iMi*f(t)(29)或i(t)+2iii(t)+i2yi(t)=if(t)(30)在零初始條件下，廣義坐標(biāo)為,代回u=yi(t)Ai，即可得u=ii(t)Ai。i(t)稱為第i振型的廣義位移。,(31),(32),4.3多自由度的受迫振動(dòng),4.3.2簡(jiǎn)諧荷載下的受迫振動(dòng)反應(yīng)設(shè)動(dòng)荷載（轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)器引起）為P(t)=Psint(33)則由式(28)可求得各振型的振型參與系數(shù)i，當(dāng)只討論穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，并且認(rèn)為i=i,d(忽略阻尼對(duì)頻率的影響)時(shí)，根據(jù)單自由度所得結(jié)果，廣義位移為i(t)=isin(it-i)/i2(34)式(34)中i為第i振型動(dòng)力系數(shù)i=(1-i2)2+4i2i2-1/2(35)其中i為第i振型頻率比(i=/i)，i為第i振型相位角tgi=2i/i(1-i2)(36)將式(34)代回u=ii(t)Ai，得u(t)=iisin(it-i)/i2Ai(37)無阻尼情況自然可以當(dāng)作有阻尼情況的特例，在上述結(jié)果中令i=0得到。,4.3多自由度的受迫振動(dòng),4.3.3簡(jiǎn)諧荷載受迫振動(dòng)反應(yīng)分析步驟當(dāng)動(dòng)荷載為Psint或Pcost時(shí)，多自由度系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)反應(yīng)分析，可按如下步驟進(jìn)行1）確定系統(tǒng)質(zhì)量M、剛度K（或柔度f）矩陣。2）求無阻尼自由振動(dòng)的振型Ai、頻率i。3）用阻尼比1,2和頻率1,2求瑞利阻尼的0和1。4）求i振型振型參與系數(shù)i=AiTP/AiTMAi。5）求i振型阻尼比i=1/2(0/i+1i)6）求i振型動(dòng)力系數(shù)i=(1-i2)2+4i2i2-1/2。7）求i振型相位角i=arctg2i/i(1-i2)。8）求i振型廣義位移i(t)=isin(it-i)/i2。9）將各振型廣義位移代回u=ii(t)Ai，則得最終結(jié)果u(t)=iisin(it-i)/i2Ai(37),4.4桿系結(jié)構(gòu)有限元?jiǎng)恿Ψ治?4.4.1基本原理對(duì)動(dòng)力問題，設(shè)單元位移場(chǎng)仍表示成d=Nde，只是現(xiàn)在d=d(x,t)，de=d(t)。設(shè)桿單元的密度為，將微段慣性力-aAdx作為體積力，則這一單元荷載的總虛功為,(38),引入單元一致質(zhì)量矩陣me,(39),4.4桿系結(jié)構(gòu)有限元?jiǎng)恿Ψ治?由式(39)代入形函數(shù)并積分，對(duì)質(zhì)量均勻分布的平面彎曲單元，其單元一致質(zhì)量矩陣me為,(40),作業(yè)：試求拉壓桿單元的一致質(zhì)量矩陣k。,4.4桿系結(jié)構(gòu)有限元?jiǎng)恿Ψ治?當(dāng)在無阻尼情況下，用虛位移原理進(jìn)行單元分析可得單元?jiǎng)偠确匠?（注意：現(xiàn)在的分析是對(duì)單元局部坐標(biāo)系的）由此“單元?jiǎng)偠确匠獭背霭l(fā)，經(jīng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換、整體集裝（定位向量“對(duì)號(hào)入座”）后，可得有限元所建立的運(yùn)動(dòng)方程,(41),(42),如果要考慮阻尼，則可利用瑞利阻尼，由結(jié)構(gòu)一致質(zhì)量矩陣M和結(jié)構(gòu)剛度矩陣K來建立結(jié)構(gòu)阻尼矩陣C。,4.4桿系結(jié)構(gòu)有限元?jiǎng)恿Ψ治?4.4.2幾點(diǎn)說明1）以單元上無荷載作用，僅產(chǎn)生單位位移的形函數(shù)作為單元位移場(chǎng)，這是常用的一種近似處理。2）結(jié)構(gòu)一致質(zhì)量矩陣和結(jié)構(gòu)剛度矩陣非零元素分布一樣。3）Clough教授曾經(jīng)指出，對(duì)于框架結(jié)構(gòu)，將桿件一半質(zhì)量集中在桿端，用集中質(zhì)量法計(jì)算不僅在處理后可減少未知數(shù)個(gè)數(shù)（自由度），而且往往精度更好。4）當(dāng)采用集中質(zhì)量法時(shí)，M中相應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的對(duì)角線元素（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）為零，假設(shè)位移編碼將轉(zhuǎn)動(dòng)自由度集中在最后編，則無阻尼運(yùn)動(dòng)方程分塊形式為M1+K11u+K12=R1K21u+K22=R2由此消去，可得只有線位移自由度的方程。,4.4桿系結(jié)構(gòu)有限元?jiǎng)恿Ψ治?4.4.2幾點(diǎn)說明5）如果分析時(shí)用集中質(zhì)量法且不考慮軸向變形，則集裝后最終質(zhì)量矩陣是每層質(zhì)量對(duì)角排列的形式。這是目前桿系模型的常用計(jì)算方案。6）對(duì)于上述桿系模型的計(jì)算程序，質(zhì)量矩陣很簡(jiǎn)單。但是集裝形成剛度矩陣時(shí)，要做4）中所述的“靜力縮聚”。當(dāng)R2=0時(shí)，K1=K11-K12K22-1K21，運(yùn)動(dòng)方程為M1+K1u=R1(43)自由度數(shù)等于框架的層數(shù)。7）本節(jié)基本原理是對(duì)桿系結(jié)構(gòu)進(jìn)行說明的，象計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)力里一樣，思路、方法也可用于其他位移有限元?jiǎng)恿Ψ治觥?）程序Vibra可用來計(jì)算桿系結(jié)構(gòu)的自振特性等等，請(qǐng)大家使用。,4.5多自由度時(shí)程分析方法,4.5.1多自由度的線加速度法在3.3節(jié)介紹了單自由度線加速度法，從運(yùn)動(dòng)方程的相似性m+c+ku=P(t)M+C+Ku=P(t)顯然在0,t時(shí)間間隔內(nèi)假設(shè)加速度線性變化,則將3.3節(jié)m,c,k,P換成M、C、K、P(t)，即可得到多自由度線加速度法的等效剛度和等效荷載。數(shù)值積分能做線性、非線性時(shí)程分析，對(duì)非正交阻尼矩陣也能求解。重要、高層結(jié)構(gòu)要用時(shí)程分析。4.5.2多自由度的Wilson-法線加速度法要求t小于系統(tǒng)最短周期的1/10，當(dāng)自由度很多時(shí)頻率將很高周期很短，這一要求使計(jì)算很費(fèi)時(shí)間。而且進(jìn)一步數(shù)學(xué)分析表明它是條件穩(wěn)定的。,4.5多自由度時(shí)程分析方法,Wilson提出，假設(shè)0,t加速度線性變化,仿線加速度法進(jìn)行推導(dǎo),可得K*=a0M+a1C+K(44)P(t+t)*=P(t)+(P(t+t)-P(t)+M(a0u(t)+a2(t)+2(t)+C(a1u(t)+2(t)+a3(t)(45)K*u(t+t)=P(t+t)*(46)由式(46)可解出u(t+t)，進(jìn)一步可以求的t+t時(shí)刻的狀態(tài)向量。4.5.3Wilson-法的步驟1）形成系統(tǒng)M、C、K；2）確定初始狀態(tài)向量u(0)、(0)、(0)；3）確定(一般為1.4)和t;按以下公式計(jì)算常數(shù),4.5多自由度時(shí)程分析方法,a0=6/(t)2;a1=3/(t);a2=2a1;a3=t/2;a4=a0/;a5=-a2/;a6=1-3/;a7=t/2;a8=t2/6(47)4）按式(44)計(jì)算等效剛度；5）對(duì)等效剛度進(jìn)行LDLT分解，獲得D和L；6）按式(45)計(jì)算等效荷載；7）用線性方程組的LDLT法解u(t+t)；8）按以下公式計(jì)算t+t時(shí)刻的狀態(tài)向量(t+t)=a4(u(t+t)-u(t)+a5(t)+a6(t)(t+t)=(t)+a7(t+t)+(t)(48)u(t+t)=u(t)+t(t)+a8(t+t)+2(t)9）按6）8）逐步計(jì)算，求整個(gè)時(shí)程的反應(yīng)。4.5.4Wilson-法的幾點(diǎn)說明1）這是無條件穩(wěn)定的算法；,4.5多自由度時(shí)程分析方法,2）用這種方法會(huì)帶來附加的阻尼（算法阻尼），使頻率減少，周期增長(zhǎng)。3）當(dāng)t太大時(shí)，有所謂“超越現(xiàn)象”，導(dǎo)致發(fā)散。4）其截?cái)嗾`差為t2量級(jí)，因此精度較低。提高精度就得減小步長(zhǎng)t，這又將增加工作量。4.5.5其他數(shù)值逐步積分方法為了提高精度，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了很多研究，目前常用的算法除上述兩種外，還有Newmark法、Helbot-Herbo法、Runge-Kutta法、Gi