高三數(shù)學二輪復習 輔導4函數(shù)與方程思想精品教學案

【專題四】函數(shù)與方程思想【考情分析】觀近幾年的高考試題，函數(shù)的主干知識、知識的綜合應用以及函數(shù)與方程思想等數(shù)學思想方法的考查，一直是高考的重點內(nèi)容之一。在高考試卷上，與函數(shù)相關的試題所占比例始終在20%左右，且試題中既有靈活多變的客觀性試題，又有一定能力要求的主觀性試題。函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學思想，高考中所占比重比較大，綜合知識多、題型多、應用技巧多。在高中新課標數(shù)學中，還安排了函數(shù)與方程這一節(jié)內(nèi)容，可見其重要所在。在近幾年的高考中，函數(shù)思想主要用于求變量的取值范圍、解不等式等，方程觀點的應用可分為逐步提高的四個層次：（1）解方程；（2）含參數(shù)方程討論；（3）轉化為對方程的研究，如直線與圓、圓錐曲線的位置關系，函數(shù)的性質，集合關系；（4）構造方程求解。預測2013年高考函數(shù)與方程思想的命題主要體現(xiàn)在三個方面：是建立函數(shù)關系式，構造函數(shù)模型或通過方程、方程組解決實際問題；是運用函數(shù)、方程、不等式相互轉化的觀點處理函數(shù)、方程、不等式問題；是利用函數(shù)與方程思想研究數(shù)列、解析幾何、立體幾何等問題在構建函數(shù)模型時仍然十分注重“三個二次”的考查特別注意客觀形題目，大題一般難度略大。【知識歸納】函數(shù)與方程（不等式）的思想貫穿于高中學習的各個內(nèi)容，求值的問題就要涉及到方程，求取值范圍的問題就離不開不等式，但方程、不等式更離不開函數(shù)，函數(shù)與方程（不等式）思想的運用使我們解決問題的重要手段。函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標，函數(shù)yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0通過方程進行研究。就中學數(shù)學而言，函數(shù)思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關初等函數(shù)的性質，解有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關系式或構造中間函數(shù)，把所研究的問題轉化為討論函數(shù)的有關性質，達到化難為易，化繁為簡的目的。許多有關方程的問題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決。函數(shù)與方程的思想是中學數(shù)學的基本思想，也是歷年高考的重點。1函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系或構造函數(shù)，運用函數(shù)的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和解決問題；2方程的思想，就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決。方程的數(shù)學是對方程概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系；3函數(shù)的思想與方程的思想的關系在中學數(shù)學中，很多函數(shù)的問題需要用方程的知識和方法來支持，很多方程的問題需要用函數(shù)的知識和方法去解決對于函數(shù)yf(x)，當y0時，就轉化為方程f(x)0，也可以把函數(shù)yf(x)看作二元方程yf(x)0，函數(shù)與方程可相互轉化。4函數(shù)方程思想的幾種重要形式（1）函數(shù)和方程是密切相關的，對于函數(shù)yf(x)，當y0時，就轉化為方程f(x)0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)f(x)看做二元方程yf(x)0。函數(shù)問題（例如求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等）可以轉化為方程問題來求解，方程問題也可以轉化為函數(shù)問題來求解，如解方程f(x)0，就是求函數(shù)yf(x)的零點；（2）函數(shù)與不等式也可以相互轉化，對于函數(shù)yf(x)，當y0時，就轉化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)圖像與性質解決有關問題，而研究函數(shù)的性質，也離不開解不等式；（3）數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要；（4）函數(shù)f(x)（nN*）與二項式定理是密切相關的，利用這個函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項式定理的問題；（5）解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關理論；（6）立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用布列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決?！究键c例析】題型1：函數(shù)思想在方程中應用例1（2012高考山東）設函數(shù)，若的圖象與圖象有且僅有兩個不同的公共點,則下列判斷正確的是（ ）A當時， B當時，C當時， D當時，【答案】B；【解析】：在同一坐標系中分別畫出兩個函數(shù)的圖象，當時，要想滿足條件，則有如圖，做出點A關于原點的對稱點C,則C點坐標為，由圖象知即，同理當時，則有，故答案選B。另法：，則方程與同解，故其有且僅有兩個不同零點.由得或.這樣，必須且只須或，因為，故必有由此得.不妨設，則.所以，比較系數(shù)得，故.，由此知，故答案為B。題型2：函數(shù)思想在不等式中的應用例2（2012高考浙江）設a大于0，b大于0.A若2a+2a=2b+3b，則ab B若2a+2a=2b+3b，則abC若2a-2a=2b-3b，則ab D若2a-2a=ab-3b，則ab【答案】A；【解析】若，必有構造函數(shù)：，則恒成立，故有函數(shù)在x0上單調遞增，即ab成立其余選項用同樣方法排除故選A。點評：當問題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時，是構建一元二次方程的明顯信息，構造方程后再利用方程知識可使問題巧妙解決。當問題中出現(xiàn)多個變量時，往往要利用等量關系去減少變量的個數(shù)，如最后能把其中一個變量表示成關于另一個變量的表達式，那么就可用研究函數(shù)的方法將問題解決。題型3：函數(shù)思想在實際問題中的應用例3（2011陜西理14) 植樹節(jié)某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發(fā)前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為 （米）【分析】把實際問題轉化為數(shù)學模型,然后列式轉化為函數(shù)的最值問題；【解】（方法一）設樹苗放在第個樹坑旁邊（如圖）， 1 2 19 20那么各個樹坑到第i個樹坑距離的和是：。所以當或時，的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米。（方法二）根據(jù)圖形的對稱性，樹苗放在兩端的樹坑旁邊，所得路程總和相同，取得一個最值；所以從兩端的樹坑向中間移動時，所得路程總和的變化相同，最后移到第10個和第11個樹坑旁時，所得的路程總和達到另一個最值，所以計算兩個路程和即可。樹苗放在第一個樹坑旁，則有路程總和是；樹苗放在第10個（或第11個）樹坑旁邊時，路程總和是：，所以路程總和最小為2000米.點評：構造的二次函數(shù)形式在解題過程中起到了關鍵作用，函數(shù)是解決具體問題的有效工具。該題通過分析實際模型建立了函數(shù)解析式，研究函數(shù)的性質，解釋問題。題型4：函數(shù)思想在數(shù)列中的應用例4設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知，0，0，0，d3（2），d0，是關于n 的二次函數(shù)，對稱軸方程為：x。d3，6，當n6時，最大。點評：數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要。題型5：函數(shù)思想在立體幾何中的應用例5（1）（2012高考江西）如右圖，已知正四棱錐所有棱長都為1，點E是側棱上一動點，過點垂直于的截面將正四棱錐分成上、下兩部分，記截面下面部分的體積為則函數(shù)的圖像大致為（ ）【答案】A；【解析】：（定性法）當時，隨著的增大，觀察圖形可知，單調遞減，且遞減的速度越來越快；當時，隨著的增大，觀察圖形可知，單調遞減，且遞減的速度越來越慢；再觀察各選項中的圖象，發(fā)現(xiàn)只有A圖象符合.故選A?！军c評】對于函數(shù)圖象的識別問題，若函數(shù)的圖象對應的解析式不好求時，作為選擇題，沒必要去求解具體的解析式，不但方法繁瑣，而且計算復雜，很容易出現(xiàn)某一步的計算錯誤而造成前功盡棄；再次，作為選擇題也沒有太多的時間去給學生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且準確節(jié)約時間。（2）已知由長方體的一個頂點出發(fā)的三條棱長之和為1，表面積為，求長方體的體積的最值。解析：設三條棱長分別為x，y，z，則長方體的體積Vxyz。由題設有：； 所以， 故體積V（x）， 下面求x的取值范圍。因為， 所以y、z是方程的兩個實根。 由， 因為 所以當時，；當時，。點評：解決本題的關鍵在于確定目標函數(shù)時，根據(jù)相關條件的特征，構造了二次方程，并由此得出定義域使問題得解。題型6：利用方程思想處理解析幾何問題例6（1）直線與圓相切，則a的值為（ ）AB C1D解析：由直線方程得，并代入圓方程，整理得。又直線與圓相切，應有，解得。故選D。點評：即把直線方程代入圓或圓錐曲線的方程，消去y，得關于x的一元二次方程，其判別式為，則有：（1）曲線C與直線相離；（2）曲線C與直線相切；（3）曲線C與直線相交。（2）ABC的三邊a，b，c滿足b8c，試確定ABC的形狀。 解析：因為bc8， 所以b，c是方程的兩實根， 即，所以a6。從而得bc4，因此ABC是等腰三角形。點評：構建一元二次方程的模型解決數(shù)學問題，是一種行之有效的手段，其獨特功能在于充分運用構建的一元二次方程及根的判別式和求根公式變更命題，從而使問題獲得圓滿解決。題型7：函數(shù)思想在三角中的應用例7（1）求的取值范圍。解析：設，則，構造二次函數(shù)， 由圖1可知：圖1即。（2）已知函數(shù)，當有實數(shù)解時，求a的取值范圍。解析：由得，分離a得：；問題轉化為求a的值域。因為，所以。故當時，有實數(shù)解。點評：該題通過三角換元構造了二次函數(shù)，最終求得最值。題型8：方程思想在求函數(shù)最值中的應用例8（1）如果函數(shù)的最大值是4，最小值是1，求實數(shù)a、b的值。 解析：由y的最大值是4，知存在實數(shù)x使4，即方程有實根，故有； 又由y的最大值是4，知對任意實數(shù)x恒有，即恒成立，故，從而有。 同樣由y的最小值是1，可得。由，可解得。（2）已知函數(shù)y的最大值為7，最小值為1，求此函數(shù)式。解析：函數(shù)式變形為： (ym)x4x(yn)0，xR，由已知得ym0， (4)4(ym)(yn)0。即：y(mn)y(mn12)0 ，不等式的解集為(1,7)，則。解得：或 y（也可： 由解集(1,7)而設(y1)(y7)0,然后與不等式比較系數(shù)而得。）點評：本例解法中，對題設中給出的最值，一方面認為是方程的實數(shù)解，另一方面又認為是不等式的恒成立條件。由于對題設條件的理解深刻，所以構思新穎，證法嚴謹。題型9：方程思想在數(shù)列知識中的應用例9若(zx) 4(xy)(yz)0,求證：x、y、z成等差數(shù)列。分析：題設正好是判別式b4ac0的形式，因此構造一個一元二次方程求解。證明：當xy時，可得xz，x、y、z成等差數(shù)列；當xy時，設方程(xy)t(zx)t(yz)0，由0得tt，并易知t1是方程的根。tt1，即2yxz，x、y、z成等差數(shù)列。點評：題設條件具備或經(jīng)變形整理后具備xxa、xxb的形式，則利用根與系數(shù)的關系構造方程；具備b4ac0或b4ac0的形式，可利用根的判別式構造一元二次方程。題型10：方程思想在三角知識中的應用例10ABC中，求證：cosAcosBcosC證明：設kcosAcosBcosCcos(AB)cos(AB)cosCcosCcos(AB)cosC；整理得：cosCcos(AB)cosC2k0，即看作關于cosC的一元二次方程。cos(AB)8k0，即 8kcos(AB)1； k即cosAcosBcosC。點評：既是方程思想，也屬判別式法。還可用放縮法：cosAcosBcosC cosCcos(AB)cosCcosCcos(AB)cos(AB) 。題型11：函數(shù)零點與方程的解例11（1）（2012年高考北京）函數(shù)的零點個數(shù)為（）A0 B1 C2 D3 【答案】B；【解析】：函數(shù)的零點,即令,根據(jù)此題可得,在平面直角坐標系中分別畫出這兩個函數(shù)的圖像,可得交點只有一個,所以零點只有一個,故選答案B.點評：函數(shù)的零點、方程的根以及函數(shù)圖像與x軸的交點之間存在相互轉化關系。本題主要考察學生對方程的根與函數(shù)零點關系的理解，以及利用函數(shù)圖象確定函數(shù)零點的個數(shù)的方法。（2）已知函數(shù)，則方程在（，）內(nèi)有沒有實數(shù)解？說明理由？解析：由基本初等函數(shù)的性質可知函數(shù)在其定義域內(nèi)的圖象連續(xù)，且有，于是有。函數(shù)在區(qū)間（，）內(nèi)至少有一個零點，即方程在區(qū)間（，）（，1）內(nèi)至少有一個實數(shù)解點評：本題主要考察學生對函數(shù)零點存在判定定理的理解與應用?！痉椒记伞?函數(shù)描述了自然界中量的依存關系，反映了一個事物隨著另一個事物變化而變化的關系和規(guī)律。函數(shù)思想的實質是剔除問題的非數(shù)學特征，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學對象，抽象其數(shù)學特征，建立函數(shù)關系；2在解決某些數(shù)字問題時，先設定一些未知數(shù)，然后把它們當作已知數(shù)，根據(jù)題設本身各量間的制約，列出等式，所設未知數(shù)溝通了變量之間的關系，這就是方程的思想； 3函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，一個函數(shù)若有解析表達式，那么這個表達式就可看成是一個方程一個二元方程，兩個變量存在著對應關系，如果這個對應關系是函數(shù)，那么這個方程可以看成是一個函數(shù)，一個一元方程，它的兩端可以分別看成函數(shù)，方程的解即為兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標，因此，許多有關方程的問題可以用函數(shù)的方法解決；反之，許多有關函數(shù)的問題則可以用方程的方法解決總之，在復習中要注意領悟蘊含在知識和解題過程中函數(shù)和方程的思想，用它來指導解題。在解題中，同時要注意從不同的角度去觀察探索，尋求多種方法，從而得到最佳解題方案?！緦ｎ}訓練】一、選擇題（本題每小題5分，共60分）1設直線 ax+by+c=0的傾斜角為，且sin+cos=0，則a,b滿足（ ）ABCD2設P是的二面角內(nèi)一點，垂足，則AB的長為（ ）A B C D3 若是等差數(shù)列，首項，則使前n項和成立的最大自然數(shù)n是（ ）A4005 B4006 C4007 D40084每個頂點的棱數(shù)均為三條的正多面體共有（ ）A2種B3種 C4種 D5種5設函數(shù)，區(qū)間M=a，b(ag(a)g(b)成立的是（ ）Aab0Bab0Dab0 （ ）10ABC中,a、b、c分別為A、B、C的對邊.如果a、b、c成等差數(shù)列，B=30,ABC的面積為，那么b=（ ）ABCD11兩個正數(shù)a、b的等差中項是5，等比中項是4。若ab，則雙曲線的離心率e等于（ ）A B C D12天文臺用3.2萬元買一臺觀測儀，已知這臺觀測儀從啟用的第一天起連續(xù)使用，第n天的維修保養(yǎng)費為元（nN*），使用它直至報廢最合算（所謂報廢最合算是指使用的這臺儀器的平均耗資最少）為止，一共使用了（ ）A800天 B1000天 C1200天 D1400天二、填空題（本題每小題4分，共16分）13若的展開式中常數(shù)項為20，則自然數(shù)n .14x0是x的方程ax=logax(0a1)的解，則x0,1,a這三個數(shù)的大小關系是 .15已知函數(shù)互為反函數(shù)，又的圖象關于直線對稱，若_ _，_ 。16已知矩形的邊平面現(xiàn)有以下五個數(shù)據(jù)： 當在邊上存在點，使時，則可以取_。（填上一個正確的數(shù)據(jù)序號即可）三、解答題（本大題共6小題，共74分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17（本小題滿分12分）已知集合A=x|x2ax+a219=0，集合B=x|log2(x25x+8)=1，集合C=x|m=1,m0，|m|1滿足AB, AC=，求實數(shù)a的值.18（本小題滿分12分）有一組數(shù)據(jù)的算術平均值為10，若去掉其中最大的一個，余下數(shù)據(jù)的算術平均值為9；若去掉其中最小的一個，余下數(shù)據(jù) 的算術平均值為11.（1）求出第一個數(shù)關于的表達式及第個數(shù)關于的表達式;（2）若都是正整數(shù)，試求第個數(shù)的最大值，并舉出滿足題目要求且取到最大值的一組數(shù)據(jù).19（本小題滿分12分）某公司生產(chǎn)的A型商品通過租賃柜臺進入某商場銷售.第一年，商場為吸引廠家，決定免收該年管理費，因此，該年A型商品定價為每件70元，年銷售量為11.8萬件.第二年，商場開始對該商品征收比率為p%的管理費（即銷售100元要征收p元），于是該商品的定價上升為每件元，預計年銷售量將減少p萬件.（1）將第二年商場對該商品征收的管理費y（萬元）表示成p的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；（2）要使第二年商場在此項經(jīng)營中收取的管理費不少于14萬元，則商場對該商品征收管理費的比率p%的范圍是多少？（3）第二年，商場在所收管理費不少于14萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p應為多少？20（本小題滿分12分）求函數(shù)在0，2上的最大值和最小值.21（本小題滿分12分）已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx（a，b為常數(shù)，且a0）滿足條件：f(x1)=f(3x)且方程f(x)=2x有等根。 （1）求f(x)的解析式；（2）是否存在實數(shù)m,n（mn），使f(x)的定義域和值域分別為m,n和4m,4n，如果存在，求出m,n的值；如果不存在，說明理由.22（本小題滿分14分）設無窮等差數(shù)列an的前n項和為Sn.（1）若首項，公差，求滿足的正整數(shù)k；（2）求所有的無窮等差數(shù)列an，使得對于一切正整數(shù)k都有成立.【參考答案】一、選擇題（每小題5分，共60分）(1).D (2).C (3).B (4).A (5). A(6).B (7).C (8).B (9).A (10).B (11).C (12).A二、填空題（每小題4分，共16分）(13). 3； (14). 10或10 (15). ； (16). 或三、解答題（共74分，按步驟得分）17.解：由條件即可得B=2，3，C=4，2，由AB，AC=，可知3A，2A。將x=3代入集合A的條件得：a23a10=0 a=2或a=5當a=2時，A=x|x2+2x15=0=5,3,符合已知條件。當a=5時,A=x|x25x+6=0=2，3，不符合條件“AC”=，故舍去.綜上得：a=2.18.解：（1） 依條件得：