高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講座四：平面向量

2010年高三一回復(fù)習(xí)講座-平面向量二、復(fù)習(xí)要求1 .向量概念2、矢量的線性運算：矢量的加減運算、實數(shù)和矢量的積、兩個矢量的數(shù)積等的定義、運算法則3 .向量運算的運用三、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、向量是數(shù)形耦合的模型。 向量的幾何表示33到354具有利用幾何性質(zhì)來解決向量問題的基礎(chǔ)。 在向量的運算過程中，圖形性質(zhì)不僅能直觀地解釋抽象的運算，有時也更加簡潔。矢量運算中的基本圖形：矢量加減法則：三角形或者平行四邊形實數(shù)與矢量積的幾何意義共線得分點基本圖形的起點設(shè)定相同的3個矢量終點共線等。2、向量的三種線性運算和運算的三種形式。將向量的加減運算、實數(shù)與向量的積、兩個向量的數(shù)的積稱為向量的線性運算，前者與后者的結(jié)果是向量，兩個向量的數(shù)的積的結(jié)果是數(shù)。 每個運算都有三種表示形式：圖形、符號和坐標(biāo)語言。主要內(nèi)容列表如下：運算圖形語言符號語言坐標(biāo)語言加法和減法=-=符號=(x1，y1)，=(x1，y2)(x1x2，y1 y2 )Google foogle foogle foogle foogle foogle foogle foogle foogle foogle foogle=實數(shù)和向量體積=R備注=(x，y )=(x，y )兩個向量的數(shù)量積=|cos (操作系統(tǒng))符號=(x1，y1)，=(x2，y2)=x1x2 y1y23、運算律加法：=，()=()實數(shù)與向量之積：()= ； ( )= ，()=()兩個向量的數(shù)的乘積：=； ()=()=()，()=說明：向量演算法表明，兩個向量之間的線性演算滿足實數(shù)多項式乘積的算法，正確轉(zhuǎn)移實數(shù)演算性質(zhì)可以簡化向量演算。 例如，()2=四、重要定理，公式(1)平面向量的基本定理如果是同一平面內(nèi)的2個非共線向量，則對該平面內(nèi)的任意一個向量有計數(shù)1、2的對，有滿足=1 2的被稱為1 -2的線性組合。根據(jù)平面向量的基本定理，任意的向量都與規(guī)則數(shù)(1，2 )一對一對應(yīng)，將(1，2 )稱為基底，處的坐標(biāo)，設(shè)，為單位正交基底，時，將(1，2 )定義為向量的平面直角坐標(biāo)。矢量坐標(biāo)與點坐標(biāo)的關(guān)系：矢量的起點位于原點時，定義矢量坐標(biāo)為終點坐標(biāo)，即A(x，y )時=(x，y )； 如果向量的起點不在原點，則向量坐標(biāo)從終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)，即A(x1，y1)，B(x2，y2)=(x2- x 1，y2-y1)(2)2個向量平行的充要條件符號語言：如果坐標(biāo)語言是=(x1，y1)、=(x2，y2)，則坐標(biāo)語言是(x1，y1)=(x2，y2)，即x1y2-x2y1=0其中，實數(shù)是唯一的，并且對于同一方向，實數(shù)是0； 各向異性時為0。|=、的大小由和的大小決定。 因此，確定了的符號和大小。 這就是在實數(shù)乘法向量中的幾何意義。(3)兩個向量的垂直充要條件符號語言：=0坐標(biāo)語言： x1，y1、=(x2，y2)時，則x1x2 y1y2=0(4)線段得分點式如圖所示分?jǐn)?shù)點向量表達式：得分點坐標(biāo)式：設(shè)為P(x，y )、P1(x1，y1 )、P2(x2，y2 )則特例：=1時，得到中點公式，事實上，起點相同且終點共同的三個向量可以表示為、(o和P1P2不共同)、和=u v，u v=1(即兩個向量的線性組合)且第三個向量的系數(shù)和為1。(5)平移公式：點位移式，將點P(x，y )以=(h，k )位移至p (x ，y )時分別將(x，y )、(x，y)稱為舊的、新的坐標(biāo)，作為平移的法則在點p的新、舊坐標(biāo)及平移規(guī)則三組坐標(biāo)中，知道兩組坐標(biāo)，一定能求出第三組坐標(biāo)曲線的直線移動：以=(h，k )對曲線C:y=f(x )進行直線移動時，與直線移動后的曲線c對應(yīng)的解析式為y-k=f(x-h )當(dāng)h、k之一為零時，向前面討論的左右及上下移動通過利用直線移動變換，能夠?qū)崿F(xiàn)簡單的函數(shù)解析式，能夠簡單地研究曲線的幾何性質(zhì)(6)正弦定理、馀弦定理正弦定理：馀弦定理： a2=b2 c2-2cbcosAb2=c2 a2-2cacosBc2=a2 b2-2abcosc定理變形： cosA=、cosB=、cosC=正弦定理和馀弦定理是求解三角形的重要和基本工具。 通過閱讀教科書，理解向量法推導(dǎo)正馀弦定理的重要思想方法。5、向量是重要的數(shù)學(xué)概念，也是有力的解題工具。 利用向量，直線垂直，直線平行，求角度等，特別是直角坐標(biāo)系的導(dǎo)入，體現(xiàn)了向量解決問題的“程序性”特征。四、典型例題例1、圖、或是單位向量，與的角度用1200、與的角度用450、|=5表示。分析：以為鄰，與對角線平行四邊形在逆方向上分解向量，并且該向量如圖所示為=、=、0和0= |=|=1=|、=| OEC為22222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡65322202220解釋：單個向量表示為若干向量的線性組合是該向量中的一個基本且重要的問題，通常通過構(gòu)造平行四邊形來處理在示例2中，在已知的ABC中，將A(2，-1)、b (3，2 )、C(-3，-1)和BC周圍的高度設(shè)為a至d，并且計算起點d和向量坐標(biāo)。分析：解方程式的思想設(shè)D(x，y )則=(x-2，y 1)=(-6，-3)，=0 -6(x-2)-3(y 1)=0，即2x y-3=0 (x-3，y-2 )、22222卡卡卡卡卡卡卡卡 -6(y-2)=-3(x-3 )，即x-2y 1=0 中得到：d (1，1 )、=(-1，2 )例3，矢量=-1 )與=(1)的角度相等，且求出模的矢量的坐標(biāo)。分析：解方程式的思想法律1:=(x，y )的話=x-y，=x y22222222222222222265322202220即又|= x2 y2=2 從得到或拋棄2222222222卡卡卡卡卡卡卡法2 :從解析形式的特征開始 |=|=2=0 AOB是直角等腰三角形，如圖所示222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡c是AB的中點c ()解釋：數(shù)形耦合是學(xué)習(xí)向量的重要思想方法，分析圖中的幾何性質(zhì)可以簡化計算。例4、OAB的邊OA、OB分別取點m、n，設(shè)為|:1:4、|:1:4，若線段AN與BM與點p相交，則設(shè)為=，表示向量。分析：b、p、m共線記=s做同樣的事=2222222222222222222鏗鏘鏘鏘鏘6532220說明：從點的共線轉(zhuǎn)換為向量的共線，引入?yún)?shù)(s、t等)是一種常見的技巧。 平面向量的基本定理是向量的重要定理之一，利用該定理的唯一性質(zhì)得出關(guān)于s，t的方程。例如，已知有長方形ABCD，AB=3，BC=2，e為BC中點，p為AB上的一點(1)在利用向量知識判定點p位于哪個位置的情況下，PED=450；(2)如果PED=450，則要求證明： p、d、c、e這4點為正圓。分析：能夠利用坐標(biāo)系確定點p位置如圖所示，創(chuàng)建平面直角坐標(biāo)系c (2，0 )、d (2，3 )和e (1，0 )設(shè)P(0，y )=(1，3 )、=(-1，y )2220=3y-1cos450=得到解(舍棄)，或y=2點p是接近點a的AB三等分點(PED=450時，由(1)可知p (0，2 )=(2，1 )、=(-1，2 )=0 DPE=900另外DCE=900d、p、e、c四點共圓說明：利用向量處理幾何問題時，制作平面直角坐標(biāo)系求出設(shè)置點的坐標(biāo)與向量相關(guān)的坐標(biāo)根據(jù)向量得出運算計算結(jié)果結(jié)論。同步練習(xí)選擇題1、如果是平面內(nèi)的三點A(0，-3)、b (3，3 )、C(x，-1)、，則x的值如下a、-5 B、-1 C、1 D、52、當(dāng)滿足平面上的a (-2，1 )、b (1，4 )、D(4，-3)和c點并且延伸到DC并且令|=|時，點e坐標(biāo)表示如下a，(-8，)，b，() c，(0，1 ) d，(0，1 )或(2)，2、點(2，-1)沿向量移動(-2，1 )，點(-2，1 )移動如下3，a，(2，-1) B，(-2，1 ) c，(6，-3) D，(-6，3 )4、在ABC中，2cosBsinC=sinA，該三角形為a、直角三角形b、等腰三角形c、等腰三角形d，有以上可能性5、是任意的非零平面向量，如果彼此不是共線，則()-()=0|-|-|-|()-()不垂直在(3-2) (3-2)=9|2-4|2下真正的命題是a、 B、 C、 D、6、ABC中，a4 b4 c4=2c2(a2 b2 )，c度數(shù)如下a、600 B、450或1350 C、1200 D、3007、對于OAB，如果=tr，則點p為有a、873aob二等分線的直線上b、線段AB的垂線上有c、AB邊的直線上的d、AB邊的中線8、正方形PQRS對角線的交點為m，坐標(biāo)原點o不在正方形內(nèi)部，且=(0，3 )、=(4，0 )時=a、() b、() c、(7，4 ) d、()(二)填空問題；9、，|是平面上的基底，如果=，=-2-，共線的話=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _10、與已知|=1、=-9、的角度是_。如11、則為兩個單位向量，它們角度為600(2- (-32)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ )12 .移位函數(shù)y=cosx的圖像以獲得函數(shù)_的圖像。(3)解答問題13、=(3，1 )、=(-1，2 )、/，求出滿足=的坐標(biāo)。 其中o是坐標(biāo)原點。14、如果=(2，