三垂線定理一_第1頁(yè)
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三垂線定理一教學(xué)目的:知識(shí)目標(biāo):三垂線定理及其逆定理的形成和論證三垂線定理及其逆定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用 能力目標(biāo):利用投影、計(jì)算機(jī)模擬運(yùn)動(dòng),增強(qiáng)直觀性,激勵(lì)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。 德育目標(biāo):通過(guò)定理的論證和練習(xí)的訓(xùn)練滲透化繁為簡(jiǎn)的思想和轉(zhuǎn)化的思想 教學(xué)重點(diǎn):掌握三垂線定理及逆定理。 教學(xué)難點(diǎn):兩個(gè)定理的證明及應(yīng)用 教學(xué)疑點(diǎn)及解決方法(1)三垂線定理及其逆定理,揭示了平面內(nèi)的直線與平面的垂線、斜線及斜線在平面內(nèi)的射影這三條直線的垂直關(guān)系,其實(shí)質(zhì)是平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線(或斜線在平面內(nèi)的射影)垂直的判定定理(2)本節(jié)課的兩個(gè)定理,涉及的直線較多,學(xué)生在認(rèn)識(shí)和理解上都會(huì)存在困難,為了加深印象并說(shuō)明復(fù)雜的直線位置關(guān)系,可以采用一些教具,或者讓學(xué)生準(zhǔn)備三根竹簽,按照教師的要求擺放在學(xué)生感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上,進(jìn)行理性的證明和記憶,有助于定理的掌握(3)三垂線定理是先有直線a垂直于射影AO的條件,然后得到a垂直于斜線PO的結(jié)論;而其逆定理則是已知直線a垂直于斜線PO,再推出a垂直于射影AO在引用時(shí)容易引起混淆,解決的辦法是,構(gòu)造一個(gè)同時(shí)使用這兩個(gè)定理的問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生分清(4)教學(xué)核心是定理的形成教學(xué),教學(xué)的指導(dǎo)思想是:遵循由具體探究抽象、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的認(rèn)識(shí)規(guī)律,啟發(fā)學(xué)生反復(fù)思考,不斷內(nèi)化成為自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)授課類型:新授課教學(xué)模式:講練結(jié)合 啟發(fā)引導(dǎo) 自學(xué)指導(dǎo) 發(fā)現(xiàn)教學(xué)法 償試指導(dǎo)法 啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué).教 具:多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過(guò)程:一、復(fù)習(xí)引入:復(fù)習(xí)舊知,揭示課題例1(引例)在正方體ABCDA1B1C1D1中, 找平面AC的斜線BD1的射影 BD1與AC的位置關(guān)系如何?BD1與AC成多少度的角? 通過(guò)回憶斜線、射影、直線與直線的位置關(guān)系,揭示這節(jié)課所要學(xué)的內(nèi)容與原來(lái)所學(xué)的知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,也就是提醒學(xué)生這節(jié)課的目的是利用所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)去總結(jié)結(jié)論,發(fā)現(xiàn)定理,從而為定理的證明打下了基礎(chǔ)。二、講解新課: 1三垂線定理:定理:在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直。已知:分別是平面的垂線和斜線,是在平面內(nèi)的射影,且求證:;證明:,又平面,說(shuō)明:(1)定理的實(shí)質(zhì)是判定平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線的垂直關(guān)系;(2)推理模式:2三垂線定理的逆定理:在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直,那么它和這條斜線的射影垂直。(證明略)推理模式: 練習(xí):在平面內(nèi),于點(diǎn),請(qǐng)指出圖形中的直角三角形。說(shuō)明:(1)定理的證明,體現(xiàn)了“由線面垂直證明線線垂直”的方法;(2)上述命題反映了平面內(nèi)的直線、平面的斜線和斜線在平面內(nèi)的射影這三條直線之間的垂直關(guān)系,這就是著名的三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直(3)改變定理的題設(shè)和結(jié)論,得到逆命題:在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直,那么它也和這條斜線的射影垂直可以用同樣的方法證明,這就是三垂線定理的逆定理(請(qǐng)學(xué)生簡(jiǎn)要說(shuō)明其證明方法和步驟)(4)定理中包含了三個(gè)垂直關(guān)系:PA,AOa,POa,看出三垂線定理名稱的來(lái)由(5)從定理的條件看,關(guān)鍵的是直線和平面的相對(duì)位置關(guān)系,而與平面本身是否水平放置無(wú)關(guān);在平面內(nèi)的直線a與斜線或斜線的射影的位置關(guān)系關(guān)鍵在于垂直;這樣直線a的如下四種位置關(guān)系,都是三垂線定理及其逆定理常見的情形HDCBA(6)從定理的結(jié)論看,三垂線定理及其逆定理是判斷直線垂直的重要命題3例題分析:例1、在空間四邊形ABCD中,ABCD,AH平面BCD, 求證:BHCD 例2已知:點(diǎn)是的垂心,垂足為,求證:證明:點(diǎn)是的垂心,又,垂足為,所以,由三垂線定理知,例3 如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等,那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的角平分線上。已知:在平面內(nèi),點(diǎn),垂足分別為,求證:證明:,(三垂線定理逆定理),又,例3如圖,道路兩旁有一條河,河對(duì)岸有電塔,高,只有量角器和皮尺作測(cè)量工具,能否測(cè)出電塔頂與道路的距離?解:在道路邊取點(diǎn),使與道路邊所成的水平角等于,再在道路邊取一點(diǎn),使水平角,測(cè)得的距離等于,是在平面上的射影,且(三垂線定理)因此斜線段的長(zhǎng)度就是塔頂與道路的距離,在中得,答:電塔頂與道路距離是OCBAP4、歸納應(yīng)用定理證明“ab”的一般程序“一垂二射三證明”找平面及平面的垂線找射影線,用定理去證明a,b垂直三、鞏固與練習(xí)已知:點(diǎn)O是ABC的垂心,OP平面ABC,求證:PABC在正方體ABCDA1B1C1D1中,求BD1與B1C成多少度的角?四、小 結(jié):1射影和斜線的有關(guān)概念;2三垂線定理及其逆定理。五、課后作業(yè):課本第24頁(yè)練習(xí)第2題,補(bǔ)充:

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