三垂線定理一

三垂線定理一教學(xué)目的：知識(shí)目標(biāo)：三垂線定理及其逆定理的形成和論證三垂線定理及其逆定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用 能力目標(biāo)：利用投影、計(jì)算機(jī)模擬運(yùn)動(dòng)，增強(qiáng)直觀性，激勵(lì)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。 德育目標(biāo)：通過(guò)定理的論證和練習(xí)的訓(xùn)練滲透化繁為簡(jiǎn)的思想和轉(zhuǎn)化的思想 教學(xué)重點(diǎn)：掌握三垂線定理及逆定理。 教學(xué)難點(diǎn)：兩個(gè)定理的證明及應(yīng)用 教學(xué)疑點(diǎn)及解決方法（1）三垂線定理及其逆定理，揭示了平面內(nèi)的直線與平面的垂線、斜線及斜線在平面內(nèi)的射影這三條直線的垂直關(guān)系，其實(shí)質(zhì)是平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線（或斜線在平面內(nèi)的射影）垂直的判定定理（2）本節(jié)課的兩個(gè)定理，涉及的直線較多，學(xué)生在認(rèn)識(shí)和理解上都會(huì)存在困難，為了加深印象并說(shuō)明復(fù)雜的直線位置關(guān)系，可以采用一些教具，或者讓學(xué)生準(zhǔn)備三根竹簽，按照教師的要求擺放在學(xué)生感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行理性的證明和記憶，有助于定理的掌握（3）三垂線定理是先有直線a垂直于射影AO的條件，然后得到a垂直于斜線PO的結(jié)論；而其逆定理則是已知直線a垂直于斜線PO，再推出a垂直于射影AO在引用時(shí)容易引起混淆，解決的辦法是，構(gòu)造一個(gè)同時(shí)使用這兩個(gè)定理的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分清（4）教學(xué)核心是定理的形成教學(xué)，教學(xué)的指導(dǎo)思想是：遵循由具體探究抽象、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的認(rèn)識(shí)規(guī)律，啟發(fā)學(xué)生反復(fù)思考，不斷內(nèi)化成為自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)授課類型：新授課教學(xué)模式：講練結(jié)合 啟發(fā)引導(dǎo) 自學(xué)指導(dǎo) 發(fā)現(xiàn)教學(xué)法 償試指導(dǎo)法 啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué).教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：復(fù)習(xí)舊知，揭示課題例1（引例）在正方體ABCDA1B1C1D1中， 找平面AC的斜線BD1的射影 BD1與AC的位置關(guān)系如何？BD1與AC成多少度的角？ 通過(guò)回憶斜線、射影、直線與直線的位置關(guān)系，揭示這節(jié)課所要學(xué)的內(nèi)容與原來(lái)所學(xué)的知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，也就是提醒學(xué)生這節(jié)課的目的是利用所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)去總結(jié)結(jié)論，發(fā)現(xiàn)定理，從而為定理的證明打下了基礎(chǔ)。二、講解新課： 1三垂線定理：定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。已知：分別是平面的垂線和斜線，是在平面內(nèi)的射影，且求證：；證明：，又平面，說(shuō)明：（1）定理的實(shí)質(zhì)是判定平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線的垂直關(guān)系；（2）推理模式：2三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直。（證明略）推理模式： 練習(xí)：在平面內(nèi)，于點(diǎn)，請(qǐng)指出圖形中的直角三角形。說(shuō)明：（1）定理的證明，體現(xiàn)了“由線面垂直證明線線垂直”的方法；（2）上述命題反映了平面內(nèi)的直線、平面的斜線和斜線在平面內(nèi)的射影這三條直線之間的垂直關(guān)系，這就是著名的三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直（3）改變定理的題設(shè)和結(jié)論，得到逆命題：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直可以用同樣的方法證明，這就是三垂線定理的逆定理（請(qǐng)學(xué)生簡(jiǎn)要說(shuō)明其證明方法和步驟）（4）定理中包含了三個(gè)垂直關(guān)系：PA，AOa，POa，看出三垂線定理名稱的來(lái)由（5）從定理的條件看，關(guān)鍵的是直線和平面的相對(duì)位置關(guān)系，而與平面本身是否水平放置無(wú)關(guān)；在平面內(nèi)的直線a與斜線或斜線的射影的位置關(guān)系關(guān)鍵在于垂直；這樣直線a的如下四種位置關(guān)系，都是三垂線定理及其逆定理常見的情形HDCBA（6）從定理的結(jié)論看，三垂線定理及其逆定理是判斷直線垂直的重要命題3例題分析：例1、在空間四邊形ABCD中，ABCD，AH平面BCD， 求證：BHCD 例2已知：點(diǎn)是的垂心，垂足為，求證：證明：點(diǎn)是的垂心，又，垂足為，所以，由三垂線定理知，例3 如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的角平分線上。已知：在平面內(nèi)，點(diǎn)，垂足分別為，求證：證明：，（三垂線定理逆定理），又，例3如圖，道路兩旁有一條河，河對(duì)岸有電塔，高，只有量角器和皮尺作測(cè)量工具，能否測(cè)出電塔頂與道路的距離？解：在道路邊取點(diǎn)，使與道路邊所成的水平角等于，再在道路邊取一點(diǎn)，使水平角，測(cè)得的距離等于，是在平面上的射影，且（三垂線定理）因此斜線段的長(zhǎng)度就是塔頂與道路的距離，在中得，答：電塔頂與道路距離是OCBAP4、歸納應(yīng)用定理證明“ab”的一般程序“一垂二射三證明”找平面及平面的垂線找射影線，用定理去證明a，b垂直三、鞏固與練習(xí)已知：點(diǎn)O是ABC的垂心，OP平面ABC，求證：PABC在正方體ABCDA1B1C1D1中，求BD1與B1C成多少度的角？四、小 結(jié)：1射影和斜線的有關(guān)概念；2三垂線定理及其逆定理。五、課后作業(yè)：課本第24頁(yè)練習(xí)第2題，補(bǔ)充：