高中數(shù)學(xué) 立體幾何中的向量方法.ppt

第7課時立體幾何中的向量方法,2019高考導(dǎo)航,本節(jié)目錄,教材回顧夯實雙基,考點探究講練互動,名師講壇精彩呈現(xiàn),知能演練輕松闖關(guān),1直線的方向向量與平面的法向量的確定(1)直線的方向向量：在直線上任取一_向量作為它的方向向量(2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面內(nèi)兩不共線向量，n為平面的法向,非零,思考探究直線的方向向量和平面的法向量是唯一的嗎？提示：不唯一，凡是在直線l上的非零向量或與l平行的非零向量都可以作為直線的方向向量，凡是與平面垂直的非零向量都可以作為平面的法向量,課前熱身,答案：B,2已知M(1,0,1)，N(0,1,1)，P(1,1,0)，則平面MNP的一個法向量是()A(1,0,0)B(0,1,0)C(0,0,1)D(1,1,1),3已知直線l的方向向量為v，平面的法向量是，且v0，則l與的位置關(guān)系是_答案：l或l4已知正方體ABCDA1B1C1D1中平面AB1D1與平面A1BD所成的角為(090)，則cos_.,【證明】以C為坐標原點，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.PC平面ABCD，PBC為PB與平面ABCD所成的角，PBC30.,【名師點評】(1)利用空間向量解決空間中線面位置關(guān)系的證明問題，以代數(shù)運算代替復(fù)雜的空間想象，為解決立體幾何問題帶來了簡捷的方法.(2)用空間向量解決立體幾何問題的關(guān)鍵是建立適當?shù)淖鴺讼担蚀_地確定點的坐標，另外運算錯誤也是解題中常出現(xiàn)的問題,跟蹤訓(xùn)練,(2019高考大綱全國改編卷)如圖，四棱錐SABCD中，ABCD，BCCD，側(cè)面SAB為等邊三角形，ABBC2，CDSD1.(1)證明：SD平面SAB；(2)求AB與平面SBC所成角的正弦值,【解】以C為坐標原點，射線CD為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.設(shè)D(1,0,0)，則A(2,2,0)、B(0,2,0)又設(shè)S(x，y，z)，則x0，y0，z0.,【名師點評】利用向量法求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角,跟蹤訓(xùn)練,解：(1)證明：由正三棱柱ABCA1B1C1的性質(zhì)知，AA1平面ABC.又DE平面ABC，所以DEAA1.又DEA1E，AA1A1EA1，所以DE平面ACC1A1.又DE平面A1DE，故平面A1DE平面ACC1A1.,(2019高考天津卷)如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)證明PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)設(shè)E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30，求AE的長,【名師點評】求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角,解：(1)證明：如圖，連接AB，AC，因為三棱柱ABCABC為直三棱柱，所以四邊形ABBA為矩形，又M為AB的中點，所以M為AB的中點又因為N為BC的中點，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AACC，因此MN平面AACC.,1用向量知識證明立體幾何問題有兩種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運算進行判斷；另一種是用向量的坐標表示幾何量，共分三步：(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量(或坐標)表示問題中所涉及的點、線、面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運算，研究點、線、面之間的位置關(guān)系；(3)根據(jù)運算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題,2空間向量在求空間角中的價值體現(xiàn)(1)求兩異面直線a、b的夾角，須求出它們的方向向量a，b的夾角，即cos|cosa，b|.(2)求直線l與平面所成的角，可先求出平面的法向量n與直線l的方向向量a的夾角則sin|cosn，a|.(3)求二面角l的大小，可先求出兩個平面的法向量n1，n2所成的角，則n1，n2或n1，n2,(本題滿分12分)如圖，已知在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA11，直線BD與平面AA1B1B所成的角為30，AE垂直BD于點E，F(xiàn)為A1B1的中點(1)求異面直線AE與BF所成角的余弦值；(2)求平面BDF與平面AA1B1B所成二面角(銳角)的余弦值,1,2,3,信息提煉層層剖析建系時，要說明詳細，屬易失分點找準向量，求角或求角的三角函數(shù)值時，若為鈍角或負值，直接轉(zhuǎn)化為銳角或正值絕對值符號的加與不加，要看所求角為銳角或鈍角而定,1,2,3,【名師點評】利用向量法求兩異面直線a，b的夾角，須求出它們的方向向量a，b的夾角，則cos|cosa，b|；求二面角l的大小，可先求出兩個平面的法向量n1，n2所成的角，