小學(xué)典型應(yīng)用題類型匯總.doc

1、小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題小學(xué)數(shù)學(xué)中把含有數(shù)量關(guān)系的實(shí)際問題用語言或文字?jǐn)⑹龀鰜?，這樣所形成的題目叫做應(yīng)用題。任何一道應(yīng)用題都由兩部分構(gòu)成。第一部分是已知條件（簡稱條件），第二部分是所求問題（簡稱問題）。應(yīng)用題的條件和問題，組成了應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)。沒有特定的解答規(guī)律的兩步以上運(yùn)算的應(yīng)用題，叫做一般應(yīng)用題。題目中有特殊的數(shù)量關(guān)系，可以用特定的步驟和方法來解答的應(yīng)用題，叫做典型應(yīng)用題。這本資料主要研究以下30類典型應(yīng)用題： 1、歸一問題 2、歸總問題 3、和差問題 4、和倍問題 5、差倍問題 6、倍比問題 7、相遇問題 8、追及問題 9、植樹問題10、年齡問題11、行船問題12、列車問題13、時(shí)鐘問題14、盈

2、虧問題15、工程問題16、正反比例問題17、按比例分配18、百分?jǐn)?shù)問題19、“牛吃草”問題20、雞兔同籠問題21、方陣問題22、商品利潤問題23、存款利率問題24、溶液濃度問題25、構(gòu)圖布數(shù)問題26、幻方問題27、抽屜原則問題28、公約公倍問題29、最值問題30、列方程問題 1 歸一問題【含義】在解題時(shí)，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題?！緮?shù)量關(guān)系】總量份數(shù)1份數(shù)量 1份數(shù)量所占份數(shù)所求幾份的數(shù)量另一總量（總量份數(shù)）所求份數(shù)【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。例1、買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支

3、，需要多少錢？解： （1）買1支鉛筆多少錢？0.650.12（元） （2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12161.92（元）列成綜合算式： 0.65160.12161.92（元）例2 3臺拖拉機(jī)3天耕地90公頃，照這樣計(jì)算，5臺拖拉機(jī)6 天耕地多少公頃？解： （1）1臺拖拉機(jī)1天耕地多少公頃？ 903310（公頃） （2）5臺拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？ 1056300（公頃）列成綜合算式： 9033561030300（公頃）例3、 5輛汽車4次可以運(yùn)送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運(yùn)送105噸鋼材，需要運(yùn)幾次？解： （1）1輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？ 100545（噸） （2）7輛汽車1次能

4、運(yùn)多少噸鋼材？ 5735（噸） （3）105噸鋼材7輛汽車需要運(yùn)幾次？ 105353（次）列成綜合算式 105（100547）3（次） 2 歸總問題【含義】解題時(shí)，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價(jià)、幾小時(shí)（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時(shí)行的總路程等?！緮?shù)量關(guān)系】 1份數(shù)量份數(shù)總量總量1份數(shù)量份數(shù)總量另一份數(shù)另一每份數(shù)量【解題思路和方法】 先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。例1服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進(jìn)裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？解： （1）這批布總共有

5、多少米？3.27912531.2（米） （2）現(xiàn)在可以做多少套？2531.22.8904（套）列成綜合算式 3.27912.8904（套）例2 小華每天讀24頁書，12天讀完了紅巖一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完紅巖？解：（1）紅巖這本書總共多少頁？ 2412288（頁） （2）小明幾天可以讀完紅巖？ 288368（天）列成綜合算式 2412368（天）例3 食堂運(yùn)來一批蔬菜，原計(jì)劃每天吃50千克，30天慢慢消費(fèi)完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原計(jì)劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？解：（1）這批蔬菜共有多少千克？ 50301500（千克） （2）這批蔬菜可以吃多少天？ 1500

6、（5010）25（天）列成綜合算式 5030（5010）15006025（天） 3 和差問題【含義】已知兩個(gè)數(shù)量的和與差，求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問題?！緮?shù)量關(guān)系】大數(shù)（和差） 2小數(shù)（和差） 2【解題思路和方法】 簡單的題可以直接套用公式；復(fù)雜的題變通后再用公式。例1 甲乙兩班共有學(xué)生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？解： 甲班人數(shù)（986）252（人） 乙班人數(shù)（986）246（人）例2 長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。解： 長（182）210（厘米） 寬（182）28（厘米） 長方形的面積 10880（平方厘米）例3 有甲、乙、丙三袋化

7、肥，甲、乙兩袋共重32千克，乙、丙兩袋共重30千克，甲、丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。解： 甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（3230）2 千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知甲袋化肥重量（222）212（千克）丙袋化肥重量（222）210（千克）乙袋化肥重量321220（千克）例4 甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？ 解： “從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐”，這說明 甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是（1423），甲與乙的和是97，因此 甲車筐數(shù)（971423）264（筐

8、） 乙車筐數(shù)976433（筐） 4 和倍問題【含義】已知兩個(gè)數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問題。【數(shù)量關(guān)系】 總和 （幾倍1）較小的數(shù)總和 較小的數(shù) 較大的數(shù)較小的數(shù) 幾倍 較大的數(shù)【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1 果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？解： （1）杏樹有多少棵？ 248（31）62（棵） （2）桃樹有多少棵？ 623186（棵）例2 東西兩個(gè)倉庫共存糧480噸，東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？解： （1）西庫存糧數(shù)

9、480（1.41）200（噸） （2）東庫存糧數(shù)480200280（噸）例3 甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？解： 每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當(dāng)于每天從甲站開往乙站（2824）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)作1倍量，這時(shí)乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)（5232）就相當(dāng)于（21）倍，那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為 （5232）（21）28（輛）所求天數(shù)為 （5228）（2824）6（天）例4甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少？解： 乙丙兩數(shù)都

10、與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為1倍量。 因?yàn)橐冶燃椎?倍少4，所以給乙加上4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍； 又因?yàn)楸燃椎?倍多6，所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍；這時(shí)（17046）就相當(dāng)于（123）倍。那么， 甲數(shù)（17046）（123）28乙數(shù)282452丙數(shù)2836905 差倍問題【含義】 已知兩個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問題。【數(shù)量關(guān)系】兩個(gè)數(shù)的差（幾倍1）較小的數(shù)較小的數(shù)幾倍較大的數(shù)【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃

11、樹各多少棵？解: （1）杏樹有多少棵？ 124（31）62（棵）（2）桃樹有多少棵？ 623186（棵）例2 爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？解: （1）兒子年齡27（41）9（歲）（2）爸爸年齡9436（歲）例3 商場改革經(jīng)營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個(gè)月盈利各是多少萬元？解: 如果把上月盈利作為1倍量，則（3012）萬元就相當(dāng)于上月盈利的（21）倍，因此上月盈利（3012）（21）18（萬元）本月盈利183048（萬元）例4 糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運(yùn)出小麥和玉米

12、各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？解: 由于每天運(yùn)出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差（13894）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（13894）就相當(dāng)于（31）倍，因此剩下的小麥數(shù)量（13894）（31）22（噸）運(yùn)出的小麥數(shù)量942272（噸）運(yùn)糧的天數(shù)7298（天） 6 倍比問題【含義】 有兩個(gè)已知的同類量，其中一個(gè)量是另一個(gè)量的若干倍，解題時(shí)先求出這個(gè)倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問題。【數(shù)量關(guān)系】總量一個(gè)數(shù)量倍數(shù)另一個(gè)數(shù)量倍數(shù)另一總量【解題思路和方法】 先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。例1

13、100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？解: （1）3700千克是100千克的多少倍？ 370010037（倍）（2）可以榨油多少千克？40371480（千克）列成綜合算式 40（3700100）1480（千克）例2 今年植樹節(jié)這天，某小學(xué)300名師生共植樹400棵，照這樣計(jì)算，全縣48000名師生共植樹多少棵？解: （1）48000名是300名的多少倍？ 48000300160（倍）（2）共植樹多少棵？40016064000（棵）列成綜合算式 400（48000300）64000（棵）例3 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣

14、計(jì)算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？解: （1）800畝是4畝的幾倍？8004200（倍） （2）800畝收入多少元？ 111112002222200（元）（3）16000畝是800畝的幾倍？ 1600080020（倍）（4）16000畝收入多少元？ 22222002044444000（元） 7 相遇問題【含義】兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問題?！緮?shù)量關(guān)系】 相遇時(shí)間總路程（甲速乙速） 總路程（甲速乙速）相遇時(shí)間【解題思路和方法】 簡單的題可直接利用公式，復(fù)雜的題變通后再利用公式。例1 南京到上海的水路長392千米，同時(shí)

15、從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時(shí)行28千米，從上海開出的船每小時(shí)行21千米，經(jīng)過幾小時(shí)兩船相遇？ 解: 392（2821）8（小時(shí)）例2 小李和小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時(shí)間？解:“第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈,因此總路程為4002相遇時(shí)間（4002）（53）100（秒）例3甲乙二人同時(shí)從兩地騎自行車相向而行，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行13千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇，求兩地的距離。解: “兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可

16、知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點(diǎn)3千米，乙距中點(diǎn)3千米，就是說甲比乙多走的路程是（32）千米，因此，相遇時(shí)間（32）（1513）3（小時(shí)）兩地距離（1513）384（千米） 8 追及問題【含義】 兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)（或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)出發(fā)）作同向運(yùn)動(dòng)，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問題?！緮?shù)量關(guān)系】 追及時(shí)間追及路程（快速慢速） 追及路程（快速慢速）追及時(shí)間【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1 好馬每天走120千米，劣馬每天走75

17、千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？解: （1）劣馬先走12天能走多少千米？ 7512900（千米）（2）好馬幾天追上劣馬？ 900（12075）20（天） 列成綜合算式 7512（12075）9004520（天）例2小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解: 小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即200米，此時(shí)小亮跑了（500200）米，要知小亮的速度，須知追及時(shí)間，即小明跑500米所用的時(shí)間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用40（500200）秒，所以小亮的速度是

18、:（500200）40（500200）3001003（米）例3 我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點(diǎn)開始從甲地以每小時(shí)10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點(diǎn)接到命令，以每小時(shí)30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個(gè)小時(shí)可以追上敵人？解: 敵人逃跑時(shí)間與解放軍追擊時(shí)間的時(shí)差是（2216）小時(shí)，這段時(shí)間敵人逃跑的路程是10（226）千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知:追及時(shí)間10（226）60（3010）2202011（小時(shí)）例4 一輛客車從甲站開往乙站，每小時(shí)行48千米；一輛貨車同時(shí)從乙站開往甲站，每小時(shí)行40千米，兩車在距兩站中點(diǎn)16千米處相遇，求甲乙

19、兩站的距離。解: 這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（162）千米，客車追上貨車的時(shí)間就是前面所說的相遇時(shí)間，這個(gè)時(shí)間為 162（4840）4（小時(shí)）所以兩站間的距離為（4840）4352（千米）列成綜合算式 （4840）162（4840）884352（千米）例5 兄妹二人同時(shí)由家上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時(shí)發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？解: 要求距離，速度已知，所以關(guān)鍵是求出相遇時(shí)間。從題中可知，在相同時(shí)間（從出發(fā)到相遇）內(nèi)哥哥比妹妹多走（1802）米，這是因?yàn)楦绺绫让妹?/p>

20、每分鐘多走（9060）米，那么，二人從家出走到相遇所用時(shí)間為1802（9060）12（分鐘）家離學(xué)校的距離為 9012180900（米）例6 孫亮打算上課前5分鐘到學(xué)校，他以每小時(shí)4千米的速度從家步行去學(xué)校，當(dāng)他走了1千米時(shí)，發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進(jìn)，到學(xué)校恰好準(zhǔn)時(shí)上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學(xué)校。求孫亮跑步的速度。解: 手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（105）分鐘，后段路程跑步恰準(zhǔn)時(shí)到學(xué)校，說明后段路程跑比走少用了（105）分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1千米，跑步比步行少用

21、9（105）分鐘。所以步行1千米所用時(shí)間為 19（105）0.25（小時(shí)）15（分鐘）跑步1千米所用時(shí)間為 159（105）11（分鐘）跑步速度為每小時(shí)111605.5（千米） 9 植樹問題【含義】按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個(gè)量之間，已知其中的兩個(gè)量，要求第三個(gè)量，這類應(yīng)用題叫做植樹問題?！緮?shù)量關(guān)系】線形植樹 棵數(shù)距離棵距1環(huán)形植樹 棵數(shù)距離棵距方形植樹 棵數(shù)距離棵距4三角形植樹 棵數(shù)距離棵距3面積植樹 棵數(shù)面積（棵距行距）【解題思路和方法】 先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。例1一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解: 136216816

22、9（棵）例2 一個(gè)圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？解: 4004100（棵）例3 一個(gè)正方形的運(yùn)動(dòng)場，每邊長220米，每隔8米安裝一個(gè)照明燈，一共可以安裝多少個(gè)照明燈？解: 2204841104106（個(gè)）例4 給一個(gè)面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？解: 96（0.60.4）960.24400（塊）例5 一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個(gè)電桿，每個(gè)電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？解: （1）橋的一邊有多少個(gè)電桿？ 50050111（個(gè)）（2）

23、橋的兩邊有多少個(gè)電桿？ 11222（個(gè)）（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？ 22244（盞） 10 年齡問題【含義】這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點(diǎn)是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長在發(fā)生變化。【數(shù)量關(guān)系】 年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個(gè)特點(diǎn)?！窘忸}思路和方法】 可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。例1 爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？ 解: 3557（倍）（35+1）（5+1）6（倍）例2 母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女

24、兒的4倍？解: （1）母親比女兒的年齡大多少歲？ 37730（歲）（2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？ 30（41）73（年） 列成綜合算式 （377）（41）73（年）例3 3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？解: 今年父子的年齡和應(yīng)該比3年前增加（32）歲， 今年二人的年齡和為493255（歲）把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相當(dāng)于（41）倍，因此，今年兒子年齡為 55（41）11（歲）今年父親年齡為 11444（歲）例4 甲對乙說：“當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才4歲”。乙對甲說：“當(dāng)我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將61歲”。求

25、甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？解: 這里涉及到三個(gè)年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析：過去某一年今 年將來某一年 甲 歲歲 61歲 乙 4歲歲 歲表中兩個(gè)“”表示同一個(gè)數(shù)，兩個(gè)“”表示同一個(gè)數(shù)。 因?yàn)閮蓚€(gè)人的年齡差總相等：461，也就是4，61成等差數(shù)列，所以，61應(yīng)該比4大3個(gè)年齡差，因此二人年齡差為（614）319（歲）甲今年的歲數(shù)為 611942（歲）乙今年的歲數(shù)為 421923（歲）11 行船問題【含義】 行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣?順?biāo)俣?是船速與水速

26、之和；船只逆水航行的速度（逆水速度）是船速與水速之差。【數(shù)量關(guān)系】 （順?biāo)俣饶嫠俣龋?船速 （順?biāo)俣饶嫠俣龋?水速 順?biāo)俅?逆水速逆水速水速2 逆水速船速2順?biāo)夙標(biāo)偎?【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一只船順?biāo)?20千米需用8小時(shí)，水流速度為每小時(shí)15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時(shí)？解: 由條件知，順?biāo)俅偎?208，而水速為每小時(shí)15千米，所以，船速為每小時(shí) 32081525（千米）船的逆水速為 251510（千米）船逆水行這段路程的時(shí)間為 3201032（小時(shí)）例2 甲船逆水行360千米需18小時(shí)，返回原地需10小時(shí)；乙船逆水行

27、同樣一段距離需15小時(shí)，返回原地需多少時(shí)間？解:甲船速水速3601036 甲船速水速3601820可見 （3620）相當(dāng)于水速的2倍，所以，水速為每小時(shí) （3620）28（千米）又因?yàn)椋?乙船速水速36015，所以，乙船速為 36015832（千米）乙船順?biāo)贋?32840（千米）所以， 乙船順?biāo)叫?60千米需要360409（小時(shí)）例3 一架飛機(jī)飛行在兩個(gè)城市之間，飛機(jī)的速度是每小時(shí)576千米，風(fēng)速為每小時(shí)24千米，飛機(jī)逆風(fēng)飛行3小時(shí)到達(dá)，順風(fēng)飛回需要幾小時(shí)？解: 這道題可以按照流水問題來解答。（1）兩城相距多少千米？ （57624）31656（千米）（2）順風(fēng)飛回需要多少小時(shí)？ 1656（

28、57624）2.76（小時(shí)）列成綜合算式 （57624）3（57624）2.76（小時(shí)） 12 列車問題【含義】這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時(shí)要注意列車車身的長度?！緮?shù)量關(guān)系】火車過橋： 過橋時(shí)間（車長橋長）車速 火車追及： 追及時(shí)間（甲車長乙車長距離（甲車速乙車速） 火車相遇： 相遇時(shí)間（甲車長乙車長距離）（甲車速乙車速）【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？解: 火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。（1）火車3分鐘行多少米？ 9

29、0032700（米）（2）這列火車長多少米？ 27002400300（米）列成綜合算式 90032400300（米）例2 一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時(shí)間，求大橋的長度是多少米？解: 火車過橋所用的時(shí)間是2分5秒125秒，所走的路程是（8125）米，這段路程就是（200米橋長），所以，橋長為 8125200800（米）例3 一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時(shí)間？解: 從追上到追過，快車比慢車要多行（225140）米，而快車比慢車每秒多行（2217）米，因此，所求的時(shí)間

30、為（225140）（2217）73（秒）例4 一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個(gè)扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時(shí)間？解: 如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當(dāng)于火車相遇問題。150（223）6（秒）例5 一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？解: 車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時(shí)間不同，是因?yàn)樗淼辣却髽蜷L?？芍疖囋冢?858）秒的時(shí)間內(nèi)行駛了（20001250）米的路程，因此，火車的車速為每秒 （20001250）（8858）25

31、（米）進(jìn)而可知，車長和橋長的和為（2558）米，因此，車長為25581250200（米） 13 時(shí)鐘問題【含義】 就是研究鐘面上時(shí)針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時(shí)鐘問題可與追及問題相類比。【數(shù)量關(guān)系】 分針的速度是時(shí)針的12倍，二者的速度差為11/12。通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計(jì)算。【解題思路和方法】 變通為“追及問題”后可以直接利用公式。例1 從時(shí)針指向4點(diǎn)開始，再經(jīng)過多少分鐘時(shí)針正好與分針重合？解: 鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時(shí)走60格；時(shí)針每小時(shí)走5格，每分鐘走5/601/12格。每分鐘分針比時(shí)針多走（11/1

32、2）11/12格。4點(diǎn)整，時(shí)針在前，分針在后，兩針相距20格。所以分針追上時(shí)針的時(shí)間為 20（11/12） 22（分）答：再經(jīng)過22分鐘時(shí)針正好與分針重合。例2 四點(diǎn)和五點(diǎn)之間，時(shí)針和分針在什么時(shí)候成直角？解: 鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時(shí)候相差15格（包括分針在時(shí)針的前或后15格兩種情況）。四點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后（54）格，如果分針在時(shí)針后與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走（5415）格，如果分針在時(shí)針前與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走（5415）格。再根據(jù)1分鐘分針比時(shí)針多走（11/12）格就可以求出二針成直角的時(shí)間。（5415）（11/12） 6（分）（5

33、415）（11/12） 38（分） 答：4點(diǎn)06分及4點(diǎn)38分時(shí)兩針成直角。例3 六點(diǎn)與七點(diǎn)之間什么時(shí)候時(shí)針與分針重合？解: 六點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后（56）格，分針要與時(shí)針重合，就得追上時(shí)針。這實(shí)際上是一個(gè)追及問題。 （56）（11/12） 33（分）答：6點(diǎn)33分的時(shí)候分針與時(shí)針重合。 14 盈虧問題【含義】 根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題?！緮?shù)量關(guān)系】 一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有： 參加分配總?cè)藬?shù)（盈虧）分配差如果兩次都盈或都虧，則有： 參加分配總?cè)藬?shù)

34、（大盈小盈）分配差 參加分配總?cè)藬?shù)（大虧小虧）分配差【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1 給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個(gè)就余11個(gè)；若每人分4個(gè)就少1個(gè)。問有多少小朋友？有多少個(gè)蘋果？解: 按照“參加分配的總?cè)藬?shù)（盈虧）分配差”的數(shù)量關(guān)系：（1）有小朋友多少人？ （111）（43）12（人）（2）有多少個(gè)蘋果？ 3121147（個(gè)）例2 修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？解: 題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，按照“參加分配的總?cè)藬?shù)（大虧小虧）分配差”的數(shù)量關(guān)系，可

35、以得知原定完成任務(wù)的天數(shù)為 （26083004）（300260）22（天）這條路全長為 300（224）7800（米）例3 學(xué)校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？解: 本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，于是就有 （1）有多少車？ （300）（4540）6（輛）（2）有多少人？ 40630270（人） 15 工程問題【含義】 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時(shí)，常常用單位“1”表示

36、工作總量?！緮?shù)量關(guān)系】 解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)（它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出算式。 工作量工作效率工作時(shí)間 工作時(shí)間工作量工作效率 工作時(shí)間總工作量（甲工作效率乙工作效率）【解題思路和方法】 變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，需要幾天完成？解: 題中的“一項(xiàng)工程”是工作總量，由于沒有給出這項(xiàng)工程的具體數(shù)量，因此，把此項(xiàng)工程看作單位“1”。由于甲隊(duì)獨(dú)做需10天完成，那么每天完成這項(xiàng)工程的1/1

37、0；乙隊(duì)單獨(dú)做需15天完成，每天完成這項(xiàng)工程的1/15；兩隊(duì)合做，每天可以完成這項(xiàng)工程的（1/101/15）。由此可以列出算式：1（1/101/15）11/66（天）答：兩隊(duì)合做需要6天完成。例2 一批零件，甲獨(dú)做6小時(shí)完成，乙獨(dú)做8小時(shí)完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做24個(gè)，求這批零件共有多少個(gè)？解一: 設(shè)總工作量為1，則甲每小時(shí)完成1/6，乙每小時(shí)完成1/8，甲比乙每小時(shí)多完成（1/61/8），二人合做時(shí)每小時(shí)完成（1/61/8）。因?yàn)槎撕献鲂枰?（1/61/8）小時(shí)，這個(gè)時(shí)間內(nèi)，甲比乙多做24個(gè)零件，所以 （1）每小時(shí)甲比乙多做多少零件？ 241（1/61/8）7（個(gè)） （2）

38、這批零件共有多少個(gè)？7（1/61/8）168（個(gè)）解二： 上面這道題還可以用另一種方法計(jì)算：兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲乙的工作量之比為 1/61/843由此可知，甲比乙多完成總工作量的 43 / 43 1/7所以，這批零件共有 241/7168（個(gè)）例3 一件工作，甲獨(dú)做12小時(shí)完成，乙獨(dú)做10小時(shí)完成，丙獨(dú)做15小時(shí)完成。現(xiàn)在甲先做2小時(shí)，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時(shí)才能完成？解： 必須先求出各人每小時(shí)的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會(huì)給計(jì)算帶來方便，因此，我們設(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是甲： 60125 乙： 60106

39、丙： 60154因此余下的工作量由乙丙合做還需要（6052）（64）5（小時(shí)）例4 一個(gè)水池，底部裝有一個(gè)常開的排水管，上部裝有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)打開4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)才能注滿水池；當(dāng)打開2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時(shí)將水池注滿，至少要打開多少個(gè)進(jìn)水管？解： 注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，水的流量就是工作量，單位時(shí)間內(nèi)水的流量就是工作效率。要2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，即要使2小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設(shè)某一個(gè)量為單位1，其余兩個(gè)量便可由條件推出

40、。我們設(shè)每個(gè)同樣的進(jìn)水管每小時(shí)注水量為1，則4個(gè)進(jìn)水管5小時(shí)注水量為（145），2個(gè)進(jìn)水管15小時(shí)注水量為（1215），從而可知 每小時(shí)的排水量為 （1215145）（155）1即一個(gè)排水管與每個(gè)進(jìn)水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為 1451515又因?yàn)樵?小時(shí)內(nèi)，每個(gè)進(jìn)水管的注水量為 12，所以，2小時(shí)內(nèi)注滿一池水至少需要多少個(gè)進(jìn)水管？ （1512）（12）8.59（個(gè)）16 正反比例問題【含義】 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量

41、變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。【數(shù)量關(guān)系】 判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷?！窘忸}思路和方法】 解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。例1 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？解： 由條件知，公路總長不變。 原已修長度總長度1（13）14312 現(xiàn)已修長度總長度1（12）13412比較以上兩式

42、可知，把總長度當(dāng)作12份，則300米相當(dāng)于（43）份，從而知公路總長為 300（43）123600（米） 答： 這條公路總長3600米。例2 張晗做4道應(yīng)用題用28分鐘，照這樣計(jì)算，91分鐘能做幾道應(yīng)用題？解： 做題效率一定，做題數(shù)量與做題時(shí)間成正比例關(guān)系 設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題 則有 28491X 28X914 X91428 X13例3 孫亮看十萬個(gè)為什么這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？解： 書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系設(shè)X天可以看完，就有 2436X1536X2415 X10例4 一個(gè)大矩形被分成六個(gè)小矩形，其中四個(gè)小矩形的面積如

43、圖所示，求大矩形的面積。A252036B16解： 由面積寬長可知，當(dāng)長一定時(shí)，面積與寬成正比，所以每一上下兩個(gè)小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因?yàn)榈谝恍腥齻€(gè)小矩形的寬相等，第二行三個(gè)小矩形的寬也相等。因此，A36201625B2016解這兩個(gè)比例，得 A45 B20所以，大矩形面積為 45362520201616217 按比例分配問題【含義】 所謂按比例分配，就是把一個(gè)數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。【數(shù)量關(guān)系】 從條件看，已知總量和幾個(gè)部分量的比；從問題看，求幾個(gè)部分量各是多少。 總份數(shù)比的前

44、后項(xiàng)之和【解題思路和方法】 先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項(xiàng)相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項(xiàng)分別作分子），再按照求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的計(jì)算方法，分別求出各部分量的值。例1 學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級三個(gè)班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個(gè)班各植樹多少棵？解： 總份數(shù)為 474845140 一班植樹 56047/140188（棵） 二班植樹 56048/140192（棵） 三班植樹 56045/140180（棵）例2 用60厘米長的鐵絲圍成一個(gè)三角形，三角形三條邊的比是345。三條邊的長各是多少厘米

45、？解： 34512 603/1215（厘米） 604/1220（厘米） 605/1225（厘米）例3 從前有個(gè)牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個(gè)兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個(gè)兒子各分多少只羊。解： 如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到1/21/31/9962總份數(shù)：96217 大兒子：179/179二兒子：176/176 小兒子：172/172例4 某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為81221，第一車間比第二車間少80人，三個(gè)車間共多少人？人 數(shù)80人一共多少

46、人？對應(yīng)的份數(shù)12881221解： 80（128）（81221）820（人） 18 百分?jǐn)?shù)問題【含義】 百分?jǐn)?shù)是表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常?？梢酝ǚ?、約分，而百分?jǐn)?shù)則無需；分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)只能表示“率”；分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個(gè)專門的記號“%”。在實(shí)際中和常用到“百分點(diǎn)”這個(gè)概念，一個(gè)百分點(diǎn)就是1%，兩個(gè)百分點(diǎn)就是2%?！緮?shù)量關(guān)系】掌握“百分?jǐn)?shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系： 百分?jǐn)?shù)比較量標(biāo)準(zhǔn)量標(biāo)準(zhǔn)量比較量百分?jǐn)?shù)【解題思路和方法】 一般有三種基本類型： （1）求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾； （2）已知一個(gè)數(shù)，求它的百分之幾是多少； （3）已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。例1 倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？解: （1）用去的占 720（7206480）10%（2）剩下的占 6480（7206480）90%例2 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾