高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識匯總

1、高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識匯總第一章 集合與簡易邏輯：一集合1、 集合的有關(guān)概念和運算（1）集合的特性：確定性、互異性和無序性；（2）元素a和集合A之間的關(guān)系：aA，或aA；2、子集定義：A中的任何元素都屬于B，則A叫B的子集 ；記作：AB，注意：AB時，A有兩種情況：A與A3、真子集定義：A是B的子集 ，且B中至少有一個元素不屬于A；記作：；4、補集定義：；5、交集與并集 交集：；并集：6、集合中元素的個數(shù)的計算： 若集合中有個元素，則集合的所有不同的子集個數(shù)為_，所有真子集的個數(shù)是_，所有非空真子集的個數(shù)是 。二簡易邏輯： 1復(fù)合命題： 三種形式：p或q、p且q、非p；判斷復(fù)合命題真假：2.真值表：

2、p或q，同假為假，否則為真；p且q，同真為真；非p，真假相反。原命題若p則q逆命題若q則p否命題若p則q逆否命題若q則p否逆為互互否互逆互逆互否互為逆否3.四種命題及其關(guān)系：原命題：若p則q； 逆命題：若q則p； 否命題：若p則q； 逆否命題：若q則p；互為逆否的兩個命題是等價的。 原命題與它的逆否命題是等價命題。4.充分條件與必要條件：若，則p叫q的充分條件；若，則p叫q的必要條件；若，則p叫q的充要條件；第二章 函數(shù)一 函數(shù)1、映射：按照某種對應(yīng)法則f ，集合A中的任何一個元素，在B中都有唯一確定的元素和它對應(yīng)，記作f：AB，若，且元素a和元素b對應(yīng)，那么b叫a的象，a叫b的原象。2、函數(shù)

3、：（1）、定義：設(shè)A，B是非空數(shù)集，若按某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中的任意一個數(shù)x，集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，就稱f：AB為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f（x），（2）、函數(shù)的三要素：定義域，值域，對應(yīng)法則；3、求定義域的一般方法：整式：全體實數(shù)R；分式：分母，0次冪：底數(shù)； 偶次根式：被開方式，例：；對數(shù)：真數(shù)，例：4、求值域的一般方法：圖象觀察法：；單調(diào)函數(shù)法： 二次函數(shù)配方法：， “一次”分式反函數(shù)法：；換元法：5、求函數(shù)解析式f（x）的一般方法：待定系數(shù)法：一次函數(shù)f（x），且滿足，求f（x）配湊法：求f（x）；換元法：，求f（x）6、函數(shù)的單調(diào)性：（1）定

4、義：區(qū)間D上任意兩個值，若時有，稱為D上增函數(shù)；若時有，稱為D上減函數(shù)。（一致為增，不同為減）（2）區(qū)間D叫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間定義域；（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：即同增異減；7.奇偶性：定義：注意區(qū)間是否關(guān)于原點對稱，比較f(x) 與f(-x)的關(guān)系。f(x) f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)為偶函數(shù)；f(x)+f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)為奇函數(shù)。8.周期性：定義：若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+T)=f(x),則T為函數(shù)f(x)的周期。9函數(shù)圖像變換：（1）平移變換y=f(x)y=f(x+a),y=f(x)+b；（2）法則：加左減右，加上

5、減下（3）注意：（）有系數(shù)，要先提取系數(shù)。如：把函數(shù)()經(jīng)過平移得到函數(shù)()的圖象。（）會結(jié)合向量的平移，理解按照向量（，）平移的意義。10.函數(shù)的圖象和它的反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；點（a，b）關(guān)于直線的對稱點為（b，a）；二、指對運算：1. 指數(shù)及其運算性質(zhì)：當(dāng)n為奇數(shù)時，；當(dāng)n為偶數(shù)時， 2.分數(shù)指數(shù)冪：正分數(shù)指數(shù)冪：；負分數(shù)指數(shù)冪：3.對數(shù)及其運算性質(zhì)：（1）定義：如果，以10為底叫常用對數(shù)，記為lgN，以e=2.為底叫自然對數(shù)，記為lnN（2）性質(zhì)：負數(shù)和零沒有對數(shù)，1的對數(shù)等于0：，底的對數(shù)等于1：，積的對數(shù)：， 商的對數(shù)：，冪的對數(shù)：， 方根的對數(shù)：，三指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象性

6、質(zhì)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)定義1yxy=axO （）（）圖象a10a1O1yxy=logax0a11y=axxyOO1y=logaxxy性質(zhì)定義域（-，+）（-，+）（0，+）（0，+）值域（0，+）（-，+）單調(diào)性在（-，+）上是增函數(shù)在（-，+）上是減函數(shù)在（0，+）上是增函數(shù)在（0，+）上是減函數(shù)函數(shù)值變化圖象定 點過定點（0，1）過定點（1，0）圖象特征圖象在x軸上方圖象在y軸右邊圖象關(guān)系的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱第三章 數(shù)列一數(shù)列：（1）前n項和：； （2）前n項和與通項的關(guān)系：二等差數(shù)列 ：1.定義：。2.通項公式： （關(guān)于n的一次函數(shù)），3.前n項和：（1） （2）. （即Sn =

7、An2+Bn）4.等差中項： 或5.等差數(shù)列的主要性質(zhì)：（1）等差數(shù)列，若，則。也就是：，如圖所示：（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項的和，則，成等差數(shù)列。如下圖所示：三等比數(shù)列：1.定義：；2.通項公式：（其中：首項是，公比是）3.前n項和：（推導(dǎo)方法：乘公比，錯位相減）說明：； ； 當(dāng)時為常數(shù)列，。4.等比中項：，即（或，等比中項有兩個）5.等比數(shù)列的主要性質(zhì)：（1）等比數(shù)列，若，則也就是：。如圖所示：（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，是前n項的和，則，成等比數(shù)列。如下圖所示：四求數(shù)列的前n項和的常用方法：分析通項，尋求解法1.公式法：等差等比數(shù)列 ；2.分部求和法：如an=2n+3n3.裂項相消法

8、：如an=；4.錯位相減法：“差比之積”的數(shù)列：如an=(2n-1)2n 第四章 三角函數(shù)1、角：與終邊相同的角的集合為2、弧度制：（1）定義：等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用弧度做單位叫弧度制。（2）度數(shù)與弧度數(shù)的換算：弧度，1弧度（3）弧長公式： （是角的弧度數(shù)） 扇形面積：P（x，y）rx0y3、三角函數(shù) 定義：（如圖） 4、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式（）平方關(guān)系：（）商數(shù)關(guān)系： （）倒數(shù)關(guān)系： 5、誘導(dǎo)公式（理解記憶方法：奇變偶不變，符號看象限）公式一： 公式二： 公式三： 公式四： 公式五： 6、兩角和與差的正弦、余弦、正切： ： ： ：7、輔助角公式：（其中稱為輔助角，的終邊

9、過點，） 8、二倍角公式：（1）、： （2）、降次公式： ： ： 9、三角函數(shù)的圖象性質(zhì)（1）函數(shù)的周期性：定義：對于函數(shù)f（x），若存在一個非零常數(shù)T，當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有：f（x+T）= f（x），那么函數(shù)f（x）叫周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫這個函數(shù)的周期； 如果函數(shù)f（x）的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，這個最小的正數(shù)叫f（x）的最小正周期。（2）函數(shù)的奇偶性：定義：對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)的任意一個x，都有：f（-x）= - f（x），則稱f（x）是奇函數(shù)，f（-x）= f（x），則稱f（x）是偶函數(shù)奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸

10、對稱；（3）正弦、余弦、正切函數(shù)的性質(zhì)（）函數(shù)定義域值域周期性奇偶性遞增區(qū)間遞減區(qū)間-1，1奇函數(shù)-1，1偶函數(shù)（-,+）奇函數(shù)圖象的五個關(guān)鍵點：（0，0），（，1），（，0），（，-1），（，0）；01-1xy圖象的五個關(guān)鍵點：（0，1），（，0），（，-1），（，0），（，1）；01-1xyoxy (4)、函數(shù)的相關(guān)概念： 函數(shù)定義域值域振幅周期頻率相位初相圖象-A，AA五點法當(dāng)A時，圖象上各點的縱坐標伸長到原來的A倍當(dāng)A時，圖象上各點的縱坐標縮短到原來的A倍的圖象與的關(guān)系：當(dāng)時，圖象上各點的縱坐標縮短到原來的倍當(dāng)時，圖象上各點的縱坐標伸長到原來的倍振幅變換： 當(dāng)時，圖象上的各點向左平移個

11、單位倍當(dāng)時，圖象上的各點向右平移個單位倍周期變換： 相位變換： 第五章 平面向量1向量的有關(guān)概念：向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量。2向量的運算：（1）、向量的加減法：三角形法則平行四邊形法則向量的加法首位連結(jié)向量的減法指向被減向量（2）實數(shù)與向量的積：定義：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作：；它的長度：； ：它的方向：當(dāng)，與的方向相同；當(dāng)，與的方向相反；當(dāng)時，=；3平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使；4平面向量的坐標運算：（）坐標運算：設(shè)，則設(shè)A、B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）

12、，則.（2）實數(shù)與向量的積的運算律: 設(shè)，則，（3）平面向量的數(shù)量積：定義： ， .平面向量的數(shù)量積的幾何意義：向量的長度|與在的方向上的投影|的乘積；、坐標運算:設(shè),則 ；向量的模|：；模|、設(shè)是向量的夾角，則。5、重要結(jié)論：（1）兩個向量平行的充要條件： 設(shè)，則 （2）兩個非零向量垂直的充要條件：設(shè) ，則 （3）兩點的距離： （5）平移公式：如果點 P（x，y）按向量 平移至P（x，y），則 6、解三角形：（1）三角形的面積公式：（2）正，余弦定理正弦定理：余弦定理：求角： 第六章不等式一、不等式的基本性質(zhì)：1特值法是判斷不等式命題是否成立的一種方法，此法尤其適用于不成立的命題。2中間值比

13、較法：先把要比較的代數(shù)式與“0”比，與“1”比，然后再比較它們的大小二均值不等式：1.內(nèi)容：兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。即：若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）2.基本變形： ；若，則 3.基本應(yīng)用：求函數(shù)最值：注意：一正二定三取等；積定和小，和定積大。常用的方法為：拆、湊、平方；如：函數(shù)的最小值 。若正數(shù)滿足，則的最小值 。三、絕對值不等式：，注意：上述等號“”成立的條件； 五、不等式的解法： 1.一元二次不等式的圖解法：（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式三者之間的關(guān)系）判別式：=b2-4acx1x2xyOx1=x2xyOxyO二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根有兩相異實數(shù)根有兩相等實數(shù)根沒有

14、實數(shù)根一元二次不等式的解集“”取兩邊R一元二次不等式的解集“”取中間3.絕對值不等式的解法：（“”取兩邊，“”取中間）（1）當(dāng)時，的解集是，的解集是（2）當(dāng)時， 4.分式不等式的解法：通解變形為整式不等式； ；（2） ；5.高次不等式組的解法：數(shù)軸標根法。第七章 直線和圓的方程一、直線1直線的傾斜角和斜率(1)直線的傾斜角0，)(2)直線的斜率，即(3)斜率公式：經(jīng)過兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直線的斜率為2直線的方程(1)點斜式 ：yy0=k(xx0) (2)斜截式：y=kxb(3)兩點式： (4)截距式：(5)一般式 AxByC=0 (A、B不同時為0)3兩條直線的位置關(guān)系

15、(1)平行：當(dāng)直線l1和l2有斜截式方程時，k1=k2且b1b2；(2)重合：當(dāng)l1和l2有斜截式方程時，k1=k2且b1=b2； (3)相交：當(dāng)l1，l2是斜截式方程時，k1k2（4）垂直：設(shè)兩條直線和的斜率分別為和，則有 一般式方程時，（優(yōu)點：對斜率是否存在不討論）（5）交點：求兩直線交點，即解方程組 4點到直線的距離：設(shè)點，直線到的距離為.5.兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線，它們之間的距離為，則有. 6. 關(guān)于點對稱和關(guān)于某直線對稱：利用直線垂直，平行等解決7簡單的線性規(guī)劃-線性規(guī)劃的三種類型：1截距型：形如z=ax+by, 把z看作是y軸上的截距，目標函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為y軸上的

16、截距的最值。2斜率型：形如時,把z看作是動點與定點連線的斜率，目標函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為PQ連線斜率的最值。3距離型：形如時,可把z看作是動點與定點距離的平方，這樣目標函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為PQ距離平方的最值。二、曲線和方程：求曲線方程的步驟：建系，設(shè)點；列式；代入化簡；證明三、圓1圓的方程:(1)標準方程(xa)2(yb)2=r2(a，b)為圓心，r為半徑 (2) 圓的一般方程： （.） （3）圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）.2點和圓的位置關(guān)系：給定點及圓.在圓內(nèi)；在圓上在圓外3直線和圓的位置關(guān)系： 設(shè)圓圓：； 直線：； 圓心到直線的距離.幾何法：時，與相切；時，與相交；時，與相離. 代數(shù)法：方程組用代入

17、法，得關(guān)于（或）的一元二次方程，其判別式為，則：與相切；與相交；與相離.注意：幾何法優(yōu)于代數(shù)法4求圓的切線方法若已知切點(x0，y0)在圓上，則切線只有一條。利用相切條件求k值即可。若已知切線過圓外一點(x0，y0)，則設(shè)切線方程為yy0=k(xx0)，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線5圓與圓的位置關(guān)系：已知兩圓圓心分別為O1、O2，半徑分別為r1、r2，則第八章 圓錐曲線一橢圓的定義標準方程及其幾何性質(zhì)定義平面內(nèi)與兩個定點、的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫橢圓的焦距若為橢圓上任意一點，則有方程圖像a,b,

18、c關(guān)系焦點范圍對稱性坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心.頂點長短軸離心率(0e1)準線漸近線（）三.拋物線定義標準方程及其簡單幾何性質(zhì)定義平面內(nèi)與一定點F和一條定直線L的距離相等的點的軌跡叫做拋物線定點F叫做拋物線的焦點，定直線L叫做拋物線的準線標準方程圖形焦點準線范圍對稱軸軸軸頂點 （0，0）離心率三 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系1. 直線和橢圓的位置關(guān)系的判斷方法（1）代數(shù)法：直線l：Ax+By+C=0和圓錐曲線C：f(x，y)=0的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離設(shè)直線l:Ax+By+C=0,圓錐曲線C：f(x,y)=0 ; 由 消去y（或x）得：ax2+bx+c=0 (a0) ;令=b2

19、-4ac, 則0相交；=0相切；0相離. (2)幾何法：求大致位置和滿足條件的直線時可用，精確計算時不可用。2.弦長的計算：弦長公式.第九章 立體幾何1.平面的基本性質(zhì)：三個公理及推論。2.空間兩條直線的位置關(guān)系：平行、相交、異面；3.直線與平面位置關(guān)系（1）直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點 。（2）直線和平面相交有且只有一個公共點（3）直線和平面平行沒有公共點直線和平面平行判 定 定 理性 質(zhì) 定 理直線與平面垂直判 定 定 理性 質(zhì) 定 理直線與平面所成的角（1）平面的斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線與平面所成的角 （2）一條直線垂直于平面，定義這直線與平面所成的角是直角 （3）一

20、條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，定義它和平面所成的角是00的角三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂直。三垂線逆定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直。4.平面與平面位置關(guān)系：平行、相交（垂直是相交的一種特殊情況）空間兩個平面兩個平面平行判 定性 質(zhì)（1）如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行 （2）垂直于同一直線的兩個平面平行（1）兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面 （2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行（3）一條直線垂直于兩個平行平面中的

21、一個平面，它也垂直于另一個平面相交的兩平面二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫二面角的線，這兩個半平面叫二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個面內(nèi)分另作垂直棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角。兩平面垂直判 定性 質(zhì)如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直（1）若二平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面 （2）如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內(nèi)5. 常用證明方法：(1)判斷線線平行的常用方法：ab,bc

22、, ac;a,a ,b aba,b ab;，a,b ab(2)判定線線垂直的常用方法.a，b ab； bc,ac aba，b ab； 三垂線定理及逆定理(3)判定線面平行的常用方法：定義 a ,b且ab a.,a a; (4)判定線面垂直的常用方法ca,cb且a ,b ,a，b無公共點 c；ab且a b且a a (5)判定面面平行的常用方法：a、b ,abA，若a,b a, ，r (6)判定面面垂直的常用方法.a,a ，br ra,a 6棱柱（1）棱柱的定義、分類，直棱柱、正棱柱的性質(zhì)；（2）長方體的性質(zhì)。（3）平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體這些幾何體之間的聯(lián)系和區(qū)別，以及它們的特

23、有性質(zhì)。（4）S側(cè)各側(cè)面的面積和；（5）V=Sh。 7棱錐 棱錐的定義、正棱錐的定義（底面是正多邊形，頂點在底面上的射影是底面的中心） 相關(guān)計算：S側(cè)各側(cè)面的面積和，V=Sh8球的相關(guān)概念：（1）S球=4R2V球R3（2）球面距離的概念9.計算問題：計算步驟：一作、二證、三算（1）異面直線所成的角 范圍：090 方法：平移法；向量法.（2）直線與平面所成的角 范圍：090 方法：關(guān)鍵是作垂線，找射影.（3）二面角方法：定義法；射影面積法：S=Scos三垂線法；向量法.其中二面角的平面角的作法定義法：由二面角平面角的定義做出平面角；三垂線法：一般要求平面的垂線好找，一般在計算時要解一個直角三角形

24、。（4）兩點之間的距離.(5)點到直線的距離.(6)點到平面的距離： (1)直接法，即直接由點作垂線，求垂線段的長.(2) 等體積法. (3) 向量法(7)兩條平行線間的距離.(8)兩異面直線間的距離(1)定義法，即求公垂線段的長.(2)轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離.(3)向量法(9)平面的平行直線與平面之間的距離.(10)兩個平行平面之間的距離. (11)球面距離第十章 排列組合與二項式定理概率一排列組合1.計數(shù)原理分類原理：N=n1+n2+n3+nM (分類) 分步原理：N=n1n2n3nM (分步)2.排列（有序）與組合（無序）Anm=n(n1)(n2)(n3)(nm+1)= Ann =n!

25、Cnm = Cnm= CnnmCnmCnm1= Cn+1m+1 kk!=(k+1)!k!三.排列、組合問題幾大解法：總原則：先選后排，先分再排1、多排問題直排法：把n個元素排成若干排的問題，若沒其他的特殊要求，可用統(tǒng)一排成一排的方法來處理2、特殊元素優(yōu)先法：對于特殊元素的排列組合問題，一般先考慮特殊元素，再考慮其他元素的安排。在操作時，針對實際問題，有時“元素優(yōu)先”，有時“位置優(yōu)先”。 3、相鄰問題捆綁法：對于某些元素要求相鄰排列的問題，可先將相鄰元素捆綁成整體并看作一個元素再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排。 4、不相鄰問題插空法：對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素

26、排好，再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入即可（有時候兩端的空隙的插法是不符合題意的）5、正難則反排除法（或淘汰法）：對于含有否定詞語“至多”，“至少”類的問題，從正面解決不容易，可以考慮從其反面來解決。即總體中把不符合要求的除去，應(yīng)注意既不能多減也不能少減。6、元素重復(fù)問題住店法（或映射法）：解決“允許重復(fù)排列”的問題要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可重復(fù)，另一類元素不能重復(fù)。把不能重復(fù)的元素看著“客”，能重復(fù)的元素看著“店”，再利用分步計數(shù)原理直接求解的方法稱為“住店法”。四 二項式定理：1.(a+b)n=Cn0ax+Cn1an1b1+ Cn2an2b2+ Cn3an3b3+ Cnranrbr+ Cn n1abn1+ Cnnbn 特別地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2