讓學生在活動中構(gòu)建自己的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)

1、讓學生在活動中構(gòu)建自己的數(shù)學知識結(jié)構(gòu) 實數(shù)小結(jié)課教學實錄及評析授課：湖北省鐘祥市第五中學 楊 輝點評：湖北省鐘祥市第五中學 孫紅強數(shù)學知識具有兩種屬性，即它們既表現(xiàn)為一種算法、操作的動態(tài)過程，又表現(xiàn)為一種對象、結(jié)構(gòu)的靜態(tài)形式。正是數(shù)學知識具有一定靜態(tài)的結(jié)構(gòu)，使得這種結(jié)構(gòu)形成了數(shù)學知識所特有的邏輯序，而這種知識結(jié)構(gòu)特征又不只是體現(xiàn)為形式化的處理，它還可以表現(xiàn)為多樣化的問題以及問題與問題之間的自然聯(lián)結(jié)和轉(zhuǎn)換，所以，數(shù)學知識系統(tǒng)就成為一個相互關(guān)聯(lián)的、動態(tài)的活動系統(tǒng)。鑒于此，新課程和新教材的理念中對學生的數(shù)學學習過程給予重視，其中指出：學生的數(shù)學學習過程是一個自主構(gòu)建自己對數(shù)學知識的理解的過程：他們帶

2、著自己原有的知識背景、活動經(jīng)驗和理解走進學習活動，并通過自己的主動活動，包括獨立思考、與他人交流和反思等，去建構(gòu)對數(shù)學的理解。同時，學生的數(shù)學知識構(gòu)建是一個復雜的多元化過程，是一個需要積極主動的建構(gòu)過程，需要經(jīng)歷與他人進行交流、磋商，并進行自我調(diào)整和修正。由此，教師的教學對于指導學生建構(gòu)數(shù)學知識應當具有重要的引導和指導作用，教師的教學目的應是引導學生進行有效地建構(gòu)數(shù)學知識的活動。那么，教師就要引導學生自己構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建自己的知識體系。新教材在每一章學習完后，都給學生設(shè)置了一個重要的“數(shù)學活動”：小結(jié)。小結(jié)的重點不僅是對全章知識進行歸納整合的過程，而且是借助小結(jié)活動的設(shè)置，引導學生自己瀏覽教

3、材基礎(chǔ)上，把握全章重點知識和重要思想方法，進而建構(gòu)自己的知識體系。而實際教學中，若不針對章節(jié)知識的結(jié)構(gòu)特點，不對知識和數(shù)學思想方法之間的內(nèi)在聯(lián)系進行全面把握，就不可能準確構(gòu)建全章知識的內(nèi)在聯(lián)系的網(wǎng)絡(luò)圖，不可能實現(xiàn)華羅庚教授的“由厚到薄，再由薄到厚”的數(shù)學學習理論。所以，在進行小結(jié)教學設(shè)計時，教師要引導學生在已有的數(shù)學知識和數(shù)學經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，采用多樣的活動形式，引導學生在活的、動態(tài)的、開放的、表現(xiàn)多維度的活動基礎(chǔ)上進行自我構(gòu)建、自我修正，豐富自己的數(shù)學知識體系。下面結(jié)合筆者在湖北省青年數(shù)學教師優(yōu)質(zhì)課比武中講授的第十三章實數(shù)小結(jié)課進行探索，與各位同行進行探討。1活動一：展示圖片、了解數(shù)史師:我叫楊

4、輝，來自鐘祥市第五中學，今天我將和大家共同學習45分鐘，再一次展示我們襄樊七中的風采，向建校五十周年獻禮。課前我了解到我們二（10）班是一個上課發(fā)言積極、勤奮好學的集體，先請大家回答一個問題，來檢驗是否屬實:到現(xiàn)在為止，你學過的數(shù)有哪幾類?生1:有理數(shù)、分數(shù)、自然數(shù)、小數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)等。師:不錯,我們學過的數(shù)有很多,下面我們一起來重溫有關(guān)數(shù)的認識過程。（教師逐步展示如下圖片，邊展示邊解說。）記數(shù)的需要自然數(shù)表示具有相反意義的量的需要測量、分配等的需要表示邊長為1的正方形的對角線的長分數(shù)有理數(shù)無理數(shù)人類社會的初期,人們在勞動中需要計數(shù),這樣就產(chǎn)生了自然數(shù)；在測量、分配等問題中需要將數(shù)量進行等分

5、,這樣就產(chǎn)生了分數(shù)；隨著社會的發(fā)展,需要表示具有相反意義的量,又引進了負數(shù),數(shù)也就擴大到了有理數(shù)的范圍；隨著科學的發(fā)展,在表示邊長為1的正方形的對角線的長時,出現(xiàn)了無理數(shù),至此,數(shù)的范圍擴大到什么范圍?【點評】呈現(xiàn)數(shù)從自然數(shù)擴充到實數(shù)的過程的史料，使學生了解數(shù)的發(fā)展是實際生產(chǎn)、生活發(fā)展的需要.反過來，為學生從實數(shù)這樣一個大的范圍對已認識的數(shù)進行分類和小結(jié)做好準備。生眾:實數(shù)師:今天我們就來對實數(shù)進小結(jié)。（板書課題 實數(shù)小結(jié)）師:剛才我們經(jīng)歷了數(shù)的認識過程，反過來，我們怎樣對實數(shù)分類呢?請你選擇一種分類方法，迅速畫出實數(shù)的分類結(jié)構(gòu)圖。（學生獨立畫實數(shù)分類結(jié)構(gòu)圖，教師巡視）【點評】對實數(shù)進行分類,

6、解析數(shù)的概念,滲透分類的數(shù)學思想方法.師:好，在小組內(nèi)交流實數(shù)分類結(jié)構(gòu)圖,關(guān)注分類能否按同一標準分類，不重復也不遺漏任何一個實數(shù)。（教師參與討論，收集有代表性的實數(shù)分類結(jié)構(gòu)圖。）【點評】通過學生的互相討論和交流，可以深刻地體會知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成對實數(shù)的整體性認識。師:這是我收集的幾份實數(shù)的分類結(jié)構(gòu)圖，請同學們給予評價，不足給予補充。實數(shù)無理數(shù)有理數(shù)0圖1實數(shù)無理數(shù)有理數(shù)整數(shù)分數(shù)圖2（教師展示圖1）生2:0屬于有理數(shù),它重復了。師:老師的分類與第二位同學的分類不謀而合，請看老師的分類:這是按數(shù)的概念分類，如圖2。如圖3，是按數(shù)的正負性分類。正實數(shù)0負實數(shù)實數(shù)圖3師:請同學們思考一個問題,有

7、理數(shù)與無理數(shù)有什么區(qū)別?【點評】在對概念的比較中引導學生對數(shù)學的核心概念有理數(shù)和無理數(shù)的理解，培養(yǎng)學生的數(shù)感。（教師提示:從數(shù)化為小數(shù)的角度來看,他們有什么區(qū)別?）生3:有理數(shù)是有限小數(shù)或者是無限循環(huán)小數(shù)，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)。師:好，抓住了概念的本質(zhì).有理數(shù)與無理數(shù)不僅有區(qū)別，它們還有聯(lián)系，我們可以用有理數(shù)來估算無理數(shù)的大小，比如1.414，12，更精確點1.41.5。2活動二：重探過程、類比構(gòu)建【點評】類比學習,培養(yǎng)學生的學習能力。師:在七年級上冊，我們借助一個重要的數(shù)學工具數(shù)軸,對有理數(shù)進行了深入的學習和研究，那位同學說一說，我們學習了有理數(shù)的哪些知識?生4:相反數(shù)、絕對值和有理數(shù)的運

8、算法則。生5:還有倒數(shù)和有效數(shù)字。有理數(shù)數(shù)軸數(shù)與點的對應相反數(shù)絕對值比較大小互逆加減互逆乘除乘方有理數(shù)知識結(jié)構(gòu)圖圖4師:不錯我們學了很多有關(guān)有理數(shù)的知識。我們知道任何一個有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到一個點與之對應，借助數(shù)軸學習了相反數(shù)和絕對值的意義，并能利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，然后學習了有理數(shù)的加減乘除乘方等運算，這就是有理數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖，如圖4。（板書“有理數(shù)”）【點評】復習有理數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖，目的是類比獲得無理數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖，進一步的整合得到實數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖。師:現(xiàn)在我們學習了無理數(shù)，知道無理數(shù)也有相反數(shù)、絕對值，也能比較大小，還能進行計算，那么無理數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖該怎樣畫呢?師:打開課本,翻

9、到第68頁，快速的瀏覽教材第68頁到第90頁的內(nèi)容，搜集本章的重點概念，然后類比有理數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖，以最快的速度構(gòu)建無理數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖。(學生翻閱書本，邊看邊畫，教師不時指點學生。)師:好，在小組內(nèi)交流無理數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖。相互檢查實數(shù)知識結(jié)構(gòu)圖中是否遺漏了本章的重點概念，相互取長補短，完善自己的無理數(shù)知識結(jié)構(gòu)圖。（教師參與討論，收集兩份準備展示的知識結(jié)構(gòu)圖。）【點評】小組活動，為學生創(chuàng)建交流合作的平臺，使不同的學生得到不同的發(fā)展。在全班開展辯論活動，進行思維的碰撞，促進構(gòu)建自己的知識結(jié)構(gòu)圖。圖6無理數(shù)數(shù)軸數(shù)與點的對應相反數(shù)絕對值比較大小互逆加減互逆乘除乘方開方互逆平方根立方根師:這兒有幾份同學

10、們的繪制的無理數(shù)知識結(jié)構(gòu)圖，請大家認真觀察，指出它遺漏了什么沒有? （教師展示圖5）無理數(shù)數(shù)軸數(shù)與點的對應相反數(shù)絕對值比較大小互逆加減互逆乘除乘方圖5生6:他少了開方運算。（教師展示圖6）師:好，看另一位同學的，唉，這位同學注意到了，不僅有開方,而且將與開平方與開立方相關(guān)的兩個重要的概念也顯示出來了，這位同學的思維很嚴密。3.活動三：比較歸納、整合知識師:同學們剛才繪制了無理數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖，大屏幕上展示了有理數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖，有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，你們說，怎樣由有理數(shù)和無理數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖得到實數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖?【點評】從學生已有的知識（有理數(shù)）水平出發(fā)，找到新舊知識的聯(lián)系及一致性.體會數(shù)的擴充

11、過程與運算的發(fā)展變化過程，引導學生參與實數(shù)知識結(jié)構(gòu)圖的繪制，培養(yǎng)學生整合知識和歸納小結(jié)的能力。生7:將有理數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖與無理數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖合起來。師:怎樣合?我們一起來看。師:從運算的角度來看，加減互逆，乘除互逆，乘方與什么互逆?生眾:開方師:不錯，本章我們學習了開方運算，與開平方和開立方相關(guān)的概念是什么?生眾:平方根和立方根。師:在開方中出現(xiàn)了什么數(shù)?生8:無理數(shù)。師:無理數(shù)與數(shù)軸有什么關(guān)系呢?生9:任何一個無理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到一點與之對應。師:有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱什么數(shù)?生10:實數(shù)。師:實數(shù)與數(shù)軸有什么關(guān)系?生11:一一對應。師:不錯，任何一個實數(shù)都可以在數(shù)軸上找一個點與之對應，數(shù)軸

12、上的任何一個點都可以找一個實數(shù)與之對應。（電腦展示如圖7）相反數(shù)絕對值比較大小互逆加減互逆乘除乘方圖7開方互逆平方根立方根數(shù)與點的對應數(shù)與點的對應數(shù)軸有理數(shù)無理數(shù)實數(shù)數(shù)與點 對應（利用電腦在有理數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖的基礎(chǔ)上逐步顯示：開方平方根、立方根無理數(shù)實數(shù)）師:這就是實數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖，（板書“實數(shù)”）觀察結(jié)構(gòu)圖，在有理數(shù)擴充到實數(shù)的過程中，相反數(shù)、絕對值的意義有什么變化?生12:相反數(shù)、絕對值的意義沒有變化，是一致的。有理數(shù)相反數(shù)、絕對值意義一致性實數(shù)（教師板書： ）師:有理數(shù)的運算法則和運算性質(zhì)在實數(shù)范圍內(nèi)還能使用嗎?（板書“運算法則、性質(zhì)適用”）生13:還適用。有理數(shù)運算法則、性質(zhì)適用的意義

13、一致性實數(shù)（教師板書： ）4活動四：發(fā)散提問、理解應用【點評】變式訓練，讓學生更加熟練、準確，起到強化、鞏固的作用.師:下面我們一起來回顧小結(jié)的這些知識的應用.(電腦展示以下問題)把下列各數(shù)分別填在相應的集合中：0，4，8，3.14，,.整數(shù)集合 分數(shù)集合 有理數(shù)集合 無理數(shù)集合 實數(shù)集合 【點評】鞏固實數(shù)的分類，深化學生對實數(shù)分類的理解。師:第一個問題誰回答?生13:整數(shù)有0，4，8，師:第二個問題呢?生14:分數(shù)有。師:好,第三個問題呢?生15: 0，4，8，。師:我追問你一個問題，第三個問的答案與前兩個問的答案有什么關(guān)系?生15:就是把前兩個問的答案加起來，因為有理數(shù)可以分為整數(shù)和分數(shù)。

14、師：第四個問題?生16:無理數(shù)有 3.14，,。師:第五個問題呢?生眾:所有的。師:同學們利用實數(shù)的分類的知識迅速的解決了這類問題，解決的很漂亮，現(xiàn)在我只保留這8個數(shù)，平時,都是老師出題考大家，今天我們改變以下，過把自己當老師的癮。下面請你利用這8個數(shù)中的一個或某幾個數(shù)，參照實數(shù)知識結(jié)構(gòu)圖中提到的知識點，如：相反數(shù)、絕對值、比較大小、實數(shù)的運算等,設(shè)計數(shù)學問題.比如求某數(shù)的相反數(shù),看那個同學可以以最快的速度設(shè)計以上三個不同類型的問題.將你設(shè)計的問題寫在問題卡上.（學生獨立設(shè)計問題,教師巡視指導。）【點評】讓學生自己發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，解決問題，培養(yǎng)學生的問題意識，加深對實數(shù)的相關(guān)知識的理解，發(fā)

15、展學生綜合運用能力。師:先在小組內(nèi),讓小組其它成員解答你所提出的問題,檢驗你的問題描述是否準確,類型是否重復?(教師參與討論,收集設(shè)計較好,具有代表性的問題準備展示.)師:在同學們設(shè)計的問題中,我發(fā)現(xiàn)劉某某設(shè)計的問題比較多,而且還非常好,下面有請小劉老師展示他的問題,他展示問題后,由他挑選同學回答問題,并由他進行講解,同學們有不懂的問題也可以請他解答.小劉老師:（投影展示）3.14的相反數(shù)是多少?生17: 3.14。師:我有一個問題請小某某老師回答,這個題考查了實數(shù)的什么知識點?小劉老師:相反數(shù)。師:請某某老師教給我們求一個實數(shù)的相反數(shù)的方法.小劉老師:求一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)的前面添一個

16、符號，若能化簡的就化簡。師:請繼續(xù)展示你的問題.小劉老師: （投影展示）3.14的絕對值是多少?生18: 3.14。小劉老師:為什么?生18: 因為3.14是一個負數(shù)，而一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。小劉老師:（投影展示）比較4與的大小.生19: 4.小劉老師:為什么?生19:因為4是16的算術(shù)平方根，被開方數(shù)1617,所以16的算術(shù)平方根小于17的算術(shù)平方根.師:還有別的方法嗎?生20:可以把這兩個數(shù)在數(shù)軸上表示出來。師:不錯，采用數(shù)形結(jié)合的方法是一種好方法，不過在數(shù)軸上找出表示的對應點不好找.總的來說,比較數(shù)的大小的方法有很多,希望大家多總這方面的方法,靈活選擇合適的解題方法.小劉老師:（

17、投影展示）的平方根是多少?生21:2。生22:。生23:。小劉老師: 生23的答案是正確,大家要注意審題。小劉老師:（投影展示）8的立方根是多少?生23:2.師:小劉老師后面的兩題考察了平方根、立方根的概念和它們的求法,請同學們回顧平方根和立方根的定義?（多數(shù)學生不能準確描述平方根與立方根的定義）師: 看來同學們會做題,但不會總結(jié),請看大屏幕:若x2=a(a0)，則x叫做a的平方根。記作：。正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根。若x3=a，則x叫做a的立方根.記作：正數(shù)的立方根是一個正數(shù)，負數(shù)的立方根是一個負數(shù)，0的立方根是0。師:同學們提了很多好的問題,有些問題還

18、出乎我的意料之外,我也來提一個問題（電腦展示）:以4的平方根作為直角坐標系內(nèi)點的橫坐標，以的平方根作為點的縱坐標。 （1）可以組成哪幾個點的坐標，在直角坐標系內(nèi)描出這些點。（2）按順時針依次連結(jié)這些點，計算能得到圖形的面積?！军c評】變式問題滲透分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，通過課件的展示，使學生發(fā)現(xiàn)無理數(shù)存在的自然性,無理數(shù)在數(shù)軸上表示的可行性，用無理數(shù)進行度量的實用性,讓學生體會實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應,有序?qū)崝?shù)對與平面直角坐標系內(nèi)的點是一一對應的.發(fā)展學生的“數(shù)感”。通過列式計算長方形的面積復習實數(shù)的運算律。師:可以得到幾個點的坐標?看來，這個問題有點難,我們一起來分析。4的平方根是多少?

19、生24:2.師:所以點的橫坐標為2與2。（教師板書；橫坐標：2 、 2）師:同樣的道理可知點的縱坐標為?生25:和。（教師板書：縱坐標： 、 ）師:大家思考一下，由以上數(shù)值我們可以確定幾個點的坐標，分別是多少?生26:可以確定4個點的坐標，分別是（2，）（2,），（2，），（2,）。師:怎樣描出這些點的坐標呢?先看點A（2，）。橫坐標2容易在x軸上找到，縱坐標對應的點如何在y軸上找到呢?生27:在原點處畫一個邊長為1的正方形，正方形的對角線的長就是，再轉(zhuǎn)動畫弧，與y軸的交點就是。（學生邊說，教師在黑板上邊演示。）師:請同學們描出其余三個點。（教師請一位同學演排.學生畫完后,教師開始提問。）師:

20、你是如何描出這幾個點的?生28:和老師剛才的方法是一樣，構(gòu)造邊長為1的正方形。師:其他同學還有別的方法嗎?生29:可以根據(jù)對稱描出其它三個點，因為這四個點關(guān)于x、y軸對稱.（教師肯定生29的方法并給予表揚。）師:順次連結(jié)四個點，得到的圖形是什么圖形?生眾:長方形。師:請列式計算長方形的面積。（請一位學生上臺演排.教師針對學生所列算式“（22）()”提問。）師:“22”表示什么量?生30:表示長方形的長。師:長方形的長為什么為4呢?生30:因為點A、點B到x軸的距離都是2。師:“”表示什么量?生30:表示長方形的寬。師:你是如何計算“（22）（）”的?生30:“22”是有理數(shù)的加法，“”是根據(jù)乘

21、法的分配律，“42”是根據(jù)乘法的結(jié)合律。實數(shù)數(shù)軸上的點一一對應師:通過剛才問題的解決，我們又一次體驗到實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應,有序?qū)崝?shù)對與平面直角坐標系內(nèi)的點一一對應。并且結(jié)合剛才這位同學的解釋，再一次感受到有理數(shù)的運算法則、運算性質(zhì)同樣適用實數(shù)。（教師邊說邊板書：有序?qū)崝?shù)對平面直角坐標系內(nèi)的點一一對應 ）5活動五：小結(jié)歸納、拓展延伸師:通過前面對實數(shù)知識的小結(jié)、問題的提出與解決，使我們感受到只有不斷對自己所學知識進行整合小結(jié)，才能積累豐富的數(shù)學知識，那么這節(jié)課積累了什么呢?【點評】使學生能回顧、總結(jié)、梳理所小結(jié)知識，構(gòu)建自己的知識體系.生31:實數(shù)的分類。生32:實數(shù)的知識結(jié)構(gòu)圖，知識之間的聯(lián)系。生33:實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，有序?qū)崝?shù)對與平面直角坐標系內(nèi)的點一一對應。師:我想同學們還應該注意到，在數(shù)的認識中,出現(xiàn)了整數(shù)與分數(shù)，我把它簡稱為整與分；出現(xiàn)了正數(shù)與負數(shù),簡稱為正與負；有理數(shù)與無理數(shù)，簡稱為有理與無理；出現(xiàn)了實數(shù)，在實數(shù)范圍內(nèi)1，而沒有意義，實數(shù)還能不能進一步的發(fā)展,發(fā)展后使1有平方根呢?請同學們在今后的學習中關(guān)注這個問題,直至它的解決.【點評】利用拓展激