矩陣的奇異值分解的應(yīng)用

1、,第 卷第擲工 科 數(shù) 學(xué),牛 月矩陣的奇異值分解的應(yīng)用申卯興 鄭武 團(tuán),空軍導(dǎo)彈學(xué)院 三原摘要 本 文通過(guò)引入矩 陣奇 異值 的說(shuō) 明率及其模型考核的相關(guān)指標(biāo)將矩 陣的奇 異值分解應(yīng)用 于 我國(guó)育齡婦女按嶺生育率數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)建模之 中 , 得到 了按齡生育率的可用于進(jìn)行預(yù)。測(cè) 的按齡線(xiàn)性模型關(guān)鍵詞 奇異值分解 模型 說(shuō)明率,矩陣計(jì)算及分析在工程技術(shù)中被廣泛地應(yīng)用 特別是利用矩陣的分解可以將許多實(shí)際問(wèn), 。題 得到 轉(zhuǎn)化 使之迎 刃 而解 在諸多的矩 陣分解方法中有一種具有優(yōu) 良性質(zhì)的完全正交分解。以已,奇異值分解該方法的理論基礎(chǔ) 的誕生, 可說(shuō)有百余年的歷史而被應(yīng)用到技術(shù)領(lǐng)域還是隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)

2、展以 及信息工程的需求 于本世紀(jì) 年代初開(kāi)始被廣泛應(yīng)用于處理。,矩陣的有關(guān)秩的問(wèn)題之 中 并且 在許多領(lǐng)域展示了其威力 如 信號(hào)處理 系統(tǒng)辨識(shí) 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。,處理等 等 它的核心是 在不改變矩陣的有關(guān)度量特性 的前提下 給 出矩 陣的有效秩 并在某種。意義下給 出矩陣的降秩最佳逼近 這 對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)或檢測(cè)數(shù)據(jù)的處理就是一件很有價(jià)值的工具、矩陣的奇異值分解一矩陣的就是如 下定理所指的事實(shí)閣定理若矩陣 入 ” ,陣“, “ 。任” ,及正交矩陣則存在列正交矩二 ,。, 。 任 尺” 尺 ”使得乙廠 八 一口 , ,叮 , , 口戶(hù)蘭,即乙了,其中戶(hù),戶(hù)這里 ,稱(chēng)為 的奇異值 , “ , 依次稱(chēng)為相應(yīng)于

3、奇異值 氏 的左右奇異 向量 , 且滿(mǎn)足 “ ,。 ,。氏氣一悶一表達(dá)式 一便稱(chēng)為的奇異值分解式 若矩陣任 “” ,的,由定理 給 出 則,一 習(xí) 時(shí)卜,這就是說(shuō)矩 陣的度量特征與矩陣的奇異值具有密切聯(lián)系 用奇異值簡(jiǎn)潔地表示了矩陣的 一范數(shù)范數(shù) 及 一范數(shù)。一范數(shù)等于所有奇異值的平方和,一范數(shù)等于最大的奇異。值定理若矩陣任 ” ,的由定理 給出 , 且 ,妻 多氏 , 一一 一外一 。, 則的秩儼第 期申卯興等 矩陣的奇異值分解的應(yīng)用,二習(xí)。、 一,訂其中 一, ,該定理一方面深刻地揭示了矩陣的結(jié)構(gòu),它使我們能另一方面也是最有價(jià)值的方面之一。,明確地將矩 陣表示成了秩 矩陣夠合理地處理矩 陣的

4、秩的概念 式告訴我 們 矩陣的,的和 這里指 出了矩陣的秩實(shí)質(zhì)上就是矩陣可通過(guò)正交變換所能表達(dá)成秩 陣的和式中秩 陣。的個(gè)數(shù) 將 向量組的相關(guān)性 間題轉(zhuǎn)化成 了矩陣非零奇異值 的個(gè)數(shù) 問(wèn)題 而在實(shí)際應(yīng) 用間題之,。中 矩陣的秩往往是一個(gè) 比較復(fù)雜的問(wèn)題 由于基礎(chǔ) 數(shù)據(jù)的獲得往往都是調(diào)查統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)或是在,一定誤差范圍內(nèi)的檢測(cè)數(shù)值 往往使得本來(lái)為降秩的矩陣的所有奇異值非零而得到一個(gè)滿(mǎn)秩。,陣 對(duì)此 我們就可以利用矩陣的奇異值分解 通過(guò)對(duì)奇異值大 小 可否舍棄 的判定來(lái)獲得矩,陣的有效秩 即我們能夠定量地考察近似秩的間題 考慮在一定秩下的矩陣逼近 間題 在舍棄,了某些奇異值之后 原來(lái)矩陣與新得的矩陣的

5、關(guān)系如何 對(duì)此 我們有如下定理定理若矩 陣” ,二,任 “ 不妨設(shè)都是正整數(shù)的為一丁 ,。, , ,么 , 令, , 氏,廠, 一聲 無(wú)川 藝匕,從而,則一,咬一任夢(mèng) ” ,是在空間階矩這個(gè)定理給我們指出了 在范數(shù)意義下夢(mèng) 秩為 的陣構(gòu)成的線(xiàn)性 空間 中,。,的一個(gè)最佳逼近 這就是說(shuō) 在范數(shù)意義下 所有的秩為 蕊月 的矩陣中,的一個(gè)秩。的最佳近是的最佳逼近 這就使我們能夠在降秩陣中選取。,似矩陣 特別地 若能取得秩一最佳逼近 就會(huì)使一個(gè)矩陣間題轉(zhuǎn)化為一個(gè)序列間題 在實(shí)際應(yīng),用中 通常第一個(gè)奇異值 相對(duì)于其它奇異值要大得多 這就使得得到矩 陣的秩一遙近成為可。能、二 矩陣的通近度奇異值的貢獻(xiàn)率,

6、為了取得合理的近似矩陣入 我們定義奇異值 價(jià) 的貢獻(xiàn)率人 時(shí) 習(xí) 時(shí),只 , , ” , ”那 么 , 當(dāng) 義, 相對(duì)于 其它 的 入較大且 各個(gè)說(shuō) 明率 比較滿(mǎn)意 時(shí) , 我 們就可取 的秩 逼近 ,。, 孟, 在諸 入中在數(shù)值上占有絕對(duì)大值的優(yōu)勢(shì), 這樣就使得, 的貢獻(xiàn)率 孟, 會(huì)達(dá)了一般情況下,。 與, 及的外積的乘積 即來(lái)近似,到某界點(diǎn) 滿(mǎn)意 值 我們方可用即, 大 。 、八 ,工科數(shù) 學(xué)第 卷這里 為的第一列 向量 , 為。忽略這種近似誤的第一列 向量 如 果在一定的擬 合優(yōu)度下 ,差 則可得、 ,汀, ,近似矩陣的說(shuō) 明率表達(dá)式給出了矩陣在一范數(shù)意義 下的最 佳逼近, ,的逼近程為

7、了度量對(duì),度 我 們以一 的 一范數(shù)與 的 一范數(shù)之比一川,一范數(shù)意義下 以,來(lái)度量逼近的誤差程度 它表示了在近似代替 時(shí)未能說(shuō) 明部分相對(duì)于,的比率 從而一愁型二止一二子蘭圣便表示 了在一范數(shù)意義下以近似代替。,。時(shí)的說(shuō) 明率 于是 我們給出如下定義定義對(duì)于 定理 中的及,稱(chēng),一川頭。 ,為 凡對(duì) 的總說(shuō)明率 并記為 即一鄉(xiāng),類(lèi)似地 我們還可以對(duì)凡 相對(duì)于中的每個(gè)列 或行 向量的說(shuō)明率定義如下,定義對(duì)于 定理 中的 及稱(chēng)馬一乙圣,盆一次蓋, ,八,雙鑫依次分別為、。對(duì) 的按列 按行說(shuō)明率 這是兩組數(shù)值其中的意義如下“門(mén),占一 “ 尹 一”一咨“ ” 氣 一人“汽卜氏氏這里的 , 八依次為 的

8、列 、 行向量 乙,次依次為,的列 、 行向量一 , , 一 , ,、在生育率建模中的應(yīng)用三 矩陣數(shù)據(jù)的選取本文處理 的數(shù)據(jù)是我國(guó)建國(guó) 以來(lái)的按齡生育率,年至矩陣 通過(guò) 對(duì)分別 以,年為終點(diǎn)年份的矩陣分別進(jìn)行 了,年為起始年份 以得到歷史 的各個(gè)說(shuō)第 期申卯興等 矩陣的奇異 值分解的應(yīng)用二 ,明率 及相應(yīng)的按齡說(shuō)明率見(jiàn)以此為基礎(chǔ)并注意到人 口 政策在我 國(guó)生育率轉(zhuǎn)化過(guò)程中的顯著作用以及考慮 了我國(guó)的生育率轉(zhuǎn)變發(fā)跡于,年代后期 為 了使所建立 的模型能更,年到年的五 歲組數(shù)據(jù)好地反映實(shí)際 并照顧到 數(shù)學(xué)處理的需要 我們選取了矩陣作為主要研究對(duì)象。矩陣的分解建模令二為相應(yīng) 于年齡組 的按齡生育率時(shí)

9、間序列 ,一 , ,相應(yīng)于年到年,一,一連,二為元素得相應(yīng)于育齡段 一則以 ,二,為幾對(duì)時(shí)間的平均值二幾,二一二, ,到一個(gè)矩陣一 ,令關(guān)則用分解矩陣 可得列 向量組正交矩陣, , 正交矩 陣 磯 ,及對(duì)角矩 陣一, “, 二,二二,二, 二蕊二 , ,使得, 二一二, 一下一習(xí)、二,訂忿二一, 二二一, ,其中 為矩陣 關(guān)一的奇異值 其中矩陣 及 的數(shù)據(jù)見(jiàn)切叭及二的貢獻(xiàn)率 凡 的具體數(shù)據(jù)如 表。表、及 二 ,的貢獻(xiàn)率 凡 的數(shù)據(jù)艾上一一一一一一。嘆號(hào)二 又幾生魂這里穴,。,也就是說(shuō) 切 ,一的貢獻(xiàn)率已 為,我們有理 由僅取一個(gè)奇異值二 而得到 矩陣 刀 的秩 最佳逼近表達(dá)式二一二,丁令二 一

10、 。二 , ,二 一, 一 “ , 則得二一二關(guān)瓦該模型中的各指標(biāo)的意 義如下二當(dāng)取一維數(shù)組為年齡 組的向量 即 僅 變 化而 不動(dòng) 來(lái)描述時(shí)的最小二乘解二王二,二一二,一即當(dāng) 暫時(shí)不動(dòng)時(shí) 對(duì)于 給定的線(xiàn)性模型 中的二二解是及廠,描述 了生育率 在時(shí)間軸方向上 的變化趨勢(shì) ,為一個(gè)新產(chǎn)生的時(shí)間序列二了,一在變化過(guò)程中各年,。描述齡段 上的差異 我們可稱(chēng)其為年齡上的分配系數(shù)二 ,。模型中值如 表表按齡生育率模型的系數(shù),二,一一一一一一一模型的考核對(duì)模型的擬合效果可用兩個(gè)指標(biāo)來(lái)度量工科數(shù)學(xué)第卷二二二 ,一一 習(xí) ,一人習(xí)幾一一。二 一叼,習(xí)習(xí)一人名習(xí)幾,二,其中稱(chēng)為的按齡擬合優(yōu)度 它表示了在年齡組

11、 上對(duì)時(shí)間變化的擬合程度 也就是分年齡的對(duì)時(shí)間平均的變化的說(shuō) 明率稱(chēng)為,對(duì)按齡生育率基礎(chǔ)的總擬合優(yōu)度 反 映著。二對(duì) 的按列說(shuō) 明率 或按列擬和優(yōu)度,數(shù)據(jù)的總說(shuō) 明率 其 中的相應(yīng)于相應(yīng)于對(duì)的總說(shuō) 明率 或總擬 合優(yōu)度。二,二 一。為的原始數(shù)據(jù) 人 為的模型擬合值 這里我們之所以不用時(shí)間上對(duì)年齡變化的擬合指標(biāo)是 由于確定時(shí)間上的數(shù)據(jù)只是數(shù)據(jù)總體的一次抽,。樣 它不能反映模型的擬合效果該模型的總擬合優(yōu)度一 一一,二。按齡擬合優(yōu)度的值如表衰 按齡生育率模型的按齡擬合優(yōu)度二,二,該模型 的擬 合效果 一方面被這些說(shuō)明率在數(shù)值上給予了表明 另一方面可由圖 中所示的的復(fù) 合度 量一藝的原始實(shí)際值與由分解結(jié)果合成而得的值曲線(xiàn)的擬合情景直觀可見(jiàn) 圖中的為 二 的和 ,一為 的和 。,說(shuō)明率 數(shù)據(jù)及曲線(xiàn)擬 和 都顯 示出了 按 齡生 育率模型的令人 滿(mǎn) 意的逼 近 總 說(shuō)明 率 已 達(dá),?！弊钚〉陌待g說(shuō)明率也達(dá)到了也就是說(shuō)矩 陣的秩 逼近的誤差是可以忽略不計(jì)的。夢(mèng) 月一一聲住口 它 圖原始曲線(xiàn)與分解數(shù)據(jù)合成的曲線(xiàn)的比較,的建模預(yù)測(cè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了對(duì)單變量這樣 有了按齡生育率模型我們就已將,時(shí)間序列的建模預(yù)測(cè)問(wèn)題 在此基礎(chǔ)上 利用時(shí)間序列建模預(yù)測(cè)方