《二次根式》教案

1、二次根式一、教學(xué)目標(biāo) 1了解二次根式的意義；2. 掌握用簡單的一元一次不等式解決二次根式中字母的取值問題；3. 掌握二次根式的性質(zhì)，并能靈活應(yīng)用；4通過二次根式的計算培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力；二、教學(xué)重點和難點重點：(1)二次根的意義；(2)二次根式中字母的取值范圍難點：確定二次根式中字母的取值范圍三、教學(xué)方法啟發(fā)式、講練結(jié)合四、教學(xué)過程：原設(shè)計者的活動使用者意見(一)復(fù)習(xí)提問1什么叫平方根、算術(shù)平方根？2說出下列各式的意義，并計算： ， ， ， ， ， ， ， 通過練習(xí)使學(xué)生進一步理解平方根、算術(shù)平方根的概念(二)引入新課我們已遇到的 ， ， ，這樣的式子是我們這節(jié)課研究的內(nèi)容，引出：新課：二

2、次根式定義： 式子 叫做二次根式. 對于 請同學(xué)們討論論應(yīng)注意的問題，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：（1）式子 只有在條件a0時才叫二次根式， 是二次根式嗎？ 呢？若根式中含有字母必須保證根號下式子大于等于零，因此字母范圍的限制也是根式的一部分. （2） 是二次根式，而 ，提問學(xué)生：2是二次根式嗎？顯然不是，因此二次根式指的是某種式子的“外在形態(tài)”請學(xué)生舉出幾個二次根式的例子，并說明為什么是二次根式下面例題根據(jù)二次根式定義，由學(xué)生分析、回答例1 x是怎樣的實數(shù)時，式子 在實數(shù)范圍有意義？解：略 說明：這個問題實質(zhì)上是在x是什么數(shù)時，x-3是非負數(shù)，式子 有意義 例2 下列各式是二次根式，求式子中的字母所滿足的

3、條件：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 分析：這個例題根據(jù)二次根式定義，讓學(xué)生分析式子中字母應(yīng)滿足的條件，進一步鞏固二次根式的定義，.即： 只有在條件a0時才叫二次根式，本題已知各式都為二次根式，故要求各式中的被開方數(shù)都大于等于零解：（1）由2a+30，得 . （2）由 ，得3a-10，解得 . （3）由于x取任何實數(shù)時都有|x|0，因此，|x|+0.10，于是 ，式子 是二次根式. 所以所求字母x的取值范圍是全體實數(shù)(4)由-b20得b20，只有當(dāng)b=0時，才有b2=0，因此，字母b所滿足的條件是：b=0(三)小結(jié)(引導(dǎo)學(xué)生做出本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容小結(jié))1式子 叫做二次根式，實際上是一個非負的

4、實數(shù)a的算術(shù)平方根的表達式2式子中，被開方數(shù)(式)必須大于等于零(四)練習(xí)和作業(yè)練習(xí)：1判斷下列各式是否是二次根式 分析：（2） 中， ， 是二次根式；（5）是二次根式. 因為x是實數(shù)時，x、x+1不能保證是非負數(shù)，即x、x+1可以是負數(shù)（如x0時，又如當(dāng)x-1時，因此（1）（3）（4）不是二次根式，（6）無意義. 2a是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 五、作業(yè)六、板書設(shè)計七、教學(xué)反思 二次根式的化簡設(shè)計者：胡雄一、教學(xué)目標(biāo)1.掌握二次根式的性質(zhì) 2.能夠利用二次根式的性質(zhì)化簡二次根式二、教學(xué)設(shè)計對比、歸納、總結(jié)三、重點和難點1.重點：理解并掌握二次根式的性質(zhì)2.難點：理解式子 中

5、的 可以取任意實數(shù)，并能根據(jù)字母的取值范圍正確地化簡有關(guān)的二次根式四、課時安排1課時五、教具學(xué)具準備投影儀、膠片、多媒體六、師生互動活動設(shè)計復(fù)習(xí)對比，歸納整理，應(yīng)用提高，以學(xué)生活動為主七、教學(xué)過程原設(shè)計者意圖使用者意見一、導(dǎo)入新課我們知道，式子 （ ）表示非負數(shù) 的算術(shù)平方根問：式子 的意義是什么？被開方數(shù)中的 表示的是什么數(shù)？答：式子 表示非負數(shù) 的算術(shù)平方根，即 ，且 ，從而 可以取任意實數(shù)二、新課計算下列各題，并回答以下問題：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 1各小題中被開方數(shù)的冪的底數(shù)都是什么數(shù)？2各小題的結(jié)果和相應(yīng)的被開方數(shù)的冪的底數(shù)有什么關(guān)系？3用字母 表示

6、被開方數(shù)的冪的底數(shù)，將有怎樣的結(jié)論？并用語言敘述你的結(jié)論答：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6）1（1），（2），（3）各題中的被開方數(shù)的冪的底數(shù)都是正數(shù)；（4），（5），（6）題中的被開方數(shù)的冪的底數(shù)都是負數(shù)；2（1），（2），（3）各題的計算結(jié)果和相應(yīng)的被開方數(shù)的冪的底數(shù)都分別相等；（4），（5），（6）各題的計算結(jié)果和相應(yīng)的被開方數(shù)的冪的底數(shù)分別互為相反數(shù)3用字母 表示（1），（2），（3）各題中被開方數(shù)的冪的底數(shù)，有（ ），用字母 表示（4），（5），（6），（7）各題中被開方數(shù)的冪的底數(shù)，有（ ）一個非負數(shù)的平方的算術(shù)平方根，等于這個非負數(shù)本身；一個負數(shù)的平方的算

7、術(shù)平方根，等于這個負數(shù)的相反數(shù)問：請把上述討論結(jié)論，用一個式子表示（注意表示條件和結(jié)論）答： 請同學(xué)回憶實數(shù)的絕對值的代數(shù)意義，它和上述二次根式的性質(zhì)有什么聯(lián)系？答：填空：1當(dāng) _時， ；2當(dāng) 時， ，當(dāng) 時， ；3若 ，則 _；4當(dāng) 時， 答：1當(dāng) 時， ；2當(dāng) 時， ，當(dāng) 時， ；3若 ，則 ；例2 化簡 （ ）分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，當(dāng) 時， 解 例3 化簡：（1） （ ）；（2） （ ）分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，當(dāng) 時， 解 （1） （2） 注意：（1）題中的被開方數(shù) ，因為 ，所以 （2）題中的被開方數(shù) ，因為 ，所以 這里 的取值范圍，在已知條件中沒有直接給出，但可以由已知條件分

8、析而得出例4 化簡 分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，有所以要比較 與3及1與 的大小以確定 及 的符號，然后再進行化簡解 因為 ， ，所以， 所以 三、課堂練習(xí)1求下列各式的值：（1） ；（2） 2化簡：（1） ； （2） ；（3） （ ）；（4） （ ）3化簡：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；四、小結(jié)1二次根式 的意義是 ，所以 ，因此 ，其中 可以取任意實數(shù)2化簡形如 的二次根式，首先可把 寫成 的形式，再根據(jù)已知條件中字母 的取值范圍，確定其結(jié)果五、作業(yè)1化簡：（1） ；（2） ；（3） （ ）；（4） （ ）；（5） ；（6） （ ， ）；2化簡：（1） ；（2） （ ）；（3） （

9、 ， ）板書設(shè)計教學(xué)反思二次根式的乘法設(shè)計者：胡雄一、教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生能夠利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行二次根式的化簡與運算2會進行簡單的二次根式的乘法運算二、教學(xué)重點和難點1重點：會利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡二次根式，會進行簡單的二次根式的乘法運算2難點：二次根式的乘法與積的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用三、教學(xué)方法從特殊到一般總結(jié)歸納的方法，類比的方法，講授與練習(xí)結(jié)合法四、教學(xué)手段利用投影儀五、教學(xué)過程原設(shè)計者意圖使用者意見(一)引入新課觀察下面的例子： 于是可得到： 又如： 類似地可以得到： (二)新課由前面所舉特殊的例子，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：一般地，有 (a0，b0)積的算術(shù)平方根，等于積中各因式

10、的算術(shù)平方根的積例1 化簡：（1） （2） （3） （4） 分析：本題需要用積的算術(shù)平方根公式進行化簡，題目中的被開方數(shù)都是具體數(shù)字，學(xué)生便于理解，在講完例2后可以總結(jié)化簡的方法解：（1） （2） （3） （4） 說明： (a0，b0)可以推廣為 (a0，b0，c0)這個小題與本章章頭圖與章序言的內(nèi)容有聯(lián)系，解答了章序言中提出的一個問題 (4)小題要首先用平方差公式分解成積的形式，才可以用積的算術(shù)平方根公式進行化簡通過例2可以看出，如果一個二次根式的被開方數(shù)中有的因式(或因數(shù))能開得盡方，可以利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，將這些因式(或因數(shù))開出來，從而將二次根式化簡(三)小結(jié)1本節(jié)課講了積的算術(shù)

11、平方根的性質(zhì) (a0，b0)通過分式的應(yīng)用，讓學(xué)生進一步總結(jié)，為什么必須有a0、b0這個條件，而沒有這個條件上述性質(zhì)不成立2利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，化簡二次根式的方法(四)練習(xí) 1 化簡：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；2 計算：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 六、作業(yè)七、板書設(shè)計教學(xué)反思二次根式的除法設(shè)計者：胡雄一、教學(xué)目標(biāo)1掌握商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，能利用性質(zhì)進行二次根式的化簡與運算；2會進行簡單的二次根式的除法運算;3使學(xué)生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解決二次根式的化簡及近似計算問題；二、教學(xué)重點和難點 1重點：會利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行二次根式的化簡，會進

12、行簡單的二次根式的除法運算，還要使學(xué)生掌握二次根式的除法采用分母有理化的方法進行2難點：二次根式的除法與商的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用三、教學(xué)方法從特殊到一般總結(jié)歸納的方法以及類比的方法，在學(xué)習(xí)了二次根式乘法的基礎(chǔ)上本小節(jié)內(nèi)容可引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)，進行總結(jié)對比四、教學(xué)手段利用投影儀五、教學(xué)過程原設(shè)計者意圖使用使用者意見(一) 引入新課學(xué)生回憶及得算數(shù)平方根和性質(zhì)： （a0，b0）是用什么樣的方法引出的？(上述積的算術(shù)平方根的性質(zhì)是由具體例子引出的)學(xué)生觀察下面的例子，并計算： 由學(xué)生總結(jié)上面兩個式的關(guān)系得： 類似地，每個同學(xué)再舉一個例子，然后由這些特殊的例子，得出：(二)新課商的算術(shù)平方根一般地，有 （

13、a0，b0）商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根讓學(xué)生討論這個式子成立的條件是什么？a0，b0，對于為什么b0，要使學(xué)生通過討論明確，因為b0時分母為0，沒有意義引導(dǎo)學(xué)生從運算順序看，等號左邊是將非負數(shù)a除以正數(shù)b求商，再開方求商的算術(shù)平方根，等號右邊是先分別求被除數(shù)、除數(shù)的算術(shù)平方根，然后再求兩個算術(shù)平方根的商，根據(jù)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以進行簡單的二次根式的化簡與運算例1 化簡：（1） ；（2） ；解（1） （2） 說明：如果被開方數(shù)是帶分數(shù)，在運算時，一般先化成假分數(shù)；本節(jié)根號下的字母均為正數(shù). 例2 化簡：（1） ；(2) ；解：（1） （2） 讓學(xué)生觀察例題中分母

14、的特點，然后提出， 的問題怎樣解決？再總結(jié)：這一小節(jié)開始講的二次根式的化簡，只限于所得結(jié)果的式子中分母可以完全開的盡方的情況， 的問題，我們將在今后的學(xué)習(xí)中解決. 學(xué)生討論本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并進行小結(jié)(三)小結(jié)1商的算術(shù)平方根的性質(zhì)(注意公式成立的條件)2會利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行簡單的二次根式的化簡(四)練習(xí)1化簡：（1） ；（2） ；（3） .2化簡：（1） ；（2） ；(3)六、作業(yè)七、板書設(shè)計教學(xué)反思 二次根式的加減法設(shè)計者：胡雄一、素質(zhì)教育目標(biāo)1使學(xué)生了解最簡二次根式的概念和同類二次根式的概念2能判斷二次根式中的同類二次根式3會用同類二次根式進行二次根式的加減二教學(xué)重點二次根式的加

15、減法運算三教學(xué)難點二次根式的化簡四、課時安排2課時五、教具學(xué)具準備投影片第一課時（）教學(xué)過程原設(shè)計者意圖使用者意見【復(fù)習(xí)引入】什么樣的二次根式叫做最簡二次根式？（由學(xué)生回答） 的形式與實質(zhì)是什么？ 可以化簡為 繼續(xù)提問： ，可以化簡嗎？ ，可以化簡嗎？【講解新課】1復(fù)習(xí)整式的加減運算計算：（1） ；（2） ；（3） 小結(jié)：整式的加減法，實質(zhì)上就是去括號和合并同類項的運算2例題（1）計算 解： （2）計算 解： 小結(jié)：（1）如果幾個二次根式的被開方數(shù)相同，那么可以直接根據(jù)分配律進行加減運算（2）如果所給的二次根式不是最簡二次根式，應(yīng)該先化簡，再進行加減運算定義：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，

16、如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式3例題例1 下列各式中，哪些是同類二次根式？ ， ， ， ， ， ， 解：略例2 計算 解： 例3 計算 解： 二次根式加減法的法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把同類二次根式進行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變（可對比整式的加減法則）例4 計算：（1） 解： （2） 解： （二）隨堂練習(xí)計算：（1） ；（2） ；（3） （三）總結(jié)、擴展同類二次根式的定義二次根式的加減法與整式的加減法進行比較，強調(diào)注意的問題（四）布置作業(yè)（五）板書設(shè)計標(biāo)題1復(fù)習(xí)題5例題（1）、（2）、2整式的加減例題（3）、（4）3例題（1）、（2

17、）6練習(xí)題4同類二次根式 7小結(jié)教學(xué)反思二次根式的加減法（第二課時）設(shè)計者：胡雄 原設(shè)計者意圖使用者意見【復(fù)習(xí)提問】1同類二次根式的定義2二次根式加減法的法則3加減運算中注意的問題【例題】例1 判斷：（1） ；（）（2） ；（）（3） ；（）（4） （）（要求學(xué)生找出錯誤的原因，能進行加減運算的，要加以改正）例2 計算：（1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： 小結(jié)：二次根式加減運算的步驟：（1）如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號（2）把不是最簡二次根式的二次根式進行化簡（3）合并同類二次根式例3 當(dāng) ， 時，求代數(shù)式 的值解： 當(dāng) 時， 時，原式 例4 已知 ，求下列各式的近似

18、值（精確到0.01）：（1） ；（2） 解：（1） 當(dāng) 時，原式 （2） 當(dāng) 時，原式 注意：求值時，一般應(yīng)對代數(shù)式先化簡，再代入數(shù)值（二）隨堂練習(xí)計算：（1） ；（2） ；（三）總結(jié)、擴展正確地進行二次根式的加減法運算，需解決好幾個環(huán)節(jié)：去括號，化簡二次根式，確定同類二次根式，合并的方法等（四）布置作業(yè)（五）板書設(shè)計標(biāo)題1例題2練習(xí)題例13小結(jié)例2例3教學(xué)反思二次根式的混合運算 （第一課時）設(shè)計者：胡雄1理解分母有理化與除法的關(guān)系2掌握二次根式的分母有理化3通過二次根式的分母有理化，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力4通過學(xué)習(xí)分母有理化與除法的關(guān)系，向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想二、教學(xué)設(shè)計小結(jié)、歸納、提高三、重

19、點、難點解決辦法1教學(xué)重點：分母有理化2教學(xué)難點：分母有理化的技巧四、課時安排1課時五、教具學(xué)具準備投影儀、膠片、多媒體六、師生互動活動設(shè)計復(fù)習(xí)小結(jié)，歸納整理，應(yīng)用提高，以學(xué)生活動為主七、教學(xué)過程原設(shè)計者意圖使用者意見【復(fù)習(xí)提問】二次根式混合運算的步驟、運算順序、互為有理化因式例1 說出下列算式的運算步驟和順序：化簡一個式子，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法（依據(jù)分式的基本性質(zhì)）例如， 、 、 等式子的化簡，如果分母是兩個二次根式的和，應(yīng)該怎樣化簡？引入新課題【引入新課】化簡式子 ，乘以什么樣的式子，分母中的根式符號可去掉，結(jié)論是分子與分母要同乘以 的有理化因式，而這個式子就是 ，從而可將式子化簡例2 把下列各式的分母有理化：（1） ；（2） ；（3）解：略注：通過例題的講解，使學(xué)生理解和掌握化簡的步驟、關(guān)鍵問題、化簡的依據(jù)式子的化簡，若分子與分母可分解因式，則可先分解因式，再約分，使化簡變得簡單（二）隨堂練習(xí)1把下列各式的分母有理化：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 解：（1） （2） 另解： （3） 另解： 通過以上例題和練習(xí)題，