《提優(yōu)教程》教案第80講存在性問(wèn)題

1、1第20講本節(jié)主要內(nèi)容是存在性問(wèn)題.存在性問(wèn)題有三種：第一類是肯定性問(wèn)題第二類是否定性問(wèn)題第三類是探索性問(wèn)題存在性問(wèn)題,其模式為“已知,其模式為“已知,其模式為“已知A,A,A,證明存在對(duì)象B,使其具有某種性質(zhì)”. 證明具有某種性質(zhì) B的對(duì)象不可能存在”. 問(wèn)是否存在具有某種性質(zhì)B的對(duì)象”.(包括直接計(jì)算),解決存在性問(wèn)題通常有兩種解題思路證明(或求出)符合條件或要求的對(duì)象 B必然存在.常利用反證法、數(shù)學(xué)歸納法、抽屜原則、計(jì) 數(shù)法等.另一種思路是構(gòu)造法.直接構(gòu)造具有某種性質(zhì) B的對(duì)象.常常采用排序原則、極端性 原則進(jìn)行構(gòu)造.一種思路是通過(guò)正確的邏輯推理A類例題1 例1已知函數(shù)f(x)=|1 一

2、|.x(1)是否存在實(shí)數(shù)a,b(ab),使得函數(shù)的定義域和值域都是a,b?若存在 請(qǐng)求出a,b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。若存在實(shí)數(shù)a,b(a0,所以a0,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,+ R)上是增函數(shù)，所以我們分三種情況(i)當(dāng)a,b (0,1)時(shí)；(ii)當(dāng) a,b (1,+ g)時(shí)；(iii)當(dāng) a (0,1), b 1,+)時(shí)加以討論.解事實(shí)上,(1) 不存在實(shí)數(shù)a,b(ab)滿足條件.若存在實(shí)數(shù)a,b(aa0.故1f(x)=1,x1.x1,x1.1(i) 當(dāng)a,b (0,1)時(shí)，f(x)=- 1在(0,1)上是減函數(shù)，所以,入f (a)f(b)b,a,b,a.由此

3、推出a=b與已知矛盾.故此時(shí)不存在實(shí)數(shù) a,b滿足條件.1(ii) 當(dāng)a,b (1,+ g)時(shí)，f(x)=1 一在(1,+ g)上為增函數(shù)，所以，1 a,f(a) a，即 af(b) b, 1 i b.b于是，a,b是方程x2 x+1=0的實(shí)根，而此方程無(wú)實(shí)根，故此時(shí)不存在實(shí)數(shù)a,b滿足條件(iii) 當(dāng)a (0,1), b 1,+)時(shí)，顯然，1 a,b,而f(1)=0,所以0 a,b,矛盾.故故此時(shí)不存在實(shí)數(shù)a,b滿足條件.綜上可知，不存在實(shí)數(shù)a,b(ab)滿足條件.若存在實(shí)數(shù) a,b(a 0,a 0.仿照(1)的解答，當(dāng)a,b (0,1)或a (0,1), b 1,+)時(shí)，滿足條件的a,b

4、不存在.只有當(dāng) a,b (1,+ g)時(shí)，f(x)=11-在 (1,+ g)上為增函數(shù)，有x-1 ma, f(a) ma,即 a,f(b) mb, 1 K1 mb.b于是，a,b是方程mx2-x+仁0的兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根.所以,1 4m 0,m 0, 11、1 4m 只須 1 4m 0, 解得 0mj1 4m 2 m.一 1說(shuō)明 本題首先要注意題目的隱含條件a 0,因?yàn)楹瘮?shù)的值域是0,).因此，m的取值范圍是 0m0，在矩形 ABCD中，AB=4 , BC=4 a , O為AB的中點(diǎn)，E、F、G分 別在BC、CD、DA上移動(dòng)，且BC = CD = DA, P為CE與OF的交點(diǎn)問(wèn)是否存在兩 個(gè)定

5、點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(20XX年全國(guó)高考江蘇卷試題)分析根據(jù)題設(shè)滿足的條件，首先求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，根據(jù)軌跡是否是橢圓，就可斷 定是否存在兩個(gè)定點(diǎn)(橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)),使得P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值 解按題意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2, 4a).設(shè)BEBCCFCDDGDA =由此有 E(2,4 ak),F(2-4k, 4a),G(-2, 4a-4ak).直線OF的方程為2ax+(2 k-1)y=0,直線 GE 的方程為-a(2k-1)x+ y-2a=0,由消去參數(shù)k得點(diǎn)P(x,y)坐標(biāo)滿足方程2

6、a2x2+y2-2ay =0,x2 (v- a)2 整理得 Xr+(y-2L=1 .1 a21 當(dāng)a2 = 2時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn)；1當(dāng)a22時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和是定長(zhǎng);當(dāng)a2 v 2時(shí)，P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)(- ；2一 a2,a),( ：2-a2，a)的距離之和為定長(zhǎng)2 ；當(dāng)a2扌時(shí)，P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)(0,玄-、2), a+a2!)的距離之和為定長(zhǎng) 2a.說(shuō)明 要解決軌跡問(wèn)題首先要建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，有時(shí)還要選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)作過(guò)渡.情景再現(xiàn)1. 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+ bx+a滿足條件f(x+7)= f(7-x),且方程

7、f(x)=7 x+ a有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.(1)求f(x)的解析式；3 3 是否存在實(shí)數(shù) m、n(0v mvn),使得f(x)的定義域和值域分別是m,n和石帚】？若存在，求出m、n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(20XX年河南省數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)2. 直線l: y=kx+1與雙曲線C : 2x2 y2=1的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B.(I) 求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(II) 是否存在實(shí)數(shù)k,使得以線段 AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F?若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由.(20XX年湖北省高考理科試題)B類例題例3將平面上每個(gè)點(diǎn)都以紅、藍(lán)兩色之一著色，證明：存在這樣的兩個(gè)相似三角形，它 們的相似比

8、為1995，并且每一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)同色.(1995年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第二試試題)B4AOA1B5B2B1分析 因?yàn)槠矫嫔系拿奎c(diǎn)不是紅色就是藍(lán)色，由抽屜原理，對(duì)任何一個(gè) 無(wú)窮點(diǎn)集，至少有一個(gè)無(wú)窮子集是同色點(diǎn)集，對(duì)一個(gè)含n個(gè)元素的有限點(diǎn)集，至少有一個(gè)含個(gè)元素的子集是同色點(diǎn)集.(其中為高斯符號(hào))，于是利用2抽屜原理，在半徑為1和1995的兩個(gè)同心圓上，尋找兩個(gè)三頂點(diǎn)同色的相似 三角形.證明 在平面上，以 O為圓心，作兩個(gè)半徑為1和1995的同心圓.根據(jù)抽屜原理，小圓周上至少有5點(diǎn)同色，不妨設(shè)為A1,A2,A3,A4,A5，連接OA1,OA2,OA3,OA4,OA5,分別交大圓于 B1,B2,B3

9、,B4,B5,根據(jù)抽屜原理，B1,B2,B3,B4,B5 中必有三點(diǎn)同色，不妨設(shè)為B1,B2,B3,分別連接A1A2,A2A3,A3A1,B1B2,B2B3,B3B1, 則厶A1A2A3B1B2B3,其相似比為1995，且兩個(gè)三角形三頂點(diǎn)同色.說(shuō)明 解決有關(guān)染色問(wèn)題抽屜原理是經(jīng)常使用的.例4在坐標(biāo)平面上，縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn).試證：存在一個(gè)同心圓的集合,使得(1) 每個(gè)整點(diǎn)都在此集合的某一個(gè)圓周上；(2) 此集合的每個(gè)圓周上，有且僅有一個(gè)整點(diǎn).(1987年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第二試試題)分析 構(gòu)造法.先設(shè)法證明任意兩整點(diǎn)到P . 2,1的距離不可能相等，從而將所有整點(diǎn)到3P點(diǎn)的距離排序造

10、出同心圓的集合，這里同心圓的坐標(biāo)不是惟一的，可取.2外的其它值3證明取點(diǎn)P 、2,丄.3設(shè)整點(diǎn)(a,b)和(c,d)到點(diǎn)P的距離相等，則(a 2 (b 1)2(c ,2)2 (d )2,2 3即2(c a) . 2c2 a2 d2 b2 - (b d).3上式僅當(dāng)兩端都為零時(shí)成立.所以廣c=ac2 - a2+d2 b2+ 2 (b d)=03將代入并化簡(jiǎn)得d2 b2+Z (b d)=0.3即(d b)(d+b 2 )=03由于b, d都是整數(shù)，第二個(gè)因子不能為零，因此b=d，從而點(diǎn)(a,b)與(c,d)重合，故任意兩 1個(gè)整點(diǎn)到P .、2,-的距離都不相等.3將所有整點(diǎn)到P點(diǎn)的距離從大到小排成

11、一列di , d2, d3, dn ,顯然，以P為圓心，以di,d2,d3,為半徑作的同心圓集合即為所求.說(shuō)明同心圓的圓心坐標(biāo)不是惟一的.例5 (1)給定正整數(shù)n (n 5),集合An=1,2,3,n,是否存在映射旅An An滿足條件：對(duì)一切 k(i 2)時(shí),由 2m|S2m 及 S2m= (2m+*2 m+2) 0(2m+1)得0(2m+1) = m+1(mod2 m).但 0(2m+1) A2m+1,故 0(2m+1)= m+1.(2m+1)(2 m+2)再由(2m 1)|S2m-1 及 S2m-1= (m+1) 0(2m)得 $(2m)三 m+1(mod(2 m 1).所以，0(2m)

12、=m+1,與$的雙射定義矛盾.當(dāng) n=2m+1(m 2)時(shí),S2m+i=血駕2 m+3) $(2m+2)給出 $(2m+2)=1 或 2m+2,同上 又得 $(2m+1)= $(2 m)=m+2 或 m+1,矛盾.(2)存在.對(duì)n歸納定義 $(2n 1)及$(2 n)如下：令 $(1)=1,機(jī)2)=3.現(xiàn)已定義出不同的正整數(shù)$(k)(1 1985)個(gè)交點(diǎn)，所以符合要求的直線可能存 在.減少交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可有兩種途徑：一是利用平行線，二是利用共點(diǎn)線.所以用構(gòu)造法.解法一 由于x條直線與一族100 x條平行線可得x(100 x)個(gè)交點(diǎn).而x(100 x)=1985 沒(méi)有整數(shù)解，于是可以考慮99條直線構(gòu)

13、成的平行網(wǎng)格.由于 x(99 x)v 1985 的解為 xw 26 或 x73,x N,且 1985=73 X 26+99 12,于是可作如 下構(gòu)造：(1)由73條水平直線和26條豎直直線x=k,k=1,2,3，,73;y= k,k=1,2,3,26.共99條直線，可得73 X 26個(gè)交點(diǎn).(2)再作直線y=x+14與上述99條直線都相交，共得到99個(gè)交點(diǎn)，但其中有12個(gè)交點(diǎn) (1,15),(2,16),(12,26)也是(1)中99條直線的彼此的交點(diǎn),所以共得99 12個(gè)交點(diǎn).由、(2),這100條直線可得到 73 X 26+99 12=1985個(gè)交點(diǎn).解法二 若100條直線沒(méi)有兩條是平行的

14、，也沒(méi)有三條直線共點(diǎn)，則可得到 C 10=4950( 1985)個(gè)交點(diǎn)，先用共點(diǎn)直線減少交點(diǎn)數(shù).注意到若有n1條直線共點(diǎn)，則可減少C： 1個(gè)交點(diǎn)設(shè)有k個(gè)共點(diǎn)直線束，每條直線束的直線條數(shù)依次為n1, n2,nk則有n1 + n 2+ nk 100,c2 - 1+ c2 - 1 + L + C：k - 1 = 2965( C100 1985=2965).因?yàn)闈M足C： 1 V 2965的最大整數(shù)是 n1=77,此時(shí)C77仁2925 .因此可構(gòu)造一個(gè)由77條直線組成的直線束，這時(shí)還應(yīng)再減少 40個(gè)交點(diǎn).而滿足C2 1 Vn240的最大整數(shù)為n2=9,此時(shí)C2仁35 .因此又可構(gòu)造一個(gè)由9條直線組成的直

15、線束.這時(shí)還應(yīng)減少5個(gè)交點(diǎn).由于C4仁5,所以最后可構(gòu)造一個(gè)由4條直線組成的直線束.因?yàn)?7+9+4=90 V 100,所以這100條直線可構(gòu)成為 77條,9條,4條的直線束，另10條 保持不動(dòng)即可說(shuō)明本題的基本數(shù)學(xué)思想方法是逐步調(diào)整，這在證明不等式時(shí)經(jīng)常使用，但學(xué)會(huì)在幾何 中應(yīng)用，會(huì)使你的解題思想錦上添花.例7 設(shè)n是大于等于3的整數(shù)，證明平面上存在一個(gè)由 n個(gè)點(diǎn)組成的集合，集合中任意 兩點(diǎn)之間的距離為無(wú)理數(shù)，任三點(diǎn)組成一個(gè)非退化的面積為有理數(shù)的三角形.(第 28屆IMO試題)分析本題的解決方法是構(gòu)造法，一種方法在拋物線y=x2上選擇點(diǎn)列，另一種方法在半圓周上選擇點(diǎn)列.解法一 在拋物線y=x

16、2上選取n個(gè)點(diǎn)P1,P2,Pn,點(diǎn)Pi的坐標(biāo)為(i,i2) (i=1,2,n).因?yàn)橹本€和拋物線的交點(diǎn)至多兩個(gè)，故n個(gè)點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線，構(gòu)成三角形為非退化的任兩點(diǎn) Pi 和 Pj之間的距離是 |PiPj|= ,(i j)2+(i2 j2)2=|i jL. 1+(i j)2 (F j, i, j=1,2,n).從而|PiPj|是無(wú)理由于(i j)2 v 1+(i j)2 v (i j)2+2( i j)+1=( i j+1)2,所以.1+(i j)2 是無(wú)理數(shù)1 11|i jk.2. 22i jk II PiPjPk的面積=2=2|(i j) (i k)(j k)|,顯然是有理數(shù).n N*,令

17、/ xOAn=an n2-1 . ann2+1，sin 2 =a- a因此,所選的n個(gè)點(diǎn)符合條件.解法二考慮半圓周x2+y2=r2(y R + , r =2)上的點(diǎn)列An,對(duì)一切an，則任意兩點(diǎn) Ai,Aj之間的距離為|AiAj|=2r|si n|,其中，0V an 1且存在n階銀矩陣A.由于S中所有的2n 1個(gè)數(shù)都要在矩陣 A中出現(xiàn)，而 A的主對(duì)角線上只有 n個(gè)元素，所以，至少有一個(gè)x S不在A的主對(duì)角線上取定這樣的x.對(duì)于每個(gè)i=1,2,n,記A的第i行和第i列中的所有元素合起來(lái)構(gòu)成的集合為Ai,稱為第ii行、第i列(F j ).則x屬于n必為偶數(shù).而1997是奇數(shù)，6亠5棊個(gè)銀矩陣.個(gè)十

18、字，則x在每個(gè)Ai中恰好出現(xiàn)一次.假設(shè)x位于A的第 Ai和A，將Ai與Aj配對(duì)，這樣 A的n個(gè)十字兩兩配對(duì)，從而 故不存在n = 1997階的銀矩陣.對(duì)于n=2 , A=?12肖即為一個(gè)銀矩陣，對(duì)于n=4 , A= i般地，假設(shè)存在 n階銀矩陣A，則可以按照如下方式構(gòu)造 2n階銀矩陣D,D=畛B主其中BA +是一個(gè)n x n的矩陣，它是通過(guò)A的每一個(gè)元素加上 2n得到，而C是通過(guò)把B的主對(duì)角線元 素?fù)Q成2n得到.為證明D是2n階銀矩陣，考察其第i個(gè)十字.不妨設(shè)iw n ,這時(shí)，第i個(gè)十字 由A的第i個(gè)十字以及B的第i行和C的第i列構(gòu)成.A的第i個(gè)十字包含元素1,2,2n 1. 而B(niǎo)的第i行和C

19、的第i列包含元素2n, 2n+1,4n 1.所以D確實(shí)是一個(gè)2n階銀矩陣.于是，用這種方法可以對(duì)任意自然數(shù)k,造出2k階銀矩陣.說(shuō)明讀者可以構(gòu)造任意偶數(shù)階銀矩陣.情景再現(xiàn)6證明不存在具有如下性質(zhì)的由平面上多于2n(n 3)個(gè)兩兩不平行的向量構(gòu)成的有限集合G:(1)對(duì)于該集合中的任何n個(gè)向量，都能從該集合中再找到n 1個(gè)向量，使得這2n 1個(gè)向量的和等于 0;(2)對(duì)于該集合中的任何 n 個(gè)向量 ， 都能從該集合中再找到 n 個(gè)向量 ， 使得這 2n 個(gè)向量的 和等于 0.(20XX 年俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克試題 )7 試證:在半徑為1的圓周上存在1975個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)之間的距離都是有理數(shù).(第

20、 17 屆 IMO 試題) 8是否存在平面上的一個(gè)無(wú)窮點(diǎn)集，使得其中任意三點(diǎn)不共線，且任意兩點(diǎn)之間的距離為有 理數(shù)？(1994 年亞太地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克試題 )習(xí)題 201 已知拋物線y2=4ax(0 v a v 1 )的焦點(diǎn)為F,以A(a+4,0)為圓心，|AF|為半徑在x軸上方作半 圓交拋物線于不同的兩點(diǎn)M和N，設(shè)P為線段MN的中點(diǎn).(1) 求 |MF|+|NF| 的值;是否存在這樣的a值，使|MF| , |PF| , |NF|成等差數(shù)列？若存在，求出 a的值；若不存 在，說(shuō)明理由.(1996年昆明市數(shù)學(xué)選拔賽試題)2. 證明：不存在正整數(shù) n使2n2+1 , 3n2+1 , 6n2+1都是

21、完全平方數(shù).(20XX年日本數(shù)學(xué)奧林 匹克試題 )3. 證明只存在一個(gè)三角形 ，它的邊長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)的自然數(shù) ，并且它的三個(gè)內(nèi)角中有一個(gè)為另一 個(gè)的兩倍 . (第 10屆 IMO 試題)4. 是否存在這樣的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式P(x):它具有負(fù)實(shí)數(shù)，而對(duì)于n 1, Pn(x)的系數(shù)全是正的.(1994年莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克試題 )5證明不存在對(duì)任意實(shí)數(shù)x均滿足ff(x)= x2-1996的函數(shù).(1996年城市數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)6. 是否存在有界函數(shù) f : RtR,使得f(1) 0,且對(duì)一切的x、y R,都有f 2(x+y) f 2(x)+2 f(xy)+ f 2 (y)成立 . (20XX 年俄羅斯數(shù)學(xué)奧

22、林匹克試題 )7. 是否存在數(shù)列X1,X2,X1999,滿足(1) xv Xi+1(i=1,2,3，,1998);(2) Xi+1- Xi = Xi- Xi-1(i=2,3，,1998);(3) ( Xi 的數(shù)字和)v ( Xi+1 的數(shù)字和)(i=1,2,3,1998);(4) (Xi+1的數(shù)字和)-(Xi的數(shù)字和)=(Xi的數(shù)字和)(Xi-1的數(shù)字和)(i=2,3,1998).(1999 年江蘇省數(shù)學(xué)冬令營(yíng)試題 )&(1)是否存在正整數(shù)的無(wú)窮數(shù)列an,使得對(duì)任意的正整數(shù)n都有an 12anan+2?(2) 是否存在正無(wú)理數(shù)的無(wú)窮數(shù)列an,使得對(duì)任意的正整數(shù)n都有an 1 2anan+2?(

23、20XX 年中國(guó)東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克試題 )9 .是否存在一個(gè)無(wú)限素?cái)?shù)數(shù)列P1, P2,pn,，對(duì)任意n滿足|pn+1 2pn| = 1 .(20XX年波羅的海數(shù)學(xué)奧林匹克試題 )10證明：對(duì)于每個(gè)實(shí)數(shù) M, 存在一個(gè)無(wú)窮多項(xiàng)的等差數(shù)列 , 使得(1) 每項(xiàng)是一個(gè)正整數(shù) , 公差不能被 10 整除;(2) 每項(xiàng)的各位數(shù)字之和超過(guò)M. (第 40屆 IMOY 預(yù)選題)11 .是否存在定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x),使得對(duì)任意的x R ,f(f(x)=x,(20XX年河南省數(shù)學(xué)競(jìng)且 f(f(x)+1)=1 x若存在，寫(xiě)出一個(gè)符合條件的函數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.賽試題)12 .對(duì)于給定的大于1的正

24、整數(shù)n,是否存在2n個(gè)兩兩不同的正整數(shù)a1 ,a2,an； b 1,b2,bn同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：(1) a1 + a2 +an= b1 + b2+bn；n a，- b1(2) n-1 ? - n-1-1998.(1998 年 CMO 試題)i=1 a + 01998“情景再現(xiàn)”解答1. (1)由條件有f(x)=ax2-7a x+a.又f(x)=7 x+a有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則由ax2+7)=0可知,(?a+7)2-4a 0=0,解得 a=-2.故 f(x)= - 2x2+7x- 2.33(2)存在.如圖.設(shè) g(x)=-(x 0).則當(dāng) f(x)= g(x)時(shí),有-2x2+7x-2=-,

25、xx即 2x3-7x2+2x +3=0 .故(x- 1)(x-3)(2x+1)=0.1解得 x1 = 1, X2=3, x2=- (舍去).,4ac b2337因?yàn)?f(x)max=4=云,此時(shí),x = 4 1,3,所以,fr3=魯v 1.f(x)max 118283311,故取m= 石，n=3時(shí)，f(x)= - 2x2+7x-2在石,3上的值域?yàn)榭?符合條件.2. (I)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x2 -y2=1后， 整理后得(k2 - 1)x2+2 kx +2=0依題意，直線I與雙曲線C的右支交于不同的兩點(diǎn)，故k2 - 2 豐 0,=(2k)2 8(k2- 2)0 ,丿

26、 2k-k2 20，2_k2- 20.解得k的取值范圍為一2k .；2.(II)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(X1, y”, B(X2, y2)，則由得2k x1+x2= R， -乂似2=試2.假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線段 AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F(c,0),則由 FA丄 FB 得(X1 c)( X2 c)+ y1y2=0，即(X1 c)( X2 c)+( kx1+1)( kx2+1)=0 . 整理得(k2+1)x1X2+(k c)(X1+X2)+c2+1=0 .將式及c= -2代入式化簡(jiǎn)得5k2+2 6kx 6=0 .解得 k= 6+56 或 k= 6 5戶 (2, 2)(舍去).

27、可知k= %6使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F.53. 任作一個(gè)邊長(zhǎng)為 1996的正七邊形 A1A2A3A4A5A6A7.這7個(gè)頂點(diǎn)中必有4點(diǎn)同色,而在這同色四點(diǎn)中，必有兩點(diǎn)是相鄰頂點(diǎn) 為確定起見(jiàn)，不妨設(shè)這兩點(diǎn)就是 Ai、A2,并且它們均是紅色.(1) A4或A6中有一個(gè)是紅色的，比如,A6是紅色的, A1A2A6即為所求A4與A6都是藍(lán)色的若A7是藍(lán)色的，則 A4A6A7即為所求；若A3是藍(lán)色的，則厶A4A6A7即為所求；若A3、A7都是紅色，則為 A1A3A7所求4. 設(shè)存在6個(gè)格點(diǎn)P1, P2，P3，P4，P5，P6落在區(qū)域s=(x，y)|x|w 2，|y|1,有kn 1k

28、n1Jknknkn 11Jkn 1L LL LL L ,k2k1丄k1相加得：knk11 1（一1 Lknkn 1 都存在，故 knM 0, n=1,2,3,.由于kn工0及(III)有knkn+1 0可知諸kn符號(hào)相同，不妨設(shè) kn0, n=1,2,1由 kn 1knkn,心1knk1 k2)k1 k1但當(dāng)nk12時(shí)kn+1 0，矛盾.同理可證，當(dāng)kn0.由條件(1),可以找到n 1個(gè)向量a1, a2，,an 1,使得f1+ f2+fn= (a 1 +a2+an 1).顯然，至少有某個(gè)向量ei不出現(xiàn)在上式右端，不妨設(shè)為e1.從而a1+a2+an什e1的投影 為負(fù)，且其絕對(duì)值大于s.再由條件(

29、2)知，又可以找到 n個(gè)向量，使得它們的代數(shù)和等于(a1+a2+ an 1+e1)，從而，該和的投影代數(shù)值大于S.此與我們對(duì)f1, f2 ,fn的選取相矛盾.n2 1n2 12n7. 取 0n=arctan (1 n 1975), 貝U sin 0n= 2 , cos 0n= 2都是有理數(shù)，且 2 需互不2n 7n2 1n2 1相同.對(duì)單位圓上輻角為2 01,2伍,2 01975的點(diǎn)P1,P2,P1975 ,|PiPj|=2|sin( 0 0)|=2| sin 0cos 0 cos 0sin 0)|為有理數(shù).8. 答案是肯定的，下面提供兩種構(gòu)造這樣的點(diǎn)集的方法.34方法一 存在角a,使得cos

30、 a與sin a都是有理數(shù)(例如sin a=3，cos a=).考慮一個(gè)以有a理數(shù)R為半徑的圓周，和一個(gè)弧度為2 a的圓弧，顯然2R= sin a,其中a是上述圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，因此弦長(zhǎng)為有理數(shù)從此弧的端點(diǎn)出發(fā)，在圓周上連續(xù)截取弧度為2a的圓弧，XY顯然，任一弧所對(duì)的弦長(zhǎng)XY是有理數(shù).由作圖法知 =|sinn a，對(duì)某個(gè)正整數(shù) n ,由于cos a與sin a都是有理數(shù)，所以由數(shù)學(xué)歸納法可以證明sinna和cosna都是有理數(shù).下面證明此過(guò)程產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮點(diǎn)集.為了此目的，設(shè)sin a=殳cos a=學(xué),其中(p,q)=1, p2+q2=r2,由棣美弗定理得(*ip)n=cos n a+ isin

31、 n a.若其值為1，貝U2( 1)kC2nkpn 2kq2k ,十222n nn121= cos n a=rn.由于 q2= - p2(mod r2),貝U r = p 2 1(mod r2).故2| r,然而從p2+q2=r, (p,q)=1可知這是不可能的.這就證明了我們描述的集合是無(wú)限 集.方法二在平面上取一點(diǎn) P和一條與P距離為1的直線I,設(shè)Q是I上與P相距為1的點(diǎn)，考察I上所有滿足SQ,PS都是有理數(shù)的點(diǎn) S,由于畢達(dá)哥拉斯基本的三元數(shù)組有無(wú)窮多 個(gè)，而且與點(diǎn)S 一一對(duì)應(yīng)，故存在無(wú)窮多個(gè)這樣的點(diǎn).作一個(gè)以P為中心，半徑為1的反演.此變換保持點(diǎn)之間的距離的有理性(這容易通過(guò) PSR

32、PSR證明，其中S和R是點(diǎn)集中的點(diǎn)，S和R分別為它們的象).用這樣的方法構(gòu)造的點(diǎn)集在一個(gè)圓周上，因此，無(wú) 三點(diǎn)共線.習(xí)題20解答1. 解(1)由已知得 F(a,O),半圓為x (a+4)2+y2=16(y0).把 y2=4ax 代入，可得 x2 2(4 a)x+a2+4a=0.設(shè)M(xi, yi),N(X2, y2).則由拋物線的定義得|MF|+|NF|=( xi + a)+(X2+a)=( xi + X2)+2 a=2(4 a) +2 a=8.(2)若|MF|，|PF|，|NF|成等差數(shù)列，則有2|PF|=|MF|+|NF|.另一方面，設(shè)M, P, N在拋物線準(zhǔn)線上的射影為M, P, N.則

33、在直角梯形MMNN中，PP是中位線，又有2|PP|=|MM|+|NN|=|FM|+|FN|,因而|PF|=|PP|.這說(shuō)明了點(diǎn)P應(yīng)在拋物線上.但由已知P是線段MN的中點(diǎn)，即P并不在拋物線上.所以不存在這樣的 a值，使|MF| ,|PF| , |NF|成等差數(shù)列.2. 假設(shè)存在這樣的n ,使2n2+1 ,3n2+1 ,6n 2+1都是完全平方數(shù)，那么(2n 2+1)( 3n 2+1)(6 n2+1)必定為完全平方數(shù)，而(2n2+1)(3 n2+1)(6 n2+1)=36 n6+36 n4+11 n2+1,(6 n3+3n)2=36 n6+36 n4+9n2,(6n3+3n+1)2=36 n6+3

34、6 n4+12 n3+9n2+6 n+1,所 以(6n3+3n)2 ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為 a 2 a和n-3 a,其中0 a2 時(shí),有 P2k(x)=P2(x) k, P2k+1(x)=P2(x) k 1?P3(x).所以,對(duì)一切n 1, Pn(x)的系數(shù)全是正的.5. 令 g(x)= ff(x) = x2- 1996,設(shè) a、b 為方程 x2- 1996= x 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 a、b 是 g(x) 的不動(dòng)點(diǎn).設(shè) f(a)=p,則 ff(p)= ff(f(a)= f(a)=p,即 p 也是 g(x)的不動(dòng)點(diǎn).所以 f(a) a,b.同理,f(b) a,b.令 h(x)= gg(x)=(x2

35、-1996) 2-1996,則h(x) = x.(x2- 1996) 2- 1996= x/ (x 2- x-1996)( x 2+ x- 1995)=0所以h(x)存在四個(gè)不動(dòng)點(diǎn) a、b、c、d.因?yàn)?c 2+c-1995=0,所以 g(c)= c2-1996= - c-1= d.同理,g(d)=c.令 f(c)=r,則 hf(c)= f h(c)= f(c),即 r 也是 h(x)的不動(dòng)點(diǎn).若 r a,b,則 d= f(r) a,b，矛盾；若 r = c,則 g(c)= f(r)= f(c)=r = c,矛盾；若 r = d,則 d=g(c)= f(r)= f(d), g(d)=g(r)=

36、g(f(c)=f(g(c)= f(d)=d,矛盾.綜上所述,滿足條件的函數(shù)f(x)不存在.16. 不存在.任取X1工0,令y1=,有X1f 2(X1+y1)f 2(X1)+2 f(1)+ f 2 (y1)f2(X1)+a,其中 a =2f(1) 0.令 Xn=Xn 1+yn 1 , yn =于是,f 2(Xn+yn) f 2(Xn)+a= f 2(Xn 1+yn 1) +a f 2(Xn 1)+2af 2(X1)+ na, 故數(shù)列 f (X1), f (X2),f (Xn),并非有界.7. 存在，構(gòu)造如下：取 X1= 00000 00001 00002 0000309999,X2= 00001 00002 00003 0000410000,X3= 00002 00003 00004 0000510001,11996,11997,00001的等差數(shù)列(項(xiàng)數(shù)取1999),且各項(xiàng)數(shù)字和X1998 = 01997 01998 01999 02000X1999 = 01998 01999 02000 02001 這是公差為 00001 00001 00001 00001為公差是1的等