常微分方程習(xí)題集

1、常微分方程測試題1一、填空題30%1、形如的方程，稱為變量分離方程，這里.分別為x.y的連續(xù)函數(shù)。2、形如-的方程，稱為伯努利方程，這里的連續(xù)函數(shù).n3、如果存在常數(shù)-對于所有函數(shù)稱為在R上關(guān)于滿足利普希茲條件。4、形如-的方程，稱為歐拉方程，這里5、設(shè)的某一解，則它的任一解-。二、計算題40%1、求方程2、求方程的通解。3、求方程的隱式解。4、求方程三、證明題30%1.試驗證=是方程組x=x,x=，在任何不包含原點的區(qū)間a上的基解矩陣。2.設(shè)為方程x=Ax（A為nn常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即（0）=E），證明:(t)=(t- t)其中t為某一值.常微分方程測試題2一、填空題：（30%）1、

2、曲線上任一點的切線的縱截距是切點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等差中項，則曲線所滿足的微分方程是.2、方程的通解中含有任意常數(shù)的個數(shù)為.3、方程有積分因子的充要條件為 .4、連續(xù)是保證對滿足李普希茲條件的條件5、方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是 6、若是二階線性齊次微分方程的基本解組，則它們(有或無)共同零點 7、設(shè)是方程的通解，則.8、已知是二階齊次線性微分方程的一個非零解，則與線性無關(guān)的另一解.9、設(shè)是階常系數(shù)齊次線性方程特征方程的K重根，則該方程相應(yīng)于的K個線性無關(guān)解是.10、線性微分方程組的解是的基本解組的充要條件是.二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、2、3、4、5、求解方程三、求初

3、值問題的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在區(qū)間的誤差估計.（10分）四、求解微分方程組滿足初始條件的解.（10%）五、證明題：（10%）設(shè)，是方程的解，且滿足=0，這里在上連續(xù)，試證明：存在常數(shù)C使得=C常微分方程測試題31辨別題指出下列方程的階數(shù)，是否是線性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空題(8%)（1）方程的所有常數(shù)解是_.（2）若y=y1(x)，y=y2(x)是一階線性非齊次方程的兩個不同解，則用這兩個解可把其通解表示為_.（3）.若方程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通積分是_.（4）.設(shè)M(x0, y0)是可

4、微曲線y=y(x)上的任意一點，過該點的切線在x軸和y軸上的截距分別是_.3、單選題(14%)（1）方程是（）.(A)可分離變量方程（B）線性方程(C)全微分方程（D）貝努利方程（2）方程，過點（0，0）有（）.(A)一個解（B）兩個解 (C)無數(shù)個解（D）三個解（3）方程x(y21)dx+y(x21)dy=0的所有常數(shù)解是（）.(A)y=1,x=1, (B)y=1(C)x=1 (D)y=1,x=1（4）若函數(shù)y(x)滿足方程，且在x=1時，y=1,則在x =e時y=( ).(A) (B)(C)2 (D)e（5）階線性齊次方程的所有解構(gòu)成一個（）線性空間（A）維（B）維（C）維（D）維（6）.

5、方程（）奇解（A）有三個（B）無（C）有一個（D）有兩個（7）方程過點（）（A）有無數(shù)個解（B）只有三個解（C）只有解（D）只有兩個解4.計算題(40%)求下列方程的通解或通積分： （1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5.計算題(10%)求方程的通解6證明題（16%）設(shè)在整個平面上連續(xù)可微，且求證：方程的非常數(shù)解，當(dāng)時，有，那么必為或常微分方程測試題41辨別題指出下列方程的階數(shù)，是否是線性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空題(8%)（1）方程的所有常數(shù)解是_.（2）若y=y1(x)，y=y2(x)是一階線性非齊次方程的兩個不同解，則用這兩個解可把其通解表示為_.（

6、3）.若方程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通積分是_.（4）.設(shè)M(x0, y0)是可微曲線y=y(x)上的任意一點，過該點的切線在x軸和y軸上的截距分別是_3、單選題(14%)（1）方程是（）.(A)可分離變量方程（B）線性方程(C)全微分方程（D）貝努利方程（2）方程，過點（0，0）有（）.(A)一個解（B）兩個解 (C)無數(shù)個解（D）三個解（3）方程x(y21)dx+y(x21)dy=0的所有常數(shù)解是（）.(A)y=1,x=1, (B)y=1(C)x=1 (D)y=1,x=1（4）若函數(shù)y(x)滿足方程，且在x=1時，y=1,則在x =e時y=( )

7、.(A) (B)(C)2 (D)e（5）階線性齊次方程的所有解構(gòu)成一個（）線性空間（A）維（B）維（C）維（D）維（6）.方程（）奇解（A）有三個（B）無（C）有一個（D）有兩個（7）方程過點（）（A）有無數(shù)個解（B）只有三個解（C）只有解（D）只有兩個解4.計算題(40%)求下列方程的通解或通積分： （1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5.計算題(10%)求方程的通解6證明題（16%）設(shè)在整個平面上連續(xù)可微，且求證：方程的非常數(shù)解，當(dāng)時，有，那么必為或常微分方程測試題5一、填空題（30%） 1若y=y1(x)，y=y2(x)是一階線性非齊次方程的兩個不同解，則用這兩個解可把其通解表示為

8、2方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是 3連續(xù)是保證方程初值唯一的條件一條積分曲線. 4.線性齊次微分方程組的一個基本解組的個數(shù)不能多于個，其中， 5二階線性齊次微分方程的兩個解,成為其基本解組的充要條件是 6方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是 7方程的所有常數(shù)解是 8方程所有常數(shù)解是 9線性齊次微分方程組的解組為基本解組的條件是它們的朗斯基行列式 10階線性齊次微分方程線性無關(guān)解的個數(shù)最多為個二、計算題（40%）求下列方程的通解或通積分： 1. 2 3 4 5三、證明題（30%）1試證明：對任意及滿足條件的，方程的滿足條件的解在上存在 2設(shè)在上連續(xù)，且，求證：方程的任意解均有3設(shè)方程中

9、，在上連續(xù)可微，且，求證：該方程的任一滿足初值條件的解必在區(qū)間上存在常微分方程測試題6一、填空題（20%)1方程的所有常數(shù)解是2方程的常數(shù)解是3一階微分方程的一個特解的圖像是維空間上的一條曲線4方程的基本解組是二、選擇題(25%)1階線性齊次微分方程基本解組中解的個數(shù)恰好是（）個（A）（B）-1（C）+1（D）+22李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的（）條件（A）充分（B）必要 （C）充分必要（D）必要非充分3.方程過點共有（）個解（A）一（B）無數(shù)（C）兩（D）三4方程（）奇解（A）有一個（B）有兩個（C）無（D）有無數(shù)個5方程的奇解是（）（A）（B）（C）（D）三、計算題(25

10、%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.4.5.四、求下列方程的通解或通積分(30%)1.2.3.常微分方程測試題7一.解下列方程(80%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.y-x(+)dx-xdy=04.2xylnydx+dy=05.=6-x6.=27.已知f(x)=1,x0,試求函數(shù)f(x)的一般表達(dá)式。8一質(zhì)量為m質(zhì)點作直線運動，從速度為零的時刻起，有一個和時間成正比（比例系數(shù)為）的力作用在它上面，此外質(zhì)點又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為）。試求此質(zhì)點的速度與時間的關(guān)系。二證明題(20%)1.證明：如果已知黎卡提方程的一個特解，則可用初等方法求得它的

11、通解。2試證：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N試同齊次函數(shù)，且xM+yN0,則是該方程的一個積分因子常微分方程測試題8計算題.求下列方程的通解或通積分（70%）1.2.3.4.567證明題 （30%）8.在方程中，已知，在上連續(xù)，且求證：對任意和，滿足初值條件的解的存在區(qū)間必為9.設(shè)在區(qū)間上連續(xù)試證明方程的所有解的存在區(qū)間必為10.假設(shè)方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理條件，且，是定義在區(qū)間I上的兩個解求證：若，則在區(qū)間I上必有成立常微分方程測試題9一、填空題（30%）1、方程有只含的積分因子的充要條件是（）。有只含的積分因子的充要條件是_。、_稱為黎卡提方程，它有積分因子_。、_

12、稱為伯努利方程，它有積分因子_。、若為階齊線性方程的個解，則它們線性無關(guān)的充要條件是_。、形如_的方程稱為歐拉方程。、若和都是的基解矩陣，則和具有的關(guān)系是_。、當(dāng)方程的特征根為兩個共軛虛根是，則當(dāng)其實部為_時，零解是穩(wěn)定的，對應(yīng)的奇點稱為_。二、計算題（）1、若試求方程組的解并求expAt、求方程經(jīng)過（0，0）的第三次近似解6.求的奇點,并判斷奇點的類型及穩(wěn)定性.三、證明題（）、階齊線性方程一定存在個線性無關(guān)解。常微分方程測試題10一、選擇題（30%）1微分方程的階數(shù)是_2若和在矩形區(qū)域內(nèi)是的連續(xù)函數(shù),且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則方程有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是_3 _稱為齊次方程.4如果_

13、,則存在唯一的解,定義于區(qū)間上,連續(xù)且滿足初始條件,其中_ .5對于任意的,(為某一矩形區(qū)域),若存在常數(shù)使_ ,則稱在上關(guān)于滿足利普希茲條件.6方程定義在矩形區(qū)域:上,則經(jīng)過點的解的存在區(qū)間是_7若是齊次線性方程的個解,為其伏朗斯基行列式,則滿足一階線性方程_8若為齊次線性方程的一個基本解組,為非齊次線性方程的一個特解,則非齊次線性方程的所有解可表為_9若為畢卡逼近序列的極限，則有_10_稱為黎卡提方程，若它有一個特解，則經(jīng)過變換_，可化為伯努利方程二求下列方程的解 （35%）求方程經(jīng)過的第三次近似解討論方程，的解的存在區(qū)間4求方程的奇解567三證明題 （35%）1試證:若已知黎卡提方程的一

14、個特解,則可用初等積分法求它的通解2試用一階微分方程解的存在唯一性定理證明:一階線性方程,當(dāng),在上連續(xù)時,其解存在唯一常微分方程測試題 11一填空題（30%）。1、當(dāng)_時，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0稱為恰當(dāng)方程，或稱全微分方程。2、_稱為齊次方程。3、求=f(x,y)滿足的解等價于求積分方程_的連續(xù)解。4、若函數(shù)f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足利普希茲條件，則方程的解y=作為的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是_。5、若為n階齊線性方程的n個解，則它們線性無關(guān)的充要條件是_。6、方程組的_稱之為的一個基本解組。7、若是常系數(shù)線性方程組的基解矩陣，則expAt =_8、滿足_的點（）

15、，稱為方程組的奇點9、當(dāng)方程組的特征根為兩個共軛虛根時，則當(dāng)其實部_時，零解是穩(wěn)定的，對應(yīng)的奇點稱為_。二、計算題（60%）1、求解方程：=2、解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、討論方程在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過點（0，0）的一切解4、求解常系數(shù)線性方程：5、試求方程組的一個基解矩陣，并計算6、試討論方程組（1）的奇點類型，其中a,b,c為常數(shù)，且ac0。三、證明題（10%）。試證：如果滿足初始條件的解，那么常微分方程測試題13一、判斷題（10%）1方程是恰當(dāng)方程。（）2是三階微分方程。（）3是方程的通解。（）4函數(shù)組線性相關(guān)的充要條件是它們的

16、伏朗斯基行列式等于零。（）5方程是二階線性方程。（）二、選擇題（101方程定義在矩形域上，則經(jīng)過點的解的存在區(qū)間是（）。A B C D2與初值問題等價的一階方程組是_.A BC D3方程（是一個函數(shù)矩陣）的解空間構(gòu)成_維線性空間.An-1 Bn Cn+1 D4微分方程的一個解是（）A BC D5方程有積分因子（）A B C D三、填空題（20%）1方程通過點的第二次近似解是_。2當(dāng)_時，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0稱為恰當(dāng)方程，或稱全微分方程。3如果在且，則方程存在唯一的解，定義于區(qū)間上，連續(xù)且滿足初始條件，其中，。4若1，2，是齊線性方程的個解，為其伏朗斯基行列式，則滿足一階線

17、性方程5方程有僅與有關(guān)的積分因子的充要條件是_。6利用變量替換_可把方程化為變量分離方程_。7.若都是=A(t)X的基解矩陣，則具有關(guān)系：。8方程的一個特解是_9形如的方程稱為歐拉方程。10若是常系數(shù)線性方程組的基解矩陣，則expAt =_。四、計算題（60%）1求方程的通解。（8分）2求解下列初值問題：。（8分常微分方程測試題14一、判斷題（10%）1方程是二階非線性方程。（）2方程的通解是。（）3利普希茨條件是保證初值問題解的唯一性的充分條件而不是必要條件。（）4向量函數(shù)組的線性相關(guān)概念與它的相應(yīng)的分量線性相關(guān)概念并不等價。（）5若是階齊次線性方程的個解，其伏朗斯基行列式，則在I上線性相關(guān)。（）二、選擇題（10%）1曲線滿足方程（）A B C D2積分方程的一個解是（）A B C D3若微分方程有積分因子，則滿足（）A BC D4微分方程可化為（）ABCD5設(shè)有微分方程，則有（）（1）（2）（3）A方程（1）是線性方程式 B方程（2）是線性方程C方程（3）是線性方程 D它們都不是線性方程三、填空題（20%）1.含有自變量、未知函數(shù)及它的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱為_方程2利用變量替換_可把方程化為變量分離方程_。3方程的一個特解是_。4方程（是自變量）的對應(yīng)的特征方程是_。5一曲