高中數(shù)學論文：雙曲線中幾個存在性問題的探究

1、雙曲線中幾個存在性問題的探究在雙曲線內(nèi)容教學中，經(jīng)常會碰到有關(guān)存在性問題，歸結(jié)起來，有以下幾種情形要特別加以關(guān)注。一、過定點的雙曲線的弦中點恰為該定點，則此弦所在直線之存在性的探究問題1 過定點p(x0,y0)作直線l交雙曲線mx2ny2=1(m0、n0)于a、b兩點，若存在這樣的弦ab，它的中點恰為點p，則點p的坐標應滿足什么條件？解： 設a(x1,y1)，b(x2,y2)代入雙曲線方程，兩式相減，再利用x1+x2=2x0, y1+y2=2y0得直線ab的斜率k=（ y0），直線ab方程：yy0=k(xx0)代入雙曲線方程整理得：m（ny02mx02）x2-2mx0（ny02mx02）x n

2、y02+（ ny02mx02）2=0當m（ny02mx02）0時，則ny02+（ ny02mx02）2=0 此時點p（0，0）當m（ny02mx02）0時，判別式= 4 m ny02（ny02mx02）（1+ ny02mx02）0得mx02ny021，且y0若y0=由圖形對稱性知，當點p滿足mx02ny021時，存在直線ab，此時垂直y軸，記，則等價于 點所在區(qū)域為兩條漸近線所夾且有不含雙曲線的上下兩部分點所在區(qū)域為雙曲線內(nèi)的部分即含焦點的左右兩部分所以 點p(x0，y0)的坐標應滿足的條件是：或或（0，0）.二、過雙曲線焦點且長度為定值的弦之存在性的探究問題2 過雙曲線(a0,b0)的焦點f

3、(c,0)的所有直線中，是否存在被雙曲線截得弦長為定值l的直線ab，如果存在,有幾條?解： 若過f的直線ab交雙曲線兩支上,則弦長|2a若過f的直線ab交雙曲線同一支上,設過f的直線方程 ty = x-c 代入雙曲線方程整理得 記a、b兩點橫坐標分別為x1、 x2 x1+x2=當且僅當直線abx軸時，上式取到等號.弦長|af|+|bf|=（ex1-a）+（ex2-a）(e為雙曲線離心率)若2a 即e；若=2a即e=；若2a即1e時 若l，則這樣的直線ab有且只有四條；若l=，則這樣的直線ab有且只有三條；若2al，則這樣的直線ab有且只有二條；若l=2a，則直線ab有且只有一條；若l2a，則這

4、樣的直線ab有且只有四條；若l=2a，則這樣的直線ab有且只有二條；若l2a，則這樣的直線ab不存在.當1e2a，則這樣的直線ab有且只有四條；若l=2a，則這樣的直線ab有且只有三條；若l2a，則這樣的直線ab有且只有二條；若l=，則直線ab有且只有一條；若l1）（）所以當時，點不存在.四、過定點與雙曲線有唯一公共點的直線之存在性的探究問題4 過點p(x0,y0)作直線ab與雙曲線 (a0、b0)有且只有一個公共點，問這樣的直線ab是否存在，如果存在， 則點p的坐標應滿足什么條件，并指出此時直線的條數(shù).解： 當點p（0,0）時，此時符合條件的直線不存在；當點p在其中一條漸近線上（除中心外）即（且x02+y020），則可引一條與另一條漸近線平行的直線，此時又只能引一條切線，所以有且只有二條直線滿足題設要求；當點p符合或00、b0)恒有公共點，求雙曲線的離心率的范圍.