課時跟蹤檢測(五十三)　最值、范圍、證明問題

1、課時跟蹤檢測(五十三)最值、范圍、證明問題(分A、B卷，共2頁)A卷：夯基保分1已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、對稱軸為坐標(biāo)軸，且拋物線x24y的焦點(diǎn)是它的一個焦點(diǎn)，又點(diǎn)A(1，)在該橢圓上(1)求橢圓E的方程；(2)若斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B、C，當(dāng)ABC的面積最大時，求直線l的方程2已知橢圓C：1(ab0)的一個焦點(diǎn)是F(1,0)，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線交y軸于點(diǎn)P(0，y0)，求y0的取值范圍3如圖，曲線M：y2x與曲線N：(x4)22y2m2(m0)相交于A，B，C，D四點(diǎn)(1)求m的取值范圍；(2)

2、求四邊形ABCD的面積的最大值及面積最大時對角線AC與BD的交點(diǎn)坐標(biāo)B卷：增分提能1(2015淄博模擬)已知橢圓C：1(ab0)的焦距為2，且過點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F2.設(shè)A，B是C上的兩個動點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，線段AB的中垂線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)求的取值范圍2(2015溫州十校聯(lián)考)如圖，過x軸上動點(diǎn)A(a,0)引拋物線yx21的兩條切線AP，AQ.切線斜率分別為k1和k2，切點(diǎn)分別為P，Q.(1)求證：k1k2為定值，并且直線PQ過定點(diǎn)；(2)記S為面積，當(dāng)最小時，求的值答 案A卷：夯基保分1解：(1)由已知得拋物線的焦點(diǎn)為(0，)，故設(shè)橢圓方程為1(a)將

3、點(diǎn)A(1，)代入方程得1，整理得a45a240，解得a24或a21(舍去)，故所求橢圓方程為1.(2)設(shè)直線l的方程為yxm，B，C的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由得4x22mxm240，則8m216(m24)8(8m2)0，0m28.由x1x2m，x1x2，得|BC|x1x2|.又點(diǎn)A到BC的距離為d，故SABC|BC|d，當(dāng)且僅當(dāng)2m2162m2，即m2時取等號當(dāng)m2時，滿足0m28.故直線l的方程為yx2.2解：(1)設(shè)橢圓C的半焦距為c.依題意，得c1.因?yàn)闄E圓C的離心率為e，所以a2c2，b2a2c23.故橢圓C的方程為1.(2)當(dāng)MNx軸時，顯然y00.當(dāng)MN與x軸不

4、垂直時，可設(shè)直線MN的方程為yk(x1)(k0)由消去y并整理得(34k2)x28k2x4(k23)0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，線段MN的中點(diǎn)為Q(x3，y3)，則x1x2.所以x3，y3k(x31).線段MN的垂直平分線的方程為y.在上述方程中，令x0，得y0.當(dāng)k0時，4k4，當(dāng)且僅當(dāng)4k，k時等號成立；當(dāng)k0時，4k4，當(dāng)且僅當(dāng)4k，k時等號成立所以y00或0y0.綜上，y0的取值范圍是.3解：(1)聯(lián)立曲線M，N，消去y可得(x4)22xm20，即x26x16m20，根據(jù)條件可得解得m4.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x2x1，y10，y20，則SABCD(

5、y1y2)(x2x1)()(x2x1) .令t，則t(0,3)，SABCD2，設(shè)f(t)t33t29t27，令f(t)3t26t93(t22t3)3(t1)(t3)0，可得當(dāng)t(0,3)時，f(t)的最大值為f(1)32，從而SABCD的最大值為16.令1，得m215.聯(lián)立曲線M，N的方程，消去y并整理得x26x10，解得x132，x232，所以A(32，1)，C(32，1)，kAC，則直線AC的方程為y(1)x(32)當(dāng)y0時，x1，由對稱性可知AC與BD的交點(diǎn)在x軸上，即對角線AC與BD的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)B卷：增分提能1解：(1)因?yàn)榻咕酁?，所以a2b21.因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)，所以1.故

6、a22，b21，所以橢圓C的方程為y21.(2)由題意知，當(dāng)直線AB垂直于x軸時，直線AB方程為x，此時P(，0)，Q(，0)，又F2(1,0)，得1.當(dāng)直線AB不垂直于x軸時，設(shè)直線AB的斜率為k(k0)，M(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21，y1y22m.由得(x1x2)2(y1y2)0，則14mk0，故k.此時，直線PQ斜率為k14m，PQ的直線方程為ym4m.即y4mxm.聯(lián)立方程組整理得(32m21)x216m2x2m220.設(shè)P(x3，y3)，Q(x4，y4)，所以x3x4，x3x4.于是(x31)(x41)y3y4x3x4(x3x4)1(4mx3m)(4m

7、x4m)(4m21)(x3x4)(16m21)x3x4m21m21.由于M在橢圓的內(nèi)部，故0m2.令t32m21,1t29，則.又1t29，所以1.綜上，的取值范圍為.2解：(1)證明：法一：設(shè)過A點(diǎn)的直線為yk(xa)，與拋物線聯(lián)立得整理得x2kxka10，k24ak40，所以k1k24a，k1k24為定值拋物線方程yx21，求導(dǎo)得y2x，設(shè)切點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(xp，yp)，(xq，yq)，則k12xp，k22xq，所以xpxq2a，xpxq1.直線PQ的方程：yyp(xxp)，由ypx1，yqx1，得到y(tǒng)(xpxq)xxpxq1，整理可得y2xa2，所以直線PQ過定點(diǎn)(0,2)法二：設(shè)切點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(xp，yp)，(xq，yq)求導(dǎo)得y2x，所以lAP：y2xp(xa)，又P(xp，yp)在直線上，即yp2xp(xpa)，由P(xp，yp)在拋物線上得ypx1，整理可得yp2xpa2，同理yq2xqa2，所以lQP：y2xa2，所以直線PQ過定點(diǎn)(0,2)聯(lián)立方程組可得x22xa10，所以xpxq1，xpxq2a，所以k1k22xp2xq4為定值(2)設(shè)A到PQ的距離