探求方陣的冪的計(jì)算方法

1、摘 要方陣是一類最特殊的矩陣，是高等數(shù)學(xué)中的重要部分，其應(yīng)用也是多方面的，不在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里,而且在力學(xué)、物理、科技等方面都十分廣泛的應(yīng)用. 比如數(shù)字圖像處理、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算幾何學(xué)、人工智能、網(wǎng)絡(luò)通信、以及一般的算法設(shè)計(jì)和分析等。在 線性代數(shù)中， 常涉及階方陣的冪的計(jì)算問題， 用定義計(jì)算方陣的冪十分繁雜，在分析一般矩陣乘法運(yùn)算對(duì)計(jì)算方陣高次冪運(yùn)算局限性基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)例介紹了數(shù)學(xué)歸納法，二項(xiàng)式展開法，矩陣分解法，對(duì)角矩陣相似法，Hamiltoncayley定理法等幾種方陣的冪的求解方法。而且的方陣的高次冪求解方法也進(jìn)行了探索。關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；方陣的冪；矩陣；高次冪；方法方陣的冪的一般計(jì)算方法數(shù)

2、學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中的一種重要的證明方法，常用來證明自然數(shù)n有關(guān)的命題，求時(shí),首先計(jì)算A的低次方冪，把結(jié)論猜想出來，然后用歸納法證明猜想成立。 例 1 已知，求 解：= =，= =猜想=，事實(shí)上，當(dāng)m=1，2， 時(shí)，結(jié)論成立。設(shè)當(dāng)m=k-1時(shí)結(jié)論成立，即= =故由歸納法可知，對(duì)任意指數(shù)m有=。二項(xiàng)式展開法 當(dāng)方陣A的主對(duì)角線上的元素相同時(shí)，A可以寫成一數(shù)量陣和另一矩陣B之和，如果B的高次冪易計(jì)算，則=可按二項(xiàng)試定理展開計(jì)算。例 2 設(shè)=，求（為自然數(shù)）解： =+記作I+B，由于I與B可交換， =+而=，=，=，= 故= ，所以=+ =+= 利用與對(duì)角矩陣相似求解 對(duì)于n階主陣，若存在逆陣

3、P，使得=diag（，），則=P diag（，），其中，為的n個(gè)特征根。 例 3 已知=，求 解：的特征多項(xiàng)式=（+2），所以的特征為=-2，=1 當(dāng)=-2時(shí)，解齊次線性方程組（-2I-A）=0,得其基礎(chǔ)解系為=。 當(dāng)=1時(shí)，解齊次線性方程組（I-A）=0。得其基礎(chǔ)解系為=，=。 令P=（，）=，則=diag（-2，1，1），于是= P diag，又= 所以=為所求。 結(jié)論方陣的冪的計(jì)算方法多種多樣，上面所介紹的方法不一定就是最簡(jiǎn)單的方法。而在解決具體問題時(shí)，要根據(jù)方陣的特點(diǎn)，選擇最合適，最簡(jiǎn)單的方法求解。然而能熟練選擇出最簡(jiǎn)單的計(jì)算方法需要在實(shí)踐中逐步提高。各種求解方法也不是獨(dú)立存在的，很多時(shí)候需要多種方法配合使用，因此了解更多的方法對(duì)求解方陣的冪是有幫助的。在解決實(shí)際問題時(shí)候，不要拘泥與任何固定的方法，需要運(yùn)用矩陣的特性以簡(jiǎn)化計(jì)算。方法是固定的，人的思維是活動(dòng)的，只有建立在固定的方法的基礎(chǔ)上運(yùn)用活動(dòng)的思維去思考問題才有質(zhì)的突破。參 考 文 獻(xiàn)1 徐仲等.線性代數(shù)分析集M.西安：北工業(yè)大學(xué)出版社，20002 陳文燈.線性代數(shù)M.北京：國(guó)財(cái)政經(jīng)濟(jì)出版社，20013 張遠(yuǎn)達(dá).線性代數(shù)原理M.上海：海教育出版社.19974 柳柏濂.組合矩陣論M.北京:科學(xué)出版社，1996：192-