矩陣分析課后習(xí)題解答

1、矩陣分析課后習(xí)題解答第一章線性空間與線性變換（以下題目序號(hào)與課后習(xí)題序號(hào)不一定對(duì)應(yīng)， 但題目順序是一致的，答案為個(gè)人整理，不一定正確，僅供參考，另外，此答案未經(jīng)允許不得擅自上傳）ffl 11試證所有施階對(duì)稱矩陣組成心尹2維線性空閭$ 所有n階反對(duì)稱矩陣組成噸產(chǎn)維線性空間.證明；用E表禾丹階矩陣中除第i行第1列的元索為】外. 其余元索全為0的矩陣-用=表示沖階甲陣中除第#行第列元索與第j行第*列元素為1外，其于元素全為0的矩陣顯然氏都是對(duì)稱矩陣，耳有科 個(gè)，比有叫山個(gè)不難 證期盼E,晨線性無關(guān)的且任何一個(gè)對(duì)稱矩陣都可用這 + 空牙衛(wèi)=空尹2個(gè)矩陣錢性表示此即對(duì)蘇矩陣組成叢護(hù)2 維線性空間.同樣可

2、證所有階反對(duì)稱矩陣銀成的線性空間的維數(shù)為 1）評(píng)注，欲證一個(gè)集合在加法與數(shù)乘兩種運(yùn)界下是一個(gè) 必號(hào)堆線性空間只需找出也尹2個(gè)向量線性無關(guān).井且集 合中任何一個(gè)向量都可用這彎衛(wèi)個(gè)向量線性表示即可.例15在應(yīng)中求矩陣II 2A =LO 3在基E、=rCT下的坐L方法一 設(shè)A=釦民十壯艮+心雖十才廚0L1+1rir0-i-0in+01-0O0-LO21才| 4- xt + jrt +3L -r, -H Tt1*1 + % + jt/工i-于是X| + x: + xj + x4 = L,+ xa += 2才i十才r = 0.= 3解之得工a 3.才 K 3才？ = 2. 乂4 1即乙在EEEE.下的塑

3、標(biāo)為(3* 3,2一1二方廉二 應(yīng)用同構(gòu)的概念，應(yīng)是一個(gè)四維空IBB并且可將矩 陣 A 看作(b203)T#Mt4 可看作 o)TXbno,o)t(i,o,o,o)T-于是有111r1 0 0 0： 3*11102=0 10 0 : - 38110 000 0 1 0 ! 2faLi 0 0 03.0001 J - j此找在E4下的坐拯為3, 32* 1JT*評(píng)注丫只需按照向it坐標(biāo)定義計(jì)算.例乩6試證在R3中矩陣ri rri n Ir3 0a(=,a$ =,6 =、”4-1 i -Lo 1.-1 0-1 1J線性無關(guān)即ri r+叩M+ A3ri r+筑ri crLi 1，Lo 1J-)0-i

4、 i-為+人+入+人乩十馭+為=0#、+爲(wèi)+ k* 占+忍+札于是心+ b +爲(wèi)+忍*= 0d十虹+婦=0“I + b + 匕 0 0*+ 址 + 冷4 = 0解之得傳=b = *， A* = 0故6 *6心猝6線性無關(guān)*9J 110已知R4中的兩組基5 = 1, 1 0 0T* 6 = f0* 1 1 * 0T*6 = 0.04, - I1, cr4 h 10,0,1TA = 2，一 ld A N 0,3，0TA = 532lh A = 6r6a,3T-就1）由基務(wù)心，5心到墓久弟俠的過撲矩陣.“（2）求向壯g二1*010T在基仕僅點(diǎn)、P*下的坐標(biāo)*(1)設(shè)將5*6與A ?A*A*A代人上式

5、得205611o o r1336-1 0 01 】2 10 - 1 1 0L 1013_-0 0-11-故過渡矩陣22713.7001101一 1100_ !J21 L2*a2157429 T52n2810（2）設(shè)T01(A 伙AA)2yi-0J將3 點(diǎn)坐標(biāo)代人上式后整理得r_百 * 2061 _tT81336027-1121!1L 1013 -O227 J評(píng)注土只需將代入過渡矩陣的定義久弘爲(wèi)/=6 aiTa3aJP計(jì)算岀只fl 1 12 巳知6 = h2ilT, A = E2 io i JT A = El * 一 1*3*7下求呂p“5,6與暫汕呂羊的和與交的越和維數(shù).鮮：因?yàn)閟pana（

6、crj + spanAA = span（a（ ,anA A 由秩（X”CXj .駕 R = 3、且6沖”件是向 A的一個(gè) 極大線性無關(guān)組，所以和空間的維數(shù)是3基為6 血,方莊一 設(shè)f Gspan at 1 f）span ft于是由交空間定文可知 = g + g = z.A + 3此即T:廠 曠r r21+展11+爲(wèi)一 10+ “4-13=01-!L i.解之得& =厶，為=4耳人=一鷗（厶為枉意數(shù)） 于是gf 6 +g =址一 52,3.4t（很顯然 | = AA +心 所以交空間的維數(shù)為1基為一5,氛3.4丁方法二不難知spana1Ta2 u Spana#a4 , pan(ft 佩 = sp

7、如乩0 ； 其中 * -2. 20門1,0；=普2丄0二又 span (a, ,cri I 也是線性方程組 = X* 2x 4jTg 2Tj 一 工4的解空間-sPanftfp；是線性方程組ljr3 =的解空間、所以所求的交空間就是線性方程組屯一孔=2x3 x413,.廠= 丁斗十2耳的解空間*容易求出其基礎(chǔ)解系為1-5,2,3,47,所以交空間的維 數(shù)為1、基為氣2,3紐4下評(píng)烷：本題有幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)是很更要的.(16的基底就是5心門的極大線性無關(guān)組維數(shù)等于秩6； a“ ，工 2) span就是求向撤 e -Bt可由6心2線性表示，又可由A，A線住衰示的那部分向量.(4) 方法二是借用“兩個(gè)齊次

8、線性方程組解空間的交空間就是聯(lián) 立方程組的解空間J將本題已知條件改造為齊次線性方程組來求w - L7設(shè)屋所有次數(shù)小于4的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式組成的線性空間求多項(xiàng)式p(_r) = 1 + 2”在基1*h 1, (r 1 )2 m嚇的坐標(biāo).M：方法一（用線性空間理論計(jì)算）1o/（工=1 + 2P =0-2= 1* 一 1.（直一1幾（=1刃 vJi又由于l,x 】，（丁一 1訂a,g,.一0_ 1100_00I _ r-231 一 301-于是護(hù)（Q在基“一1心一 1尸心一 1尸下的坐標(biāo)為1 - 11_廠T01_ 2306001一 306|001-2方法二 將/(x) = 1 + 2F根據(jù)幕級(jí)數(shù)公式按込一

9、1展開可 得機(jī)才=1 + 2xs=p(l) + p(I)3 1+- l)a +一 I)1=3 + 6(j 一 1) + 6(x - l4 + 2(x 一 l)a因此pd)在基1山一1,心一1代(工一1尸下的坐標(biāo)為3*6*6, 2卩評(píng)注I按照向倣坐標(biāo)定義計(jì)算第二種方法比第一種方法更 簡(jiǎn)單一些W 123設(shè)-心是線性空間疋上的線性變換它在用中基 Of ,6,6的矩陣表示是123A =103L215,(1) 求在基仇=a“役=6十毎屆=6+吧+鳥下的矩陣 表示(2) 求在基|，毎,6下的核與值域: (1)由題意知占a“aOr訂=a“a”aA1 1 rCA * A * A J =【6 q” oil-00

10、 L設(shè)3在基帚爲(wèi)屆下的矩陣表示是血?jiǎng)tj 1 r1123_1 i rB = P AP =0 11一 10 30 1 1_0 0 L1 1215._00 L444=3 4 6-23 亂(2) 由于AX-0只有零解所以3的檢是零空 間由維數(shù)定理可知、玻的值域是線性空間以1 - 12 設(shè)找性變換L*在基卬=一1,1丁2* =一 Ot lTajLOilfl7下的矩陣表示為1o- rA 110123一 求E在基占二1.0.W尸0丄盯間=02八丁 F 的矩陣表歳(2)求*的樓與値域.1-12-解.(1)由JK韋知一】1(T斶心“旳=靳気上訂 101-1 1 I,* 務(wù) _ =，耳.01 A 于是10勾並訂=

11、aa“務(wù)1011 11一 1 1r0 ar, ,Qra.60 1一 1.1 01.=t毎，6 卩其中-1 一 rP =0i 一 1-10 1.即為所求過渡矩陣設(shè)B是線性變換在莖缶店心下的矩陽表示，即于是3 1 0-B =嚴(yán)P =220_3 0 2_(2)由于方程組AX = 0的基砒解系是L* 一 I T所以的核子空聞N(A) = tpanfCT! tt( + or*) =* span 2t3T)3的值WlKM)=冷pan Id (or】*3(化片蟲列丐)* spana + or,耳心丄+ 26： fl| + 36=span0,0. 一 lT.K2arLli2*2 sp*n(0t0ilTTli2

12、i0 1（此處注意線性變換的核空間與矩陣核空間的區(qū)別）1.9. 利用子空間定義，是的非空子集，即驗(yàn)證對(duì)滿足加法和數(shù)乘 的封閉性。1.10. 證明同1.91.11. （解空間的維數(shù)）04 L21求矩陣A的列空間與核空間N（A）解：A的列空間&A)為A(A) =5panliO,lT*l4ar*r*2*61T=spanapanl f 0,1JT p0( 10T)又由于A的核空間為AX = Q的解空閭其基礎(chǔ)解系為1宀丁所以N(4) = s pan (11,1 2T(2) A的列空閭R(A)為A =3pan(0+ 1 *3*OT”2一4訂 *5*一 4*5*7* 10丁1span0v 1i3i02 41

13、*5丁A的核空樹為AX = 0的辭空間*其基礎(chǔ)解系為(一 3/J) 丁所以N(A) = span- 3,2tlT1.13. 提示：設(shè)，分別令(其中位于的第行)，代入，得；令(其 中位于的第行和第行)，代入，得，由于，貝打故，即為反對(duì)稱陣。 若是維復(fù)列向量，同樣有，再令(其中位于的第行，1位于的第行)， 代入，得，由于，貝打故1.14. 是矩陣，則1.15. 存在性：令，其中為任意復(fù)矩陣，可驗(yàn)證唯一性：假設(shè)，且，由，得(矛盾)&屮引g渝勺 f Q必仁“耳川/也監(jiān)和心劇. 嚴(yán)“冥：打個(gè)十神加 十加 t爲(wèi)I詞心皿莎嚴(yán) 児唸爲(wèi)休訂松”箱懸和彳勺紗爲(wèi)加皿例幾27求矩陣A的特征值與特征向童.4 =* (2

14、) A Y1OjSL (1)A的轄征多項(xiàng)式* 1 0/ 刖=4 A 40=(入一2)2 1 人一2A的箝征值召=為=人亠厶當(dāng)A-2時(shí).特征矩陣2一 102一 1 10002一 1Q-.00a七=2t對(duì)應(yīng)于特征值 = 2的線性無關(guān)特征向董為工5 =匚2二6 = COOUT于是屬于特征值4-2的全部特征佝量為十其 中不全為零.(Z) A的特征多項(xiàng)式； -11|A - AJ = -1 An 亠 2Q+M一 1 一 I A人的特征值A(chǔ)三為=1 *爲(wèi)=2-1當(dāng)2=1時(shí)特征矩陣 1一 1一 V1T 1rA A -1-1-I0 0一 1-1一 L衛(wèi) 0Qj工i = _些一斗對(duì)應(yīng)于轉(zhuǎn)征值入=一】的線性無關(guān)特征

15、向量為6二一 10門丁干是屬于待証值人-一 1的全部待征向量為 際6十伙其中釘崗 不全為零-當(dāng)時(shí)，特征矩眸 2_ 1_ r*1 o ri A =J9一 1101 - 1.1一 13j.00 0_才1 = JT? * 丁2 = Xj對(duì)應(yīng)于特征值人=2的線性無關(guān)特征向量為=于是屬于持征值A(chǔ)=2的全部特征向最為6其中b不為琴.第二章xx和xx變換2 1 1 1 -31例3, 已知；*求的標(biāo)準(zhǔn)正LI 1 -1 0】交基*根據(jù)核空間的定義可知N）足方程組，21-11_341-10K心口0的鮮空WhiW得它的基礎(chǔ)解來為(X、= 0.1 * 1,0.0丫. % = - 1Qi = 一 5,O41t從而 N(

16、4)spanffi .or3 rCTjh首先應(yīng)用Schmidt正交化方怯得列A = n bld-0,03T,A =6 _ ?OJA 7 一滬=一屛$一*丄0幾直_*A a （6風(fēng)）直A 7 一 （jra）A _（良貢爲(wèi)f 寧貝+ 劈=殳1 然后再將A A.A單位化后，可得一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基X4=TKTCo,7r,7f,0-0?,v A r ySo 7T5 /io /iov _ A r 766135 卄j = l濟(jì)_濟(jì)濟(jì)荷rvJ 所以兒,兒即為NGO的標(biāo)椎正交基- -/岸佇佇隊(duì); 20丿S 保狗M(Z叫 2&vyA A 51Q、 ,(M川 卄 -r-協(xié)勾 億3 (久/專/ 二 i 塔.X*二孫加;蠶

17、w；T著山 為：;兔腫噸“V :品恥啤第笛二；如 常第：為就砌腫加 訛往爲(wèi)為呵w 2盼心加曲“小如汎驗(yàn)X糾 伽出也，餌一加7八沁處C。：打徹孜2 瀟監(jiān)加faluj-毎新人匸必跖打X （注意實(shí)空間與復(fù)空間部分性質(zhì)的區(qū)別）2.8法二：設(shè)（1在第行）；（1在第行）根據(jù)此題內(nèi)積定義 故是V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基（注意，在無特別定義的情況下，內(nèi)積的定義默認(rèn)為）WX 21求正交矩陣Q浚 0A0為対角矩陣巳知11o- r11一oA =0 - 1111011首先求出矩陣A的特征多項(xiàng)式 1嚴(yán)（入一 3）（AF1）.當(dāng)人=3時(shí)，求得矩陣A的屬于特征值人=3的單位特征向*當(dāng)人=一1時(shí)，求得矩薛鼻的屬于特征值的單位特征 r

18、 1|11 1T向量為 =J W當(dāng)A=1時(shí)求側(cè)矩眸a的JK于特征值1=1的單位特征向量 為青 * 7r*小& =。怎,。.力取于是有11 17T012017T1717T0一*017TL1丄2Q =_ 3 o o on0-1000 0 1 0M3-18已知下列正規(guī)矩陣.求尊矩陣。使得UhAU為對(duì)角 矩陣.p-1 i4 + 3i4i_62(1 a u100.(2) 4=4i4 一 3i2 6ii00,_6+2i_2 6i0 _0i il*1 (1) Qio oJ0- 0j首先求出矩陣A的待征多項(xiàng)式為iAE A|十2) 所以A的轉(zhuǎn)征值為為=i人n /2i 1為二0*對(duì)于特征值/Ti求得一個(gè)待征向 &

19、 =對(duì) 詢正值一/T i求得一個(gè)特征向X產(chǎn)了匚一 i J 丁. 對(duì)于特證值0,求得一個(gè)待征向量組=01卩 由于4為正規(guī)矩陣所以是彼就正交的.只需分 則將底必必單位化即可予是取2 _/720U6=左ZI；211ZF-T72 -而且有VYi00U*AU u0 -Zfi 0L0G0.4 + 3i4i6 2ig4i4 3i2 召i_6+2iZ 60 一；首先求出矩陣A的特征多項(xiàng)式為|-A|-（r+8I） 。一9人所以A的特征值為入=一94也=9匚電=乩對(duì)于特征值 7求得一個(gè)特征向量拓=一討1 iT對(duì)于特征值亦求得一個(gè)特征向產(chǎn)對(duì)干特征值9求fl|個(gè)待征向董當(dāng)尸卜X 專由于4為正規(guī)矩陣.所以是彼此正交的，

20、只需分 別將拓注“心單位化即可6 =-i 2 賞t、偽=1 2 13 3 J2 1 -T=_7T 3 *3 .于是取2i2_T從而有-一 / 0 0UHAU =0 9i 0.0092.15先求得使，假設(shè)，使，則有，依次式求得B,進(jìn)而求得P（此方法不一定正確）2.16將進(jìn)行列變換化為階梯型知可取為其中兩個(gè)基，另兩個(gè)基 可取，化標(biāo)準(zhǔn)正交基略。2.17 略第二章矩陣的分解例求下列矩陣的Jordan標(biāo)權(quán)形及其相似變換矩陣Z_1_1(1)2-1-212： C1）記(2)2 1L0 00 一 1012I02首先求出4的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形1一 1)J2A 2那么 A的初等因子為U 1尸故A的Jordan標(biāo)椎

21、形為n J =11 J再設(shè)P=乳由廠gpwj得心必必=X,庫卩乙”由此可得方程組 一 A)Xt n 0l(E-肋兀如_ X、1( - A)Xj = 0首先解第一個(gè)方程可得基礎(chǔ)解系為=1丄丁加=】.0丫, 不妨迭取jt=1八.0下但是不能簡(jiǎn)單選取x,=ri,o,ijR為 島還要保證非齊次線性方程組產(chǎn)一局有解又由于第 -I1,1_F三個(gè)方程與第一個(gè)方程是啊解方程組所以其的任意解具有形式 = tti + Cjf/j 7=1 (門 +，*羊 * 門門)*為了使第二個(gè)方程有解可選G，門的值使下面的兩個(gè)矩陣的 秩相等- )1_- 111 G + I?-!E A =-2 22一 222i-1 一 1一 1j

22、.一 11門-只要選取心=2門二一】即可.于層兒= 1*2. 門S將其代人第二個(gè)方程，并解之得禺=口 J “T二容易驗(yàn)證線性無關(guān)，所以取1 rP=12 1Lo 一1 L且有p認(rèn)尸=/(2)記2 10 -1_0 201A0 021.0 002-首先求出A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形7 2-1010A_ 20-1AE _A =00A_ 2-1L (200A Z1f A- 2那么A的初等因子為A2(A2)從而4的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為7 i 00_0 2 10J 0 0 2 0.0 0 0 2再求相個(gè)變換矩薛幾設(shè)尸=X 必,兒必且有P *=/即_210 Q-= L*i t z ILo 0 0 2j于是可得方程

23、組AX = 2Xlt AX. = + 2X7.AX* =兀 + 2&、AX二 2X,先求解線性方程組AX1=2Xl和A扎=2龍這是同解線性方程 組，可得其全部解為乩口,0,0了 +鈾0.0幾0丁.飢屜不金為 零為使 AXi=Xi + 2X2 有解，取 Xi = 1 00.0丁，求2) X, = X的全部解為為了使AXX. + ZX.有解取 人=0仏=】,再求解(A -2恵)船=辰=0八，1,0其全部解為 0“FtI、Q、nrJ丁.于是取 + 左十人一 11.12A 1 -丄+ F” 一1 一 & +0嚴(yán)A0JA1 + A_ 1A* + 1 .護(hù) 一 2a* + a _10o :100 I0Af

24、0AA2 -；”十扎-0+ A不一1001700 0A00A04 + A-卍一id_00A+疋(利用行列武因子方掛求解甘先求岀P3(A) = G !)(A 十)于是乩(才)二 I (A) =1, c/7(x)=才h (2 1 )3從而其Smith標(biāo)準(zhǔn)形為p 一 10 1L 0(A 1)3(A 4-評(píng)注：求人-矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)常用的方塗有兩種*初尊變 換搭與行列式說子不變因子法，根據(jù)所結(jié)題目不同，第一個(gè)題目 采用初等變換搖較好作而后兩個(gè)範(fàn)目用行列式因子祛求解更方 俺些.3.7、3.8 同 3.101 2 H試寫岀Jordan標(biāo)準(zhǔn)形均為1 0 01L0 0 2J的兩個(gè)矩陣右乩W：用陰種方法求解

25、此聽*方濟(jì)一 相似變換矩陣的方法對(duì)干任意一個(gè)可逆鉅薛幾 矩陣PJP y均與矩陣/相似，從而其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形必為幾于是任 取兩個(gè)不同的可逆矩陣八即可得到兩個(gè)矩陣A.B.方?jīng)i二 矩陣秩的方法，設(shè)從或M的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為卩 300 2 1|,0 0 2從而從或朋的Smith標(biāo)準(zhǔn)形為由此可拉ACS町的行列式因子為= 1 Df(A) = * D3(X) = (A - l)(A - 2Y 這樣的或有很多取表達(dá)式較為簡(jiǎn)單的矩陣，下列任何 -”種矩陣都可以20 茁1 0 01205* 1 0 2 01* Z 0.* ZJ_* * 2-_ * L* *1t r2 -01t02*02_002-402 一.

26、001.下面分析H 處元索取何值時(shí)才能保證以1為主對(duì)角元的 Jdan塊只冇一個(gè)以2為主對(duì)角元的Jorn塊也只有一 t 據(jù)求Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的第二種方法(矩陣秩的方法幾只要使 r(A 一 2恵)=2 或 r(B - 2E2即可.例如_20 丁7 o - r9 210 1 0D 1-.0 0 2_均可也但2 0 01 一】00 2 040 2 1_0 51,衛(wèi)02都不可哄例213用矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形求解線性傲分方程組djdjTt店=5十32djTj、擊=i &T| + 込一JTi這里夏“丁矢都是F的函數(shù)-：對(duì)方程組的糸數(shù)矩陣A求出其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形丿以及相T 1010】Q卜作變量替換 I

27、1J.那么原似變換矩陣代且F l4P = 其中A =_11(T010.0G一 L2012方程組可化成=Jy 一JFz=y y：y：“ 一 m -df3T心d?型d/gdrdvdr- 5=_卄可求得小=啟*+林兌=亂*m = *匕T*X,（/）工 ” + 5 （/）戸 2弘寓 + i；（2f + mXj（I） 4&F + 電（42 十 2）F + *北其中為山“島為任逼常H3.11方法同上3.12由知A的特征值全為0 （）,則的特征值全為1,根據(jù)行列 式與特征值的關(guān)系，則jF t$幷廿/l勺*丫=旳0伊7。加化茲1傳？33-26設(shè)A為旳階正規(guī)矩陣Arr兒為A的待征值，試 證：從4特征值為|缶卩川

28、嚴(yán)，人戸證期；由正規(guī)矩陣結(jié)構(gòu)定理（即教材定理3. 6*3）可知h存在酉矩陣D梗得UHAU = diag(AM,*，)于是屮=Alihg（入，入）l/x這樣有川” =6/413 8(t -工也加旅1為叫|人卩嚴(yán)入門護(hù)由于相低矩陣有相同的特征值，所以44特征值為&兒“訂9i 3 24 諛A為正定Hermite矩萍為股Hermite 試證*與BA的特征值實(shí)部為爭(zhēng).證明，設(shè)人為的任意一個(gè)待征值于是|A-Aa|=O.!|由于A為JE定的Hermite矩陣.所以存在町逆茹陣使得4 = 00將此戲代人|A-4A|=0中可得0 =丨巫一 0b證明：由于A是一個(gè)半正定的Hermite矩陣，所以A的丹個(gè) 特征值

29、和G人均為非負(fù)實(shí)數(shù)，又片#4于是從松宀人 不能 全為零邯么A + fi的特征值為右+ 1站+1 V九+】都是大于等I于1的散，且至少有一個(gè)大于1 .故M +- g + 1（人 + I）（無 + 1） I例326 設(shè)A是半正定Hermite矩陣是正定 Hermite矩陣，試證訂/1十因?yàn)锽為正定的I krmite矩陣所以存在可逆矩陣Q. 便鮒于杲M +釧冃 IA + QHqi aAQ- +EQ= |（C 戶AQ7 + j?| =油|VA（廠 +E| 由A是一個(gè)半正定的Hermite矩陣，可也是一個(gè)半 正定的Hermire矩陣由上題* | （+ | 1,故M +倒 ih3-19 設(shè)A是正定Herm

30、ite矩陣且AWIT.則AE3 19證明1由干人為Hermite 陣所以存在酉矩腎小 使得人*uA,VnAU w*_扎-其中入AO（/ = X熹曲幾又A為普矩陣*于搖|切=1遺樣有 入=1 上式即為lAUE.3-20 試證：仃）兩個(gè)半正定Hermite矩陣之和是半正定 的* 半1E定Hermite矩陣與正定Hermite矩碎之和是正定的3-20 (I)證明二設(shè)A與E均為半正定的Hrnni矩陣那 么對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)，肌都有Hermite -次 齊次式/(X) = XAX $ 0 J(X) = XHBX 0其中x=M豪皿于層有/(Ar)=xHu+s)xo，ii表明 A + 8也是一個(gè)半jE

31、定的Hermite矩陣(2)設(shè)A是一個(gè)半正定的Hermite矩陣個(gè) 為正定的Hermitt 矩陣*那么對(duì)于任盤一組不全為零的復(fù)數(shù)心 v，頭都有/(X) - XhAX A 0/(X) = XUBX 0于是有 八E =刑4押)*0,這表明A + B是一個(gè)正定的 Hermite矩陣側(cè)327 設(shè)A是正定Hermite矩陣是反Hermite矩陣. 試證:A+ff為可逆矩陣證陰*由予A是一個(gè)正定的Hermite矩陣，所以A可逆于是M + | = M + AAFI = A |E + A-BI其中|A|H0又Y 7也是正定的Hermite 陣長(zhǎng)反Hermite矩陣.由例324結(jié)論*可知A訶的待征01實(shí)部為0于

32、是E+A-W 的特征值種不為零*所以E + A Bf 工 5進(jìn)而M + BIHO，這表明4 + B是可逆矩陣.例 3- 17設(shè)A8均為正規(guī)矩陣，且有ABUA,證明:(】4至少有一個(gè)公共的待征向量丿C2)A.B可同時(shí)酉相似于上三角矩陣.即存4S陣評(píng)，使 得WHAW以及WBW均為上三角陣(3 A.B可同時(shí)西相似于對(duì)角矩陣$(4) A3與M均為正規(guī)矩陣.證朗；(1)設(shè)匕是矩陣A的圧于特fit值2的特征子空間.若 aeVi.HP 4cx = iff,M J4aABorT 由于 A8 = BA.所以有 A(Ba) = Mflcr)這表明BorVif從而匕是R的不變子空間故在X中存 在B的待征向量它也是A

33、的特征向趕.(2) 對(duì)A.B的階數(shù)用歸納掛證闕.當(dāng)札&的階數(shù)均為】時(shí).結(jié)論顯燃成立.沒單位向竄6是人山的一個(gè)公共特征向KU冉適當(dāng)選取應(yīng)一1個(gè)單位向0T“*Ct,使得g 心，*6,為掠權(quán) 正交基，于是l/ = raJt3ft-*,rj為酉矩陣且有Bax = bat, BV 如】不p b Q 進(jìn)一步可得BBU*鞏D =師這里0是lXCn-l)矩陣是 L0 1 算 n一個(gè)用一1階矩陣.另外也有曠購=札這里0是IX 0 用I(H-1)矩陣暹一亍就一1階矩陣”由 ABBA 又有/At/a) - (UBUn = kUmJ (UAE),于 是可得二盤血由此可推稈兒酚=號(hào)川故由歸納洙假設(shè)，存在 攔一 1階酉矩

34、陣叫.使得叭6匕=4這里心為一個(gè)上三角矩陣.記 ri o 1亠V- n _. tw=uv.于是有 U F J -WllBW =VW/HM7)VJ p q卩 =r* 的Lo vNLo aJLo v,J Lo a ww 是一個(gè)上三角矩陣.容易驗(yàn)證IV足酉矩陣.同樣可 得.WAW也是一個(gè)上三角矩眸(3) 由(2)可設(shè)WmAW = *,jSS R是一亍上三角矩陣，那么 WhAhWh,從而可得 AA=WRWh * WKWWdtRW.n WRWh * WWH u WCRRWAmA = WPHWH = W(j?KJ()W又A沖二臚兒斫以可得R為一個(gè)對(duì)角矩陣”同樣可證whbw也是一個(gè)對(duì)角矩陣(4) 由可設(shè)入1

35、riWHAW =. WhBW =.AJL于是有WABW =-A.J由正規(guī)矩陣結(jié)構(gòu)定理(即教材定理363可知AB為正規(guī)矩陣*那 么乩4也為正規(guī)矩陣.3-25 設(shè) 4h- -N試證：/ = 是曹柜陣 *3 25旺明，由已知條件可得曠=(A A +=(A + )*(A 一 E)于是CA + *(4 一 E)(4 + &XA ) M = (A + E) A + E)(A - )(A - ) =E同理可證這表明1/為酉矩陣3 27 設(shè)4C*X試證：d) A*和AAH都是半正定的 Hermite矩陣譏2) f A和的非零待征值相同.3 27 證明：(1 容易證明AhA利AAh祁是Hermite 矩陣任取oxecK么有AX =0 at AX0于是對(duì)于 Hermite 二次型/(X) = XHAH4Jt (AX)hAX總有這表明AhA崔半正定的HErnHW矩陣同樣可以 證明A4h也是一個(gè)半正定的Hirmi矩陣(2設(shè)矩陣A的秩為rA是扣C1的特征值燭屋A的特征 值那么它們均為實(shí)數(shù)由(1)可設(shè)入2為鼻兒$入A十匸=兒=* 0Ml 二旳耳 * 莎叫 A 1 N 殂* u * 0(/ = 1,2對(duì)于任栽一個(gè)FrKWc 由可知=而且臚蠱詳0,于是入又圧AmA的特征為其對(duì)應(yīng)的特證向