字相乘法進行因式分解講解與練習試題

1、十字相乘法進行因式分解 【基礎知識精講】 ( 1)理解二次三項式的意義； ( 2)理解十字相乘法的根據(jù)； ( 3)能用十字相乘法分解二次三項式； ( 4)重點是掌握十字相乘法，難點是首項系數(shù)不為1 的二次三項式的十字相乘法 【重點難點解析】 1二次三項式 22 多項式ax bx c，稱為字母x的二次三項式，其中 ax稱為二次項，bx為一次項，c為常數(shù)項.例 如，x 2x 3和x 5x 6都是關(guān)于x的二次三項式. 在多項式x2 6xy 8y2中，如果把y看作常數(shù)，就是關(guān)于 x的二次三項式；如果把 x看作常數(shù)，就是 關(guān)于 y 的二次三項式. 在多項式2a2b2 7ab 3中，把ab看作一個整體，即

2、2(ab)2 7(ab) 3，就是關(guān)于ab的二次三項式.同 樣，多項式(x y)27(x y) 12，把x+ y看作一個整體，就是關(guān)于 x+y的二次三項式. 十字相乘法是適用于二次三項式的因式分解的方法. 2.十字相乘法的依據(jù)和具體內(nèi)容 利用十字相乘法分解因式，實質(zhì)上是逆用(ax+ b)(cx+ d)豎式乘法法則.它的一般規(guī)律是： (1) 對于二次項系數(shù)為 1的二次三項式x2 px q，如果能把常數(shù)項 q分解成兩個因數(shù) a, b的積，并且 a+b為一次項系數(shù)p，那么它就可以運用公式 2 x (a b)x ab (x a)(x b) 分解因式這種方法的特征是“拆常數(shù)項，湊一次項”公式中的x可以表

3、示單項式，也可以表示多項 式，當常數(shù)項為正數(shù)時，把它分解為兩個同號因數(shù)的積，因式的符號與一次項系數(shù)的符號相同；當常數(shù)項為 負數(shù)時，把它分解為兩個異號因數(shù)的積，其中絕對值較大的因數(shù)的符號與一次項系數(shù)的符號相同. (2) 對于二次項系數(shù)不是 1的二次三項式ax2 bx c(a, b, c都是整數(shù)且0)來說，如果存在四個整數(shù) 那么 ax2 bx c a1a2x2 (a1c2 a2c1)x c1c2 (a1x c1)(a2x c2 )它的特征是 “拆兩頭， 湊中間”， 這里要確定四個常數(shù)，分析和嘗試都要比首項系數(shù)是 1 的情況復雜，因此，一般要借助“畫十字交叉線”的 辦法來確定學習時要注意符號的規(guī)律為

4、了減少嘗試次數(shù)，使符號問題簡單化，當二次項系數(shù)為負數(shù)時， 先提出負號，使二次項系數(shù)為正數(shù)，然后再看常數(shù)項；常數(shù)項為正數(shù)時，應分解為兩同號因數(shù)，它們的符號 與一次項系數(shù)的符號相同；常數(shù)項為負數(shù)時，應將它分解為兩異號因數(shù)，使十字連線上兩數(shù)之積絕對值較大 的一組與一次項系數(shù)的符號相同用十字相乘法分解因式，還要注意避免以下兩種錯誤出現(xiàn)：一是沒有認真 地 驗證交 叉相 乘的兩 個積 的和是 否等 于一次 項系 數(shù)； 二 是由 十字相 乘寫 出的因 式漏 寫字母 如 ： 22 5x2 6xy 8y 2 (x 2)(5x 4) 3因式分解一般要遵循的步驟 多項式因式分解的一般步驟： 先考慮能否提公因式， 再

5、考慮能否運用公式或十字相乘法， 最后考慮分組 分解法對于一個還能繼續(xù)分解的多項式因式仍然用這一步驟反復進行以上步驟可用口訣概括如下： “首 先提取公因式，然后考慮用公式、十字相乘試一試，分組分解要合適，四種方法反復試，結(jié)果應是乘積式” 【典型熱點考題】 例 1 把下列各式分解因式： 2 2 2 (1) x2 2x 15；(2) x2 5xy 6y2 點悟：(1 )常數(shù)項15可分為3 X ( 5)，且3 + (-5) =- 2恰為一次項系數(shù)； (2)將y看作常數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次三項式，常數(shù)項6y2可分為(2y)( 3y),而(2y) + ( 3y) = ( 5y) 恰為一次項系數(shù) 解：( 1

6、) x2 2x 15 (x 3)(x 5) ； ( 2) x2 5xy 6y2 (x 2y)(x 3y) 例 2 把下列各式分解因式： ( 1) 2x2 5x 3；( 2) 3x2 8x 3 點悟：我們要把多項式ax2bx c分解成形如(a%GXax?c2)的形式，這里aa2a ,c1c2c而 a1c2 a2c1 b 解：( 1) 2x2 5x 3 (2x 1)(x 3) ； (2)3x2 8x 3 (3x 1)( x 3) 點撥：二次項系數(shù)不等于 1 的二次三項式應用十字相乘法分解時， 二次項系數(shù)的分解和常數(shù)項的分解隨機性 較大，往往要試驗多次，這是用十字相乘法分解的難點，要適當增加練習，積

7、累經(jīng)驗，才能提高速度和準確性 例3 把下列各式分解因式： (1) x4 10 x2 9； (2) 7(x y)3 5(x y)2 2(x y) ； (3) (a2 8a)2 22(a2 8a) 120 點悟： (1)把 x2 看作一整體，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 2的二次三項式； (2) 提取公因式 (x+ y)后，原式可轉(zhuǎn)化為關(guān)于 (x+ y)的二次三項式 (3) 22 以 (a2 8a) 為整體，轉(zhuǎn)化為關(guān)于 (a2 8a) 的二次三項式 解：(1) x4 10 x2 9 (x2 1)(x2 9) =(x+ 1)(x 1)(x+ 3)(x 3). 2) 7(x y)3 5(x y)2 2(x y)

8、 (x 2 y)7(x y)2 5(x y) 2 =(x+ y)(x+ y) 17(x+ y)+ 2 =(x+ y)(x+ y 1)(7x+ 7y+ 2). ( 3) (a2 8a)2 22(a2 8a) 120 22 (a2 8a 12)(a2 8a 10) (a 2)(a 6)(a2 8a 10) 點撥： 要深刻理解換元的思想，這可以幫助我們及時、準確地發(fā)現(xiàn)多項式中究竟把哪一個看成整體，才能構(gòu) 成二次三項式，以順利地進行分解同時要注意已分解的兩個因式是否能繼續(xù)分解，如能分解，要分解到不能再 分解為止 例 4 分解因式： (x2 2x 3)(x2 2x 24) 90 點悟：把x2 2x看作一

9、個變量，利用換元法解之. 解：設x2 2x y，貝U 原式=(y 3)(y 24)+ 90 2 y 27y 162 =(y i8)(y 9) (x2 2x 18)( x2 2x 9). 點撥：本題中將x2 2x視為一個整體大大簡化了解題過程，體現(xiàn)了換元法化簡求解的良好效果此外， 2 y 27y 162 (y 18)(y 9) 一步，我們用了 “十字相乘法”進行分解. 例5分解因式6x4 5x3 38x2 5x 6. 點悟：可考慮換元法及變形降次來解之. 解：原式 6(x 占)5(x丄)38 xx 21 21 x26(x-)25(x -)50, xx 1 令x y，則 x 原式 x2(6y2 5

10、y 50) x2(2y5)(3y10) 223 x (2x-5)(3x- 10) xx 2 2 (2x 5x 2)(3x10 x 3) (x 2)(2x 1)(x 3)(3x 1) 但是, 點撥：本題連續(xù)應用了 “十字相乘法”分解因式的同時，還應用了換元法，方法巧妙，令人眼花了亂. 品味之余應想到對換元后得出的結(jié)論一定要“還原”，這是一個重要環(huán)節(jié). 例6分解因式x2 2xy y2 5x 5y 6. 點悟：方法1：依次按三項，兩項，一項分為三組，轉(zhuǎn)化為關(guān)于(x y)的二次三項式. 方法 2：把字母 y 看作是常數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 的二次三項式 解法 1： 2 x 2xy 2 y 5x 5y 6

11、(x2 2xy 2 y )( 5x 5y) (x y)2 5(x y) 6 (x y 1) (x y 6) . 解法 2： 2 x 2xy 2 y 5x 5y 6 2 x (2y 5)x 2 y 5y 6 2 x (2y 5)x (y 6)( y 1) x (y 6) x( y 1) =(x y 6)(X y+ 1). 例 7 分解因式： ca(ca) bc(bc)ab(ab) 點悟： 先將前面的兩個括號展開，再將展開的部分重新分組. 解： ca(c a)bc(b c)ab(a b) 2 ac 2 ac b2c bc2 ab(a b) 2 c (a b) c(a2 b2) ab(a b) c2

12、(a b) c(a b)(a b) ab(a b) (a b)c2 c(a b) ab =(a b)(c a)(c b). 點撥： 因式分解，有時需要把多項式去括號、展開、整理、重新分組，有時僅需要把某幾項展開再分組.此 題展開四項后，根據(jù)字母 c 的次數(shù)分組，出現(xiàn)了含 a b 的因式，從而能提公因式.隨后又出現(xiàn)了關(guān)于c 的 二次三項式能再次分解. 4 2 2 例8 已知x 6x x 12有一個因式是x ax 4，求a值和這個多項式的其他因式. 點悟：因為 x4 6x2 x 12是四次多項式， 有一個因式是 x2 ax 4，根據(jù)多項式的乘法原則可知道另 個因式是x2 bx 3(a、b是待定常數(shù)

13、)，故有x4 6x2 x 12 (x2 ax 4) (x2 bx 3) 根據(jù)此 恒等關(guān)系式，可求出 a, b的值. 解：設另一個多項式為x2 bx 3，則 x4 6x2 x 12 2 2 (x ax 4)(x bx 3) 43 x (a b)x (3 4 ab)x (3a 4b)x 12 , 4243 x 6x x 12與x (a b)x (3 4 ab)x (3a 4b)x 12是同一個多項式，所以其對應項 系數(shù)分別相等即有 口Q 3 十 4 十 ob = 6, 3a+4i = l. 由、解得，a = 1, b = 1, 代入，等式成立. a= 1 ,另一個因式為x2 x 3. 點撥：這種方

14、法稱為待定系數(shù)法，是很有用的方法待定系數(shù)法、配方法、換元法是因式分解較為常用的方 法，在其他數(shù)學知識的學習中也經(jīng)常運用希望讀者不可輕視. 【易錯例題分析】 例 9 分解因式：5a2b2 23aby 10 y2 . 錯解：/10= 5X ( 2), 5 = 1X 5, 5X 5 + 1 X ( 2) = 23, 原式=(5ab+ 5y)( 2ab + 5y). 警示：錯在沒有掌握十字相乘法的含義和步驟. 正解：/5 = 1X 5, 10= 5X ( 2), $乂g 5 X 5+ 1X ( 2)= 23. 原式=(ab+ 5y)(5ab 2y). 【同步練習】 、選擇題 1.如果x2 px q (

15、x a)(x b)，那么p等于 () A. ab B. a+ b C. ab D. (a + b) 2 2.如果x (a b) x 5b 2 x x 30 ,貝U b為 () A. 5 B. 6 C. 5 D. 6 2 3.多項式x 3x a可分解為(x5)(x b),貝V a, b的值分別為 () A. 10 和2 B. 10 和 2 C. 10 和 2 D. 10 和2 4.不能用十字相乘法分解的是 () 2小 A. x x 2 2 2 B. 3x 10 x 3x 2 C. 4x x 2 D. 5x2 6xy 8y2 5 分解結(jié)果等于(x+ y 4)(2x+ 2y 5)的多項式是() A.

16、 2(x y)2 13(x y) 20 B. (2x 2y)2 13(x y) 20 C. 2(x y)2 13(x y) 20 D. 2(x y)2 9(x y) 20 6.將下述多項式分解后，有相同因式 x 1的多項式有 () x27 x 6 ； 3x2 2x 1 ； 2 x 5x 6 ； 4x2 5x 9 ； 2 15x 23x 8; 42 x 11x12 A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個 二、填空題 7 X2 3x 10 2 8. m 5m 6 (m + a)(m + b). a =, b =. 2 9. 2x 5x 3 (x 3)(). 2 2 10. x 2y (x

17、y)(). 2 n2 11. aa (_) ( ). m 13 若 x y= 6, xy 17，則代數(shù)式 x3y 2x 36 y2 xy3的值為 三、解答題 (1) 4 x 7x2 6 - 4 (2) x (3) 4x4 65x 2 2 . y 1 6y4 ； 6 (4) a (5) 6a4 5a3 4a2 ； (6) 4a6 15. 把下列 各式分 解因式 (1) (x2 3)2 4x2 ； (2) x 2(x 2)2 9 ; (3) (3x2 2x 1)2 (2x2 3x 3)2 ; (4) (x2 x)2 17(x2 x) 60 - (5) (x2 2x)2 7(x2 ；2x) 8 ;

18、(6) (2a b)2 14(2a b) 48. 16. 把下列 各式分 解因式 (1) (a b)x2 2 ax a b ； (2) 2 x (p2 q2)x pq(p q）（ (p q); (3) x2 2xy 3y2 2x 10y 1 8 - (4) 4x2 4xy 3y2 4x 1 l0y 3; (5) (x2 3x 2)(x2 7x 1 12) 120 ； (6) (x2 xy 2 2 y )(x xy 2y2 )12y4. 17. 已知2x37 ，x2 1 9x 60 i有因 式 2x 5, 把它分解因式 18. 已知x+ y= 2, xy= a+ 4, x3 y3 26, 求a的

19、值. 14 .把下列各式分解因式: 參考答案 3 36 7a b 8b ； 5x2 36 ； 37a4b2 9a2b4. 【同步練習】 1 . D 2. B 3. D 4. C 5. A 6. 7. (x+ 5)(x 2)8. 1 或一6, - 6 或 1 9. 2x+ 1 nn 10. xy, x+ 2y 11. 牙,a,_ 4m2m 12 . - 2, 3x+ 1 或 x+ 213 . 17 2 2 14. (1)原式(x 1)(x6) (x 1)(x 1)(x2 6) (2) 原式 (x2 9)(x2 4) (x 3)( x 3)(x2 4) (3) 原式 (4x2 y2)(x2 16y

20、2) (2x y)(2x y) (x 4y)(x 4y) (4) 原式 3 (a 8b3)(a3 b3) (a 2b)(a2 2ab 4b2 )(a b)(a2 ab b2) (5) 原式 a2 (6a2 5a 4) 2 a (2a 1)(3a 4) (6) 原式 a2 (4a437a 2b2 9b4) a2(4a2 b2)(a2 9b2) a2(2a b)(2a b)(a 3b)(a 3b) 2 2 15. (1)原式(x 3 2x)(x 3 2x) (x 3)( x 1)( x 3)( x 1) (2) 原式 x(x 2) 3 x(x 2) 3 (x2 2x 3)(x2 2x 3) (x 3)( x 1)(x2 2x 3) (3) 原式 (3x2 2x 1 2x2 3x 3) (3x2 2x 1 2x2 3x 3) (5x2 5x 4)( x 2)(： x 1) (4) 原式 (x2 x 1 2)(x2 x 5) (x 4)(x 3)( x2 x 5) 5) 原式 (x2 2x 8)( x2 2x 1) 2 (x 2)( x 4)(x 1)2 ( 6)原式 (2a b 6)(2a b