Hopf分岔的研究及其應(yīng)用-四川大學(xué)課程中心

1、四川大學(xué)本科畢業(yè)論文Hopf 分岔的研究及其應(yīng)用Hopf 分岔的研究及其應(yīng)用(數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) )學(xué)生 陳恒 指導(dǎo)教師 杜正東摘要 ：本文主要對 Hopf 分岔的概念作出表述 ,并對其相關(guān)判別進(jìn)行一系列的討論， 著重介紹了兩種常用的方法 ,即中心流形 Poincare Birkhoff 正規(guī)形方法和后繼函數(shù)法。最后 ,文章還給出了它在三次微分系統(tǒng)中的一個(gè)應(yīng)用。關(guān)鍵詞 ：分岔、平衡點(diǎn)、 Hopf 分岔 ,后繼函數(shù)1 引言微分方程理論在自動(dòng)控制、航天技術(shù)、生態(tài)生物等方面一直有著廣泛的應(yīng)用，在這些實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)通常都是一些含有參數(shù)的微分方程組?？紤]如下形式的系統(tǒng)：dXdtf (X, , )1)其

2、中， f : Rn Rp Rn 是充分光滑的函數(shù)， n2，p1，不妨設(shè)( , ) ，R， 為普適開折參數(shù)或其它自由參數(shù)。系統(tǒng)( 1)的解顯然隨參數(shù) 的變化而變化。如果 在 0 的一個(gè)小鄰域內(nèi)變?yōu)榉植韰?shù)，化時(shí)，系統(tǒng)( 1)在相空間的相圖拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，那么就稱系統(tǒng)發(fā)生了分岔，稱0 為分岔值。分岔是一種十分普遍的現(xiàn)象， 而且它對把握系統(tǒng)解的性質(zhì)和行為有著十分重要的意義。 分岔包括靜 態(tài)分岔和動(dòng)態(tài)分岔。 Hopf 分岔即是一種十分重要的動(dòng)態(tài)分岔現(xiàn)象，若系統(tǒng)(1 )發(fā)生發(fā)生 Hopf 分岔，則參數(shù) 在分岔值 0 附近變化時(shí)， 系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性發(fā)生改變， 并在平衡點(diǎn)的小鄰域內(nèi)產(chǎn)生周期解。 在實(shí)際

3、模型中 Hopf 分岔是十分普遍的。 例如：經(jīng)濟(jì)危機(jī)的周期性發(fā)生， 心臟的周期跳動(dòng)都是一種 Hopf 分岔。而今在應(yīng)用數(shù)學(xué)中， Hopf 分岔理論已經(jīng)成為研究微分方程小振幅周期解產(chǎn)生和消亡的經(jīng)典工具。 因此， 對 Hopf 分岔的研究是十分有意義的。本文討論了 Hopf 分岔，并對其研究方法作了一些總結(jié)，最 后給出了一個(gè)實(shí)際應(yīng)用。 2 基本概念不妨設(shè)系統(tǒng)( 1)的平衡點(diǎn)總在原點(diǎn) O，即：f (0, ) 0 設(shè) A( ) (Df )(0, ) ，且 A( )有特征值( H1)( ) i ( ), (0) 0, (0) 0 0(H2)A( ) 的其它特征值實(shí)部都小于 0在( H1)( H2)假定下

4、，這時(shí)可以證明(詳見文獻(xiàn) 5 )四川大學(xué)本科畢業(yè)論文Hopf 分岔的研究及其應(yīng)用存在分岔函數(shù) g0:Rn R1 R1,使得g0（x, ） xr（x2, ），并且 r（u, ） 0,（u x2 ）在原點(diǎn)附近的每 一個(gè)解都一一對應(yīng)到系統(tǒng)（ 1）的小振幅周期解。這里， g0 可由 Lyapunov Schmidt 約化得到。若再假設(shè)橫截性條件：（ H3）0 0成立。其中， | 0 0 ，那么系統(tǒng)周期解 r 滿足024（H4）rc0 c2r 2 c4r4 0其中， c0,c2. 是關(guān)于 的函數(shù)。且可證： （c0） 0等價(jià)于 0（0） 0 另由隱函數(shù)定理，可知（ H4）有唯一解 r 。若又有：（ H5）

5、c2 0 （ 0 ）x 使極限環(huán)的存在唯一性得到保證，那么：（H4）式即定義了一條漸近拋物線，且滿足對任意同號(hào)存在唯一 r 0 ，并且不存在 r 使 異號(hào)。該條曲線即為經(jīng)典 Hopf 分岔的圖像?，F(xiàn)在我們給出 Hopf 分岔的定義：定義 1 若系統(tǒng)（ 1）滿足條件（ H1）（H2）（H3）（H5），即稱該系統(tǒng)將發(fā)生 Hopf 分岔 。 這里，參數(shù) 不會(huì)引起系統(tǒng)相圖拓?fù)浒l(fā)生質(zhì)的改變，但是若系統(tǒng)不滿足條件（4）和（ 6）任意其中之一，則 將對系統(tǒng)產(chǎn)生重要影響。定義 2 若系統(tǒng)（ 1）對條件（ H3）（H5）至少有一個(gè)不滿足，則稱其為 退化 Hopf 分岔的情形 。 下面就對退化的 Hopf 分岔作

6、一些簡要的討論。情形 1 若（ H3）成立，而（ H5）不成立若 x R2 ，那么當(dāng)0時(shí)， x0 0 為細(xì)焦點(diǎn)，則（ H5）成立等價(jià)于一階焦點(diǎn)量不等于 0（ H5）不成立等價(jià)于一階焦點(diǎn)量等于 0定義 3 設(shè)系統(tǒng)第一個(gè)不為 0 的焦點(diǎn)量為第 k 個(gè)，則把 x0 0 稱為 k 階細(xì)焦點(diǎn) 。對系統(tǒng)（ 1）若 x0 0為 df f （ x,0,0） 的 k階細(xì)焦點(diǎn)，則dt1） 原系統(tǒng)在參數(shù) 變化時(shí)，至多產(chǎn)生 k 個(gè)小振幅周期環(huán)2） 對1 j k的每個(gè)正整數(shù) j,（ , ）在（0,0） 附近適當(dāng)擾動(dòng) ,可使原系統(tǒng)正好產(chǎn)生 j個(gè)極限環(huán)。情形 2 若（ H5）成立，而（ H3）不成立這時(shí)必 須用奇異性理論進(jìn)

7、行討論。通過 Lyapunov schmidt 約化，得 到分岔函 g0（x, ） xr（x2, ） ，然后轉(zhuǎn)為討論 r（u, ） 的奇點(diǎn)。限于篇幅，這里不再詳述 。3 Hopf 分岔的研究方法Hopf 分岔的研究方法很多，如文獻(xiàn) 5 總結(jié)出了 6 種不同的方法，包括：中心流形 Poincare Birkhoff 正規(guī)形方法（見 7 ）、 Lyapunov Schmidt 約化法（見 4 ）、 Lyapunov 常數(shù)法（見 1 ）、后 繼函數(shù)法（見 6 ）、平均法（見 2 ）以及內(nèi)蘊(yùn)調(diào)和平衡法（見 3 ）。四川大學(xué)本科畢業(yè)論文Hopf 分岔的研究及其應(yīng)用本文主要對兩種最常用的方法，即中心流形P

8、oincare Birkhoff 正規(guī)形方法和后繼函數(shù)法進(jìn)行討論。至于其它方法，有興趣的讀者看參看其后給出的相關(guān)文獻(xiàn)。、中心流形 Poincare Birkhoff 正規(guī)形方法這是十分著名的方法，如今已將此方法應(yīng)用到 Hilbert 問題的解決當(dāng)中。該方法是通過中心流形定理將高維系統(tǒng)約化到二維平面上，然后通過一個(gè)近似恒等變換將此二維系統(tǒng)化為PB正規(guī)形。最后依靠對 PB 正規(guī)形的討論得到極限環(huán)的周期關(guān)系，進(jìn)而判別Hopf 分岔?？紤]高維系統(tǒng)：dxdx f (x, ) dtx, f Rn,R (2)f 充分光滑， f (0, ) 0 且滿足條件( H1)( H2)(H3)其扭擴(kuò)系統(tǒng)為：dxdt f

9、 (x, )dudt(3)其線性部分矩陣為：dfx(0,0)dx0此時(shí)系統(tǒng)有一個(gè)三維中心流形。相應(yīng)的系統(tǒng)(2)可寫成A( )x h.o.t dt(4)其中， h.o.t表示高階項(xiàng)。令 q(u),q*(u)分別為 A( )關(guān)于 ( ) ( ) i ( ) 的右左特征向，即：或等價(jià)的有：對 u,v Cn 引入內(nèi)積。設(shè)A( )q( )(q*( )T A( )A( )q( )T*A( )T q*( )u1v1， v .nvn( )q( )( )(q*( )T( )q( )( )q* ( )nu,vukvkk1四川大學(xué)本科畢業(yè)論文Hopf 分岔的研究及其應(yīng)用總可以取合適的 q(u),q*(u)使得 q(

10、 ),q( )* 1,易知 q( )*,q( ) 0取非異實(shí)矩陣 P0 (Re q (0) Im q(0)B) ，其中 B為n (n-2) 階矩陣 ,使得P0非奇異 。令 x P0y， 即 y P 1x可以將( 3)化為o000ddt0 y G(y, )0則系統(tǒng)有三維局部中心流形，即 存在0 中心流形表示為：( y, ) y1, y2 w y1,y2Rn , y1,y2 ，其中 w:R2 R Rn 2由此得到中心流形在 (x, ) 坐標(biāo)下的表達(dá)式：n2 (x, ) n 1(x, ) ( y1 Req(0) y2Im q(0)ej j, )n j 1其中 e1 ,., en為 Rn的標(biāo)準(zhǔn)正交基；

11、 w (w1,., wn 2) ?？梢钥闯捎善?x Rn 1 (x, ) 拼湊而成。中心流形是三維的，而對固定的 每個(gè)片 是二維的，則系統(tǒng)約化到每個(gè)片上去，可得到二維系統(tǒng)。令 z(t) q*( ), x(t) ， 則w(t) x(t) z(t)q( ) z(t)q( ) x(t) 2Re z(t)q( ) 這里實(shí)際上給出了一個(gè) Rn 的直和分解。因?yàn)椋頟1 I q(q*)T q(q* )T 2Req(q*)TP2 I P1可以證明 P1,P2 都是投影算子，且P1xz(t)q z(t)qP2x(t)x(t) P1x P2x至此原方程變?yōu)?z(t) ， w(t) 的微分方程，即可將系統(tǒng)( 4)

12、化為：dz5)( )z G(z,z, , ) ddut du A( ) H(z,z, , )且G(z, z, , ) 0q*( )f(w 2Re(2 q), H(z,z,w, ) f (w 2Re(2 q), ) 2Re( q)四川大學(xué)本科畢業(yè)論文Hopf 分岔的研究及其應(yīng)用在片 u 上有局部坐標(biāo)表示：( 5)約化到上為：x (z,z, ) 2Re zq( )dt ( )z g(z,z, )dtg(z,z, ) G(z,z, (z,z, ), )其中， w(z,z, ) 滿足dwdt A( )w H(z, z,w, )至此已由中心流形將一個(gè)高維系統(tǒng)約化到一個(gè)二維系統(tǒng)，不妨將二維系統(tǒng)設(shè)為dx f

13、 (x, ),x 2,dtf(0, ) 0 且滿足條件( H1)( H3)又由于 fx(0, ) (此處為 Frechet 導(dǎo)數(shù))可通過一線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)型故不妨設(shè)系統(tǒng)為dx( )dt( )( ) x h.o.t()6)令 z x1 ix2 則系統(tǒng)( 6)可寫成復(fù)數(shù)形式dz dt( )z g(z,z, )其中 ( ) ( ) i ( ) 。這時(shí)可以證明見文獻(xiàn) 7 )存在一個(gè)近似恒同變換 zx( , , ) 將系統(tǒng)化為如下形式的 PB正規(guī)形：ddt( ( ) i ( )cj( )j12jh.o.t7)2)的討論就簡化為討論P(yáng)B 正規(guī)形。這樣我們對原高維系統(tǒng)( 最后，對 PB 正規(guī)形進(jìn)行討論： 當(dāng)

14、0 時(shí)，系統(tǒng)( 7)化為此時(shí)原點(diǎn) O 為中心，周圍全是周期為ddti0T 0 的周期解。四川大學(xué)本科畢業(yè)論文Hopf 分岔的研究及其應(yīng)用2當(dāng) 0 時(shí)，設(shè)周期 T( ) h.o.t ， ( ),T( )分別有 Taylor 展式0( ) 0 2 (x1) 0等價(jià)于方程 (8)0以(0，0)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。 此時(shí)對充分小的 ，0存在函數(shù) x1 x1( ) .2T( ) T0(1 1 2 2 .)通過考慮 Cauchy 問題c1( ) h.o.t并比較系數(shù)可得：Re c1 (0)(0)(0)(Im c1(0) 2(0) 2010當(dāng) 2 0 時(shí)，向 0時(shí)，向 0 方向產(chǎn)生穩(wěn)定極限環(huán)。二、后繼函數(shù)法該法首先

15、是將系統(tǒng)的線性近似方程化為平衡點(diǎn)在原點(diǎn)且滿足中心的形式， 然后對系統(tǒng)作三角代換并 根據(jù)條件沿某個(gè)方向作冪級(jí)數(shù)展開，最后定義后繼函數(shù)通過其O 點(diǎn)與周期解的關(guān)系來判別。這里只討論二維的情況。 若是高維系統(tǒng)， 可通過中心流形定理將其約化到平面上即可。 因此， 我們 可方便的通過二維 Hopf 分岔定理來判別。22定理 設(shè)w R2， w是開集， f :w(- 0, 0) R2, f (x, )是 x w, ( 0, 0) 上的解析函且周期為2()數(shù)。方程dxf (x, ) (8) dt對任意 有平衡點(diǎn) O(0，0)，且 f (x, )在 x0處對 x的導(dǎo)算子 Df (0, )記做 A( ) 。A( )

16、 的特征值為共軛復(fù)數(shù)( ) i ( ), ( ) 0，又 (0) 0,d ( ) (0) 0 0 d則對充分小的 x，存在唯一解析函數(shù)(x) 有 (0) 0使方程 (8) 經(jīng)過點(diǎn)( x，0)的軌道為閉軌，有 x1(0) 0 使方程 (8) 經(jīng)過點(diǎn) (x1( ),0) 的軌線是漸近穩(wěn)定閉軌，且lim0 x21m( ) k 0m是某正整數(shù))四川大學(xué)本科畢業(yè)論文Hopf 分岔的研究及其應(yīng)用3)(x1) 0等價(jià)于方程 (8)0以(0，0)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)， 此時(shí)充分小的， 0 存在函數(shù) x x( )有 x(0) 0 使方程 (8) 經(jīng)過點(diǎn) (x( ),0) 的軌線是不穩(wěn)定閉軌線，且 lim x1( ) k

17、 0(m是某正整數(shù)) 0 2m4 應(yīng)用考慮如下的三次微分系統(tǒng)：9)xy1 2 2y 8 12 x 4 y ( 6 )x2 (a2 4 )xy (a3 2a6)y21 3 1 2 2()x3 ( a2)x2y a6xy242其中， a2 0, 0 且 1 ,1從系統(tǒng)易知有平衡點(diǎn) (2,0), P(8 14,0), P (8 14,0)?？紤] P(8 4 ,0) ，為方便記 8 4 。作變換 11xu yv 將P 移至原點(diǎn)，得：uv1 1 2 2 v u ( 6 ) 3()u2 (a3 2a6) a6 v21 1 3 (a2 4 ) 2( a2 ) uv ( )u3 2 2 2 41 2 2( a

18、2)u2v a6uv222 a 1若2 ,且 a2 0，i.e. a21 ,則系統(tǒng)化為 ：a2uv1 3 2 2 (2 a2)(2 a2) 3v u ()u2 (a3 2a6) a6 v2 a2uv ( 2 22 )u32 a24a21 2 2( a2 )u2v a6uv22四川大學(xué)本科畢業(yè)論文Hopf 分岔的研究及其應(yīng)用又易得 0 ，再作變換1u 1 gvh系統(tǒng)可化為：ghhg13(2 a2 )T22 g (a3 2a6 ) a6 ha22 gh1(2a2)(2 3 a2)g3 (2a2T )g2ha6 gh2(12 3a ) adr 2 a2 cos2 (a3 2a6 ) a6 sin 2

19、a2 cos sin r 2 sin1(2a2 )(2a2 ) )cos32cos2sina6cossin2r 3sindrdt(d dt2 a2a234a22 ( )2(12 3a ) 2 2 2 cos2 (a3 2a6 ) a6 sin 22 a2a2 cos sin rcos(1a )(2 a2)(2 a2 ) )cos3 2 cos2 sin a6 cos sin2 r 2cos34a22 ( )2為方便記：13(1 3 )2 a2A2(a3 2a6 ) a6a2C(2 a2)(2 a2)34a22 ( )2(12a2 )E2a634a22( )2顯見，微分方程組線性部分矩陣特征值為

20、一對純虛根，即為中心。于是應(yīng)用后繼函數(shù)法計(jì)算一階焦點(diǎn)量L1 。作變換g rcosh rsin則：將t 消去，得：四川大學(xué)本科畢業(yè)論文Hopf 分岔的研究及其應(yīng)用由 1 , 1可知：R2( )r2 R3( )r 3 .1 2 2 2 2 2( Acos2Bsin2Ccos sin )r2sin D cos2Ecos2sin2 2 2 2 3F cos sin2 sin ( Acos2Bsin2Ccos sin )2r3 cos sin .23設(shè)解為 r r1( )c r2( )c2 r3( )c3 .則r2( )0 R2()d，r3()0 R3()d2 0 R2()r2()d即得一階焦點(diǎn)量為：2

21、2L1 r3(2 ) 0 R3( )d 2 0 R2( )r2( )d代入 r2( ),R2( ) ，整理計(jì)算得：256a2 2 ( a2)3 (2 8a3 16a6)(a2)2 (16a3 4)a2 8a2 3sgn(L1) sgn( ( 2 ) ) sgn( a2 )所以由 L1可知 ：0， L1 0，在 a2 附近 于是在 P 發(fā)生分岔，也即在 P 沿著曲線 H ( , ) 當(dāng) a2當(dāng) a2，為穩(wěn)定極限環(huán)；a2，為不穩(wěn)定極限環(huán)。a2發(fā)生 Hopf 分岔。a2 , a20a22參考文獻(xiàn) ：1 F.Gobber and K.D.Willamowski， Lyapunov approach t

22、o multiple Hopf Bifurcation ,J.Math. Anal.Apple.71(1979), pp.333-350.2 S.N.Chow and J.K.Hale, Methods of Bifurcation Theory, Spring-Verlag,Berlin.New York,1982.3 K.Huseyin and P.Yu, Bifurcations associatedwith a simple zero eigenvalue and two of pureimaginary eigenvalues,in Oscillations Bifurcations

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