f分布t分布與卡方分布

1、1.4常用的分布及其分位數(shù) 1. 卡平方分布 卡平方分布、t分布及F分布都是由正態(tài)分布所導(dǎo)出的分布， 它們與正態(tài)分布一起，是試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)中常用的分布。 當(dāng)Xi、X2Xn相互獨(dú)立且都服從 N(0,1)時(shí)，Z= X；的分 i 布稱為自由度等于 n的2分布，記作Z2(n),它的分布密度 p( z)= z 1 2 e 0, z 0 其他, 式中的 n 1 e ud u，稱為 Gamma數(shù)，且 1 =1 , 丫與Z相互 P(z)= 1 z2 n 1 = . n。2分布是非對(duì)稱分布，具有可加性，即當(dāng) 2 獨(dú)立，且 丫2(n), z2(m，貝y 丫+z2(n+m。 證明：先令X1、X2、Xn、Xn+1、Xn+2

2、、Xn+m相互獨(dú)立且都 服從N(0,1)，再根據(jù) 2分布的定義以及上述隨機(jī)變量的相互獨(dú) 立性，令 y=x 旳+Xn, z=Xn 1+x2 2+- +Xn m， Y+z= X 2+x2+xn+%莒2+X2 m 即可得到丫+Z2(n+m。 2. t分布若X與丫相互獨(dú)立，且 XN(0,1) , 丫2(n)，則Z = X 丫的分布稱為自由度等 于n的t分布，記作Zt ( n)，它的分布密度 請(qǐng)注意：t分布的分布密度也是偶函數(shù)，且當(dāng) n30時(shí)，t分 布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0,1)的密度曲線幾乎重疊為一。這時(shí)， t 分布的分布函數(shù)值查 N(0,1)的分布函數(shù)值表便可以得到。 3. F分布若X與丫相互獨(dú)立，

3、且X2(n) , 丫2(m), 則Z= /的分布稱為第一自由度等于n、第二自由度等于 m的 n m F分布，記作 ZF ( n, m)，它的分布密度 n p(z)= z 0 其他。 22 (m n z) 2 0, z2 m ,n)。 請(qǐng)注意：F分布也是非對(duì)稱分布，它的分布密度與自由度的次 序有關(guān)，當(dāng)ZF ( n, m時(shí)，-F ( Z 4. t分布與F分布的關(guān)系 若 Xt( n)，則 Y=X2 F(1, n)。 x2 n n 1 證：Xt( n) , X的分布密度p(x)= 2 - n nn 2 Y=X 2 的分布函數(shù) FY(y) =PY y=PX20 時(shí)，F(xiàn)Y(y) =P- yXv y =yy

4、 p(x)dx=2 yp(x)dx, 丄1 y2 1 n (n y) 2 n 1 n n2 Y=X 2的分布密度pY(y)= 乙 1 n 2 2 與第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相 同，因此Y=X2F(1, n)。 為應(yīng)用方便起見，以上三個(gè)分布的分布函數(shù)值都可以從各自的 函數(shù)值表中查出。但是，解應(yīng)用問題時(shí)，通常是查分位數(shù)表。有 關(guān)分位數(shù)的概念如下： 4.常用分布的分位數(shù) 1) 分位數(shù)的定義 分位數(shù)或臨界值與隨機(jī)變量的分布函數(shù)有關(guān)，根據(jù)應(yīng)用的需 要，有三種不同的稱呼， 即a分位數(shù)、上側(cè)a分位數(shù)與雙側(cè)a分 位數(shù)，它們的定義如下： 當(dāng)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F（X），實(shí)數(shù)a滿足0

5、 a 1 時(shí)，a分位數(shù)是使 PX入=1 - F（入）=a的數(shù)入， 雙側(cè)a分位數(shù)是使 PX 入 2=1 - F（入 2）=0.5 a 的數(shù)入 2。 因?yàn)?- F（入）=a, F（入）=1 - a,所以上側(cè)a分位數(shù)入就是 1- a分位數(shù)X 1- a ； F（入1）=0.5 a, 1- F（入2）=0.5 a,所以雙側(cè)a分位數(shù)入1就是 0.5 a分位數(shù)X 0.5 a ,雙側(cè)a分位數(shù)入2就是1- 0.5 a分位數(shù)X 1 - 0.5 a u 0.5 2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的a分位數(shù)記作 Ua , 0.5 a分位數(shù)記作 a , 1- 0.5 a 分位數(shù)記作U 1- 0.5 a。 X 當(dāng) X N(0,1)時(shí)，PX

6、 Ua =F 0,1(u a )= a, PXU 0.5 a = F 0,1 (U 0.5 a )=0.5 a, PXU 1- 0.5 a = F 0,1 (u 1- 0.5 a )=1 - 5 a。 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性， 當(dāng) a =0.5 時(shí)，Ua =0 ； 當(dāng) a 0.5 時(shí)，Ua 0。 ua =- u 1- a。 如果在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值表中沒有負(fù)的分位數(shù)，則 先查出 u 1- a ，然后得到 ua =- u 1- a 。 論述如下：當(dāng) X N(0,1)時(shí)，PXV U a = F 0,1 (u a )= a, PX u 1- a =1- F 0,1 (u 1- a )

7、= a， 故根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性，ua =- u 1- a。 例如, U 0.10 =- U 0.90 =- 1.282 , U 0.05 = -U 0.95 = - 1.645 , U 0.01 = -U 0.99 =- 2.326 , U 0.025 =- U 0.975 =- 1.960 , U 0.005 =- U 0.995 =- 2.576 。 又因?yàn)镻|X|0 ,當(dāng) X2(n) 時(shí), PXV 2 a (n)= a。 例如,20.005 (4)=0.21 ,20.025 (4)=0.48 , 20.05 (4)=0.71 ,20.95 (4)=9.49 , 20.975

8、 (4)=11.1 , 20.995 (4)=14.9 。 4) t分布的a分位數(shù)記作t a (n)。 當(dāng)Xt (n)時(shí)，PX30時(shí)，在比較簡(jiǎn)略的表中查不到t a (n)，可用u 作為t a (n)的近似值。 5) F分布的a分位數(shù)記作 Fa (n , m)。 Fa (n , m)0，當(dāng) X F (n , m)時(shí)，PXFa (n , m)= a。 另外，當(dāng)a較小時(shí)，在表中查不出 Fa (n, m)，須先查 1 Fl- a (m n)，再求 Fa (n, m)= F1 (m , n ) a (m n)=1 - 11 =1 - a, P丄 V1 X 論述如下: 當(dāng) XF(m n)時(shí)，PX X F

9、1(m, n) 又根據(jù)F分布的定義， 因此 F a (n, m)= 丄F(n, m , X 1 F1 (m , n ) F i (m, n) P-Fa (n, X m) = a, 例如，F(xiàn) 0.95 (3,4)=6.59, F 0.975 (3,4)=9.98 F 0.99 (3,4)=16.7, F 0.95 (4,3)=9.12, F 0.975 (4,3)=15.1, F 0.99 (4,3)=28.7 F 0.01 (3,4)= 1 28.7 F 0.025(3,4)= 1 面,F 0.05 (3,4)= 1 9.12 【課內(nèi)練習(xí)】 1. 求分位數(shù) 2 0.05 (8), 2 0.95

10、 (12)。 2. 求分位數(shù) t 0.05 (8), t 0.95 (12) 3. 求分位數(shù) F0.05 (7,5)， F0.95 (10,12) 4. 由u 0.975 =1.960寫出有關(guān)的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù) 5. 由t 0.95 (4)=2.132寫出有關(guān)的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)。 6. 若X2 (4) , PX0.711=0.05 , PX9.49=0.95，試寫出 有關(guān)的分位數(shù)。 7. 若XF(5,3) , PX9.01=0.95 , 丫F(3,5) , Y1.44 i 習(xí)題答案： 1.2.73， 21.0 o 2.-1.860， 1.782。 3.丄，3.37 o4. 1.960 為上側(cè) 0.025 分位數(shù)，-1.960 與 1.960 4.88 為雙側(cè)0.05分位數(shù)。5. 2.132為上側(cè)