極限與連續(xù)基礎(chǔ)練習(xí)題含解答

1、第二章 極限與連續(xù) 基礎(chǔ)練習(xí)題（作業(yè)） 2.1數(shù)列的極限 、觀察并寫出下列數(shù)列的極限: -2,3,6,8l 極限為 1 11 3.an 2n 1 2n 2n 1 2n 2-1, 2,3,帀丄極限為0 n為奇數(shù) 極限為1 n為偶數(shù) 2.2函數(shù)的極限 、畫出函數(shù)圖形，并根據(jù)函數(shù)圖形寫出下列函數(shù)極限: 1. lim ex x 極限為零 2. lim tanx x 2 無極限 3. lim arctanx x 極限為 2 4. lim Inx x 0 無極限，趨于 、設(shè) f(x) 2x 1, 2 x x 2 x 3, 1, x, 1 1 x, 2，問當(dāng)x 1 , x 2時，f(x)的極限是否存在? x

2、 2 lim( x2 3) 3; lim f (x) lim(2 x 1) 3 x 1x 1 Q lim f (x) x 1 Q lim f (x) x 2 lim f (x)不存在。 x 2 1 三、 設(shè)f x r，求x0時的左、右極限，并說明x0時極限是否存在. 1 ex lim f (x)不存在。 x 0 四、 試討論下列函數(shù)在x0時極限是否存在. lim( x2 x 2 1) lim f (x) lim( x2 x 3) 5 3 1. 絕對值函數(shù)f x |x|，存在極限為零 2. 取整函數(shù)f x x 不存在 3. 符號函數(shù)f x sgnx不存在 2.3無窮小量與無窮大量 、判斷對錯并說

3、明理由: 1 1. x sin -是無窮小量. x 錯，無窮小量需相對極限過程而言，在某個極限過程中的無窮小量在其它極限過程中可能 11 不再是無窮小量。當(dāng)x 0時，xsi n- 0 ;當(dāng)x 1時，xs in- sin1不是無窮小量。 xx 2. 同一極限過程中兩個無窮小量的商，未必是該極限過程中的無窮小量. 對，兩個無窮小量的商是“ 0/0”型未定式，即可能是無窮小量，也可能是無窮大量或其它 有極限但極限不為零的變量。 3. 無窮大量一定是無界變量，而無界變量未必是無窮大量. 對，無窮大量絕對值無限增大因此一定是無界變量，但無界變量可能是個別點無限增大, 變量并不能一致地大于任意給定的正數(shù)。

4、 、下列變量在哪些極限過程中是無窮大量，在哪些極限過程中是無窮小量: x 2 x21， 2. 2時，或x 1時，或x 1 , k In tan x 時，為無窮小量; 1時，為無窮大量。 (k)時，tanx ，貝U In tan x ，從而 In tan x 0+為無窮小量; k 時，tanx 0，則 In tan x ，從而一 In tanx 0為無窮小量; ；時，tanx 1 則 lntanx 0，從而 In tanx 為無窮大量; 、當(dāng)x 0時，x?, , x和3 x都是無窮小量，它們是否為同階無窮小量，如果不是它們 之間最高階和最低階的無窮小量分別是誰? Q lim 牛 lim竺區(qū) 0，

5、所以當(dāng)x 0時，x2是仮的高階無窮小量。 X 0. X X 01 Q lim二 lim x(仮)0，所以當(dāng)x 0時，x2是坂的高階無窮小量。 x 0 3 x x 01 Q lim搭 lim血 0，所以當(dāng)x 0時，4x是Vx的高階無窮小量。 x 0 3x x 01 通過比較可知，當(dāng)x 0時，x2， x和3 x不是同階無窮小量，其中x2是x和3 x的高 階無窮小量，因此x2是三者中最高階的無窮小量。x2和、x都是3x的高階無窮小量，因此 是三者中最低階的無窮小量。 四、利用無窮小量與極限的關(guān)系證明：lim f(x)g(x) lim f (x) lim g(x). X xXX。X x 證明：設(shè)lim

6、 f(x) A， lim g(x) B，則由無窮小量與極限的關(guān)系，f (x) A X X0 x x0 g(x) B ，其中，為xX0時的無窮小量。 則 lim f(x)g(x) lim( A )(B) lim( AB B A ) AB xxXX)x X0 2.4極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則 、如果lim f(x) A 0,則存在x。的空心鄰域，使得(1) (2) (4)成立. X X 、求下列函數(shù)的極限 3n ( 2)n lnim 3n 1 ( 2)n 1 2. nim 12 4. !叫1 x 3 1 x3 5. lim x . 4x2 1 2x x 6. lim x V1 x3 x 原式 lim x

7、 .4x21 2x 原式 lim x2 1 x3廠（3 廠？）2 、求a, b，使得lim x x21 x 1 ax 0. 必有a 1（否則原式 ）;同時有a b0（否則原式0）; x 4. 324 四、若葉a：b為有限值求I 2.5極限存在性定理與兩個重要極限 、判斷題: 1. lim sin x 1錯 x 1 x 2. lim sin (x 1對 x 1 x 1 5. lim xsin 1 錯 x 0 x mr IX 對 e X 1 - X 7.當(dāng) x 0 時，sin x,arcsin x,tan x,arctan x,ln(1 x),e 1 都是 x 的等價無窮小.對 、求下列函數(shù)極限:

8、 m2 H X sin 2x lim x 0 ta n 3x 3. x arcta n x 4. lim x 1 1 5.女叫1 x 1)1_ 6. lim x x2x x21 lim x I23 7. lim ln(1 x x x ) x 0 x 8. sin(sin x) ln(1 x) 、求極限lim( n n) 由兩面夾法則 四、設(shè)Un 1 冷，證明數(shù)列Un的極限存在. n 由單調(diào)有界定理，數(shù)列Un的極限存在. 1 a 五、設(shè)a 0 , X1 0,且有xn 1 一(Xn ) , (n 1,2,L )，證明數(shù)列x.的極限 2 F(b) f (b) b 0.即 F(a)F(b) 0。 若F(a)F(b) 0，由零點定理，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點 ，使得f () 若F(a)F(b) 0,則