相似三角形知識(shí)點(diǎn)及典型例題(2),推薦文檔

1、相似三角形知識(shí)點(diǎn)及典型例題 知識(shí)點(diǎn)歸納： 1、三角形相似的判定方法 (1) 定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。 (2) 平行法：平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))相交，所構(gòu)成的三角 形與原三角形相似。 (3) 判定定理1:如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩 個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。 (4) 判定定理2:如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三 角形相似。簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似。 (5) 判定定理3:如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)

2、應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相 似。簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。 (6) 判定直角三角形相似的方法： 以上各種判定均適用。 如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例, 那么這兩個(gè)直角三角形相似。 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。 #直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。 每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。 如圖，Rt ABC 中，/ BAC=90 , AD是斜邊 BC上的高， 則有射影定理如下： (1) ( AD) 2=BD- DC( 2)( AB) 2=BD BC , 2 (

3、3)( AC) =CD BC。 2 注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。即 2 2 (AB) + ( AC) = ( BC) 典型例題: 例1 如圖，已知等腰 ABC中，AB = AC , AD丄BC于D , CG II AB , BG分別交AD , AC于E、 F，求證：BE2 = B D C EF EG 證明：如圖，連結(jié) EC ,v AB = AC , AD丄BC , / ABC = Z ACB , AD 垂直平分 BC BE = EC，/ 1 =Z 2，/ ABC- / 1 =Z ACB- / 2 , 即/ 3 = Z 4，又 CG / AB，/ G = Z 3，/ 4 = Z G C

4、E EF 又/ CEG = Z CEF , CEF GEC , EG = CE EC2 = EG- EF，故 EB2=EF -EG 【解題技巧點(diǎn)撥】 本題必須綜合運(yùn)用等腰三角形的三線(xiàn)合一的性質(zhì)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和相似三角形的基本圖形來(lái)得到證明而 其中利用線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到BE=EC，把原來(lái)處在同一條直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段BE , EF, EC轉(zhuǎn)換到相似三角 形的基本圖形中是證明本題的關(guān)鍵。 FB FD (2) 例2 已知：如圖，AD是Rt ABC斜BC上的高，E是AC的中點(diǎn)，ED與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于 F,求證：BA = AC 證法一：如圖，在 Rt AABC 中，/ BAC = Rt

5、Z, AD 丄 BC , / 3 = Z C,又E是Rt AADC的斜邊AC上的中點(diǎn)， ED= 2 AC = EC， / 2 = Z C,又Z 1 =Z 21 =Z 3 , FB BD Z DFB =Z AFD , DFB AFD , FD = AD (1 ) BD BA 又 AD 是 Rt ABC 的斜邊 BC 上的高， Rt AABD s Rt CAD , AD = AC FB BA FB FD 由(1 ) (2)兩式得 FD = AC，故 BA = AC FB FD 證法二：過(guò)點(diǎn)A作AG / EF交CB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,則BA = AG(1 ) / E是AC的中點(diǎn)，ED / AC , D是G

6、C的中點(diǎn)，又 AD丄GC , AD是線(xiàn)段GC的垂直平分線(xiàn)， AG = AC (2 ) FB FD 由(1 )( 2 )兩式得：BA= AC，證畢。 【解題技巧點(diǎn)撥】 BD “AD ”過(guò)渡，使問(wèn)題得證，證法 本題證法中，通過(guò)連續(xù)兩次證明三角形相似，得到相應(yīng)的比例式，然后通過(guò)中間比 中是運(yùn)用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的推論，三角形的中位線(xiàn)的判定，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的判定與性質(zhì)使問(wèn)題得證. 一、如何證明三角形相似 例1、如圖：點(diǎn)G在平行四邊形 ABCD的邊DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,AG交BC、BD于點(diǎn)E、F,則厶AGD ss 例2、已知 ABC中，AB=AC，/ A=36 , BD是角平分線(xiàn), 求證： ABC BC

7、D 例3 :已知，如圖，D ABC內(nèi)一點(diǎn)連結(jié) ED、AD，以BC為邊在 ABC外作 / CBE= / ABD，/ BCE= / BAD 求證： DBE ABC 例4、矩形ABCD中，BC=3AB , E、F,是BC邊的三等分點(diǎn)，連結(jié) 角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論。 AE、AF、AC,問(wèn)圖中是否存在非全等的相似三 二、如何應(yīng)用相似三角形證明比例式和乘積式 例5、 ABC中，在A(yíng)C上截取 AD，在CB延長(zhǎng)線(xiàn)上截取 BE，使AD=BE，求證：DF ?AC=BC ?FE 例6:已知：如圖，在 ABC中，/ BAC=90 , M是BC的中點(diǎn)，DM丄BC于點(diǎn)E,交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) D。 求證: 1) MA2=MD

8、 ?me ； 2)AE2 ME MD 例7 :如圖 ABC中，AD為中線(xiàn)，CF為任一直線(xiàn)，CF交AD于E,交AB于F,求證：AE: ED=2AF : FB。 、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線(xiàn)平行和線(xiàn)段相等。 例8 :已知：如圖E、F分別是正方形 ABCD的邊AB和AD上的點(diǎn)，且 EB AB AF 1 。求證：/ AEF= / FBD AD 3 9、在平行四邊形 ABCD內(nèi)，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線(xiàn), 求證: SQ / AB , RP / BC 例10、已知A、C、E和B、F、D分別是/ O的兩邊上的點(diǎn)，且 AB / ED, BC / FE, 例11、直角三角形 ABC中，/

9、ACB=90 , BCDE是正方形，AE交BC于F, FG / AC交AB于G,求證：FC=FG E 例12、Rt ABC銳角C的平分線(xiàn)交 AB于E,交斜邊上的高 AD于O,過(guò)O引BC的平行線(xiàn)交 AB于F,求證：AE=BF D 課后作業(yè) 一、填空題 1. 已知：在 ABC中，P是AB上一點(diǎn)，連結(jié) CP,當(dāng)滿(mǎn)足條件/ ACP= 或/ APC= 或 AC2= _ 時(shí)，AACPABC . 2. 兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)之比為 4 : 9，面積之和為291 ,則面積分別是 。 3. 如圖，DEFG 是Rt ABC的內(nèi)接正方形，若 CF = 8 , DG = 4 2，貝U BE =。 4 .如圖，直角梯形 A

10、BCD 中，AD | BC , AD 丄 CD , AC 丄 AB，已知 AD = 4 , BC = 9，貝U AC =。 5 . ABC中，AB = 15 , AC = 9，點(diǎn)D是AC上的點(diǎn)，且 AD=3 , E在A(yíng)B上，AADE與AABC相似，則AE的長(zhǎng)等 于。 6.如圖，在正方形網(wǎng)格上畫(huà)有梯形ABCD，則/ BDC的度數(shù)為 。 第口）趣圖 第（6）題圖 第（非題圖 颯8）廳圖 A. AEDBED B . AEDCBD C. AEDABD D . BADBCD 7. ABC 中，AB = AC，/ A = 36 BC = 1 , BD 平分/ ABC 交于 D，貝U BD =, AD =,

11、 設(shè)AB = x,則關(guān)于x的方程是 . 8 .如圖，已知 D是等邊ABC的BC邊上一點(diǎn)，把 AABC向下折疊，折痕為 MN，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，若BD : DC =2 : 3，貝U AM : MN= 。 二、選擇題 AC 3 10 .如圖，在A(yíng)BC中, D為AC邊上一點(diǎn)，/ DBC =Z A, BC= 6 , AC = 3，貝U CD 的長(zhǎng)為（ A.1 B. C.2 D.- 2 第（10）題圖 CG 第（11）題S 第（9）題圖 9.如圖，在正 ABC中，D、E分別在 AC、AB上，且 AD - , AE=BE，則有（） 11 .如圖，CABCD中，G是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，AG與BD交于點(diǎn)E，與D

12、C交于點(diǎn)F,則圖中相似三角形共有 （） 12 . P是Rt ABC的斜邊BC上異于B、C的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)截ABC，使截得的三角形與 AABC相似，滿(mǎn)足這 樣條件的直線(xiàn)共有（） B.2條 13 .如圖，在直角梯形 ABCD中，AB = 7, 和以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，這樣的 A . 1個(gè)B . 2個(gè) 三、解答下列各題 AD = 2 , BC=3，若在 AB上取一點(diǎn) P, P點(diǎn)有（） 14.如圖，長(zhǎng)方形 ABCD中，AB=5 , BC = 10 ,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB作勻速運(yùn)動(dòng)，1分鐘可以到達(dá) B點(diǎn)，點(diǎn)Q 從B點(diǎn)出發(fā)，沿BC作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，1分鐘可到C點(diǎn)，現(xiàn)在點(diǎn)P點(diǎn)Q同時(shí)分別從A點(diǎn)、

13、B點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間， 線(xiàn)段PQ恰與線(xiàn)段BD垂直？ 15 .已知：如圖，正方形 DEFG內(nèi)接于Rt AABC , EF在斜邊 BC 上, EH丄AB于H.求證：（1 ） AADGHED ; （2）EF2= BE-FC (答案) 例1分析：關(guān)鍵在找“角相等”，除已知條件中已明確給出的以外，還應(yīng)結(jié)合具體的圖形，利用公共角、對(duì)頂角及由平 行線(xiàn)產(chǎn)生的一系列相等的角。本例除公共角/ G外，由BC / AD可得/仁/ 2,所以 AGD EGC。再/仁/ 2 (對(duì)頂 角)，由 AB / DG 可得/ 4= / G,所以 EGCs EAB。 例2分析：證明相似三角形應(yīng)先找相等的角，顯然/C是公共角，而另一組

14、相等的角則可以通過(guò)計(jì)算來(lái)求得。借助于 計(jì)算也是一種常用的方法。 證明：/ A=36 , ABC 是等腰三角形，/ ABC= / C=72。又 BD 平分/ ABC，則/ DBC=36 在厶 ABC 和厶 BCD 中，/ C 為公共角，/ A= / DBC=36 ABC BCD 例3分析： 由已知條件/ ABD= / CBE，/ DBC公用。所以/ DBE= / ABC，要證的厶DBE和厶ABC，有一對(duì)角相 等，要證兩個(gè)三角形相似，或者再找一對(duì)角相等，或者找?jiàn)A這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。從已知條件中可看到厶 CBE ABD，這樣既有相等的角，又有成比例的線(xiàn)段，問(wèn)題就可以得到解決。 BC bebC a

15、b 證明：在厶 CBE 和厶 ABD 中，/ CBE= / ABD, / BCE= / BAD CBE ABD = 即：一 =一 AB BDBE BD DBE 和厶 ABC 中，/ CBE= / ABD, / DBC 公用CBE+ / DBC= / ABD+ / DBC DBE= / ABC 且 BC=俎D(zhuǎn)BE ABC BE BD 例4分析：本題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢？下面我們來(lái)看一看相似三角形的幾種基本圖形: (1)如圖：稱(chēng)為“平行線(xiàn)型”的相似三角形 E 仁/ 2，則 ADEABC稱(chēng)為“相交線(xiàn)型”的相似三角形。 如圖：其中/ C “旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。 EAF與厶ECA

16、 / B= / D，則 ADEABC，稱(chēng)為 (3) 如圖：/仁/2, 觀(guān)察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是“相交線(xiàn)型”的相似三角形，及 由勾股定理可求得 AE= . 2a ,在厶EAF與厶ECA中，/ AEF為公共角，且A- -C EF AE 再利用相似三角形或平行線(xiàn)性質(zhì)進(jìn)行證明: 2 所以 EAFECA 例5分析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF : FE=BC : AC , 證明：過(guò)D點(diǎn)作DK / AB，交BC于K , / DK / AB , DF : FE=BK : BE 又 AD=BE , DF : FE=BK : AD，而 BK : AD=BC : AC 即 DF :

17、 FE= BC : AC , DF ?AC=BC ?FE 例 6 證明：(1 )/ BAC=90 0, M 是 BC 的中點(diǎn)， MA=MC，/ 1 = / DM 丄 BC， / C= / D=90 0- / B1= / D , MA MD MA MD / 2= / 2MAE MDA , AE (2 ) MAEMDA , AD ME MA AE AD ma2=md ?ME , 亙 ad2 ab2=ad ME MA 評(píng)注：命題1 如圖，如果/ 1= / 2，那么 ABDACB , 命題 2 如圖，如果 AB2=AD ?AC，那么 ABDACB，/ 1= / 2。 MA ME ? MD MA ?AC

18、。 M MD 解：設(shè) AB=a，貝U BE=EF=FC=3a , 例7 分析：圖中沒(méi)有現(xiàn)成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線(xiàn)構(gòu)造相似形。怎樣作？觀(guān) AF DG AE 察要證明的結(jié)論，緊緊扣住結(jié)論中“AE : ED ”的特征，作 DG / BA交CF于G ,得厶AEF DEG , 竺 DE AE 2 AFAF1 與結(jié)論相比較，顯然問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證 DG -FB 。 EDFB1 ”2 BF 2 證明：過(guò)D點(diǎn)作DG / AB交FC于G則厶AEFDEG。（平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其它兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)所 得三角形與原三角形相似）壬竺 （1 ） DE DG / D為BC的中點(diǎn)，且 DG

19、 / BF / G為FC的中點(diǎn)則DG CBF的中位線(xiàn)，DG BF （ 2 ）將（2 ）代入（1 ）得: 2 AE _AF 2AF 2 例8 分析：要證角相等，一般來(lái)說(shuō)可通過(guò)全等三角形、相似三角形，等邊對(duì)等角等方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，本題要證的兩個(gè)角 分別在兩個(gè)三角形中，可考慮用相似三角形來(lái)證，但要證的兩個(gè)角所在的三角形顯然不可能相似（一個(gè)在直角 三角形中，另一個(gè)在斜三角形中），所以證明本題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形， 證明: 作 FG 丄BD，垂足為 G。設(shè) AB=AD=3k 貝U BE=AF=k , AE=DF=2k , BD= 3. 2k AF / ADB=45 0，/ FGD=90 0 /-Z DFG=

20、45 0 / DG=FG= FG 1 DF 2 2k BG= 3、2k 、2k 2 2k AE BG 2 又Z A= Z FGB=90 0 AEF GBFAEF= Z FBD 例9分析：要證明兩線(xiàn)平行較多采用平行線(xiàn)的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線(xiàn)段去證明。 利 用比例線(xiàn)段證明平行線(xiàn)最關(guān)鍵的一點(diǎn)就是要明確目標(biāo)，選擇適當(dāng)?shù)谋壤€(xiàn)段。 要證明SQ/ AB ,只需證明AR: AS=BR : DS。 AR AS BR DS 證明：在厶ADS和厶ARB中。 Z DAR= Z RAB= 1 Z DAB , Z DCP=Z PCB=丄 Z ABC ADS ABR 2 2 AR br 但厶

21、ADS 也厶 CBQ，/ DS=BQ，貝U，/ SQ / AB，同理可證，RP / BC AS BQ 例10分析：要證明AF / CD，已知條件中有平行的條件，因而有好多的比例線(xiàn)段可供利用，這就要進(jìn)行正確的選擇。 其實(shí)要證明AF CD，只要證明OA OD即可，因此只要找出與這四條線(xiàn)段相關(guān)的比例式再稍加處理即可成功。 證明： AB / ED, BC / FE / OA OE OB OE OD，OC OF OB 兩式相乘可得: OA OF OC OD 例11分析：要證明FC=FG，從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線(xiàn)的條件，因而可用 比例線(xiàn)段來(lái)證明。要證明 FC=FG，首先要找出與 FC、FG相關(guān)的比例線(xiàn)段，圖中與 FC、FG相關(guān)的比例式較多，則應(yīng) FC FG ，便可完成。 證明： FG