平行四邊形復(fù)習(xí)好

1、四 邊形 平 行 四 邊 形 矩 形 菱 形 梯 形 一角為90 一組鄰邊相等 正方形 兩組對(duì)邊平行 只有一組對(duì)邊平行 一角為直角且一組鄰邊相等 鄰邊相等 一角為90 一、理論復(fù)習(xí)一、理論復(fù)習(xí) 二、綜合應(yīng)用二、綜合應(yīng)用 關(guān)系圖 性質(zhì)：1. 平行四邊形的平行四邊形的對(duì)角相等對(duì)角相等。（鄰角互補(bǔ)）。（鄰角互補(bǔ)） 2. 平行四邊形的平行四邊形的對(duì)邊相等對(duì)邊相等。（且對(duì)邊平行）。（且對(duì)邊平行） 3. 平行四邊形的平行四邊形的對(duì)角線互相平分對(duì)角線互相平分。 判定: 1.1. 定義判定法。定義判定法。 2. 兩組對(duì)角相等兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形。的四邊形是平行四邊形。 3. 兩組對(duì)邊相等兩組對(duì)邊相

2、等的四邊形是平行四邊形。的四邊形是平行四邊形。 4. 對(duì)角線互相平分的對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。四邊形是平行四邊形。 5. 一組對(duì)邊平行且相等一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的四邊形是平行四邊形。 定義：兩組對(duì)邊都平行兩組對(duì)邊都平行的四邊形叫平行四邊形。的四邊形叫平行四邊形。 知識(shí)聯(lián)系：1.1.平行線的性質(zhì)與判定。平行線的性質(zhì)與判定。2.2.全等三角形（四對(duì)）。全等三角形（四對(duì)）。 3. ABO、 BCO、 CDO、 DAO等面積。等面積。 平平 行行 四四 邊邊 形形 A B C D O 1 1、已知、已知 ABCD,ABCD,若若AB=15AB=15, BC=10cm, B

3、C=10cm 則則AD= AD= . .周長(zhǎng)周長(zhǎng)= cm.= cm. 請(qǐng)你填一填請(qǐng)你填一填 50130 平行四邊形的平行四邊形的對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ) 1050 平行四邊形的平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等兩組對(duì)邊分別相等 A B CD O 平行四邊形的平行四邊形的對(duì)角線互相平分對(duì)角線互相平分 2 2、已知、已知 ABCD, A=50ABCD, A=50度度, , 則則C= C= 度度. B= . B= 度度. . A B C D 3 3、如圖，、如圖， ABCDABCD的對(duì)角線的對(duì)角線ACAC、BDBD長(zhǎng)度之和為長(zhǎng)度之和為 20cm,20cm,若若OADOAD的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為17c

4、m17cm，則，則AD=_cmAD=_cm7 在四邊形在四邊形ABCDABCD中中, ,若分別給出六個(gè)若分別給出六個(gè) 條件條件: :ABABCD CD AD=BC AD=BC OA=OC OA=OC ADAD BC BC AB=CD AB=CD OB=OD. OB=OD. 現(xiàn)在現(xiàn)在, ,以其中的以其中的兩個(gè)為一組兩個(gè)為一組, ,能直接確能直接確 定四邊形定四邊形ABCDABCD為平行四邊形的條件是為平行四邊形的條件是 _ ( (只填序號(hào)只填序號(hào)) ) 請(qǐng)你挑一挑請(qǐng)你挑一挑 A B CD O A B C D M N P Q 已知：已知： ABCDABCD中，直線中，直線MN/ACMN/AC，分別

5、交分別交 DADA延長(zhǎng)線于延長(zhǎng)線于M M，DCDC延長(zhǎng)線于延長(zhǎng)線于N N，ABAB于于P P， BCBC于于Q Q。 求證：求證：PM=QNPM=QN。 探究應(yīng)用一探究應(yīng)用一 M A D B N Q C P 證明：證明：四邊形四邊形ABCD是平行四邊形是平行四邊形 ADBC,AB CD AM CQ. 又又AC MN, AC MQ 四邊形四邊形MQCA是平行四邊形是平行四邊形 MQ=AC 同理可證：同理可證： - - - 如圖，在如圖，在 ABCDABCD中，中，E E、F F、G G、H H 分分 別是各邊上的點(diǎn)，且別是各邊上的點(diǎn)，且AE=CFAE=CF，BG=DHBG=DH。 求證：求證：E

6、FEF與與GHGH互相平分?；ハ嗥椒?。 AB CD H E G F 探究應(yīng)用二探究應(yīng)用二 定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形。 性質(zhì)：1. 矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)。 2. 矩形的四個(gè)角都是直角。 3. 矩形的對(duì)角線相等。（互相平分） 判定：1. 定義判定法：90+ 平行四邊形=矩形 2. 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。 3. 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。 矩 形 A BC D O 知識(shí)聯(lián)系：1. 等腰三角形 2. 直角三角形 A C D O B 1、如圖，在矩形、如圖，在矩形ABCD中，中，AC、BD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O， AOB= 60，AB=6，則，則AC=_12 還能求出哪些線

7、段和角？能求出矩形的 面積嗎？ 、矩形具有而一般的平行四邊形不具有的性質(zhì)是、矩形具有而一般的平行四邊形不具有的性質(zhì)是() A、對(duì)角相等、對(duì)角相等 B、對(duì)邊相等、對(duì)邊相等 C、對(duì)角線相等、對(duì)角線相等 D、對(duì)角線互相平分、對(duì)角線互相平分 、把一張長(zhǎng)方形的紙條按圖那樣折疊，若得到、把一張長(zhǎng)方形的紙條按圖那樣折疊，若得到 AME70o ，則，則EMN（ ） A、45o B、50o C、55o D、60o N M F E D C B A C C 定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱形。 性質(zhì)：1. 菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)。 2. 菱形的四條邊都相等。 3. 菱形的對(duì)角線互相垂直（平分） 且一條對(duì)角線

8、平分一組對(duì)角。 判定：1. 定義判定法： 一組鄰邊相等 + 平行四邊形=菱形 2. 四條邊都相等的四邊形是菱形。 3. 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。 菱 形 A B C D O 知識(shí)聯(lián)系：等腰三角形，直角三角形 A B C D O 1、如圖，在菱形、如圖，在菱形ABCD中，中，OA=8，OB=6，則，則 菱形的周長(zhǎng)是菱形的周長(zhǎng)是_，面積是，面積是_ 2 兩對(duì)角線之積 菱形面積 9640 能求出菱形的高嗎？ 1.如圖，四邊形如圖，四邊形ABCD是菱形，是菱形， ABC=120。 AB=12cm。 （1）求）求 DAB ， ABD 的度數(shù)；的度數(shù)； （2）求兩條對(duì)角線）求兩條對(duì)角線AC，BD

9、的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。 A B C D O 性質(zhì)應(yīng)用性質(zhì)應(yīng)用 1、菱形有而一般的平行四邊形不具有的性質(zhì)是、菱形有而一般的平行四邊形不具有的性質(zhì)是() A、對(duì)角相等、對(duì)角相等B、對(duì)角線互相平分、對(duì)角線互相平分 C、對(duì)邊平行且相等、對(duì)邊平行且相等D、對(duì)角線互相垂直、對(duì)角線互相垂直 2、如圖，小強(qiáng)拿一張正方形的紙（圖、如圖，小強(qiáng)拿一張正方形的紙（圖(1)），沿虛線對(duì)折），沿虛線對(duì)折 一次得圖（一次得圖（2），再對(duì)折一次得圖（），再對(duì)折一次得圖（3），然后用剪刀沿圖（），然后用剪刀沿圖（3） 中的虛線剪成兩部分，再把所得的三角形的部分打開(kāi)后的中的虛線剪成兩部分，再把所得的三角形的部分打開(kāi)后的 形狀一定是（形狀一

10、定是（ ） A一般的平行四邊形一般的平行四邊形 B、菱形、菱形 C、矩形、矩形 D、正方形、正方形 (1)(2) (3) D B 定義：一個(gè)角為直角 + 一組鄰邊相等 + 平行四邊形 = 正方形（又叫正四邊形）。 性質(zhì)：1. 正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)。 2. 正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等。 3. 正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂 直平分, 每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。 判定：1. 定義判定法： 一個(gè)角為直角 + 一組鄰邊相等 + 平行四邊形 = 正方形 2. 一組鄰邊相等 + 矩形 = 正方形 3. 一角為90+ 菱形 = 正方形 正 方 形 A B C D O 知識(shí)聯(lián)

11、系：1. 類比等邊三角形 2. 等腰直角三角形 關(guān) 系 圖 平行四邊形平行四邊形 矩形矩形 菱形菱形 正方形正方形 勇勇 攀攀 高高 峰峰 返 回 5. 已知正方形ABCD的一條對(duì)角線AC長(zhǎng)為4cm， 求它的邊長(zhǎng)和面積 解:設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為X,則 + X=8 X=8 cm ; ; 正方形ABCD的面積= = 8(平方厘米). X2X2=42 X2 正 方 形 A B C D O 12. 如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是 另一個(gè)正方形EFGO的一個(gè)頂點(diǎn)如果兩個(gè)正方形的 邊長(zhǎng)相等，那么正方形EFGO 繞點(diǎn)O無(wú)論怎樣旋轉(zhuǎn)， 兩個(gè)正方形重疊部分的面積，總等于一個(gè)正方形面積 的四分

12、之一想一想，這是為什么？ 你還能得出什么結(jié)論？ 鞏固練習(xí) （一）判斷題： 1.平行四邊形的對(duì)角線相等； （ ） 2.矩形的四個(gè)角都相等； （ ） 3.菱形的對(duì)角線互相垂直平分； （ ） 4.有一個(gè)角是直角且鄰邊相等的平行四邊形是正方形； （ ） 7.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形； （ ） 8.對(duì)角線相等的四邊形是矩形； （ ） 10.正方形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形。（ ） （二）選擇題： D 2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（ ）。 (A)對(duì)角線互相平分。 (B)對(duì)角線相等。 （C）對(duì)角線平分一組對(duì)角。 (D)對(duì)角線互相垂直。 B 3.順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形

13、一定是（ ） (A)矩形。 (B)正方形。(C ) 菱形。(D)平行四邊形 D 4.內(nèi)角和等于外角和的多邊形是（ ） (A) 三角形。(B)四邊形。(C )五邊形。(D)六邊形。 B 5.下列性質(zhì)中，平行四邊形不一定具備的是（ ） (A)對(duì)角相等。(B)鄰角互補(bǔ)。(C )對(duì)角互補(bǔ)。(D)內(nèi)角和是360。 C (A)一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊也平行；(B)一組對(duì)角相等，另一組對(duì)角也相等； 1.下面判定四邊形是平行四邊形的方法中，錯(cuò)誤的是（ ）。 (C )一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等； (D)一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等 6.能夠判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的條件是（ ） (A)一組對(duì)角相等。 (B)兩

14、條對(duì)角線互相平分。 (C )兩條對(duì)角線互相垂直。 (D)一對(duì)鄰角的和為180。 B 7.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ） (A)等邊三角形。(B)平行四邊形。(C )菱形。(D)等腰梯形。 C D 9.不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件是（ ） / (A) AB =CD, AD =BC。(B) BC AD。 (C ) AB/DC, AD/BC。 (D) AB =CD，AD/BC。 D 8.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ） (A) (B) (C ) (D) x y O 1 2 3 -1 -2 213-1-2 -3 -34 如圖，如圖，RtRtOABO

15、AB的兩條直角邊在坐標(biāo)軸上，已知的兩條直角邊在坐標(biāo)軸上，已知 點(diǎn)點(diǎn)A A（0 0，2 2），點(diǎn)），點(diǎn)B B（3 3，0 0），則以點(diǎn)），則以點(diǎn)O,A,BO,A,B為其為其 中三個(gè)頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)中三個(gè)頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)C C的坐標(biāo)的坐標(biāo) 為為_(kāi)。 A B O -4 初露鋒芒初露鋒芒 (3,2)(3,2) (3,-2)(3,-2) (-3,2)(-3,2) C組組 11. 如圖，如圖，D是等腰三角形是等腰三角形ABC的底邊的底邊BC上的上的 一點(diǎn)，一點(diǎn)，E、F分別在分別在AC、AB上，且上，且DEAB， DFAC試問(wèn)試問(wèn)DE、DF與與AB之間有什么關(guān)系之間有什么關(guān)系 嗎嗎?

16、請(qǐng)說(shuō)明理由請(qǐng)說(shuō)明理由 解:DE+DF=AB DEABDEAB， DFAC DFAC 四邊形四邊形AFDEAFDE是平行四邊形是平行四邊形 DE=FA DE=FA ABCABC是等腰三角形是等腰三角形 B=C B=C DFAC DFAC FDB=C FDB=C B=FDB B=FDB DF=BF DF=BF DE+DF=FA+BF=AB. DE+DF=FA+BF=AB. 鏈接中考鏈接中考 2.(20102.(2010臨沂中考臨沂中考) )如圖，在如圖，在 中，中， ACAC與與BDBD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O O，點(diǎn)，點(diǎn)E E是邊是邊BCBC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， AB=4AB=4，則，則OEOE的長(zhǎng)是的長(zhǎng)

17、是( )( ) (A)2 (B) (C)1 (D) (A)2 (B) (C)1 (D) 【解析解析】選選A.A.因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分. . 所以點(diǎn)所以點(diǎn)O O為為ACAC的中點(diǎn)，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，又因?yàn)镋 E為為BCBC的中點(diǎn)的中點(diǎn) 即即OEOE為為CABCAB的中位線的中位線. . 所以所以O(shè)E= AB=2.OE= AB=2. 2 1 2 1 2 鏈接中考鏈接中考 鏈接中考鏈接中考 鏈接中考鏈接中考 答： 平行四邊形（如圖一）； 垂直放置（如圖二）； 兩張紙條寬度相等（如圖三），證明如下； 兩張寬度相同的紙條垂直放置（如圖四）。 （圖二） 甲 乙 （圖一）

18、 乙 甲 如圖，甲、乙為兩邊平行的兩張紙條，將它們按如圖（一） 放置，則重疊部分是什么圖形？并證明你的猜想。將兩紙條 按什么位置放置，重疊部分是矩形？?jī)蓮埣垪l滿足什么關(guān)系 時(shí)，重疊部分是菱形？怎樣使重疊部分為正方形？ 四、解答題 （圖三） D F E 甲 A B C 乙 乙 （圖四） 甲 （二）證明：作AEBC,AFCD 則AE=AF 四邊形ABCD是平行四邊形 B = D RtABE Rt ADF AB=AD 平行四邊形ABCD為菱形。 ABCDABCD的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為32cm, ABC32cm, ABC的角平分的角平分 線交邊線交邊ADAD所在直線于點(diǎn)所在直線于點(diǎn)E E，且，且AE:EDA

19、E:ED =3=3：2 2，則，則ABAB_ 6cm或或12cm 鏈接中考鏈接中考 A A B BC C D D E E A A B BC C D D E E 3x 3x 2x x2x 3x 鏈接中考鏈接中考 鏈接中考鏈接中考 例3、以ABC的邊AB、AC為邊的等邊三角形ABD和等邊三角形ACE， 四邊形ADFE是平行四邊形。 （1）當(dāng)BAC滿足 時(shí)，四邊形ADFE是矩形； （2）當(dāng)BAC滿足 時(shí)，平行四邊形ADFE不存在； （3）當(dāng)ABC分別滿足什么條件時(shí)，平行四邊形時(shí)菱形、正方形。 BC AE F D 解:（3) AB=AC時(shí)，平行四邊形ADFE時(shí)菱形。 AB=AC且BAC=150時(shí)，平行

20、四邊形ADFE是正方形。 150 60 60 60 A F E B C D 1 1、如圖，在四邊形、如圖，在四邊形ABCDABCD中中, ,點(diǎn)點(diǎn)E E、F F是對(duì)是對(duì) 角線角線BDBD上的兩點(diǎn)，且上的兩點(diǎn)，且BE=DFBE=DF （1 1）若四邊形若四邊形ABCDABCD是平行四邊形，是平行四邊形， 求證四邊形求證四邊形AECFAECF是平行四邊形是平行四邊形 O A F E B C D （2 2）若四邊形若四邊形ABCDABCD是菱形，是菱形，那么四邊那么四邊 形形AECFAECF也是菱形嗎？為什么？也是菱形嗎？為什么？ O A F E B C D （3 3）若四邊形若四邊形ABCDABCD

21、是矩形，是矩形，試判斷四試判斷四 邊形邊形AECFAECF是否為矩形。是否為矩形。 O 如圖，如圖，ADAD、BCBC垂直相交于點(diǎn)垂直相交于點(diǎn)O O，ABCDABCD， BC=8BC=8，AD=6AD=6，求，求AB+CDAB+CD的長(zhǎng)的長(zhǎng)? ? 能力挑戰(zhàn)能力挑戰(zhàn) O A D C B 拓展提高拓展提高 如圖，已知如圖，已知ABABACAC，B B是是ADAD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， E E是是ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn) 求證：求證：CDCD2 2CECE E D C B A F 典例典例1 (2009雙柏）雙柏） 如圖，如圖， E，F(xiàn)是平行四邊形是平行四邊形ABCD的的 對(duì)角線對(duì)角線AC上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，CE

22、=AF， 請(qǐng)你猜想：請(qǐng)你猜想： BE與與DF有怎樣的關(guān)系？有怎樣的關(guān)系？ 并對(duì)你的猜想加以證明并對(duì)你的猜想加以證明 A BC D E F A BC D E F 證法證法1：四邊形四邊形ABCD是平行四是平行四 邊形邊形 BC=AD，1=2 在在BCE與與DAF中中 BC=AD 1=2 CE=AF BCE DAF BE=DF， 3=4 BEDF A BC D E F 1 2 3 4 猜想： BEDF, BE=DF 證法證法2： 連接連接BD，交，交AC于點(diǎn)于點(diǎn)O， 連接連接DE,BF 四邊形四邊形ABCD是平行四邊形是平行四邊形 BO=OD, AO=CO 又又AF=CE AE=CF EO=FO

23、四邊形四邊形BEDF是平行四邊形是平行四邊形 BE=DF， BEDF o 典例典例2 如圖如圖1，2所示，將一張長(zhǎng)方形的紙片所示，將一張長(zhǎng)方形的紙片 對(duì)折兩次后，沿圖對(duì)折兩次后，沿圖3中的虛線中的虛線AB剪下，剪下， 將將AOB完全展開(kāi)完全展開(kāi) (1)畫(huà)出展開(kāi)圖形，判斷其形狀，畫(huà)出展開(kāi)圖形，判斷其形狀， 并證明你的結(jié)論；并證明你的結(jié)論； (2)若按上述步驟操作，展開(kāi)圖形若按上述步驟操作，展開(kāi)圖形 是正方形時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出是正方形時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出AOB應(yīng)滿足的條件應(yīng)滿足的條件 (1)展開(kāi)圖如圖所示，它是菱形展開(kāi)圖如圖所示，它是菱形 證明：由操作過(guò)程可知證明：由操作過(guò)程可知 OA=OC，OB=OD， 四邊形四

24、邊形ABCD是平行四邊形是平行四邊形 又又 OAOB， 即即ACBD， 四邊形四邊形ABCD是菱形是菱形 (2)AOB中，中，ABO=45 (或或BAO=45或或OA=OB) / 典例典例3 如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCD中，中， ABCD，M、N在直線在直線AC上，上， 且且MA=NC，問(wèn)，問(wèn)BM和和DN存在存在 怎樣的關(guān)系？說(shuō)明理由。怎樣的關(guān)系？說(shuō)明理由。 BM / AB / DN，連接BD 交AC于O，連接BN、DM。 CD，四邊形ABCD是平行四邊形 OB=OD，OA=OC， MA=NC OA+MA=OC+NC OM=ON 又又OB=OD 四邊形MBND是平行四邊形，BM

25、 / DN 證明：證明： 把正方形把正方形ABCD繞著點(diǎn)繞著點(diǎn)A，按順時(shí)針，按順時(shí)針 方向旋轉(zhuǎn)得到正方形方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，邊，邊FG與與BC交交 于點(diǎn)于點(diǎn)H（如圖）。（如圖）。 試問(wèn)線段試問(wèn)線段HG與線段與線段HB相等嗎？相等嗎？ 請(qǐng)先觀察猜想，然后再證明你的猜想。請(qǐng)先觀察猜想，然后再證明你的猜想。 典例4 解：解：HG=HB。 證法1：連結(jié)AH， 四邊形ABCD，AEFG都是正方形 B=G=90 由題意知AG=AB，又AH=AH RtAGH RtABH（HL） HG=HB 證法證法2：連結(jié)：連結(jié)GB 四邊形四邊形ABCD，AEFG都是正方形都是正方形 ABC=AGF=90 由題意知

26、由題意知AB=AG AGB=ABG ABC-ABG =AGF-AGB 即即HBG=HGB HG=HB 仔細(xì)觀仔細(xì)觀 細(xì)心算細(xì)心算 1.菱形對(duì)角線長(zhǎng)為菱形對(duì)角線長(zhǎng)為4cm、8cm，其邊，其邊 長(zhǎng)為長(zhǎng)為 cm，面積為，面積為 cm 2.如圖，延長(zhǎng)正方形如圖，延長(zhǎng)正方形ABCD的邊的邊BC 到到E，使，使CE=CA，連接，連接AE交交DC于于F， 則則E= ，AFC= 。 A F E D C B 16 22.5112.5 25 典例典例5：AC為正方形為正方形ABCD的對(duì)角線，的對(duì)角線， E為為AC上一點(diǎn)，且上一點(diǎn)，且AB=AE，EFAC 交交BC于于F，試證：，試證：EC=EF=FB A B C

27、D E F 證明：證明： 四邊形四邊形ABCD是正方形是正方形 B=900 ACB=450 AEF=900 AB=AE， AF=AF ABF AFE（HL） BF=EF 又又FEC=900 EFC=450 EC=EF（等角對(duì)等邊）（等角對(duì)等邊） BF=EF=EC 典例典例6 已知如圖，菱形已知如圖，菱形ABCD的對(duì)角線的對(duì)角線 AC、BD交于點(diǎn)交于點(diǎn)O，AC=6，BD=8，求菱，求菱 形的高。形的高。 A BC D O E 解：解：作邊作邊BC上的高上的高AE AC與與BD垂直平分垂直平分 AC=6， BD=8 CO=3，BO=4 BC=5 BCAE=1/2ACBD 5AE=1/268 AE=

28、4.8 等式左右兩邊 都表示這個(gè)菱 形的面積 。 典例典例7 如圖如圖,E為菱形為菱形ABCD邊邊BC上的一上的一 點(diǎn)，點(diǎn)，AB=AE，AE交交BD于于F， DAE=2BAE (1)求證：求證：EB=FA (2)求求ABC的度數(shù)。的度數(shù)。A B C D E F (1)證明證明 AD/BC, 1=BAE 1 AE=AB, 1=ABC ABC=DAE=2BAE BAE=DBE=ADB ABE DAFBE=AF (2)解：解： 設(shè)設(shè)BAE為為x，則，則ABE=AEB=2x x+2x+2x=180 x=36 ABC=72 典例典例8、在正方形、在正方形ABCD中，中，F(xiàn)是是CD上的上的 點(diǎn)，點(diǎn)，E是是

29、BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，CE=CF 求證：求證：BF=DEA B C D E F 證明：證明： 四邊形四邊形ABCD是正方形是正方形 BC=DC BCD=DCE 又又CF=CE BCF DCE BF=DE 典例典例9 過(guò)正方形過(guò)正方形ABCD對(duì)角線對(duì)角線BD上的一上的一 點(diǎn)點(diǎn)P，作，作PEBC于于E，PFCD于于F 求證：求證：AP=EF P A B C D E F 證明：證明： 連結(jié)連結(jié)AC、PC 正邊形正邊形ABCD是正方形是正方形 BD垂直且平分垂直且平分AC PA=PC PEBC， PFCD，BCD=90 四邊形四邊形PECF是矩形是矩形 EF=PC AP=EF 典例典例10、

30、如圖，在正方形、如圖，在正方形ABCD中，中， M是是BC上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，N是是CD上一點(diǎn)，且上一點(diǎn)，且 MCN的周長(zhǎng)等于正方形周長(zhǎng)的一半，的周長(zhǎng)等于正方形周長(zhǎng)的一半， 求求MAN的度數(shù)。的度數(shù)。 A B C D M N F 提示：延長(zhǎng)提示：延長(zhǎng)ND至至F，使得，使得 DF=BM，連結(jié)，連結(jié)AF 證明證明ANF ANM 從而得出：從而得出：FAN=NAM； FAN+NAM=90 最后得出最后得出MAN=45 分析：OC與OD的雙重角色 已知：如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于O，CPDB, DPAC, CP與DP相交于P點(diǎn)，求證：四邊形CODP是 菱形。 AB D C O P 五、證明題 證

31、明: CPDB, DPAC 四邊形CODP是平行四邊形 又 在矩形ABCD中 CO=DO 四邊形COPD是菱形 , 2 1 CACO , 2 1 DBDOCA=DB 圖一 圖二 本題既用到平行四邊形和菱形的判定，又用到了矩 形的性質(zhì),有一定的綜合性。如果題目中的矩形變?yōu)榱?形(圖一)，結(jié)論應(yīng)變?yōu)槭裁?？如果題目中的矩形變?yōu)檎?方形(圖二)，結(jié)論又應(yīng)變?yōu)槭裁矗?題目：題目： 如圖正方形如圖正方形ABCDABCD邊長(zhǎng)為對(duì)角線交于點(diǎn)邊長(zhǎng)為對(duì)角線交于點(diǎn)O O，O O又是另一又是另一 個(gè)正方形個(gè)正方形OEFGOEFG的一個(gè)頂點(diǎn)，若正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，若正方形OEFGOEFG繞點(diǎn)繞點(diǎn)O O旋轉(zhuǎn)在旋旋轉(zhuǎn)在旋 轉(zhuǎn)

32、的過(guò)程中轉(zhuǎn)的過(guò)程中. . 探究二探究二:若正方形若正方形OEFG與正方形與正方形ABCD兩邊分別相兩邊分別相 交于交于M N試判斷線段試判斷線段AM于于BN之間的關(guān)系之間的關(guān)系. 探究三探究三:若正方形若正方形OEFGOEFG繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時(shí)，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時(shí)，AM AM 與與BNBN之間的之間的 關(guān)系是否還關(guān)系是否還成立？成立？ 探究一探究一:兩個(gè)正方形重疊部分的面積是否會(huì)發(fā)兩個(gè)正方形重疊部分的面積是否會(huì)發(fā) 生變化？并說(shuō)明理由。生變化？并說(shuō)明理由。 探究四：探究四： 如圖如圖 有兩個(gè)大小不等的兩個(gè)正方形，其中小正方形的有兩個(gè)大小不等的兩個(gè)正方形，其中小正方形的 面積是大正方形面積的一半，若陰影部分的面積

33、為面積是大正方形面積的一半，若陰影部分的面積為8 8， 則小正方形的邊長(zhǎng)為多少？則小正方形的邊長(zhǎng)為多少？ 5 5如圖所示，設(shè)如圖所示，設(shè)P P為為ABCDABCD內(nèi)的一點(diǎn)，內(nèi)的一點(diǎn)，PABPAB、PBCPBC、PDCPDC、 PDAPDA的面積分別記為的面積分別記為S S1 1、S S2 2、S S3 3、S S4 4，則有，則有( )( ) (A)S(A)S1 1=S=S4 4 (B)S(B)S1 1+S+S2 2=S=S3 3+S+S4 4 (C)S(C)S1 1+S+S3 3=S=S2 2+S+S4 4 (D)(D)以上都不對(duì)以上都不對(duì) 【解析解析】選選C.C.PABPAB中中ABAB上

34、的高與上的高與PDCPDC中中CDCD上的高之和就是上的高之和就是 平行四邊形平行四邊形ABAB上的高，所以上的高，所以PABPAB與與PDCPDC的面積之和等于平的面積之和等于平 行四邊形面積的一半，那么行四邊形面積的一半，那么PDAPDA與與PBCPBC的面積之和也等于的面積之和也等于 平行四邊形面積的一半平行四邊形面積的一半. . 9.(20109.(2010濱州中考濱州中考) )如圖如圖, ,平行四邊形平行四邊形ABCDABCD 中中, ABC=60, ABC=60,E,E、F F分別在分別在CDCD、BCBC的延長(zhǎng)的延長(zhǎng) 線上線上,AEBD,EFBC,DF=2,AEBD,EFBC,D

35、F=2,則則EFEF的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為_(kāi)._. 【解析解析】因?yàn)樗倪呅我驗(yàn)樗倪呅蜛BCDABCD為平行四邊形，為平行四邊形， 所以所以AB CDAB CD，由，由AEBDAEBD， 可知四邊形可知四邊形ABDEABDE為平行四邊形，為平行四邊形， 所以所以DE=ABDE=AB，從而，從而DE=CDDE=CD， 由由EFBCEFBC得，得，DFDF是直角三角形斜邊上的中線，是直角三角形斜邊上的中線， 所以所以CE=4CE=4，有，有ABC=ECF=60ABC=ECF=60, ,可得可得EF= .EF= . 答案：答案： 11.(1211.(12分分) )如圖，在如圖，在ABCABC中，中，ACB=90

36、ACB=90，點(diǎn)，點(diǎn)E E為為ABAB中點(diǎn)，連中點(diǎn)，連 結(jié)結(jié)CECE，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E E作作EDBCEDBC于點(diǎn)于點(diǎn)D D，在，在DEDE的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F F，使，使 AF=CEAF=CE求證：四邊形求證：四邊形ACEFACEF是平行四邊形是平行四邊形 【證明證明】ACB=90ACB=90，AE=EBAE=EB， CE=AE=EB.CE=AE=EB. 又又AF=CEAF=CE，AF=CE=AE=EB.AF=CE=AE=EB. 又又EDBCEDBC，EB=ECEB=EC， 1=21=2，又，又2=32=3， 由由AE=AFAE=AF，得，得3=F3=F， 1=F1=F，CEAFC

37、EAF， 四邊形四邊形ACEFACEF是平行四邊形是平行四邊形. . 12.(1212.(12分分)(2010)(2010株洲中考株洲中考) )已知平行四邊形已知平行四邊形ABCDABCD，DEDE是是 ADCADC的角平分線，交的角平分線，交BCBC于點(diǎn)于點(diǎn)E.E. (1)(1)求證：求證：CD=CECD=CE； (2)(2)若若BE=CEBE=CE，B=80B=80，求，求DAEDAE的度數(shù)的度數(shù). . 【解析解析】(1)(1)如圖，在如圖，在ABCDABCD中，中，ADBCADBC得，得，1=31=3， 又又1=21=2，2=32=3，CD=CE.CD=CE. (2)(2)由由ABCDA

38、BCD得，得，AB=CDAB=CD， 又又CD=CECD=CE，BE=CEBE=CE， AB=BEAB=BE，BAE=BEABAE=BEA， B=80B=80，BAE=50BAE=50， 得：得：DAE=180DAE=180-50-50-80-80=50=50. . 2.如圖，如圖，O是菱形是菱形ABCD的對(duì)角線的對(duì)角線AC、BD 的交點(diǎn)，的交點(diǎn)，E、F分別是分別是OA、OC的中的中 點(diǎn)下列結(jié)論：點(diǎn)下列結(jié)論： 四邊形四邊形BFDE是中心是中心 對(duì)稱圖形；對(duì)稱圖形； 是軸對(duì)稱圖形；是軸對(duì)稱圖形； 其中錯(cuò)誤的結(jié)論有其中錯(cuò)誤的結(jié)論有 1個(gè)個(gè)2個(gè)個(gè)3個(gè)個(gè) 4個(gè)個(gè) A D EE O D SS DEF A

39、DEEDO A B C D E F O 3.如果僅有一根較長(zhǎng)的繩子，你能否檢查如果僅有一根較長(zhǎng)的繩子，你能否檢查 一下，我們的黑板是否為矩形？一下，我們的黑板是否為矩形？ 4.如圖，折疊矩形紙片如圖，折疊矩形紙片ABCD，先折出對(duì)痕（對(duì)角線），先折出對(duì)痕（對(duì)角線） BD， 再折疊，使再折疊，使AD落在對(duì)角線落在對(duì)角線BD上，得折痕上，得折痕DG， 若若AB=8，BC=6，則，則AG有多長(zhǎng)？有多長(zhǎng)？ D A B C G E 5、如圖，、如圖，E是正方形是正方形ABCD的邊的邊BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，延長(zhǎng)線上的點(diǎn)， 且且CE=AC。 （1）求）求ACE， CAE的度數(shù)；的度數(shù)； （2）若）若AB=4cm

40、，你能求出，你能求出ACE的面積嗎？的面積嗎？ A BC D E 判別應(yīng)用判別應(yīng)用 1.不能判別四邊形不能判別四邊形ABCD是平行四邊形的是平行四邊形的 條件是（條件是（ ） A、AB=CD，AD=BC B、AB/CD，AB=CD C、AB=CD，AD/BC D、AB/CD，AD/BC C 2.四邊形四邊形ABCD中，中，ABCD，要使四邊，要使四邊 形形ABCD為平行四邊形，則應(yīng)添加的條為平行四邊形，則應(yīng)添加的條 件是件是_（添加一個(gè)條件即可）（添加一個(gè)條件即可） 3.E3.E、F F是是 ABCDABCD對(duì)角線對(duì)角線BDBD上的兩點(diǎn)，上的兩點(diǎn)， 請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l

41、件： _，使四邊形，使四邊形AECFAECF是平行是平行 四邊形四邊形 4.4.如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCDABCD中，點(diǎn)中，點(diǎn)E E、F F分分 別在別在ABAB、CDCD上上,CF=AE.,CF=AE. （1 1）四邊形）四邊形DEBFDEBF是平行四邊形嗎？說(shuō)說(shuō)是平行四邊形嗎？說(shuō)說(shuō) 你的理由。你的理由。 （2 2）連接）連接AFAF、CECE，與，與DEDE、BFBF分別交與分別交與M M、N N。 找出圖中的平行四邊形。并說(shuō)明理由。找出圖中的平行四邊形。并說(shuō)明理由。 M N 5.已知已知:ABCD的的 對(duì)角線對(duì)角線AC的垂直的垂直 平分線與邊平分線與邊AD、 BC分別交

42、于點(diǎn)分別交于點(diǎn)E、 F，與，與AC相交于點(diǎn)相交于點(diǎn) O 求證：四邊形求證：四邊形 AFCE是菱形是菱形 C D B F E A 6.6.在在 中中 ， 點(diǎn)點(diǎn)E E，F(xiàn) F分別在分別在ABAB，ACAC上，上， 把把 沿著沿著EFEF對(duì)折，使對(duì)折，使 點(diǎn)點(diǎn)A A落在落在BCBC上點(diǎn)上點(diǎn)D D處，處， 且使且使 。 RtABC 90C A EDBC 求證：四邊形求證：四邊形AEDFAEDF是菱形是菱形 7.AB=CD=ED7.AB=CD=ED， AD=EBAD=EB，BEDEBEDE，垂，垂 足為足為E E (1)(1)求證：求證： ABDABDEDBEDB (2)(2)只需添加一個(gè)條只需添加一個(gè)

43、條 件，即件，即_， 可使四邊形可使四邊形ABCDABCD為為 矩形矩形. .請(qǐng)加以證明請(qǐng)加以證明. . 8.8.在在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，D D是是BCBC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，DEABDEAB， DFACDFAC，垂足分別為，垂足分別為E E、F F (1)(1)求證：求證：DE=DFDE=DF (2)(2)只添加一個(gè)條件，使四邊形只添加一個(gè)條件，使四邊形EDFAEDFA是正方是正方 形請(qǐng)你至少寫(xiě)出兩種不同的添加方法形請(qǐng)你至少寫(xiě)出兩種不同的添加方法( (不另不另 外添加輔助線，無(wú)需證明外添加輔助線，無(wú)需證明) ) 一、判斷題一、判斷題 1、兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊

44、形。（、兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。（ ） 2、兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形。（、兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形。（ ） 3、兩條對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是正方形。（、兩條對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是正方形。（ ） 4、兩條對(duì)角線相等的菱形是正方形。（、兩條對(duì)角線相等的菱形是正方形。（ ） 5、矩形的對(duì)角線互相垂直。（、矩形的對(duì)角線互相垂直。（ ） 6、一組對(duì)邊平行，且另一組對(duì)邊相等的四邊形、一組對(duì)邊平行，且另一組對(duì)邊相等的四邊形 是等腰梯形。（是等腰梯形。（ ） X X X X 如圖平行四邊形如圖平行四邊形ABCDABCD中，中，ABAB垂直垂直ACAC，AB=1AB=1， BC

45、= BC= ，對(duì)角線，對(duì)角線ACAC、BDBD交于交于0 0點(diǎn)，將直線點(diǎn)，將直線ACAC 繞點(diǎn)繞點(diǎn)0 0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BCBC、ADAD于點(diǎn)于點(diǎn)E E、F F (1)(1)試說(shuō)明在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段試說(shuō)明在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AFAF與與ECEC總相等總相等 如圖平行四邊形如圖平行四邊形ABCDABCD中，中，ABAB垂直垂直ACAC，AB=1AB=1， BC= BC= ，對(duì)角線，對(duì)角線ACAC、BDBD交于交于0 0點(diǎn)，將直線點(diǎn)，將直線 ACAC繞點(diǎn)繞點(diǎn)0 0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BCBC、ADAD于點(diǎn)于點(diǎn)E E、F F (2)(2)證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)

46、角為9090時(shí)，四邊形時(shí)，四邊形ABEFABEF 是平行四邊形；是平行四邊形； (3)(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形BEDFBEDF可能是菱形可能是菱形 嗎嗎? ?如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果能，說(shuō)明如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果能，說(shuō)明 理由并求出此時(shí)理由并求出此時(shí)ACAC繞點(diǎn)繞點(diǎn)0 0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)。 分析：OC與OD的雙重角色 例1. 如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作 DPOC，且 DP=OC，連結(jié)CP，試說(shuō)明：四邊形CODP是的形狀。 AB D C O P 解:四邊形CODP 是菱形 DPOC, DP=OC 四邊形CODP是平行四邊形

47、 又在矩形 ABCD 中 CO= AC DO= BD AC=BD CO=DO 四邊形CODP是菱形 如果題目中的矩形變?yōu)檎叫?圖二)，結(jié)論又應(yīng) 變?yōu)槭裁矗?如果題目中的矩形變?yōu)榱庑?圖一)，結(jié)論應(yīng)變 為什么？ 圖一 圖二 探索：探索： 如圖，有一塊邊長(zhǎng)為4 4的正方形塑料模板ABCD，將一塊足 夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)落在A點(diǎn)，兩條直角邊分別 與CD交于點(diǎn)F與CB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，則四邊形AECF的面積 是 ？ E D B C F A 1616 例例2：如圖，在四邊形：如圖，在四邊形ABCD中，中，AB=2，CD=1，A=60， B= D=90 ，求四邊形，求四邊形ABCD的面積。的面積。

48、B A D C E 注：四邊形的問(wèn)題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題來(lái)解，轉(zhuǎn)化的方法注：四邊形的問(wèn)題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題來(lái)解，轉(zhuǎn)化的方法 是添加適當(dāng)?shù)妮o助線，如連結(jié)對(duì)角線、延長(zhǎng)兩邊等。是添加適當(dāng)?shù)妮o助線，如連結(jié)對(duì)角線、延長(zhǎng)兩邊等。 解：解： 延長(zhǎng)延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)交于點(diǎn)E， 在在RtABE中，中，A=60， E=30 又又AB=2 BE=3AB=2 3 在在RtCDE中，同理可得中，同理可得 DE=3CD= 3 S四邊形四邊形ABCD=S RtABE - S RtCDE = ABBE - CDDE 1 2 1 2 = 223 - 13 1 2 1 2 = 3 3 2 2 1 注：解注：解“翻折圖形翻

49、折圖形”問(wèn)題的關(guān)鍵是要認(rèn)識(shí)到對(duì)折時(shí)折痕為重合兩點(diǎn)的對(duì)問(wèn)題的關(guān)鍵是要認(rèn)識(shí)到對(duì)折時(shí)折痕為重合兩點(diǎn)的對(duì) 稱軸，會(huì)形成軸對(duì)稱圖形。稱軸，會(huì)形成軸對(duì)稱圖形。 本題通過(guò)設(shè)未知數(shù)，然后根據(jù)圖形的幾何元素間的關(guān)系列方程求解的方本題通過(guò)設(shè)未知數(shù)，然后根據(jù)圖形的幾何元素間的關(guān)系列方程求解的方 法，是數(shù)學(xué)中常用的法，是數(shù)學(xué)中常用的“方程思想方程思想”。 例例4：已知，如圖，矩形紙片長(zhǎng)為：已知，如圖，矩形紙片長(zhǎng)為8cm，寬為，寬為6cm, 把紙對(duì)折把紙對(duì)折 使相對(duì)兩頂點(diǎn)使相對(duì)兩頂點(diǎn)A，C重合，求折痕的長(zhǎng)。重合，求折痕的長(zhǎng)。 A B C D F E O D 解： 設(shè)折痕為設(shè)折痕為EF，連結(jié)，連結(jié)AC，AE，CF， 若若A，C兩點(diǎn)重合，它們必關(guān)于兩點(diǎn)重合，它們必關(guān)于EF對(duì)對(duì) 稱，則稱，則EF是是AC的中垂線的中垂線 ，故，故 AF=FC，設(shè)，設(shè)AC與與EF交于點(diǎn)交于點(diǎn)O， AF=FC=xcm 25 4 解得解得x= AF=FC= ,FD=8 x= 25 4 7 4 答：折痕的長(zhǎng)為答：折痕的長(zhǎng)為7.5cm