畢業(yè)設(shè)計（論文）特征值與特征向量

1、 鄭州工學(xué)院2003 屆畢業(yè)論文 題 目 院(系)、部： 學(xué)生姓名： 指導(dǎo)教師： 職稱 專 業(yè)： 班 級： 完成時間： 第一部分：特征值與特征向量特征值與特征向量是高等代數(shù)和線性代數(shù)課程中的一個重要基本概念。在不同的教材中,關(guān)于特征值與特征向量定義的描述不一定相同,但歸納起來只有兩種:（一)線性空間中線性變換/的特征值與特征向量。（二)階矩陣的特征值與特征向量。這兩種定義之間的關(guān)系是一個最使人們不易理解而難以掌握的代數(shù)問題。本文試圖就這個問題給出一個簡單而明了的解釋。一、特征值與特征向量的兩種不同定義在多數(shù)高等代數(shù)教材中,特征值與特征向量的引入是為了研究線性空間中線性變換/的屬性的,其定義如下

2、:定義1設(shè)/是數(shù)域上線性空間的一個線性變換,如果對于數(shù)域中的一數(shù),存在一個非零向量,使得/=那么稱為/的一個特征值,而稱為/的屬于特征值的一個特征向量。在大部分線性代數(shù)教材中,特征值與特征向量的討論被作為矩陣?yán)碚撗芯康囊粋€重要組成部分,其定義如下:定義2設(shè)是數(shù)域上的一個階方陣,若存在一個數(shù)以及一個非零維列向量n,使得=,則稱是矩陣的一個特征值,向量稱為矩陣關(guān)于特征值的特征向量。從表面上看,這是兩種關(guān)于特征值與特征向量完全不同(其主體對象不同)的定義,但實(shí)際上,它們之間的關(guān)系是線性代數(shù)理論中最為精彩的一頁。二、兩種定義之間的關(guān)系要了解這兩種定義之間的關(guān)系,首先重要的是要弄清兩種定義中主體對象線性

3、變換/與階矩陣的關(guān)系。設(shè)是數(shù)域上的維線性空間,1,2,是的一組基,則對于上任一線性變換/,存在數(shù)域上惟一的階方陣,使(/1,/2,/n)=(1,2,n)我們稱為線性變換/在基1,2,n下的矩陣。反之,對于數(shù)域上任一階矩陣,在中存在惟一的線性變換/,滿足(/1,/2,/n)=(1,2,n)即線性變換/與階矩陣的關(guān)系是1-1對應(yīng)的。以下假設(shè)線性變換/在基1,2,n下的矩陣為,則它們的特征值與特征向量的關(guān)系如下:若是矩陣的特征值,=(1,2,n)t是矩陣關(guān)于特征值的特征向量,則也是線性變換/的特征值,=11+22+是/的屬于的特征向量。反之,若是線性變換/的特征值=11+22+nn是/的屬于的特征向

4、量,則是矩陣的特征值,=(1,2,)是矩陣關(guān)于特征值的特征向量。由此可知,線性變換/與其對應(yīng)的階矩陣有相同的特征值,而階矩陣的特征向量是/的特征向量在基1,2,n下的坐標(biāo)。即從理論上來講,只要求出了定義1中的特征值與特征向量,就可知定義2中的特征值與特征向量,反之亦然。但實(shí)際上,我們總是先求的特征值與特征向量,再推出線性變換/的特征值與特征向量。三、特征值與特征向量的解法關(guān)于矩陣的特征值與特征向量的解法可以在任何一部高等代數(shù)或線性代數(shù)教材中看到。特征多項(xiàng)式|-|=0的根即為的全部特征值。而對于的任一特征值,方程組()=0的所有非零解即為矩陣的關(guān)于特征值的全部特征向量。根據(jù)兩種定義間特征值與特征

5、向量的關(guān)系,確定一個線性變換/的特征值與特征向量的方法可以分成以下幾步:1在線性空間中取一組基1,2,n,寫出/在這組基下的矩陣;2求在數(shù)域中全部特征值,它們也就是線性變換/的全部特征值;3對于每個特征值,求出方程組(-)=0的一組基礎(chǔ)解系,它們就是屬于的個線性無關(guān)的特征向量在基1,2,n下的坐標(biāo)。這樣我們也就求出了屬于每個特征值的全部線性無關(guān)的特征向量。由于同一線性變換在不同基底下的矩陣是相似的,而相似的矩陣是具有相同特征值的,所以/的特征值與基的選取無關(guān)由基變換與坐標(biāo)變換公式,/的屬于的特征向量也是/的一個不變量,不依賴于基的選擇。這就保證了定義1中關(guān)于線性變換/的特征值與特征向量定義的精

6、確性。第二部分：矩陣的特征值與特征向量的同步求解方法一般教科書中介紹的求矩陣的特征值與特征向量的方法是:首先,求解-=0,得全部特征值i;然后,對每一個i解方程組(i-)=0,得特征向量.這里介紹一種只要對矩陣作適當(dāng)?shù)某醯茸儞Q就可同步得出矩陣的特征值與特征向量的方法,實(shí)踐證明,該方法簡單易行,與傳統(tǒng)的方法相比,能達(dá)成事半功倍的效果.1. 初等列變換1.1 定理1、定理21.1.1 定理1設(shè)是秩為的階矩陣,且但與其中是秩為的列滿秩矩陣,則矩陣所含的-個列向量就是齊次線性方程組=0的一個基礎(chǔ)解系(約定t表示的轉(zhuǎn)置,()表示矩陣的秩,表示階單位矩陣)。證明對矩陣(tn)施行一系列初等行變換相當(dāng)于左乘

7、一個可逆陣,由已知可得:t= (3)n= (4) 由(4)可知,(-)是行滿秩,即其行向量i(=1,2,-)線性無關(guān),將(4)代入(3),得 enat=即(-)t=(-)兩邊同時進(jìn)行轉(zhuǎn)置得t=0由此可知的行向量是方程組(1)的解,且i(=1,2,-)是線性無關(guān)的,所以即為方程組(1)的基礎(chǔ)解系,證畢.定理2矩陣的特征矩陣()=(-)經(jīng)列的初等變換可化為下三角的矩陣(),且()的主對角線上元素乘積的多項(xiàng)式的根恰為的所有特征值(證明咯).定理2 事實(shí)上給出了化特征矩陣為下三角陣,從而求得特征值的列初等變換的方法.1.2 求解步驟利用這兩個定理可以同步求解矩陣的特征值與特征向量.1.2.1設(shè)()=(

8、-),且 (1)其中()為下三角陣,則()的主對角線上元素乘積的多項(xiàng)式的全部根恰為的所有特征值i.1.2.2對矩陣的任一特征值i,代入(1),若(i)中非零列向量構(gòu)成列滿秩矩陣,那么(i)中和(i)中零向量所對應(yīng)的列向量是屬于特征值i的特征向量;否則,繼續(xù)進(jìn)行列變換使得*(i)中非零向量的列構(gòu)成列滿秩矩陣,那么*(i)中和*(i)中零向量所對應(yīng)的列向量是屬于特征值的特征向量.例1:求矩陣的特征值與特征向量.解:根據(jù)定理1=由(-1)2(1-)(3+)=0得特征值1=-3,2=3=4=1(三重).當(dāng)1=-3時=因(1)=(-3)的非零向量的列構(gòu)成列滿秩矩陣,且其最后的一個列向量是零向量,故(1)

9、=(-3)中的最后一個列向量(1,-1,-1,1)t是1=-3的線性無關(guān)的特征向量.同理2=3=4=1的特征向量是(1)中的最后三個列向量1=(0,1,0,1)t,2=(0,0,1,1),3=(1,-1,-1,-3)t.例2:求矩陣的特征值與特征向量,其中=解: = 由-1(-1)(2-1)=0得特征值1=2=1(二重),3=-1.當(dāng)1=2=+1時=因(1)的非零向量的列構(gòu)成非列滿秩矩陣,故需繼續(xù)列的初等變換=由* (1)的非零向量的列構(gòu)成列滿秩矩陣,且其第一、三列為零向量,故* (1)的第一、三列向量為1=2=1的全部線性無關(guān)的特征向量,即1=(1,0,2)t,2=(0,1,2)t.易知,從

10、屬3=-1的線性無關(guān)的特征向量是(0,1,0)t.2. 初等行變換2.1 定理3、定理42.1.1 定理3設(shè)是秩為的階矩陣,且其中rm是秩為的行滿秩矩陣,則矩陣所含的-個行向量就是齊次線性方程組=0的一個基礎(chǔ)解系(證明略).2.1.2 定理4對任意方陣特征矩陣()=(-t)經(jīng)過行變換,可化為上三角矩陣(),且()的主對角線上元素乘積的多項(xiàng)式的根即為的特征值.證明-1112 1()= 21 -2221 2-,顯然()=.首先考察()的第1列,若i 1(=2,3,)不全為零,任取其一,記為1()通過行變換,將()化為如下形式:;若i 1=0(=2,3,),則()本身即具有這種形式.其次,再考察()

11、的第1列,若不全為0(若全為零,則()|2| |n|,則對任意非零初始向量v(0)=v(0),且v(0)不與x1正交,按下述方法構(gòu)造的向量序列v(k),v(k):v(0)=v(0)v(k)=av(k-1)v(k)=(k=1,2,),(k)= i (k) ,i (k)是v(k)的分量.有v(k)=x1/(x1)(k) =1.(歸一化的特征向量). 定理1給出了迭代的算法.計算中每迭代一次進(jìn)行一次歸一化.矩陣迭代法是用來求第一階特征值與特征向量的.但是,如果初始向量選取不當(dāng),迭代收斂的結(jié)果卻可能不是第一階的.如果所選的初始向量v(0)與x1正交,將不能收斂到第一階特征向量與特征值.但是,因?yàn)槭孪炔?/p>

12、知道特征向量,對于任取的某個向量,無法確定它是否與x1正交,所以無法確定收斂結(jié)果是否為第一階的特征向量與特征值.文獻(xiàn)1認(rèn)為即使v(0)與x1正交,由于舍入誤差傳播,仍將使結(jié)果收斂到第一階.但是實(shí)際的計算表明:計算結(jié)果確實(shí)收斂,然而不一定收斂于第一階.進(jìn)一步,對定理1可有如下的推廣,即若給定的初始向量與x1,x2,xj均正交,而與xj+1不正交,則定理1中構(gòu)造的向量序列將收斂于第j+1階.上述分析實(shí)際上給出了一種求高階特征向量的方法.如果已經(jīng)求得了第一階特征向量,在給定的初始向量中除去第一階特征向量的分量,那么迭代結(jié)果將收斂于第二階或更高階的特征向量.但是,如果不能確保第一部分的迭代結(jié)果是第一階

13、特征向量,同樣,根據(jù)定理1的推廣,后續(xù)的迭代中也不能確保得到第二階特征向量.3 迭代計算時的循環(huán)控制條件在實(shí)際計算中,必須有循環(huán)控制條件,以保證不會在機(jī)器上出現(xiàn)死循環(huán).方法之一是控制循環(huán)次數(shù),當(dāng)?shù)_(dá)到一定的次數(shù)后就退出計算,但是這一方法不能保證所要的精度.不同向量的計算精度不具有可比性.為此,在計算中采用下述的循環(huán)控制條件:設(shè)m=(k)i-(k-1)i,給定一個閥值m(0mm時,繼續(xù)進(jìn)行迭代,直到mm為止.依據(jù)上面定義的m可以認(rèn)為是計算結(jié)果精度的一種度量.以結(jié)果收斂于第一階的迭代過程討論.設(shè)x1=x11,x12,x1nt,則結(jié)果的絕對誤差可以定義為=x1i-(k)i.特征向量是歸一化的,因此

14、也是相對誤差.但是事實(shí)上,真實(shí)的特征向量是未知的,在實(shí)際上也就無法確知.比較簡單的辦法就是用m代替.計算中我們是用m來控制m的,并認(rèn)為m是計算精度的度量.4.初始向量及閥值與計算結(jié)果的關(guān)系為了凸顯問題的實(shí)質(zhì),在討論該算法的性能時,分別用不同的矩陣、不同的初始向量、不同的閥值來分析計算所需的迭代次數(shù)、計算結(jié)果的相對誤差.初始向量是選取與第一階特征向量接近正交(二者的內(nèi)積接近于0)及遠(yuǎn)離正交(二者的內(nèi)積接近于1)的兩種典型情況.編制turboc+3.0語言程序計算.表1給出對角矩陣a1=diag(4,3,2,1)的一些計算結(jié)果.此矩陣精確的特征值1=4,2=3,3=2,4=1,特征向量x1=(1,

15、0,0,0)t,x2=(0,1,0,0)t,x3=(0,0,1,0)t,x4=(0,0,0,1)t.表2給出行向量分別為(5,-2,-5,-1),(1,0,-3,2),(0,2,2,-3),(0,0,1,2)的矩陣a2的一些計算結(jié)果.矩陣的精確的特征值1=4,2=1+2i,3=1-2i,4=-1,特征向量x1=t.表中計算結(jié)果的特征值有效位數(shù)取到小數(shù)點(diǎn)后三位.分析表1中的結(jié)果可知,對于某個特定的矩陣,循環(huán)控制條件的閥值相同時:若初始向量與x1遠(yuǎn)離正交態(tài),迭代結(jié)果與x1接近的程度總是超過與其它階接近的程度,特別是特征值收斂很快.此時,即使閥值不是非常的小,誤差也不大.閥值小于0.1后,它們基本上

16、在同一個數(shù)量級上.若初始向量與x1接近正交,迭代結(jié)果可能與第二階(或更高階)的特征值和特征向量更加接近.只有當(dāng)閥值非常小時才使結(jié)果接近第一階.也就是閥值非常小時，才可以用閥值估計誤差.表1矩陣a1的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果初始向量閥值m迭代次數(shù) 計特征值算 結(jié) 果特征向量的轉(zhuǎn)置（取小數(shù)點(diǎn)后五位）誤差1e-11e-21e-31e-41e-51e-61e-71e-11e-21e-31e-41e-51e-65132129374553410536169774.0004.0004.0004.0004.0004.0004.0003.0003.0004.0004.0004.0004.000(1.00000,0.2373

17、0,0.03125,0.00098)(1.00000,0.02376,0.00012,0.00000)(1.00000,0.00238,0.00000,0.00000)(1.00000,0.00024,0.00000,0.00000)(1.00000,0.00002,0.00000,0.00000)(1.00000,0.00000,0.00000,0.00000)(1.00000,0.00000,0.00000,0.00000)(0.00032,1.00000,0.19753,0.01235)(0.00178,1.00000,0.01734,0.00002)(1.00000,0.00239,0

18、.00000,0.00000)(1.00000,0.00024,0.l00000,0.00000)(1.00000,0.00002,0.00000,0.00000)(1.00000,0.00000,0.00000,0.00000)0.237300.023760.002380.000240.00002-1.000001.000000.002390.000240.00002-說明:欄初始向量為(1,1,1,1)t,欄初始向量為(1e-4,1,1,1)t.表2矩陣a2的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果初始向量閥值m迭代次數(shù) 計特征值算 結(jié) 果特征向量的轉(zhuǎn)置（取小數(shù)點(diǎn)后五位）誤差1e-11e-21e-31e-41e-51

19、e-61e-731117263441494.4353.9663.9944.0004.0004.0004.000(1.00000,0.24510,0.08824,0.01961)(1.00000,0.18838,0.11806,0.05626)(1.00000,0.19337,0.11222,0.05576)(1.00000,0.19452,0.11104,0.05553)(1.00000,0.19444,0.11112,0.05555)(1.00000,0.19444,0.11111,0.05556)(1.00000,0.19444,0.11111,0.05556)0.050660.00706

20、0.001110.000080.00001-說明:本表中初始向量為(1,-0.5,0.2,0.1)t.圖1 =f(m)之關(guān)系的典型曲線由表1和表2中的結(jié)果還可以看出:誤差與閥值m的關(guān)系=f(m)雖然是單調(diào)增加的,但是這個函數(shù)對m的敏感性與初始向量有關(guān).二者之間的關(guān)系曲線大致如圖1.若初始向量與x1接近正交,則m0要取得較小,才能使對m比較敏感.計算中顯然希望m0較大,可使計算次數(shù)較少.而mm1后,誤差的減小與m基本上是同量級的,這在上面已經(jīng)提到過了.圖2 迭代次數(shù)與閥值的關(guān)系通過對于大量的算例的計算表明,對于實(shí)對角矩陣、實(shí)三角矩陣以及特征值均為實(shí)數(shù)的一般矩陣,對于給定的初始向量,當(dāng)閥值足夠小以

21、后,閥值每減小一個量級,迭代的次數(shù)增加相同的次數(shù),如圖2(初始向量為欄初始向量).對于含有復(fù)特征值的矩陣,此結(jié)論不嚴(yán)格成立.如表2示.若以n表示迭代次數(shù),則當(dāng)m足夠小后,有n與-logm成線性關(guān)系,即dnd(-logm),有趣的是當(dāng)m足夠小,其線性比例系數(shù)與初始向量無關(guān),只與矩陣本身有關(guān).但是這個關(guān)系要在m小到怎樣的程度才成立,卻與初始向量有關(guān).初始向量與x1越接近正交,要求m越小.但是與矩陣的解析關(guān)系究竟為何;對于一個給定的矩陣,m小到怎樣的程度才成立與初始向量的定量化關(guān)系,有待于進(jìn)一步研究.但是,當(dāng)矩陣是實(shí)對角矩陣或?qū)嵢蔷仃嚂r,其特征值即為其對角元素.設(shè)特征值按絕對值大小排序分別為1,2

22、,n,那么=.可見,當(dāng)1時, 非常大,這說明此時迭代收斂很慢.對表1中給定的矩陣有=-8.003923,表1中為-8.這個結(jié)論尚無嚴(yán)格證明.計算還表明,當(dāng)采用如下的循環(huán)控制條件:設(shè)m=,給定一個閥值m(0mm時,繼續(xù)進(jìn)行迭代,直到m3)都化作的次數(shù)小于等于3的多項(xiàng)式,從而簡化k的計算。例6設(shè)3階方陣的特征值為1=1,2=0,3=1;對應(yīng)的特征向量依次為1=(1,2,2),2=(2,-2,1),3=(-2,-1,2)。求k(為大于1的整數(shù))。解：因1,2,3線性無關(guān),記=(123),由性質(zhì)6有-1=所以=-1,k=(-1)k=-1-1-1=k-1故k=于是當(dāng)為偶數(shù)時,k=;為奇數(shù)時,k=注:此法

23、當(dāng)可以對角化時才可使用。例7 設(shè)3階實(shí)對稱陣的特征值為6,3,3。與特征值6對應(yīng)的特征向量為1=(1,1,1),求。解 設(shè)對應(yīng)于3的特征向量為=(1,2,3),因?qū)崒ΨQ陣的不同特征值下的特征向量正交,即有1=0,即的分量滿足1+2+3=0。又因特征值3的重數(shù)為2,所以對應(yīng)于3恰有兩個線性無關(guān)的特征向量,顯然1+2+3=0的基礎(chǔ)解系就是對應(yīng)于3的兩個線性無關(guān)的特征向量。由1+2+3=0得它的一個基礎(chǔ)解系為1=(-1,1,0),2=(-1,0,1)。令=(123)=,由性質(zhì)6有-1=。故=-1=。(4) 求方陣的多項(xiàng)式()。例8 設(shè)=,計算()=28-35+4+2-4。解 ()=|-|=3-2+1

24、,而28-35+4+2-4=()()+(242-37+10),顯然28-35+4+2-4=()()+(242-37+10)。由性質(zhì)5可知()=0,所以()=242-37+10=。(5)判斷實(shí)對稱陣的正定性。例9設(shè)階實(shí)對稱陣正定,則存在矩陣,使2=,且也是正定矩陣。證明因?yàn)閷?shí)對稱陣,故存在正交矩陣,使-1=1=,其中i(=1,2,)為的個特征值。因正定,故有i0(=1,2,)。于是=1-1=-1=-1=-1-1令=-1,則有=2,又因-1= =2,即與對角陣2相似,相似矩陣的特征值相同,故,為的個特征值,因0(=1),由性質(zhì)7知正定。第四部分：運(yùn)用理論：秦皇島市旅游景區(qū)優(yōu)先開發(fā)決策支持系統(tǒng)及應(yīng)用

25、秦皇島市的旅游資源較為豐富，發(fā)展旅游業(yè)潛力很大，目前已開辟如第一關(guān)、老龍頭、南戴河、燕塞湖等景區(qū)。隨著對外開放、對內(nèi)搞活政策的貫徹，旅游人數(shù)逐年增加，這就面臨著需要適當(dāng)?shù)亻_辟新的旅游區(qū)。但由于交通、經(jīng)費(fèi)等方面的限制不可能同時開發(fā)多景區(qū)，必須制定適當(dāng)?shù)恼?，結(jié)合實(shí)際情況，有條件、有次序的逐個開發(fā)，以使經(jīng)費(fèi)的使用、人才的培養(yǎng)及賓館的建設(shè)達(dá)到滿意的狀態(tài)。為此，我們提出并設(shè)計了旅游景區(qū)優(yōu)先開發(fā)決策支持系統(tǒng)。為決策者分析提供參考。 .決策支持系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計旅游景區(qū)優(yōu)先開發(fā)決策支持系統(tǒng)（ 簡稱：）是一個較方便的人機(jī)交互系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)用如圖 。圖 旅游景區(qū)優(yōu)先開發(fā)決策支持系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖這一模型符合多目標(biāo)決策要求，

26、我們現(xiàn)在分析的模型為旅游區(qū)開發(fā)價值層次分析模型。所使用的方法有：和積法、迭代法、方根法。的工作流程如圖。圖 工作流程圖2層次分析法社會領(lǐng)域里的決策問題常常含有大量重要的因素?zé)o法定量表示，采用層次分析法建立的模型包含并計量有關(guān)的全部有形與無形、定量與定性的重要因素，可以更客觀地反映復(fù)雜社會事物決策中眾多影響因素的作用。一個遞階層次就是一個特殊形式的系統(tǒng)，它基于如下假設(shè)：該系統(tǒng)中經(jīng)確定的所有元素可以劃分為彼此不相關(guān)若干組。其中任何一組中的元素只對另外一個特定組中的元素發(fā)生影響，同時也只受到另外一組中的元素影響。遞階層次結(jié)構(gòu)中的每一組內(nèi)的元素都是彼此獨(dú)立的。在實(shí)際工作中并沒有一種把若干目標(biāo)、準(zhǔn)則及活

27、動結(jié)合在一個遞階層次內(nèi)，甚至是一個普通層次內(nèi)的既定程序，因?yàn)檫@取決于我們?yōu)榉纸庀到y(tǒng)的復(fù)雜性所選擇的目標(biāo)。為用于計劃和處理沖突而構(gòu)造的遞階層次一般形式是這樣的：最終的目標(biāo)確定為最高層，在它的下面是各子目標(biāo)，然后依次是約束活動的影響因素層、活動層、活動的目標(biāo)層、策略層，最后是由各種可能結(jié)果構(gòu)成的最低層。對物質(zhì)系統(tǒng)構(gòu)造遞階層次時，上述策略層即由設(shè)計方法所取代，下面同樣有若干中間層，直到最終的選擇方案層。用判斷矩陣求多指標(biāo)的權(quán)值及排序在決策分析過程中，常須在專家評估的基礎(chǔ)上求多個指標(biāo)對于某個目標(biāo)影響的權(quán)值，并在此基礎(chǔ)上求出各指標(biāo)對該目標(biāo)影響的排序。雖然各指標(biāo)對目標(biāo)的影響是客觀的，但要求專家同時評估多個

28、目標(biāo)對目標(biāo)的影響程度是非常困難的。因此，可通過專家分析每兩個指標(biāo)對目標(biāo)的影響的比值，得到判斷矩陣，再計算矩陣的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量，求得和指標(biāo)對目標(biāo)影響的權(quán)值，再由權(quán)值大小確定指標(biāo)對該目標(biāo)的影響的排序。任意兩個指標(biāo)對目標(biāo)的比值的確定指標(biāo)集中的每個指標(biāo)對目標(biāo)具有不同的作用，即各指標(biāo)在對目標(biāo)的影響有不同的比重，這個比重我們稱之為優(yōu)先權(quán)重值，確定權(quán)重值的方法可用相對重要程度相關(guān)等級表來計算。該表大致有五個等級，即相同、微弱差異、明顯差異、強(qiáng)烈差異、極端差異。如果需要較高的精確程度，則可在不同的等級間使用中間值，這樣就有個值點(diǎn)，見表表 權(quán)重相對重要程度相關(guān)等級排序方法的直觀描述設(shè)1，2，3，n為所考察問題的

29、指標(biāo)，目標(biāo)為。令cij = i,j=1,2, ,n亦即i j代表指標(biāo)i與j比較其相對重要性判斷的重要程度值。從而得到判斷矩陣（i j）顯然i i（，），于是得矩陣。其中，若與確定了某個比值后，則與即為其倒數(shù)。解矩陣的特征方程c e= 0求特征值i。記為，再計算出的標(biāo)準(zhǔn)化特向量。其中i（，）為指標(biāo)i對 的影響權(quán)值。根據(jù)i（，）的大小順序可確定i對目標(biāo)的影響的排序。 的層次模型及優(yōu)先開發(fā)次序一個旅游區(qū)是否需要開發(fā)，主要取決于它的開發(fā)價值。為了研究秦皇島市各旅游區(qū)的優(yōu)先開發(fā)順序，建立了如下的層次分析模型。分四個層次，依次為目標(biāo)層d準(zhǔn)則層b指標(biāo)層c和景區(qū)層s，見圖3。 旅游區(qū)開發(fā)價值 d 交通b1景點(diǎn)

30、b2賓館b3人才b4公路條件 c1到市距離 c2吸引力 c3數(shù)量 c4開發(fā)投資 c5環(huán)境效益 c6經(jīng)濟(jì)效益 c7社會效益 c8數(shù)量容量 c9賓館服務(wù)質(zhì)量 c10管理人員素質(zhì)c11導(dǎo)游素質(zhì) c12綜合人員素質(zhì)c13bcvs1天馬湖s2南戴河s3背牛頂s4長壽山s5褐石山s6金海岸s7滑沙廠s8老嶺s圖3 trdss的層次模型 請參與決策的專家，根據(jù)各層次條目的意義構(gòu)造判斷矩陣，再使用幾何平均法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，得到表2表2 各景區(qū)對不同指標(biāo)得評分c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9 c10 c11 c12 c13s1s2s3s4s5s6s7s85.4 3.0 5.0 4.1 5.8

31、7.0 3.5 4.8 2.6 2.1 2.5 2.2 2.09.0 8.3 7.6 8.0 8.2 7.3 9.2 8.6 8.5 6.0 5.8 5.6 6.82.2 2.8 8.2 8.5 7.5 8.0 7.3 8.0 2.5 3.2 2.9 2.5 3.87.3 6.9 7.9 8.3 6.5 7.9 8.2 8.1 6.7 7.2 7.3 5.8 5.65.9 3.6 6.6 5.9 5.0 7.2 6.9 7.0 5.4 5.5 5.3 5.4 5.79.0 5.3 6.8 7.6 6.0 6.8 7.8 6.9 8.4 5.3 5.2 5.0 5.47.6 5.2 9.6 9.2 6.2 8.1 8.9 8.7 5.5 5.8 5.6 5.5 5.62.0 2.3 8.9 9.4 8.3 9.5 8.6 8.8 2.2 2.0 2.0 2.0 4.1判斷矩陣 dbdb1 b2 b3 b4b1b2b3b41 1/5 3 15 1 8 71/3 1/8 1 1/21 1/7 2 1判斷矩陣 b