高中數(shù)學(xué)《基本不等式》教案

1、基本不等式教案一、教學(xué)目標(biāo)1 通過兩個探究實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形中獲得兩個基本不等式，了解 基本不等式的幾何背景，體會數(shù)形結(jié)合的思想；2 進(jìn)一步提煉、完善基本不等式，并從代數(shù)角度給出不等式的證明，組織 學(xué)生分析證明方法，加深對基本不等式的認(rèn)識，提高邏輯推理論證能力；3 結(jié)合課本的探究圖形，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究基本不等式的幾何解釋，強(qiáng) 化數(shù)形結(jié)合的思想；4 借助例 1 嘗試用基本不等式解決簡單的最值問題，通過例 2 及其變式引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會運(yùn)用基本不等式ab a +b2的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略以上教學(xué)目標(biāo)結(jié)合了教學(xué)實(shí)際，將知識與能力、過程

2、與方法、情感態(tài)度價值 觀的三維目標(biāo)融入各個教學(xué)環(huán)節(jié)二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)： 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式ab a +b2的證明過程；難點(diǎn)：在幾何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式 三、教學(xué)過程：1動手操作，幾何引入如圖是在北京召開的第 24 屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)，會標(biāo) 是根據(jù)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”設(shè)計的，該圖給出了 迄今為止對勾股定理最早、最簡潔的證明，體現(xiàn)了以形證數(shù)、 形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何是緊密結(jié)合、互不可分的探究一：在這張“弦圖”中能找出一些相等關(guān)系和不等 關(guān)系嗎？在 正 方 形a b c d中 有 4 個 全 等 的 直 角 三 角 形 設(shè) 直 角

3、 三 角 形 兩 條2 2直角邊長為 a, b ，那么正方形的邊長為 a 2 +b 2于是，4 個直角三角形的面積之和s =2 ab1，正方形的面積s =a +b 2由圖可知s s2 1，即a2+b22 ab探究二： 先將兩張正方形紙片沿它們的對角線折成兩個 等腰直角三角形，再用這兩個三角形拼接構(gòu)造出一個矩形（兩 邊分別等于兩個直角三角形的直角邊，多余部分折疊）假b設(shè)兩個正方形的面積分別為 a 和 b （a b），考察兩個直角a三角形的面積與矩形的面積，你能發(fā)現(xiàn)一個不等式嗎？通過學(xué)生動手操作，探索發(fā)現(xiàn)：ab a +b22代數(shù)證明，得出結(jié)論根據(jù)上述兩個幾何背景，初步形成不等式結(jié)論：若 a, b

4、r+，則 a2+b22 ab 若 a, b r + ，則 ab a +b2學(xué)生探討等號取到情況，教師演示幾何畫板，通過展示圖形動畫，使學(xué)生直 觀感受不等關(guān)系中的相等條件，從而進(jìn)一步完善不等式結(jié)論：（1）若 a , b r + ，則 a 2 +b 2 2ab；（2）若 a , b r + ，則 ab a +b2請同學(xué)們用代數(shù)方法給出這兩個不等式的證明 證法一（作差法）：a2+b2-2 ab =( a -b )202 a 2 +b 2 2 ab ，當(dāng) a =b 時取等號（在該過程中，可發(fā)現(xiàn) a, b 的取值可以是全體實(shí)數(shù)）證法二（分析法）：由于a , b r+，于是要證明a +b2 ab，只要證明

5、a +b 2 ab，即證a + b -2 ab 0，即( a - b ) 0，該式顯然成立，所以a +b2 ab ，當(dāng) a =b 時取等號得出結(jié)論，展示課題內(nèi)容 基本不等式:若 a, b r +，則 ab a +b2（當(dāng)且僅當(dāng) a =b 時，等號成立）若a , b r，則 a 2 +b 2 2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a =b時，等號成立）深化認(rèn)識：稱 ab 為 a, b 的幾何平均數(shù)；稱a +b2為 a, b 的算術(shù)平均數(shù)基本不等式ab a +b2又可敘述為：兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)3幾何證明，相見益彰探究三： 如圖， ab 是圓 o 的直徑，點(diǎn) c 是 ab 上一點(diǎn)， ac =a ，

6、 bc =b 過點(diǎn)c作垂直于ab的弦de，連接ad, bdd根據(jù)射影定理可得： cd = ac bc = ab 由于 rt dcod 中直角邊 cd 斜邊 od ，ao cb于是有ab 0, b 0時，ab a +b2（當(dāng)且僅當(dāng)a =b時，等號成立）s 212 8（進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的意識，提升思維的靈活性）4應(yīng)用舉例，鞏固提高例 1.（1）用籬笆圍一個面積為 100 平方米的矩形菜園，問這個矩形的長、 寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2）一段長為 36 米的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬為多少 時，菜園的面積最大，最大面積是多少？（通過例 1 的講解，總結(jié)歸納利用基

7、本不等式求最值問題的特征,實(shí)現(xiàn)積與 和的轉(zhuǎn)化）對于x, y r+，（1）若xy =p（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)a =b時，x +y有最小值2 p；（2）若x +y =s（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)a =b時，xy有最大值 4（鼓勵學(xué)生自己探索推導(dǎo)，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了 他們的思維，培養(yǎng)了勇于探索的精神）例 2.求1y =x + ( x 0)x的值域變式 1. 若 x 2 ，求 x + 的最小值x -2在運(yùn)用基本不等式解題的基礎(chǔ)上，利用幾何畫板展示 圖象，使學(xué)生再次感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想1y =x + ( x 0)x的函數(shù)并通過例 2 及其變式引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會運(yùn)用基本不等式ab a +b2的

8、三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用，提升解決問題的能力，體會方 法與策略練一練（自主練習(xí)）：1.已知x 0, y 0，且+ =1 ，求 xy 的最小值 x y2.設(shè)x, y r，且x +y =2，求3x+3y的最小值5歸納小結(jié)，反思提高基本不等式：若a , b r ，則 a 2 +b 2 2ab（當(dāng)且僅當(dāng) a =b 時，等號成立）若 a, b r+，則ab a +b2（當(dāng)且僅當(dāng)a =b時，等號成立）（1）基本不等式的幾何解釋（數(shù)形結(jié)合思想）； （2）運(yùn)用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法 媒體展示，滲透思想：若將算術(shù)平均數(shù)記為z =1x +y2，幾何平均數(shù)記為z = xy2利用電腦 3d 技術(shù)，在空間坐標(biāo)系中向?qū)W生展示基本不等式的幾何背景：平面z =1x +y2在曲面z = xy2的上方6布置作業(yè)，課后延拓（1）基本作業(yè)：課本 p100 習(xí)題a組 1、2 題（2） 拓展作業(yè)：