【最新】高中數(shù)學(xué)-空間幾何體的表面積與體積

1、1.3 空間幾何體的表面積與體積1.3.1 柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積一、教材分析 本節(jié)一開始的“思考”從學(xué)生熟悉的正方體和長(zhǎng)方體的展開圖入手，分析展開圖與其表面積的關(guān)系，目的有兩個(gè)：其一，復(fù)習(xí)表面積的概念，即表面積是各個(gè)面的面積的和；其二，介紹求幾何體表面積的方法，把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積. 接著，教科書安排了一個(gè)“探究”，要求學(xué)生類比正方體、長(zhǎng)方體的表面積，討論棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積問(wèn)題，并通過(guò)例1進(jìn)一步加深學(xué)生的認(rèn)識(shí).教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生討論得出：棱柱的展開圖是由平行四邊形組成的平面圖形，棱錐的展開圖是由三角形組成的平面圖形，棱臺(tái)的展形圖是由梯

2、形組成的平面圖形.這樣，求它們的表面積的問(wèn)題就可轉(zhuǎn)化為求平行四邊形、三角形和梯形的面積問(wèn)題. 教科書通過(guò)“思考”提出“如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，求它們的表面積？”的問(wèn)題.教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生回憶圓柱、圓錐的形成過(guò)程及其幾何特征，在此基礎(chǔ)上得出圓柱的側(cè)面可以展開成為一個(gè)矩形，圓錐的側(cè)面可以展開成為一個(gè)扇形的結(jié)論，隨后的有關(guān)圓臺(tái)表面積問(wèn)題的“探究”，也可以按照這樣的思路進(jìn)行教學(xué).值得注意的是，圓柱、圓錐、圓臺(tái)都有統(tǒng)一的表面積公式，得出這些公式的關(guān)鍵是要分析清楚它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)的側(cè)面展開圖中的邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析，在分別學(xué)習(xí)了圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式后，可以

3、引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)分析它們之間的關(guān)系.由于圓柱可看成上下兩底面全等的圓臺(tái)；圓錐可看成上底面半徑為零的圓臺(tái)，因此圓柱、圓錐就可以看成圓臺(tái)的特例.這樣，圓柱、圓錐的表面積公式就可以統(tǒng)一在圓臺(tái)的表面積公式之下. 關(guān)于體積的教學(xué).我們知道，幾何體占有空間部分的大小，叫做幾何體的體積.這里的“大小”沒(méi)有比較大小的含義，而是要用具體的“數(shù)”來(lái)定量的表示幾何體占據(jù)了多大的空間，因此就產(chǎn)生了度量體積的問(wèn)題.度量體積時(shí)應(yīng)知道：完全相同的幾何體，它的體積相等；一個(gè)幾何體的體積等于它的各部分體積的和.體積相等的兩個(gè)幾何體叫做等積體.相同的兩個(gè)幾何體一定是等積體，但兩個(gè)等積體不一定相同.體積公式的推導(dǎo)是建立在

4、等體積概念之上的. 柱體和錐體的體積計(jì)算，是經(jīng)常要解決的問(wèn)題.雖然有關(guān)公式學(xué)生已有所了解，但進(jìn)一步了解這些公式的推導(dǎo)，有助于學(xué)生理解和掌握這些公式，為此，教科書安排了一個(gè)“探究”，要求學(xué)生思考一下棱錐與等底等高的棱柱體積之間的關(guān)系.教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生類比圓柱與圓錐之間的體積關(guān)系來(lái)得出結(jié)論. 與討論表面積公式之間的關(guān)系類似，教科書在得出柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式后，安排了一個(gè)“思考”，目的是引導(dǎo)學(xué)生思考這些公式之間的關(guān)系，建立它們之間的聯(lián)系.實(shí)際上，這幾個(gè)公式之間的關(guān)系，是由柱體、錐體和臺(tái)體之間的關(guān)系決定的.這樣，在臺(tái)體的體積公式中，令S=S，得柱體的體積公式；令S=0，得錐體的體積公式. 值

5、得注意的是在教學(xué)過(guò)程中，要重視發(fā)揮思考和探究等欄目的作用，培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些公式之間的關(guān)系，建立它們的聯(lián)系.本節(jié)的重點(diǎn)應(yīng)放在公式的應(yīng)用上，防止出現(xiàn)：教師在公式推導(dǎo)過(guò)程中“糾纏不止”，要留出“空白”，讓學(xué)生自己去思考和解決問(wèn)題.如果有條件，可以借助于信息技術(shù)來(lái)展示幾何體的展開圖.對(duì)于空間想象能力較差的學(xué)生，可以通過(guò)制作實(shí)物模型，經(jīng)過(guò)操作確認(rèn)來(lái)增強(qiáng)空間想象能力.二、教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能（1）了解柱體、錐體與臺(tái)體的表面積（不要求記憶公式）.（2）能運(yùn)用公式求解柱體、錐體和臺(tái)體的全面積.（3）培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力. 2過(guò)程與方法讓學(xué)生經(jīng)歷幾何體的側(cè)面展開過(guò)程，感知幾何體

6、的形狀，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化化歸能力. 3情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)學(xué)習(xí)，使學(xué)生感受到幾面體表面積的求解過(guò)程，激發(fā)學(xué)生探索創(chuàng)新的意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性.三、重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：了解柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積計(jì)算公式及其應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：表面積和體積計(jì)算公式的應(yīng)用.四、課時(shí)安排1課時(shí)五、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）導(dǎo)入新課思路1.在過(guò)去的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸過(guò)一些幾何體的面積和體積的求法及公式，哪些幾何體可以求出表面積和體積？（引導(dǎo)學(xué)生回憶，互相交流，教師歸類）幾何體的表面積等于它的展開圖的面積，那么，柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面展開圖是怎樣的？你能否計(jì)算？思路2.被譽(yù)為世界七大奇跡之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲爾鐵塔落

7、成前的四千多年的漫長(zhǎng)歲月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生產(chǎn)工具很落后的中古時(shí)代，埃及人是怎樣采集、搬運(yùn)數(shù)量如此之多，每塊又如此之重的巨石壘成如此宏偉的大金字塔，真是一個(gè)十分難解的謎.胡夫大金字塔是一個(gè)正四棱錐外形的建筑，塔底邊長(zhǎng)230米，塔高146.5米，你能計(jì)算建此金字塔用了多少石塊嗎？（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問(wèn)題 在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體和長(zhǎng)方體的表面積，以及它們的展開圖（圖1），你知道上述幾何體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？ 正方體及其展開圖(1) 長(zhǎng)方體及其展開圖(2)圖1棱柱、棱錐、棱臺(tái)也是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計(jì)算它們的

8、表面積？如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，求它們的表面積？聯(lián)系圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖，你能想象圓臺(tái)側(cè)面展開圖的形狀，并且畫出它嗎？如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是r,r，母線長(zhǎng)為l，你能計(jì)算出它的表面積嗎？圓柱、圓錐和圓臺(tái)的表面積之間有什么關(guān)系？活動(dòng)：學(xué)生討論和回顧長(zhǎng)方體和正方體的表面積公式.學(xué)生思考幾何體的表面積的含義，教師提示就是求各個(gè)面的面積的和.讓學(xué)生思考圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖的形狀.學(xué)生思考圓臺(tái)的側(cè)面展開圖的形狀.提示學(xué)生用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)看待這個(gè)問(wèn)題.討論結(jié)果：正方體、長(zhǎng)方體是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的表面積就是各個(gè)面的面積的和.因此，我們可以把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積

9、的方法，求立體圖形的表面積.棱柱的側(cè)面展開圖是平行四邊形，其表面積等于圍成棱柱的各個(gè)面的面積的和；棱錐的側(cè)面展開圖是由多個(gè)三角形拼接成的，其表面積等于圍成棱錐的各個(gè)面的面積的和；棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是由多個(gè)梯形拼接成的，其表面積等于圍成棱臺(tái)的各個(gè)面的面積的和.它們的表面積等于側(cè)面積與底面積的和，利用它們的側(cè)面展開圖來(lái)求得它們的側(cè)面積，由于底面是圓面，其底面積直接應(yīng)用圓的面積公式即得.其中，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，圓錐的側(cè)面展開圖是扇形. 我們知道，圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形（圖2）.如果圓柱的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l，那么圓柱的底面面積為r2,側(cè)面面積為2rl.因此，圓柱的表面積S=2r2+2rl

10、=2r(r+l). 圖2 圖3 圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形（圖3）.如果圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l，那么它的表面積S=r2+rl=r(r+l).點(diǎn)評(píng)：將空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題，是解決立體幾何問(wèn)題基本的、常用的方法.圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇環(huán)（圖4），它的表面積等于上、下兩個(gè)底面的面積和加上側(cè)面的面積，即S=(r2+r2+rl+rl).圖4圓柱、圓錐、圓臺(tái)側(cè)面積的關(guān)系： 圓柱和圓錐都可以看作是圓臺(tái)退化而成的幾何體.圓柱可以看作是上下底面全等的圓臺(tái)，圓錐可看作是上底面退化成一點(diǎn)的圓臺(tái)，觀察它們的側(cè)面積，不難發(fā)現(xiàn)：S圓柱表=2r(r+l)S圓臺(tái)表=(r1l+r2l+r12+r22)S圓錐

11、表=r(r+l).從上面可以很清楚地看出圓柱和圓錐的側(cè)面積公式都可以看作由圓臺(tái)側(cè)面積公式演變而來(lái).提出問(wèn)題 回顧長(zhǎng)方體、正方體和圓柱的體積公式，你能將它們統(tǒng)一成一種形式嗎？并依次類比出柱體的體積公式？ 比較柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：V柱體=Sh(S為底面積，h為柱體的高)；V錐體=(S為底面積，h為錐體的高)；V臺(tái)體=h(S,S分別為上、下底面積，h為臺(tái)體的高).你能發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系嗎？柱體、錐體是否可以看作“特殊”的臺(tái)體？其體積公式是否可以看作臺(tái)體體積公式的“特殊”形式？活動(dòng)：讓學(xué)生思考和討論交流長(zhǎng)方體、正方體和圓柱的體積公式.讓學(xué)生類比圓柱、圓錐和圓臺(tái)的表面積的關(guān)系？討論結(jié)果：棱長(zhǎng)為a

12、的正方體的體積V=a3=a2a=Sh；長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬和高分別為a,b,c，其體積為V=abc=(ab)c=Sh；底面半徑為r高為h的圓柱的體積是V=r2h=Sh，可以類比，一般的柱體的體積也是V=Sh，其中S是底面面積，h為柱體的高.圓錐的體積公式是V=(S為底面面積，h為高)，它是同底等高的圓柱的體積的.棱錐的體積也是同底等高的棱柱體積的,即棱錐的體積V= (S為底面面積，h為高).由此可見(jiàn)，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是底面面積乘高的. 由于圓臺(tái)（棱臺(tái)）是由圓錐（棱錐）截成的，因此可以利用兩個(gè)錐體的體積差，得到圓臺(tái)（棱臺(tái)）的體積公式V=(S+S)

13、h,其中S，S分別為上、下底面面積，h為圓臺(tái)（棱臺(tái)）高.注意：不要求推導(dǎo)公式，也不要求記憶.柱體可以看作是上、下底面相同的臺(tái)體，錐體可以看作是有一個(gè)底面是一個(gè)點(diǎn)的臺(tái)體.因此柱體、錐體可以看作“特殊”的臺(tái)體.當(dāng)S=0時(shí)，臺(tái)體的體積公式變?yōu)殄F體的體積公式;當(dāng)S=S時(shí)，臺(tái)體的體積公式變?yōu)橹w的體積公式，因此，柱體、錐體的體積公式可以看作臺(tái)體體積公式的“特殊”形式. 柱體和錐體可以看作由臺(tái)體變化得到，柱體可以看作是上、下底面相同的臺(tái)體，錐體可以看作是有一個(gè)底面是一個(gè)點(diǎn)的臺(tái)體，因此很容易得出它們之間的體積關(guān)系,如圖5：圖5（三）應(yīng)用示例思路1例1 已知棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形的四面體SABC（圖6）

14、，求它的表面積.圖6活動(dòng)：回顧幾何體的表面積含義和求法.分析：由于四面體SABC的四個(gè)面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個(gè)面面積的4倍.解：先求SBC的面積，過(guò)點(diǎn)S作SDBC，交BC于點(diǎn)D.因?yàn)锽C=a,SD=,所以SSBC=BCSD=.因此，四面體SABC的表面積S=4.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查多面體的表面積的求法.變式訓(xùn)練1.已知圓柱和圓錐的高、底面半徑均分別相等.若圓柱的底面半徑為r，圓柱側(cè)面積為S，求圓錐的側(cè)面積.解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，因?yàn)閳A柱的側(cè)面積為S，圓柱的底面半徑為r，即S圓柱側(cè)=S，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式可得：圓柱的母線（高）長(zhǎng)為，由題意得圓錐的高為，又圓錐的底

15、面半徑為r，根據(jù)勾股定理，圓錐的母線長(zhǎng)l=，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式得S圓錐側(cè)=rl=r.2.兩個(gè)平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段，那么圓錐被分成的三部分的體積的比是（ ）A.123 B.1719 C.345 D.1927分析：因?yàn)閳A錐的高被分成的三部分相等，所以兩個(gè)截面的半徑與原圓錐底面半徑之比為123，于是自上而下三個(gè)圓錐的體積之比為()2h3h=1827，所以圓錐被分成的三部分的體積之比為1（81）（278）=1719.答案：B3.三棱錐VABC的中截面是A1B1C1，則三棱錐VA1B1C1與三棱錐AA1BC的體積之比是（ ）A.12 B.14 C.16 D.18分析：中截面將三

16、棱錐的高分成相等的兩部分，所以截面與原底面的面積之比為14，將三棱錐AA1BC轉(zhuǎn)化為三棱錐A1ABC，這樣三棱錐VA1B1C1與三棱錐A1ABC的高相等，底面積之比為14，于是其體積之比為14.答案：B例2 如圖7，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑為20 cm，盆底直徑為15 cm，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm，盆壁長(zhǎng)為15 cm.為了美化花盆的外觀，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100個(gè)這樣的花盆需要多少毫升油漆？（取3.14，結(jié)果精確到1毫升，可用計(jì)算器）圖7活動(dòng)：學(xué)生思考和討論如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.只要求出每個(gè)花盆外壁的表面積，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面積等于花盆的側(cè)面積

17、加上底面積，再減去底面圓孔的面積.解：如圖7，由圓臺(tái)的表面積公式得一個(gè)花盆外壁的表面積S=-()21 000(cm2)=0.1(m2).涂100個(gè)這樣的花盆需油漆：0.1100100=1 000（毫升）.答：涂100個(gè)這樣的花盆需要1 000毫升油漆.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何體的表面積公式及其應(yīng)用.變式訓(xùn)練1.有位油漆工用一把長(zhǎng)度為50 cm，橫截面半徑為10 cm的圓柱形刷子給一塊面積為10 m2的木板涂油漆，且圓柱形刷子以每秒5周的速度在木板上勻速滾動(dòng)前進(jìn)，則油漆工完成任務(wù)所需的時(shí)間是多少?（精確到0.01秒）解：圓柱形刷子滾動(dòng)一周涂過(guò)的面積就等于圓柱的側(cè)面積，圓柱的側(cè)面積為S側(cè)=2rl=2

18、0.10.5=0.1 m2，又圓柱形刷子以每秒5周勻速滾動(dòng)，圓柱形刷子每秒滾過(guò)的面積為0.5 m2，因此油漆工完成任務(wù)所需的時(shí)間t=6.37秒.點(diǎn)評(píng)：本題雖然是實(shí)際問(wèn)題，但是通過(guò)仔細(xì)分析后，還是歸為圓柱的側(cè)面積問(wèn)題.解決此題的關(guān)鍵是注意到圓柱形刷子滾動(dòng)一周所經(jīng)過(guò)的面積就相當(dāng)于把圓柱的側(cè)面展開的面積，即滾動(dòng)一周所經(jīng)過(guò)的面積等于圓柱的側(cè)面積.從而使問(wèn)題迎刃而解.2.（2007山東濱州一模，文14）已知三棱錐OABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，OC=1,OA=x，OB=y，且x+y=4，則三棱錐體積的最大值是_.分析：由題意得三棱錐的體積是(x-2)2+，由于x0，則當(dāng)x=2時(shí)，三棱錐的體積取最大

19、值.答案：例3 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是7.8 g/cm3）六角螺帽（圖8）共重5.8 kg,已知底面是正六邊形，邊長(zhǎng)為12 mm,內(nèi)孔直徑為10 mm,高為10 mm，問(wèn)這堆螺帽大約有多少個(gè)?（取3.14）圖8活動(dòng)：讓學(xué)生討論和交流如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.六角帽表示的幾何體是一個(gè)組合體，在一個(gè)六棱柱中間挖去一個(gè)圓柱，因此它的體積等于六棱柱的體積減去圓柱的體積.解：六角螺帽的體積是六棱柱體積與圓柱體積的差，即V=122610-3.14()2102 956(mm3)=2.956(cm3).所以螺帽的個(gè)數(shù)為5.81 000(7.82.956)252(個(gè)).答：這堆螺帽大約有252個(gè).點(diǎn)評(píng)：本題

20、主要考查幾何體的體積公式及其應(yīng)用.變式訓(xùn)練 如圖9，有個(gè)水平放置圓臺(tái)形容器，上、下底面半徑分別為2分米，4分米，高為5分米，現(xiàn)以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，當(dāng)水面的高度為3分米時(shí)，求所用的時(shí)間.（精確到0.01秒）圖9解：如圖10，設(shè)水面的半徑為r，則EH=r-2分米，BG=2分米，圖10在ABG中，EHBG，.AH=2分米,.r=分米.當(dāng)水面的高度為3分米時(shí)，容器中水的體積為V水=3()2+4+42=立方分米,所用的時(shí)間為36.69秒.答：所用的時(shí)間為36.69秒.思路2例1 （2007山東煙臺(tái)高三期末統(tǒng)考，理8）如圖11所示，一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖為全等的等腰直角三

21、角形，如果直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，那么這個(gè)幾何體的體積為（ ）圖11A.1 B. C. D.活動(dòng)：讓學(xué)生將三視圖還原為實(shí)物圖，討論和交流該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.分析：根據(jù)三視圖，可知該幾何體是三棱錐，圖12所示為該三棱錐的直觀圖，并且側(cè)棱PAAB，PAAC，ABAC.則該三棱錐的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以這個(gè)幾何體的體積為V=.圖12答案：D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何體的三視圖和體積.給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或面積時(shí)，首先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再利用公式求得.此類題目成為新課標(biāo)高考的熱點(diǎn)，應(yīng)引起重視.變式訓(xùn)練1.（2007山東泰安高三期末統(tǒng)考，理8）若一個(gè)正三棱柱

22、的三視圖如圖13所示，則這個(gè)正三棱柱的表面積為（ ）圖13A. B. C. D.分析：該正三棱柱的直觀圖如圖14所示，且底面等邊三角形的高為，正三棱柱的高為2，則底面等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，所以該正三棱柱的表面積為342+24=24+.圖14答案：C2.（2007山東濰坊高三期末統(tǒng)考，文3）如果一個(gè)空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖均為全等的等邊三角形，俯視圖為一個(gè)半徑為1的圓及其圓心，那么這個(gè)幾何體的體積為（ ）A. B. C. D.分析：由三視圖知該幾何體是圓錐，且軸截面是等邊三角形，其邊長(zhǎng)等于底面直徑2，則圓錐的高是軸截面等邊三角形的高為，所以這個(gè)幾何體的體積為V=.答案：A3.（2007廣東高考

23、，文17）已知某幾何體的俯視圖是如圖15所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖（或稱左視圖）是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形.圖15（1）求該幾何體的體積V；（2）求該幾何體的側(cè)面積S.解：由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)分別為6、8的矩形，高為4的四棱錐.設(shè)底面矩形為ABCD.如圖16所示，AB=8，BC=6，高VO=4.圖16（1）V=(86)4=64.(2)設(shè)四棱錐側(cè)面VAD、VBC是全等的等腰三角形，側(cè)面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，在VBC中，BC邊上的高為h1=,在VAB中，AB邊上的高為h2=5.所以此幾何體的側(cè)面積S=40+.點(diǎn)

24、評(píng)：高考試題中對(duì)面積和體積的考查有三種方式，一是給出三視圖，求其面積或體積；二是與的組合體有關(guān)的面積和體積的計(jì)算；三是在解答題中，作為最后一問(wèn).例2 圖17所示的幾何體是一棱長(zhǎng)為4 cm的正方體，若在它的各個(gè)面的中心位置上，各打一個(gè)直徑為2 cm、深為1 cm的圓柱形的孔，求打孔后幾何體的表面積是多少?（取3.14）圖17活動(dòng)：因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方體沒(méi)有被打透.這樣一來(lái)打孔后所得幾何體的表面積，等于原來(lái)正方體的表面積，再加上六個(gè)完全一樣的圓柱的側(cè)面積，這六個(gè)圓柱的高為1 cm，底面圓的半徑為1 cm.解：正方體的表面積為166=96（cm2），一個(gè)圓柱的側(cè)面

25、積為211=6.28（cm2），則打孔后幾何體的表面積為966.286=133.68（cm2）.答：幾何體的表面積為133.68 cm2.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方體、圓柱的表面積.求幾何體的表面積問(wèn)題，通常將所給幾何體分成基本的柱、錐、臺(tái)，再通過(guò)這些基本柱、錐、臺(tái)的表面積，進(jìn)行求和或作差，從而獲得幾何體的表面積.本題中將幾何體的表面積表達(dá)為正方體的表面積與六個(gè)圓柱側(cè)面積的和是非常有創(chuàng)意的想法，如果忽略正方體沒(méi)有被打透這一點(diǎn)，思考就會(huì)變得復(fù)雜，當(dāng)然結(jié)果也會(huì)是錯(cuò)誤的.變式訓(xùn)練 圖18所示是由18個(gè)邊長(zhǎng)為1 cm的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積.圖18分析：從圖18中可以看出，18個(gè)小正方體

26、一共擺了三層，第一層2個(gè)，第二層7個(gè)，因?yàn)?8-7-2=9，所以第三層擺了9個(gè).另外，上、下兩個(gè)面的表面積是相同的，同樣，前、后,左、右兩個(gè)面的表面積也是分別相同的.解：因?yàn)樾≌襟w的棱長(zhǎng)是1 cm，所以上面的表面積為129=9（ cm2），前面的表面積為128=8（ cm2），左面的表面積為127=7（ cm2），則此幾何體的表面積為92+82+72=48( cm2).答：此幾何體的表面積為48 cm2.（四）知能訓(xùn)練1.正方體的表面積是96，則正方體的體積是（ ）A. B.64 C.16 D.96分析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則6a2=96，解得a=4，則正方體的體積是a3=64.答案：B2.

27、（2007山東臨沂高三期末統(tǒng)考，文2）如圖19所示，圓錐的底面半徑為1，高為，則圓錐的表面積為（ ）A. B.2 C.3 D.4分析：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，則l=2，所以圓錐的表面積為S=1(1+2)=3.答案：C3.正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為，則這個(gè)正三棱錐的體積是（ ）A. B. C. D.分析：可得正三棱錐的高h(yuǎn)=3，于是V=.答案：D4.若圓柱的高擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，底面半徑不變，則圓柱的體積擴(kuò)大為原來(lái)的_倍；若圓柱的高不變，底面半徑擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，則圓柱的體積擴(kuò)大為原來(lái)的_倍.分析：圓柱的體積公式為V圓柱=r2h，底面半徑不變，高擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，其體積也變?yōu)樵瓉?lái)的4倍；當(dāng)圓柱的

28、高不變，底面半徑擴(kuò)大為原來(lái)的4倍時(shí)，其體積變?yōu)樵瓉?lái)的42=16倍.答案：4 165.圖20是一個(gè)正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點(diǎn).現(xiàn)在沿GFH所在平面鋸掉正方體的一個(gè)角，問(wèn)鋸掉部分的體積是原正方體體積的幾分之幾?圖20分析：因?yàn)殇彽舻氖钦襟w的一個(gè)角，所以HA與AG、AF都垂直，即HA垂直于立方體的上底面，實(shí)際上鋸掉的這個(gè)角，是以三角形AGF為底面，H為頂點(diǎn)的一個(gè)三棱錐.解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則正方體的體積為a3. 三棱錐的底面是RtAGF，即FAG為90，G、F又分別為AD、AA1的中點(diǎn)，所以AF=AG=.所以AGF的面積為.又因AH是三棱錐的高，H又是AB的中點(diǎn)，所以A

29、H=.所以鋸掉的部分的體積為.又因,所以鋸掉的那塊的體積是原正方體體積的.6.（2007山東臨沂高三期末考試，理13）已知一圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，且面積為S，則圓錐的底面面積是_.分析：如圖21，設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，由題意得解得r=，所以圓錐的底面積為r2=.圖21答案：7.如圖22，一個(gè)正三棱柱容器，底面邊長(zhǎng)為a，高為2a，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個(gè)側(cè)面作為底面，如圖23，這時(shí)水面恰好為中截面，則圖22中容器內(nèi)水面的高度是_. 圖22 圖23分析：圖22中容器內(nèi)水面的高度為h，水的體積為V，則V=SABCh.又圖23中水組成了一個(gè)直四棱柱，其底面積為，高度為2a，則V=2a

30、，h=.答案：8.圓臺(tái)的兩個(gè)底面半徑分別為2、4，截得這個(gè)圓臺(tái)的圓錐的高為6，則這個(gè)圓臺(tái)的體積是_.分析：設(shè)這個(gè)圓臺(tái)的高為h，畫出圓臺(tái)的軸截面，可得，解得h=3，所以這個(gè)圓臺(tái)的體積是(22+24+42)3=28.答案：289.已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖24，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm）,可得這個(gè)幾何體的體積是（ ）圖24A. cm3 B.cm3 C.2 000 cm3 D.4 000 cm3分析：該幾何體是四棱錐，并且長(zhǎng)為20 cm的一條側(cè)棱垂直于底面，所以四棱錐的高為20 cm,底面是邊長(zhǎng)為20 cm的正方形（如俯視圖），所以底面積是2020=400 cm2，所以該幾何體的體積是4002

31、0=cm3.答案：B（五）拓展提升問(wèn)題：有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長(zhǎng)分別為3a,4a,5a(a0).用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面積最小的是一個(gè)四棱柱，則a的取值范圍是_.探究：兩個(gè)相同的直三棱柱并排放拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，有三種情況：四棱柱有一種，就是邊長(zhǎng)為5a的邊重合在一起，表面積為24a2+28，三棱柱有兩種，邊長(zhǎng)為4a的邊重合在一起，表面積為24a2+32，邊長(zhǎng)為3a的邊重合在一起，表面積為24a2+36，兩個(gè)相同的直三棱柱豎直放在一起，有一種情況，表面積為12a2+48,最小的是一個(gè)四棱柱，這說(shuō)明24a2+2812a2+4812a2200a

32、.答案：0a（六）課堂小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了：1.柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積公式.2.應(yīng)用體積公式解決有關(guān)問(wèn)題.（七）作業(yè)習(xí)題1.3 A組 第1、2、3題.1.3.2 球的體積和表面積一、教材分析 本節(jié)教材直接給出了球的表面積和體積公式，并用兩個(gè)例題來(lái)說(shuō)明其應(yīng)用.值得注意的是教學(xué)的重點(diǎn)放在球與其他幾何體的組合體的有關(guān)計(jì)算上，這是高考的重點(diǎn).二、教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能（1）了解幾何體體積的含義，以及柱體、錐體與臺(tái)體的體積公式.（不要求記憶公式）（2）熟悉臺(tái)體與柱體和錐體之間體積的轉(zhuǎn)換關(guān)系.（3）培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力. 2過(guò)程與方法（1）讓學(xué)生通過(guò)對(duì)照比較，理順柱體、錐體、臺(tái)體之間的體積關(guān)

33、系.（2）通過(guò)相關(guān)幾何體的聯(lián)系，尋找已知條件的相互轉(zhuǎn)化，解決一些特殊幾何體體積的計(jì)算. 3情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)柱體、錐體、臺(tái)體體積公式之間的關(guān)系培養(yǎng)學(xué)生探索意識(shí).三、重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：球的表面積和體積公式的應(yīng)用. 教學(xué)難點(diǎn)：關(guān)于球的組合體的計(jì)算.四、課時(shí)安排約1課時(shí)五、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）導(dǎo)入新課思路1.位于香港棧橋回瀾閣西部、西陵峽路東端海濱，有一座新異奇秀的半球形建筑.由香港好世界飲食服務(wù)（中國(guó)）有限公司等三方合資興建，1996年9月正式開業(yè)，既是島城飲食服務(wù)業(yè)的“特一級(jí)”店，又是新增加的一處景點(diǎn).酒店的總建筑面積11 380平方米，現(xiàn)酒店管理層決定在半球形屋頂嵌上一層特殊化學(xué)材料以更好地保

34、護(hù)酒店，那么，需要多少面積的這種化學(xué)材料呢？思路2.球既沒(méi)有底面，也無(wú)法像柱體、錐體和臺(tái)體那樣展開成平面圖形，那么怎樣來(lái)求球的表面積與體積呢？球的大小與球的半徑有關(guān)，如何用球半徑來(lái)表示球的體積和面積？教師引出課題：球的體積和表面積.（二）推進(jìn)新課、新知探究 球的半徑為R，它的體積和表面積只與半徑R有關(guān)，是以R為自變量的函數(shù).事實(shí)上，如果球的半徑為R，那么S=4R2,V=.注意：球的體積和表面積公式的證明以后證明.（三）應(yīng)用示例思路1例1 如圖1所示，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，求證：圖1（1）球的體積等于圓柱體積的；（2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.活動(dòng)：學(xué)生思考圓柱和球的結(jié)構(gòu)特征，并展

35、開空間想象.教師可以使用信息技術(shù)幫助學(xué)生讀懂圖形.證明：（1）設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.則有V球=，V圓柱=R22R=2R3，所以V球=.（2）因?yàn)镾球=4R2，S圓柱側(cè)=2R2R=4R2，所以S球=S圓柱側(cè).點(diǎn)評(píng)：本題主要考查有關(guān)球的組合體的表面積和體積的計(jì)算.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是明確組合體的結(jié)構(gòu)特征.變式訓(xùn)練1.如圖2(1)所示，表面積為324的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是14,求這個(gè)正四棱柱的表面積.圖2解：設(shè)球的半徑為R，正四棱柱底面邊長(zhǎng)為a,則軸截面如圖2（2），所以AA=14,AC=,又4R2=324,R=9.AC=.a=8.S表=642+3214=576,即這個(gè)

36、正四棱柱的表面積為576.2有一種空心鋼球，質(zhì)量為142 g,測(cè)得外徑（直徑）等于5 cm，求它的內(nèi)徑（鋼的密度為7.9 g/cm3，精確到0.1 cm）.解：設(shè)空心球內(nèi)徑（直徑）為2x cm,則鋼球質(zhì)量為7.9=142,x3=11.3,x2.24,直徑2x4.5.答：空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5 cm.例2 如圖3所示，表示一個(gè)用鮮花做成的花柱，它的下面是一個(gè)直徑為1 m、高為3 m的圓柱形物體，上面是一個(gè)半球形體.如果每平方米大約需要鮮花150朵，那么裝飾這個(gè)花柱大約需要多少朵鮮花（取3.1）?圖3活動(dòng)：學(xué)生思考和討論如何計(jì)算鮮花的朵數(shù).鮮花的朵數(shù)等于此幾何體的表面積（不含下底面）與每朵鮮花占

37、用的面積.幾何體的表面積等于圓柱的側(cè)面積再加上半球的表面積.解：圓柱形物體的側(cè)面面積S13.113=9.3(m2),半球形物體的表面積為S223.1()21.6(m2),所以S1+S29.3+1.6=10.9(m2).10.91501 635(朵).答：裝飾這個(gè)花柱大約需要1 635朵鮮花.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查球和圓柱的組合體的應(yīng)用，以及解決實(shí)際問(wèn)題的能力.變式訓(xùn)練 有一個(gè)軸截面為正三角形的圓錐容器，內(nèi)放一個(gè)半徑為R的內(nèi)切球，然后將容器注滿水，現(xiàn)把球從容器中取出，水不損耗，且取出球后水面與圓錐底面平行形成一圓臺(tái)體，問(wèn)容器中水的高度為多少？分析：轉(zhuǎn)化為求水的體積.畫出軸截面，充分利用軸截面中的直角

38、三角形來(lái)解決.解：作出圓錐和球的軸截面圖如圖4所示，圖4圓錐底面半徑r=,圓錐母線l=2r=，圓錐高為h=3R，V水=3R23R，球取出后，水形成一個(gè)圓臺(tái)，下底面半徑r=,設(shè)上底面半徑為r，則高h(yuǎn)=(r-r)tan60=,(r2+r2+rr),5R3=,5R3=，解得r=,h=()R.答：容器中水的高度為()R.思路2例1 （2006廣東高考，12）若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_.活動(dòng)：學(xué)生思考長(zhǎng)方體和球的結(jié)構(gòu)特征.教師可以借助于信息技術(shù)畫出圖形.分析：畫出球的軸截面可得，球的直徑是正方體的對(duì)角線，所以球的半徑R=，則該球的表面積為S=4R2=27.答案：27點(diǎn)評(píng)：

39、本題主要考查簡(jiǎn)單的組合體和球的表面積.球的表面積和體積都是半徑R的函數(shù).對(duì)于和球有關(guān)的問(wèn)題，通?？梢栽谳S截面中建立關(guān)系.畫出軸截面是正確解題的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練1.（2006全國(guó)高考卷，理7）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（ ）A.16 B.20 C.24 D.32分析：由V=Sh，得S=4，得正四棱柱底面邊長(zhǎng)為2.畫出球的軸截面可得，該正四棱柱的對(duì)角線即為球的直徑，所以，球的半徑為R=，所以球的表面積為S=4R2=24.答案：C2.（2005湖南數(shù)學(xué)競(jìng)賽，13）一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長(zhǎng)為a，則這個(gè)球的體積為_.分析：把正四面體補(bǔ)成

40、正方體的內(nèi)接正四面體，此時(shí)正方體的棱長(zhǎng)為，于是球的半徑為，V=.答案：3.（2007天津高考，理12）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1,2,3，則此球的表面積為_.分析：長(zhǎng)方體的對(duì)角線為，則球的半徑為,則球的表面積為4()2=14.答案：14例2 圖5是一個(gè)底面直徑為20 cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6 cm，高為20 cm的一個(gè)圓錐形鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降幾厘米？圖5活動(dòng)：學(xué)生思考杯里的水將下降的原因，通過(guò)交流和討論得出解題思路.因?yàn)椴ＡП菆A柱形的，所以鉛錘取出后，水面下降部分實(shí)際是一個(gè)小圓柱，這個(gè)圓柱的底

41、面與玻璃杯的底面一樣，是一直徑為20 cm的圓，它的體積正好等于圓錐形鉛錘的體積，這個(gè)小圓柱的高就是水面下降的高度.解：因?yàn)閳A錐形鉛錘的體積為20=60（cm3），設(shè)水面下降的高度為x，則小圓柱的體積為=100x（ cm3）.所以有60=100x，解此方程得x=0.6（ cm）.答：杯里的水下降了0.6 cm.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何體的體積問(wèn)題，以及應(yīng)用體積解決實(shí)際問(wèn)題的能力.明確幾何體的形狀及相應(yīng)的體積公式是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵.解實(shí)際應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型.本題的數(shù)學(xué)模型是下降的水的體積等于取出的圓錐形鉛錘的體積.明確其體積公式中的相關(guān)量是列出方程的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練1.一個(gè)空心鋼球，外直徑

42、為12 cm，壁厚0.2 cm，問(wèn)它在水中能浮起來(lái)嗎？（鋼的密度為7.9 g/cm3）和它一樣尺寸的空心鉛球呢？（鉛的密度為11.4 g/cm3）分析：本題的關(guān)鍵在于如何判斷球浮起和沉沒(méi)，因此很自然要先算出空心鋼球的體積，而空心鋼球的體積相當(dāng)于是里、外球的體積之差，根據(jù)球的體積公式很容易得到空心鋼球的體積，從而算出空心鋼球的質(zhì)量，然后把它與水的質(zhì)量相比較即可得出結(jié)論，同理可以判斷鉛球會(huì)沉沒(méi).解：空心鋼球的體積為V鋼=20.88887.45(cm3)，鋼的質(zhì)量為m鋼=87.457.9=690.86(g).水的體積為V水=63=904.32(cm3)，水的質(zhì)量為m水=904.321=904.32(

43、g)m鋼.鋼球能浮起來(lái)，而鉛球的質(zhì)量為m鉛=87.4511.4=996.93(g)m水.同樣大小的鉛球會(huì)沉沒(méi).答：鋼球能浮起來(lái)，同樣大小的鉛球會(huì)沉沒(méi).2.（2006全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試，10）底面半徑為1 cm的圓柱形容器里放有四個(gè)半徑為cm的實(shí)心鐵球，四個(gè)球兩兩相切，其中底層兩球與容器底面相切.現(xiàn)往容器里注水使水面恰好浸沒(méi)所有鐵球，則需要注水_cm3.分析：設(shè)四個(gè)實(shí)心鐵球的球心為O1、O2、O3、O4，其中O1、O2為下層兩球的球心，A、B、C、D分別為四個(gè)球心在底面的射影，則ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為 cm的正方形，所以注水高為(1+) cm.故應(yīng)注水(1+)-4 cm3.答案：（+）（四

44、）知能訓(xùn)練1.三個(gè)球的半徑之比為123，那么最大球的表面積是其余兩個(gè)球的表面積之和的（ ）A.1倍 B.2倍 C.倍 D.倍分析：根據(jù)球的表面積等于其大圓面積的4倍，可設(shè)最小的一個(gè)半徑為r，則另兩個(gè)為2r、3r，所以各球的表面積分別為4r2、16r2、36r2，（倍）.答案：C2.（2006安徽高考，理9）表面積為的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為（ ）A. B. C. D.分析：此正八面體是每個(gè)面的邊長(zhǎng)均為a的正三角形，所以由8知，a=1，則此球的直徑為.答案：A3.（2007北京西城抽樣，文11）若與球心距離為4的平面截球所得的截面圓的面積是9，則球的表面積是_.分析：畫出球的軸截面，則球心與截面圓心的連線、截面的半徑、球的半徑構(gòu)成直角三角形，又由題意得截面圓的半徑是3，則球的半徑為=5，所以球的表面積是452=100