橢圓的定義及標準方程的教學設計

1、橢圓及其標準方程的教學設計一、教材分析1、橢圓定義的分析橢圓是常見的圓錐曲線，通過日常生活的體驗，學生對橢圓已有 一定的認識。為了使學生掌握橢圓的本質(zhì)特征，得到橢圓的定義，教 材介紹了一種畫橢圓的方法，通過畫圖過程揭示橢圓上的點所要滿足 的條件。在講解橢圓定義時，對“常數(shù)”加上了一個條件，即常數(shù)要大于 IF1F2I。這樣規(guī)定是為了避免出現(xiàn)兩種特殊情況，即軌跡為一條線段 或無軌跡。對于這兩種情況，教學中可以及時加以說明，學生是不難 理解的；而且可以加深對“常數(shù)要大于IF1F2I”的理解。另一方面， 還可以通過在AMFF2中，兩邊之和大于第三邊來理解。當然這樣做的 弊端是忽略特殊情況，即點 M位于

2、橢圓長軸端點的情形。在橢圓定義的教學中，一定要充分展示橢圓的產(chǎn)生過程，引導學 生分析橢圓上的點所滿足的幾何條件， 從而為坐標系的選擇和橢圓方 程的建立奠定基礎。2、橢圓標準方程建立的分析首先要建立坐標系。曲線上同一個點在不同的坐標系中的坐標不 同，曲線的方程也不同。為了使方程簡單，坐標系的選擇要恰當。怎 樣選擇恰當?shù)淖鴺讼?，要跟劇具體情況來確定。一般情況下，應注意 使已知點的坐標和曲線的方程盡可能簡單，在求橢圓的標準方程時， 注意到圖形的對稱性，不難想到使 x軸經(jīng)過兩個定點Fi、F2,并且使 坐標原點與線段FiF?的中點重合，這樣，兩個定點的坐標比較簡單， 便于推導方程。在求方程時，設橢圓的焦

3、距為 2c(c0),橢圓上任意一點到兩個 焦點的距離的和為2a(a0),當然ac，這是為了使焦點及長軸的兩 個端點的坐標不出現(xiàn)分式，以便導出的橢圓方程形式簡單。帶根式的方程的化簡是學生感到困難的， 是教學難點，特別是由點M適合的條件所列出的方程為兩個根式的和等于一個非零常數(shù)的 形式，化簡時要進行兩次平方，方程中字母超過3個，且次數(shù)高、項數(shù)多，初中代數(shù)中沒有做過這樣的題目。我們教學時，要注意說明這 類方程化簡的方法，一般來說：(1) 方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一邊，把 其他的各項移到另一邊；(2) 方程中有兩個根式時，需將它們分散，放在方程的兩邊， 使其中一邊只有一個根式。2 2

4、求得橢圓的方程O2 (指X2=1(a b 0)以后，教科書指出“從a b上述過程可以看到，橢圓上任意一點的坐標都滿足方程O 2 ；以方程C2 的解為坐標的點都在橢圓上，由曲線與方程的關(guān)系可知，方程2是橢 圓的方程，我們把它叫做橢圓的標準方程。”目的是進一步加深對“曲 線與方程”關(guān)系的認識。2 2在求出橢圓的標準方程X2 y2(a b 0)后教科書提出一個思a b考題：“如果焦點Fi、F2在y軸上，且點Fi、F2的坐標分別為(0,-c),(0,c), a,b的意義同上，那么橢圓的標準方程時什么？”2 2稍加思索，學生不難發(fā)現(xiàn)，應該把方程 篤 出=1(a b 0)中X、2 a 2 by順序?qū)Q，得

5、到橢圓的另一個標準方程 每 篤二i(a b 0)。這樣一a b來，橢圓的標準方程有兩個。3、對橢圓標準方程認識的分析在給出橢圓的兩個標準方程以后，應向?qū)W生指出一下幾點：來(1) 在橢圓的兩種標準方程中，都有：ab0。(2) 橢圓的焦點總在長軸上，如果焦點在x軸上，那么焦點坐標為(-c,0) ,(c,0);如果焦點在y軸上，那么焦點坐標為(O,-c),(O,c)。(3) a,b,c始終滿足關(guān)系式c2=a2-b2二、學情分析在學習本節(jié)內(nèi)容以前，通過對必修 3直線與圓以及選修2-1 2.1曲線與方程的學習，學生已經(jīng)學習了直線和圓的方程，初步了解了用坐標法求曲線的方程及其基本步驟， 對曲線的方程的概念

6、有 一定的了解，這為進一步學習橢圓及其標準方程奠定了基礎。同時,經(jīng)過一年零兩個月的高中學習，學生的計算能力、分析解決問題的能 力、歸納概括能力、建模能力都有了一定的提高，使得進一步探究學 習本節(jié)內(nèi)容成為可能。但是，在本節(jié)課的學習過程中，橢圓定義的歸 納概括、方程的推導化簡對學生是一個考驗，可能會有一部分學生探 究學習受阻，教師要適時予以指導。三、教學目標分析1、知識與技能目標：準確理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程及其推導2、過程與方法目標： 通過引導學生親自動手嘗試畫圖、發(fā)現(xiàn)橢圓的形成過程進而歸納出橢圓的定義，培養(yǎng)學生觀察、辨析、歸納問題的能力3、情感態(tài)度和價值觀目標：（1）充分發(fā)揮學生在學

7、習中的主體地位，引導學生觀察、思考、探究、合作、歸納、促進合作意識（2）通過對橢圓定義的嚴密描述，培養(yǎng)學生求實嚴謹?shù)目茖W作風 來（3）通過經(jīng)歷橢圓方程的化簡，增強學生戰(zhàn)勝困難的品質(zhì)并體會數(shù)學的簡潔美、對稱美四、教學重點、難點分析1、重點：掌握橢圓的標準方程，理解坐標法的基本思想2、難點：橢圓標準方程的推導與化簡，坐標法的應用五、教法與學法分析1、教法設計：探究式教學方法教師為主導：設置情境、問題誘導學生為主體：直觀觀察T動手操作T探究討論T歸納抽象T總結(jié)規(guī)律2、學法設計：本節(jié)課給學生提供以下四種機會：（1）提供觀察、思考的機會；（2）提供操作、嘗試、合作的機會；（3）提供表達、交流的機會；（4

8、）提供成功的機會。3、教具準備：多媒體課件、細繩、白紙、筆六、教學過程設計分析（一）引入新課“我們知道平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點的軌跡是圓， 那么平面內(nèi)到兩個定點的距離等于定長的點的軌跡是什么呢？請同 學們拿出畫圖工具以小組為單位畫圖，看看能得到什么樣的圖形？”（二）講授新課1、歸納總結(jié)橢圓的定義橢圓：平面內(nèi)與兩個定點Fi、F2的距離的和等于常數(shù)2 a（大于|F|F2|）的點 的集合叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩個焦點 Fi、F2間的距離叫做 橢圓的焦距2c。注：為什么2a必須大于IFI ? 當2a IF1F2I時，集合是橢圓。 當2a=|FiF2|時，集合是線段F1F20 當2ab 0)2 22 +2 =1(ab0) a b圖形 y6oxM冬J Xa,b,c關(guān)系2.2 2 a =b +c2.2 2 a = b +c焦點坐標Fi（c,0）, F2（c,0）Fgc）,F2（0,c）焦點位置在x軸上在y軸上(六) 、布置作業(yè)1、推導焦點在y軸上的橢圓的標準方程。2、求適合下列條件的橢圓的標準方程。(1) 焦點在x軸上，焦距 等于4，并且經(jīng)過點P(3,-2一6)；(2) 焦點坐標為(0, -),(0, 4), a = 5 ；(3) a b =10,c = 2、5。(