數(shù)學(xué)必修三第三章概率3.3幾何概型教學(xué)設(shè)計

1、幾 何 概 型 (第一課時)一. 教學(xué)內(nèi)容分析 :本課時教材選自人教 a 版數(shù)學(xué)必修 3 第三章概率部分第 33 節(jié)的內(nèi)容幾何概型是 概率必修章節(jié)的收尾篇，共有兩個課時，本節(jié)課為第一課時 ,它是繼古典概型之后學(xué)習(xí)的 另一類等可能概型；是教材新增加的內(nèi)容，對它的要求僅限于初步體會幾何概型的意義會 計算簡單的幾何概型概率問題。幾何概型的研究，是古典概型的拓廣，將古典概型試驗結(jié) 果有限個拓廣到無限個；課本介紹幾何概型主要是為了更廣泛地滿足隨機模擬的需要概 率教學(xué)的核心問題是讓學(xué)生了解隨機現(xiàn)象與概率的意義，運用數(shù)學(xué)方法去研究不確定現(xiàn)象 的規(guī)律，讓學(xué)生初步形成用隨機的觀念去觀察、分析、研究客觀世界的態(tài)度

2、，并獲取認(rèn)識 世界的初步知識和科學(xué)方法二.學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析:學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了隨機事件的概率和古典概型 ,初步學(xué)會了用古典概型公式解決概率題 ,大多數(shù)學(xué)生對于概率的學(xué)習(xí)以及概率試驗產(chǎn)生了濃厚的興趣 ,逐漸會把一些問題模 型化但是學(xué)生在探究問題的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識等方面發(fā)展不夠均衡，尚有待加強通 過最近幾年的實際授課發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課時特別容易和古典概型相混淆，把幾何概 型的“無限性”誤認(rèn)為古典概型的“有限性” .究其原因是思維不嚴(yán)謹(jǐn)，研究問題時過于 “想當(dāng)然”，對幾何概型的概念理解不清.因此我認(rèn)為要在幾何概型的特征和概念的理解上 下功夫，不要浮于表面 .另外，在解決幾何概型的問題時，幾何

3、度量的選擇也是需要特別 重視的，在實際授課時，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找出適當(dāng)?shù)姆椒▉斫鉀Q問題.三. 設(shè)計思想:以學(xué)生為主體，強調(diào)學(xué)生對知識的主動探索、主動發(fā)現(xiàn)以及學(xué)生對所學(xué)知識意義的主 動建構(gòu)基于以上理論，本節(jié)課遵循引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、循序漸進的思路，采用問題探究式教學(xué)， 讓學(xué)生在觀察分析、自主探索、合作交流的過程中建構(gòu)幾何概型的概念以及歸納出幾何概 型公式，運用實物、多媒體、投影儀輔助，具體流程如下:【知識回顧】 【問題猜想，實驗證明】 【歸納猜想，探索規(guī)律】 【概念 形成，學(xué)習(xí)新知】 【概念辨析，活學(xué)活用】 【活學(xué)活用，例題講解】 【練習(xí) 鞏固，品味數(shù)學(xué)】 【知識小結(jié)，反思深化】 【家庭作業(yè)】四.

4、教學(xué)目標(biāo):知識與技能目標(biāo):1、 通過實例，讓學(xué)生了解幾何概型的概念以及幾何概型與古典概型的區(qū)別2、 會計算簡單的幾何概型事件，并解決有關(guān)概率的基本問題過程與方法目標(biāo):1、 提高學(xué)生自主探究問題、解決問題的能力；2、 滲透數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本思維：猜想驗證思想、轉(zhuǎn)化化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想等；情感與態(tài)度目標(biāo):通過創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情趣，培養(yǎng)其積極探索的精神通過實際應(yīng)用讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的價值,增強了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心 五教學(xué)重點與難點 :重點：幾何概型的特點及其幾何概型學(xué)習(xí)的思維過程；第 1 頁 共 7 頁難點：幾何概型的判斷及其概率公式的選擇，從實際問題的背景中找?guī)缀味攘?六、教學(xué)

5、過程設(shè)計:【知識回顧】計算隨機事件發(fā)生的概率，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些方法?（1） 通過做試驗或計算機模擬，用頻率估計概率；（2） 利用古典概型的概率公式計算.古典概型的兩個特點:(1) 有限性:試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個.(2) 等可能性:每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.古典概型計算公式:p ( a ) =m ( a 包含的基本事件的個數(shù) n (?基本事件的總數(shù) )設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)鞏固古典概型的特點及其概率公式，為幾何概型的引入做好鋪墊. 【問題猜想，實驗證明】問題 1：一根長度為 3 米的繩子上,有 a1、a2、a3、a4、a5 五個點將繩子均分成六段，從 a1、a2、a3、a4、a5

6、中任選一點將繩子剪斷，那么剪得的兩段均不小于 1 米的概率是多少？分析：基本事件是: 繩子剪斷位置 基本事件個數(shù)：5（有限）每個基本事件的發(fā)生是等可能的嗎？是 符合古典概型的特點嗎？是概率p ( a) =35問題 2：取一根長度為 3 米的繩子，如果拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不 小于 1 米的概率？分析：基本事件是: 繩子剪斷位置 基本事件個數(shù)：無限每個基本事件的發(fā)生是等可能的嗎？是 符合古典概型的特點嗎？否據(jù)生活經(jīng)驗得概率p ( a) =線段a a 的長度 1 2 4 =總長度 3通過計算機模擬實驗驗證設(shè)計意圖：問題 1 到問題 2 讓學(xué)生類比、猜想、以舊引新，再 通過實驗驗證

7、猜想。提高學(xué)生自主探究問題、解決問題的能力；問題 3：取一個邊長為 2 的正方形 abcd 及其內(nèi)邊長為 1 的小正 方形 efgh，隨機向正方形 abcd 內(nèi)撒一粒米，求米的位置正好落 在正方形 efgh 內(nèi)概率.分析：基本事件是: 米的位置 基本事件個數(shù)：無限第 2 頁 共 7 頁每個基本事件的發(fā)生是等可能的嗎？是符合古典概型的特點嗎？否據(jù)生活經(jīng)驗得概率p ( a) =紅色區(qū)域的面積 1=總面積 4通過計算機模擬實驗驗證思考（1） 正方形 efgh 位置改變，面積不變，概率會改變嗎？（2） 正方形 efgh 形狀改變，面積不變，概率會改變嗎？ 結(jié)論：位置，形狀無關(guān)，只與區(qū)域面積有關(guān)問題 4

8、：現(xiàn)有 1 升的純凈水，假定里面有一個細(xì)菌，現(xiàn)從中抽取 0.1 升的純凈水，求抽到細(xì)菌的概率？分析：基本事件是: 米的位置 基本事件個數(shù)：無限每個基本事件的發(fā)生是等可能的嗎？是符合古典概型的特點嗎？否據(jù)生活經(jīng)驗得概率 p ( a) =取出水的體積 0.1= =0.1杯中所有水的體積 1設(shè)計意圖：從面積和體積方面考慮問題 ,是為了讓學(xué)生全面了解幾何概型的概念，并且滲 透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法【歸納猜想，探索規(guī)律】學(xué)生回答：(1) 試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限多個； 每個基本事件的發(fā)生 都是等可能的.(2)借助幾何圖形的長度、面積、體積等的比值分析事件 a 發(fā)生的概率. 設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生通

9、過類比、猜想、歸納等方法，自己探索出幾何概型的特點及概率公第 3 頁 共 7 頁式。最后教師點題：這就是我們今天要學(xué)習(xí)的幾何概型問題的設(shè)計一維，二維，三維是 為了讓學(xué)生在對比中全面了解幾何概型的概念，并且滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法通過 遞進式地設(shè)置問題，使學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)概念,體驗到了探尋數(shù)學(xué)規(guī)律的樂趣,加 深了學(xué)生對概念的了解和對公式的探究，突出教學(xué)重點【概念形成，學(xué)習(xí)新知】在問題情景的鋪墊下,教師引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言描述幾何概型的概念：1.幾何概型的定義：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度 (面積或體積)成比例 ,則稱這樣 的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型.2.

10、幾何概型的特點:(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限多個.(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.3. 幾何概型中事件 a 的概率公式：4. 古典概型與幾何概型的區(qū)別：p ( a)構(gòu)成事件 a的區(qū)域長度 (面積或體積 ) 試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度 (面積或體積 )設(shè)計意圖：通過用表格列出相同和不同點，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中類比的思想又能讓學(xué)生更好的 了解幾何概型，從而突出教學(xué)重點【概念辨析，活學(xué)活用】下列概率問題中哪些屬于幾何概型？1 在區(qū)間0，9上任取一個整數(shù)，恰好取在區(qū)間1，3上的概率2 在區(qū)間0，9上任取一個實數(shù)，恰好取在區(qū)間1，3上的概率3 從一批產(chǎn)品中抽取 30 件進行檢查，有 5 件

11、是正品，求正品的概率4 在 1 萬平方千米的海域中有 40 平方千米的大陸架儲藏著石油，假設(shè)在海域中任意一點 鉆探，鉆到油層面的概率答案：（1），（3） 古典概型（2），（4） 幾何概型設(shè)計意圖：讓學(xué)生學(xué)會判斷區(qū)分古典概型和幾何概型，加深對幾何概型的理解。 【活學(xué)活用，例題講解】例 1 某人午覺醒來,發(fā)現(xiàn)表停了,他打開收音機, 想聽電臺報時,求他等待的時間不多于 10 分鐘的概率.(假設(shè)只有正點報時)分析：電臺每隔 1 小時報時一次，他在兩次整點報時之間醒來都是等可能的，且醒來的時 刻有無限多個。這符合幾何概型的條件。解:設(shè)事件 a=等待的時間不多于 10 分鐘 事件 a 發(fā)生的區(qū)域為時間段5

12、0,60第 4 頁 共 7 頁pr 2法三6360 06p( a) =等待的時間不多于10分鐘時間長度 10 1 =所有在60分鐘里醒來的時間長度 60 6注：這是與長度有關(guān)的幾何概型問題思考：除了長度，有沒有別的方法求概率法二：p ( a) =1a所在的扇形面積 1 = p ( a) = 整個圓的面積 pr 2 61a所在的圓心角 1 = 整個圓的圓周角 360 0 6法四 p ( a) =a所在的扇形弧長 1=整個圓的弧長 6設(shè)計意圖：例題的設(shè)置讓學(xué)生對幾何概型的題目有了更深刻的理解,認(rèn)識到幾何概型主要 是要把概率問題與幾何問題完美的結(jié)合。引導(dǎo)學(xué)生建立各種不同的模型：線段、弧、角、 面積，

13、得出概率都相同的結(jié)論 ，正是因為無論建立哪種幾何模型，它的基本事件出現(xiàn)的 可能性都是相等的，所以概率都相等。要學(xué)會用數(shù)形結(jié)合的思想解決概率問題讓學(xué)生學(xué) 會從各各角度看問題，發(fā)散思維。思考：變式一：某人午覺醒來 , 發(fā)現(xiàn)表停了 , 他打開收音機 ,想聽電臺報時 , 剛好正點報時的概 率.(假設(shè)只有正點報時) 答案：概率為 0變式二：某人午覺醒來 ,發(fā)現(xiàn)表停了 , 他打開收音機 , 想聽電臺報時 ,沒有在正點報時的概 率.(假設(shè)只有正點報時) 答案：概率為 1結(jié)論：概率為 0 的事件可能會發(fā)生， 概率為 1 的事件不一定會發(fā)生.設(shè)計意圖：解決不可能事件概率為 0 但概率為 0 的事件不一定是不可能

14、事件，必然事件概 率為 1 但概率為 1 的事件不一定是必然事件。這個學(xué)生困惑的問題。例 2:張先生買了商品，送快遞的人在早上 7：20 準(zhǔn)時把快遞送到他家，張先生離開家去上 班的時間在早上 7 ： 00 8 ： 00 之間，則張先生在離開家之前能收到快遞的概率是 _（轉(zhuǎn)化為一維的長度）變式:張先生買了商品，送快遞的人在早上 6：307：30 之間把快遞送到他家，張先生離 開家去上班的時間在早上 7：008：00 之間，則張先生在離開家之前能收到快遞的概 率是_（轉(zhuǎn)化為二維的面積）答案78解析 以橫坐標(biāo) x 表示報紙送到時間，以縱坐標(biāo) y 表示張先生離家時間，建立平面直角坐標(biāo)系，因為隨機試驗落

15、在方形區(qū)域內(nèi)任何一點是等可能的，所以符合幾何概型的條件根據(jù)題意只要點落到陰影部分， 就表示張先生在離開家前能得到報紙，即所求事件 a 發(fā)生，所以 p(a)第 5 頁 共 7 頁1 1 111 2 2 2 7 .11 8轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用對一個具體問題，可以將其幾何化，如建立坐標(biāo)系將試驗結(jié)果和點對應(yīng)，然后利用幾 何概型概率公式(1) 一般地，一個連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型，只需把這個變量放在坐標(biāo)軸 上即可；(2) 若一個隨機事件需要用兩個變量來描述，則可用這兩個變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型； (3)若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變

16、量來描述，則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來 表示基本事件，利用空間直角坐標(biāo)系建立與體積有關(guān)的幾何概型【練習(xí)鞏固，品味數(shù)學(xué)】1. 點 a 為周長等于 3 的圓周上的一個定點若在該圓周上隨機取一點 b，則劣弧的長度小 于 1 的概率為_ 分析：長度，角度都能解決2. abcd 為長方形,ab=2,bc=1,o 為 ab 的中點,在長方形 abcd 內(nèi)隨機取一點,取到的點到 o的距離大于 1 的概率為( b )a.p4b.1 -p4c.p8d.1 -p8分析：面積設(shè)計意圖：學(xué)會了用幾何概型公式解決概率題,【知識小結(jié)，反思深化】延伸了一個概念：從有限到無限滲透了三種思想：數(shù)形結(jié)合,類比與猜想轉(zhuǎn)化與化歸

17、 、實踐了四種測度模式：長度、面積、體積、角度設(shè)計意圖：學(xué)生自己梳理所學(xué)知識，以便于對知識有一個系統(tǒng)的理解與認(rèn)識;同時讓學(xué)生學(xué)會反思,是一個非常良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成,也是學(xué)生將來處理工作生活問題的一個很好的習(xí)慣 【家庭作業(yè)】1. 課本142:1,2,3（達標(biāo)）2. 思考:兩人相約 7 點到 8 點在某地會面，先到者等候另一人 20 分鐘，過時離去求兩人 會面的概率(提高)設(shè)計意圖：對課后書面作業(yè)實施分層設(shè)置，使學(xué)生在完成必修教材基本學(xué)習(xí)任務(wù)的同時， 拓展自主發(fā)展的空間，讓每一個學(xué)生都得到符合自身實踐的感悟，使不同層次的學(xué)生都可 以獲得成功的喜悅分層布置作業(yè)使數(shù)學(xué)教育既面向了全體學(xué)生 ,人人都能

18、獲得必需的數(shù) 學(xué),又使不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展,充分體現(xiàn)了課改精神七、教學(xué)反思第 6 頁 共 7 頁本節(jié)課采用了從特殊到一般，發(fā)現(xiàn)問題，猜想結(jié)論，實驗驗證的學(xué)習(xí)方法讓學(xué)生明確 幾何概型特點及公式。采用了類比的思維方式讓學(xué)生明確古典概型與幾何概型的異同。在 啟發(fā)式教學(xué)方式的引領(lǐng)下，以問題串的形式開啟學(xué)生思維之門。通過課后檢測，發(fā)現(xiàn)本節(jié) 課學(xué)生的學(xué)習(xí)效果比較不錯.我認(rèn)為本節(jié)課有以下幾個方面做得比較成功.1 通過具體的問題情境引入，容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。2 通過與古典概型對比，產(chǎn)生矛盾，促使學(xué)生迫切想去探求解決問題的方法。3. 例題的設(shè)置從長度、面積、體積三種幾何度量設(shè)置題目 , 由淺入深,覆蓋面廣,符合學(xué)生 的認(rèn)知規(guī)律。4 充分利用現(xiàn)代教育技術(shù)，分解難度，將抽象的概念“解剖”，易于理解。5 問題設(shè)置層層遞進，由淺入深，有層次、有目標(biāo)地解決各個難點，符合學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī) 律。6 注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透,本課時的教學(xué)中，每