第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)

1、第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 第第2 2章章 邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ) 主要介紹邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算、基本定律和基本運(yùn)算規(guī)則，然后主要介紹邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算、基本定律和基本運(yùn)算規(guī)則，然后 介紹邏輯函數(shù)的表示方法及邏輯函數(shù)的一般化簡(jiǎn)方法。介紹邏輯函數(shù)的表示方法及邏輯函數(shù)的一般化簡(jiǎn)方法。 邏輯代數(shù)稱(chēng)為布爾代數(shù)，邏輯代數(shù)稱(chēng)為布爾代數(shù)， 開(kāi)關(guān)代數(shù)。開(kāi)關(guān)代數(shù)。 邏輯代數(shù)是用字母表示變量，用代數(shù)式描述客觀(guān)事物間的關(guān)系。邏輯代數(shù)是用字母表示變量，用代數(shù)式描述客觀(guān)事物間的關(guān)系。 邏輯函數(shù)式中邏輯變量的取值和邏輯函數(shù)值只有邏輯函數(shù)式中邏輯變量的取值和邏輯函數(shù)值只有“1”0”。

2、這兩個(gè)值表示客觀(guān)事物的兩種相反的狀態(tài)。這兩個(gè)值表示客觀(guān)事物的兩種相反的狀態(tài)。 開(kāi)關(guān)的閉合與斷開(kāi)、開(kāi)關(guān)的閉合與斷開(kāi)、 燈的亮與滅、燈的亮與滅、 電位的高與低、電位的高與低、 事件的真與假等。事件的真與假等。 描述電路的工作狀態(tài)，描述電路的工作狀態(tài)，1表示高電平，表示高電平，0表示低電平。表示低電平。 “1”0”的物理意義是隨著所研究的對(duì)象的不同而變化的。的物理意義是隨著所研究的對(duì)象的不同而變化的。 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 2.1 2.1 邏輯代數(shù)的運(yùn)算邏輯代數(shù)的運(yùn)算 數(shù)字系統(tǒng)中的邏輯函數(shù)關(guān)系是指輸入變量取任意一組確數(shù)字系統(tǒng)中的邏輯函數(shù)關(guān)系是指輸入變量取任意一組確 定的值，輸出變量也有唯一確定的值

3、與其對(duì)應(yīng)。定的值，輸出變量也有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)。 設(shè)輸入變量為設(shè)輸入變量為x x1 1，x x2 2，x x3 3，x xn n，輸出變量為，輸出變量為Y Y，則描，則描 述輸出變量和輸入變量的邏輯函數(shù)可表示為述輸出變量和輸入變量的邏輯函數(shù)可表示為 邏輯函數(shù)表達(dá)式和邏輯變量之間的關(guān)系是由基本的邏輯邏輯函數(shù)表達(dá)式和邏輯變量之間的關(guān)系是由基本的邏輯 運(yùn)算決定的。運(yùn)算決定的。 123 ( , , , ) n Yf x xxx 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 2.1.1 2.1.1 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算有三種：與（邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算有三種：與（ANDAND）、或（）、或

4、（OROR）和非（）和非（NOTNOT）運(yùn)算）運(yùn)算 1 1與邏輯與邏輯 一個(gè)事件受到若干條件影響，如果決定事件的所有條件具備，其事件一個(gè)事件受到若干條件影響，如果決定事件的所有條件具備，其事件 才會(huì)發(fā)生，有一個(gè)條件不具備，事件也不會(huì)發(fā)生，這樣的邏輯關(guān)系稱(chēng)才會(huì)發(fā)生，有一個(gè)條件不具備，事件也不會(huì)發(fā)生，這樣的邏輯關(guān)系稱(chēng) 為為“與與”邏輯，也叫邏輯乘。邏輯，也叫邏輯乘。 開(kāi)關(guān)開(kāi)關(guān)A A、B B閉合為閉合為1 1、斷開(kāi)為、斷開(kāi)為0 0、燈、燈Y Y亮為亮為1 1、燈滅為、燈滅為0 0。開(kāi)關(guān)與燈之間的。開(kāi)關(guān)與燈之間的 對(duì)應(yīng)關(guān)系稱(chēng)為與邏輯。對(duì)應(yīng)關(guān)系稱(chēng)為與邏輯。 與邏輯的運(yùn)算規(guī)律為與邏輯的運(yùn)算規(guī)律為0 00

5、= 00 = 0， 0 01 = 01 = 0， 1 10 = 00 = 0， 1 11 = 11 = 1。 與邏輯真值表與邏輯真值表 A BY 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 Y = AB 與邏輯的表達(dá)式與邏輯的表達(dá)式 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 2 2或邏輯或邏輯 一個(gè)事件受到若干條件影響，如果有一個(gè)條件或幾個(gè)條件具備時(shí)，這一個(gè)事件受到若干條件影響，如果有一個(gè)條件或幾個(gè)條件具備時(shí)，這 一事件就會(huì)發(fā)生，只有所有條件都不具備時(shí)，事件才不會(huì)發(fā)生，這樣一事件就會(huì)發(fā)生，只有所有條件都不具備時(shí)，事件才不會(huì)發(fā)生，這樣 的邏輯關(guān)系稱(chēng)為的邏輯關(guān)系稱(chēng)為“或或”邏輯，也叫邏輯加。邏輯，也叫邏輯加。

6、開(kāi)關(guān)開(kāi)關(guān)A A或開(kāi)關(guān)或開(kāi)關(guān)B B中有一個(gè)閉合，或者兩個(gè)開(kāi)關(guān)都閉合時(shí)，燈會(huì)亮。中有一個(gè)閉合，或者兩個(gè)開(kāi)關(guān)都閉合時(shí)，燈會(huì)亮。 只有開(kāi)關(guān)只有開(kāi)關(guān)A A、B B都斷開(kāi)時(shí)，燈都斷開(kāi)時(shí)，燈Y Y才熄滅。才熄滅。 或邏輯的運(yùn)算規(guī)律為或邏輯的運(yùn)算規(guī)律為0+0=00+0=0，0+1=10+1=1，1+0=11+0=1，1+1=11+1=1 “+ +”號(hào)表示邏輯加，或運(yùn)算。號(hào)表示邏輯加，或運(yùn)算。 或邏輯的表達(dá)式或邏輯的表達(dá)式 或邏輯真值表或邏輯真值表 YAB A BY 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 3 3非邏輯非邏輯 決定某一事件的唯一條件，這個(gè)條件具備時(shí)，這一事件不會(huì)發(fā)

7、生，而決定某一事件的唯一條件，這個(gè)條件具備時(shí)，這一事件不會(huì)發(fā)生，而 當(dāng)這個(gè)條件不具備時(shí)，這個(gè)事件反而能夠發(fā)生，這樣的因果關(guān)系稱(chēng)為當(dāng)這個(gè)條件不具備時(shí)，這個(gè)事件反而能夠發(fā)生，這樣的因果關(guān)系稱(chēng)為 “非非”邏輯。邏輯。 開(kāi)關(guān)開(kāi)關(guān)A A閉合時(shí)，燈滅；開(kāi)關(guān)閉合時(shí)，燈滅；開(kāi)關(guān)A A斷開(kāi)時(shí)，燈亮。這種邏輯關(guān)系為斷開(kāi)時(shí)，燈亮。這種邏輯關(guān)系為“非非”邏邏 輯輯 非邏輯的表達(dá)式非邏輯的表達(dá)式 讀做讀做A A非。非。A A與與Y Y互為反變量。在邏輯運(yùn)算中，非運(yùn)算優(yōu)先級(jí)最高，其互為反變量。在邏輯運(yùn)算中，非運(yùn)算優(yōu)先級(jí)最高，其 次是與運(yùn)算、或運(yùn)算。次是與運(yùn)算、或運(yùn)算。 非邏輯的運(yùn)算規(guī)律為非邏輯的運(yùn)算規(guī)律為 非邏輯真值表非

8、邏輯真值表 AY 0 1 1 0 01, 10 YA 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 與、或、非邏輯門(mén)的兩種通用邏輯符號(hào)與、或、非邏輯門(mén)的兩種通用邏輯符號(hào) 國(guó)際通用的特異形符號(hào)國(guó)際通用的特異形符號(hào) 國(guó)內(nèi)通用的矩形符號(hào)。國(guó)內(nèi)通用的矩形符號(hào)。 非門(mén)是只有一個(gè)輸入端的邏輯門(mén)，稱(chēng)為非門(mén)是只有一個(gè)輸入端的邏輯門(mén)，稱(chēng)為“反相器反相器”。 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) （1 1）邏輯表達(dá)式）邏輯表達(dá)式 與邏輯的表達(dá)式與邏輯的表達(dá)式 Y = AY = AB B “ ”表示邏輯乘，表示邏輯乘，“ ”可以省略，寫(xiě)為可以省略，寫(xiě)為Y = AB Y = AB 多變量的邏輯乘多變量的邏輯乘Y = AY = AB BC C，或，或Y

9、= ABCY = ABC。 （2 2）邏輯真值表）邏輯真值表 真值表（真值表（truth tabletruth table）是邏輯函數(shù)的一種完全描述方式。輸入變量）是邏輯函數(shù)的一種完全描述方式。輸入變量 全部取值組合與對(duì)應(yīng)的輸出函數(shù)值排成表。全部取值組合與對(duì)應(yīng)的輸出函數(shù)值排成表。n n個(gè)變量的邏輯函數(shù)共有個(gè)變量的邏輯函數(shù)共有 2 2n n個(gè)不同的變量取值組合。個(gè)不同的變量取值組合。 表示邏輯函數(shù)與邏輯變量各種取值之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。表示邏輯函數(shù)與邏輯變量各種取值之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。 兩個(gè)邏輯函數(shù)的真值表相同，兩個(gè)邏輯函數(shù)必然相等。兩個(gè)邏輯函數(shù)的真值表相同，兩個(gè)邏輯函數(shù)必然相等。 （3 3）邏輯

10、圖）邏輯圖 邏輯圖是用邏輯門(mén)的邏輯符號(hào)連接成的，用來(lái)表示相應(yīng)邏輯電路的邏輯圖是用邏輯門(mén)的邏輯符號(hào)連接成的，用來(lái)表示相應(yīng)邏輯電路的 功能。功能。 （4 4）邏輯波形圖）邏輯波形圖 邏輯波形圖（邏輯波形圖（waveformwaveform）是輸入變量的取值與輸出值對(duì)應(yīng)的邏輯關(guān)）是輸入變量的取值與輸出值對(duì)應(yīng)的邏輯關(guān) 系，按時(shí)間順序一一對(duì)應(yīng)排列的圖形，也稱(chēng)為時(shí)序圖。系，按時(shí)間順序一一對(duì)應(yīng)排列的圖形，也稱(chēng)為時(shí)序圖。 與邏輯的波形圖與邏輯的波形圖 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 2.1.2 2.1.2 邏輯代數(shù)的復(fù)合運(yùn)算邏輯代數(shù)的復(fù)合運(yùn)算 與非真值表與非真值表或非真值表或非真值表 A BYA BY 0 0 0 1

11、 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 與、或、非是三種基本的邏輯運(yùn)算。與、或、非是三種基本的邏輯運(yùn)算。 將與、或、非組合實(shí)現(xiàn)復(fù)合邏輯運(yùn)算。將與、或、非組合實(shí)現(xiàn)復(fù)合邏輯運(yùn)算。 （1）與非運(yùn)算（）與非運(yùn)算（NAND） 與非的運(yùn)算順序?yàn)?，先與非的運(yùn)算順序?yàn)?，先“與與”后后“非非”。 邏輯表達(dá)式為邏輯表達(dá)式為 （2）或非運(yùn)算（）或非運(yùn)算（NOR） 或非的運(yùn)算順序?yàn)椋然蚍堑倪\(yùn)算順序?yàn)?，先“或或”后后“非非”?邏輯表達(dá)式為邏輯表達(dá)式為 與非和或非邏輯都可以有多個(gè)輸入變量的情況與非和或非邏輯都可以有多個(gè)輸入變量的情況 YAB YAB YABC YAB 第2章邏

12、輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) （3）與或非運(yùn)算（）與或非運(yùn)算（AND-NOR） 與或非的運(yùn)算順序?yàn)椋扰c或非的運(yùn)算順序?yàn)?，先“與與”后后“或或”再取再取“非非”。 邏輯表達(dá)式為邏輯表達(dá)式為 A B C DYA B C DY 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 YABCD YABABAB 與或非真值表與或非真值表 （4）異或運(yùn)算）

13、異或運(yùn)算 異或運(yùn)算是二變量邏輯運(yùn)算。異或運(yùn)算是二變量邏輯運(yùn)算。 邏輯表達(dá)式為邏輯表達(dá)式為 異或運(yùn)算的邏輯關(guān)系為：異或運(yùn)算的邏輯關(guān)系為： 當(dāng)輸入當(dāng)輸入A A、B B相異時(shí)，輸出相異時(shí)，輸出Y Y為為1 1， 當(dāng)輸入當(dāng)輸入A A、B B相同時(shí)，輸出相同時(shí)，輸出Y Y為為0 0。 異或邏輯真值表異或邏輯真值表 A BY 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) A BY 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 同或邏輯真值表同或邏輯真值表 （5）同或運(yùn)算）同或運(yùn)算 同或運(yùn)算也是二變量邏輯運(yùn)算。同或運(yùn)算也是二變量邏輯運(yùn)算。 邏輯表達(dá)式為邏輯表達(dá)式為 Y=A B 同

14、或運(yùn)算的邏輯關(guān)系為：同或運(yùn)算的邏輯關(guān)系為： 當(dāng)輸入當(dāng)輸入A A、B B相同時(shí)，輸出相同時(shí)，輸出Y Y為為1 1，當(dāng)輸入，當(dāng)輸入A A、B B相異時(shí)，輸出相異時(shí)，輸出Y Y為為0 0。 同或邏輯為異或邏輯的非運(yùn)算。同或邏輯為異或邏輯的非運(yùn)算。 A B= 可以證明異或邏輯和同或邏輯的以下等式成立可以證明異或邏輯和同或邏輯的以下等式成立 AB BAAB 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) （6）復(fù)合邏輯的圖形符號(hào)）復(fù)合邏輯的圖形符號(hào) 符號(hào)圖中的小圈表示取非的含義。符號(hào)圖中的小圈表示取非的含義。 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 2.2 邏輯代數(shù)的基本定律及規(guī)則邏輯代數(shù)的基本定律及規(guī)則 2.2.1 邏輯代數(shù)運(yùn)算的基本定律邏

15、輯代數(shù)運(yùn)算的基本定律 根據(jù)與、或、非三種基本運(yùn)算可以推導(dǎo)出邏輯代數(shù)的基本公式和定律根據(jù)與、或、非三種基本運(yùn)算可以推導(dǎo)出邏輯代數(shù)的基本公式和定律 表表2.10 邏輯代數(shù)的基本定律和公式邏輯代數(shù)的基本定律和公式 0-1律給出變量和常量間的運(yùn)算規(guī)則；律給出變量和常量間的運(yùn)算規(guī)則； 重疊律給出同一變量的運(yùn)算結(jié)果仍為該變量；重疊律給出同一變量的運(yùn)算結(jié)果仍為該變量； 互補(bǔ)律是一個(gè)變量和其反變量的運(yùn)算規(guī)律；互補(bǔ)律是一個(gè)變量和其反變量的運(yùn)算規(guī)律； 交換律和結(jié)合律表示邏輯運(yùn)算的先后次序變化，對(duì)運(yùn)算結(jié)果沒(méi)有影響；交換律和結(jié)合律表示邏輯運(yùn)算的先后次序變化，對(duì)運(yùn)算結(jié)果沒(méi)有影響； 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 【例例2.1】

16、 用真值表證明分配律用真值表證明分配律 成立。成立。 解：將解：將A、B、C的所有取值組合與等式兩邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系列出真值表。的所有取值組合與等式兩邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系列出真值表。 ABCBCA+BCA+BA+C(A+B)(A+C) 000 001 010 011 100 101 110 111 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)ABC的各個(gè)不同組合，等式兩邊的真值表相同，分配律等式成立。的各個(gè)不同組合，等式兩邊的真值表相同，分配律等式成立。 ABC(AB)(AC) 第2章

17、邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 2.2.1 邏輯代數(shù)運(yùn)算的基本定律邏輯代數(shù)運(yùn)算的基本定律 表表2.10 邏輯代數(shù)的基本定律和公式邏輯代數(shù)的基本定律和公式 還原律表明一個(gè)變量（邏輯函數(shù)）兩次求反運(yùn)算，仍還原為該變量。還原律表明一個(gè)變量（邏輯函數(shù)）兩次求反運(yùn)算，仍還原為該變量。 【例例2.2】 證明公式證明公式 解：根據(jù)分配律可以證明解：根據(jù)分配律可以證明 結(jié)果表明，變量結(jié)果表明，變量A項(xiàng)可以消去其他乘積項(xiàng)的項(xiàng)可以消去其他乘積項(xiàng)的 因子。因子。 AABAB AAB(AA)(AB)1 (AB)AB A 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 【例例2.3】 用真值表證明反演律用真值表證明反演律 反演律的真值表反演律的真值表 AB

18、AB ABAB ABABA ABABA(BB)A 1A ABACBCABAC ABACBCABACBC(AA) ABACABCABC AB(1 C)AC(1 B) ABAC A ABACBCDEABAC 【例2.4】 證明公式 解：解： 左邊左邊 由分別包含由分別包含A和和 兩個(gè)乘積項(xiàng)中的兩個(gè)乘積項(xiàng)中的 其余因子構(gòu)成的乘積項(xiàng)，其余因子構(gòu)成的乘積項(xiàng)， 是多余的乘積項(xiàng)，可以消去。是多余的乘積項(xiàng)，可以消去。 因?yàn)橐驗(yàn)锽C項(xiàng)是多余項(xiàng)，所以包含項(xiàng)是多余項(xiàng)，所以包含BC的乘積項(xiàng)都可以被吸收。的乘積項(xiàng)都可以被吸收。 當(dāng)兩個(gè)包含互補(bǔ)因子的乘積項(xiàng)相加時(shí)，若它們的其他因子相同，當(dāng)兩個(gè)包含互補(bǔ)因子的乘積項(xiàng)相加時(shí)，若

19、它們的其他因子相同， 則兩項(xiàng)可以合并，消去互補(bǔ)因子則兩項(xiàng)可以合并，消去互補(bǔ)因子。 解：解： 【例例2.5】 證明公式證明公式 推論：推論： 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 【例例2.6】 證明等式證明等式 成立。成立。 解：右邊解：右邊 右邊右邊等于左邊，證明等式成立。右邊右邊等于左邊，證明等式成立。 ABAC(AC)(AB) (AC)(AB)AAABACBC ABACBCABAC 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 2.2.2 邏輯代數(shù)運(yùn)算的基本規(guī)則 1 1代入規(guī)則代入規(guī)則 在任何一個(gè)邏輯等式中，若將等式兩邊所出現(xiàn)的同一變量以另一邏輯在任何一個(gè)邏輯等式中，若將等式兩邊所出現(xiàn)的同一變量以另一邏輯 函數(shù)式代替，則等

20、式仍然成立，這一規(guī)則稱(chēng)為代入規(guī)則。函數(shù)式代替，則等式仍然成立，這一規(guī)則稱(chēng)為代入規(guī)則。 邏輯函數(shù)和邏輯變量一樣，只有邏輯函數(shù)和邏輯變量一樣，只有0 0和和1 1兩種可能的取值，因而將等式中兩種可能的取值，因而將等式中 所有出現(xiàn)同一變量的地方均以同一函數(shù)代替，等式仍將成立。所有出現(xiàn)同一變量的地方均以同一函數(shù)代替，等式仍將成立。 【例例2.72.7】 證明公式證明公式 解：利用摩根定律解：利用摩根定律 用函數(shù)式用函數(shù)式 代替等式兩邊的變量代替等式兩邊的變量X X、Y Y得得 左邊左邊 右邊右邊 所以等式所以等式 成立成立 ABCDA B C D XYX Y XABYCD XYABCD X YAB C

21、DA B C D ABCDA B C D 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 2 2反演規(guī)則反演規(guī)則 對(duì)于任何一個(gè)邏輯函數(shù)式對(duì)于任何一個(gè)邏輯函數(shù)式Y(jié) Y，如果將其中所有的，如果將其中所有的“ ”換成換成“+ +”， “+ +”換成換成“”；“0 0”換成換成“1 1”，“1 1”換成換成“0 0”；原變量換成；原變量換成 反變量，反變量換成原變量；則得到邏輯函數(shù)反變量，反變量換成原變量；則得到邏輯函數(shù)Y Y的反函數(shù)。這個(gè)規(guī)則的反函數(shù)。這個(gè)規(guī)則 稱(chēng)為反演規(guī)則。稱(chēng)為反演規(guī)則。 利用反演規(guī)則，可以求出一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)。注意：利用反演規(guī)則，可以求出一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)。注意： （1 1）求反函數(shù)時(shí)要保持原函數(shù)中邏輯運(yùn)

22、算的優(yōu)先順序不變。與運(yùn)算）求反函數(shù)時(shí)要保持原函數(shù)中邏輯運(yùn)算的優(yōu)先順序不變。與運(yùn)算 優(yōu)先于或運(yùn)算，優(yōu)先于或運(yùn)算，“與與”變?yōu)樽優(yōu)椤盎蚧颉睍r(shí)加括號(hào)。時(shí)加括號(hào)。 （2 2）可以將多個(gè)與項(xiàng)和或項(xiàng)共有的非號(hào)保留不變，將非號(hào)下面的函）可以將多個(gè)與項(xiàng)和或項(xiàng)共有的非號(hào)保留不變，將非號(hào)下面的函 數(shù)式按反演規(guī)則進(jìn)行變換。數(shù)式按反演規(guī)則進(jìn)行變換。 【例例2.82.8】 求函數(shù)求函數(shù) 的反函數(shù)的反函數(shù) 解：解： 【例例2.92.9】求函數(shù)求函數(shù) 的反函數(shù)的反函數(shù) 解：利用反演規(guī)則可得解：利用反演規(guī)則可得 反演律是反演規(guī)則的一個(gè)特例，應(yīng)用反演律也可以求得反函數(shù)。反演律是反演規(guī)則的一個(gè)特例，應(yīng)用反演律也可以求得反函數(shù)。

23、Y(ABC) CD Y(AB)CCD Y YABACD Y(AB) AC D 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 3 3對(duì)偶規(guī)則對(duì)偶規(guī)則 對(duì)于任何一個(gè)邏輯函數(shù)對(duì)于任何一個(gè)邏輯函數(shù)Y Y，若將式中的，若將式中的“”換成換成“+ +”， “+ +”換成換成“”；“0 0”換成換成“1 1”, ,“1 1”換成換成“0 0”；則；則 得到邏輯函數(shù)得到邏輯函數(shù)Y Y的對(duì)偶函數(shù)。這一規(guī)則稱(chēng)為對(duì)偶規(guī)則。的對(duì)偶函數(shù)。這一規(guī)則稱(chēng)為對(duì)偶規(guī)則。 可以證明兩個(gè)邏輯函數(shù)式如果相等，則其對(duì)偶式也相等。可以證明兩個(gè)邏輯函數(shù)式如果相等，則其對(duì)偶式也相等。 【例例2.102.10】 對(duì)對(duì)A(B+C) = AB+ACA(B+C) = AB

24、+AC等式兩邊求對(duì)偶，證明其等式兩邊求對(duì)偶，證明其 對(duì)偶式也相等。對(duì)偶式也相等。 解：對(duì)等式兩邊求對(duì)偶解：對(duì)等式兩邊求對(duì)偶A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C) 得到分配律的公式得到分配律的公式 【例例2.112.11】 求函數(shù)求函數(shù) 的對(duì)偶式。的對(duì)偶式。 解：解： 對(duì)邏輯函數(shù)對(duì)邏輯函數(shù)Y Y兩次求對(duì)偶，得到的是原函數(shù)兩次求對(duì)偶，得到的是原函數(shù)Y Y。進(jìn)行對(duì)偶式。進(jìn)行對(duì)偶式 變換時(shí)要保持原式中運(yùn)算的優(yōu)先順序。變換時(shí)要保持原式中運(yùn)算的優(yōu)先順序。 YABC YA B C 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 2.3 2.3 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn) 常用邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法有公式化簡(jiǎn)法、

25、卡諾圖化簡(jiǎn)法和編寫(xiě)計(jì)算機(jī)常用邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法有公式化簡(jiǎn)法、卡諾圖化簡(jiǎn)法和編寫(xiě)計(jì)算機(jī) 輔助分析程序的輔助分析程序的Q-MQ-M法等。法等。 2.3.1 2.3.1 邏輯函數(shù)的表示方法邏輯函數(shù)的表示方法 1 1邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式 邏輯函數(shù)的基本形式：與邏輯函數(shù)的基本形式：與- -或表達(dá)式（積之和表達(dá)式）或表達(dá)式（積之和表達(dá)式） 或或- -與表達(dá)式（和之積表達(dá)式）。與表達(dá)式（和之積表達(dá)式）。 （1 1）最小項(xiàng)表達(dá)式）最小項(xiàng)表達(dá)式 標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式稱(chēng)為最小項(xiàng)表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式稱(chēng)為最小項(xiàng)表達(dá)式。 在在n n變量的邏輯函數(shù)式中，每一個(gè)乘積項(xiàng)因子個(gè)數(shù)是變量的邏輯函數(shù)式中，每一個(gè)乘積項(xiàng)因

26、子個(gè)數(shù)是n n，乘積項(xiàng)中的每，乘積項(xiàng)中的每 個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，僅出現(xiàn)一次，該乘積項(xiàng)個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，僅出現(xiàn)一次，該乘積項(xiàng) 稱(chēng)為最小項(xiàng)。稱(chēng)為最小項(xiàng)。 A A、B B、C C三變量的最小項(xiàng)是三變量的最小項(xiàng)是 3 3個(gè)變量可以構(gòu)成個(gè)變量可以構(gòu)成2 23 3個(gè)不同的最小項(xiàng)；個(gè)不同的最小項(xiàng)；n n個(gè)變量可以構(gòu)成個(gè)變量可以構(gòu)成2 2n n個(gè)不同的最個(gè)不同的最 小項(xiàng)。小項(xiàng)。 用用m mi i表示最小項(xiàng)。如果將乘積項(xiàng)中的原變量記為表示最小項(xiàng)。如果將乘積項(xiàng)中的原變量記為1 1，反變量記為，反變量記為0 0，代，代 入乘積項(xiàng)可得一個(gè)二進(jìn)制數(shù)。入乘積項(xiàng)可得一個(gè)二進(jìn)制數(shù)。

27、的取值為的取值為011011。與二進(jìn)制數(shù)相對(duì)應(yīng)的。與二進(jìn)制數(shù)相對(duì)應(yīng)的 十進(jìn)制數(shù)就是該最小項(xiàng)的編號(hào)十進(jìn)制數(shù)就是該最小項(xiàng)的編號(hào)m m3 3。 例如例如 = m= m2 2+m+m6 6+m+m7 7 簡(jiǎn)寫(xiě)成最小項(xiàng)之和：簡(jiǎn)寫(xiě)成最小項(xiàng)之和： 每一個(gè)最小項(xiàng)只有一組變量取值使其為每一個(gè)最小項(xiàng)只有一組變量取值使其為1 1，其余變量的取值組合都使，其余變量的取值組合都使 其為其為0 0。使。使 為為1 1的變量取值為的變量取值為010010。 Y(A,B,C)ABCABCABC Y(A,B,C)m(2,6,7) ABC,CAB,CBA,CBA,BCA,CBA,CBA,CBA ABC ABC 第2章邏輯函數(shù)及其

28、化簡(jiǎn) （2 2）最小項(xiàng)的性質(zhì)）最小項(xiàng)的性質(zhì) 最小項(xiàng)的性質(zhì)：最小項(xiàng)的性質(zhì)： 對(duì)于對(duì)于n n個(gè)變量的任意一組取值組合，每個(gè)最小項(xiàng)都有一個(gè)取值組合個(gè)變量的任意一組取值組合，每個(gè)最小項(xiàng)都有一個(gè)取值組合 使其值為使其值為1 1，其余取值組合均使該最小項(xiàng)為，其余取值組合均使該最小項(xiàng)為0 0。 任意兩個(gè)不同最小項(xiàng)的乘積為任意兩個(gè)不同最小項(xiàng)的乘積為0 0。 n n個(gè)變量的所有最小項(xiàng)之和為個(gè)變量的所有最小項(xiàng)之和為1 1。 相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)合并成一項(xiàng)，消去一對(duì)不同的因子。只有一個(gè)相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)合并成一項(xiàng)，消去一對(duì)不同的因子。只有一個(gè) 因子不同的最小項(xiàng)具有相鄰性。因子不同的最小項(xiàng)具有相鄰性。 任何一個(gè)邏輯函數(shù)任何

29、一個(gè)邏輯函數(shù)Y Y都可以表示為最小項(xiàng)之和的形式。都可以表示為最小項(xiàng)之和的形式。 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC A B C最最 小小 項(xiàng)項(xiàng)十進(jìn)制十進(jìn)制編號(hào)編號(hào) 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 三變量最小項(xiàng)的編號(hào)表三變量最小項(xiàng)的編號(hào)表 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 【例例2.122.12】 將邏輯函數(shù)表達(dá)式將邏輯函數(shù)表達(dá)式 轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)表達(dá)式。轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)表達(dá)式。 解：可以利用公式解：可以利用公式 將與或表達(dá)式中的與項(xiàng)擴(kuò)展成最小

30、項(xiàng)。將與或表達(dá)式中的與項(xiàng)擴(kuò)展成最小項(xiàng)。 【例例2.132.13】 將邏輯函數(shù)表達(dá)式將邏輯函數(shù)表達(dá)式 變換成最小項(xiàng)表達(dá)式。變換成最小項(xiàng)表達(dá)式。 解：解： 將邏輯表達(dá)式變換成與或表達(dá)式將邏輯表達(dá)式變換成與或表達(dá)式 采用配項(xiàng)法采用配項(xiàng)法 ，將與或表達(dá)式中的與項(xiàng)擴(kuò)展成最小項(xiàng)。，將與或表達(dá)式中的與項(xiàng)擴(kuò)展成最小項(xiàng)。 Y(A,B,C)ACBC AA1 Y(A, B, C)ACBCA(BB)C(AA)BC ABCABCABCABCm(0, 2, 3, 7) Y(A, B, C)(ABABC)AB Y(A, B, C)(ABABC)ABAB AB CAB AB)(AB)CABABCABCAB （ (CC) Y(

31、A, B, C)ABCABCAB(CC) ABCABCABCABCm(3, 5, 6, 7) 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) （3 3）最大項(xiàng)表達(dá)式）最大項(xiàng)表達(dá)式 標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式稱(chēng)為最大項(xiàng)表達(dá)式，在標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式稱(chēng)為最大項(xiàng)表達(dá)式，在n n變量的邏輯函數(shù)式中，每一個(gè)和變量的邏輯函數(shù)式中，每一個(gè)和 項(xiàng)的因子個(gè)數(shù)是項(xiàng)的因子個(gè)數(shù)是n n，和項(xiàng)中的每個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一，和項(xiàng)中的每個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一 次，僅出現(xiàn)一次。每個(gè)和項(xiàng)都是最大項(xiàng)。次，僅出現(xiàn)一次。每個(gè)和項(xiàng)都是最大項(xiàng)。 用用M Mj j表示最大項(xiàng)。將和項(xiàng)的原變量記為表示最大項(xiàng)。將和項(xiàng)的原變量記為0 0，反變量記為，反變量記為

32、1 1，可以得到最大項(xiàng)，可以得到最大項(xiàng) 的編號(hào)。的編號(hào)。 A A、B B、C C三變量的最大項(xiàng)三變量的最大項(xiàng) （A+B+CA+B+C），可見(jiàn)），可見(jiàn)3 3個(gè)變量可以構(gòu)成個(gè)變量可以構(gòu)成2 23 3 個(gè)不同的最大項(xiàng)；個(gè)不同的最大項(xiàng)；n n個(gè)變量可以構(gòu)成個(gè)變量可以構(gòu)成2 2n n個(gè)不同的最大項(xiàng)。個(gè)不同的最大項(xiàng)。 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC A B C最 大 項(xiàng)十進(jìn)制編號(hào) 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 (ABC) 每一個(gè)最

33、大項(xiàng)只有一組變量取值每一個(gè)最大項(xiàng)只有一組變量取值 使其為使其為0，其余變量的取值組合，其余變量的取值組合 都使其為都使其為1。使。使 為為 0的變量取值為的變量取值為101。 同一邏輯函數(shù)，最小項(xiàng)的編號(hào)和同一邏輯函數(shù)，最小項(xiàng)的編號(hào)和 最大項(xiàng)的編號(hào)是互補(bǔ)的，同函數(shù)最大項(xiàng)的編號(hào)是互補(bǔ)的，同函數(shù) 的最小項(xiàng)編號(hào)與最大項(xiàng)編號(hào)不相的最小項(xiàng)編號(hào)與最大項(xiàng)編號(hào)不相 同。同。 三變量最大項(xiàng)的編號(hào)表三變量最大項(xiàng)的編號(hào)表 015 Y(A, B, C)(ABC)(ABC)(ABC)MMM Y(A,B,C)M(0,1,5) (ABC) 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 2邏輯函數(shù)形式的變換 ABCY 000 001 010 011

34、 100 101 110 111 0 1 1 0 1 0 0 1 邏輯函數(shù)描述方法有邏輯函數(shù)表達(dá)式、真值表、卡諾圖、邏邏輯函數(shù)描述方法有邏輯函數(shù)表達(dá)式、真值表、卡諾圖、邏 輯圖和波形圖等。不同表示形式之間可以互相轉(zhuǎn)換。輯圖和波形圖等。不同表示形式之間可以互相轉(zhuǎn)換。 （1）由真值表寫(xiě)出與或表達(dá)式）由真值表寫(xiě)出與或表達(dá)式 【例例2.14】 已知邏輯真值表，寫(xiě)出邏輯函數(shù)表達(dá)式。已知邏輯真值表，寫(xiě)出邏輯函數(shù)表達(dá)式。 解：函數(shù)值為解：函數(shù)值為1的輸入組合，寫(xiě)為乘積項(xiàng)，變量的輸入組合，寫(xiě)為乘積項(xiàng)，變量0寫(xiě)反變量，寫(xiě)反變量，1寫(xiě)寫(xiě) 原變量。例如原變量。例如001寫(xiě)為寫(xiě)為 。4個(gè)乘積項(xiàng)邏輯加，邏輯表達(dá)式個(gè)乘積

35、項(xiàng)邏輯加，邏輯表達(dá)式 ABC YABCABCABCABC ABCY 000 001 010 011 100 101 110 111 0 1 1 1 1 1 1 0 （2）由與或表達(dá)式寫(xiě)出真值表）由與或表達(dá)式寫(xiě)出真值表 【例例2.15】 寫(xiě)出邏輯函數(shù)式寫(xiě)出邏輯函數(shù)式 的真值表。的真值表。 解：邏輯函數(shù)式有解：邏輯函數(shù)式有3個(gè)輸入變量，列出個(gè)輸入變量，列出3變量邏輯函數(shù)的真值表。變量邏輯函數(shù)的真值表。 將邏輯函數(shù)式將邏輯函數(shù)式Y(jié)包含的所有最小項(xiàng)，均填入函數(shù)值為包含的所有最小項(xiàng)，均填入函數(shù)值為1，其余最小，其余最小 項(xiàng)的函數(shù)值為項(xiàng)的函數(shù)值為0。 YABBCCA YABBCCAABCABCABCABC

36、ABCABC m(1,2,3,4,5,6) 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) （3 3）邏輯函數(shù)形式的變換）邏輯函數(shù)形式的變換 需要將邏輯表達(dá)式變換為適應(yīng)硬件電路的形式。需要將邏輯表達(dá)式變換為適應(yīng)硬件電路的形式。 與非與非- -與非形式與非形式 將與或表達(dá)式兩次求反函數(shù)。將與或表達(dá)式兩次求反函數(shù)。 例例 或非或非- -或非形式或非形式 寫(xiě)邏輯函數(shù)寫(xiě)邏輯函數(shù)Y Y的最小項(xiàng)表達(dá)式，同一函數(shù)的最小項(xiàng)編號(hào)與最大項(xiàng)編號(hào)相反，直的最小項(xiàng)表達(dá)式，同一函數(shù)的最小項(xiàng)編號(hào)與最大項(xiàng)編號(hào)相反，直 接寫(xiě)出接寫(xiě)出Y Y的最大項(xiàng)表達(dá)式。的最大項(xiàng)表達(dá)式。 例如，例如，Y(A,B,C)=m(1,2,4,7)Y(A,B,C)=m(1,2,

37、4,7) Y Y的最大項(xiàng)之積的最大項(xiàng)之積Y(A,B,C)=Y(A,B,C)=(0,3,5,6) (0,3,5,6) 兩次求反得兩次求反得Y Y的或非的或非- -或非形式：或非形式： 與或非的形式與或非的形式 將最小項(xiàng)表達(dá)式將最小項(xiàng)表達(dá)式Y(jié)(A,B,C)=m(1,2,4,7)Y(A,B,C)=m(1,2,4,7)中不包含的最小項(xiàng)相加中不包含的最小項(xiàng)相加 將將 的最小項(xiàng)表達(dá)式再求反函數(shù)，即得的最小項(xiàng)表達(dá)式再求反函數(shù)，即得Y Y的與或非表達(dá)式的與或非表達(dá)式 YABACYAB ACYAB AC YM(0,3,5,6)(ABC)(ABC)(ABC)(ABC) (ABC)(ABC)(ABC)(ABC) A

38、BCABCABCABC Ym(0,3,5,6) 0356 YmmmmABCABCABCABC Y 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) （4 4）由邏輯表達(dá)式畫(huà)出邏輯圖）由邏輯表達(dá)式畫(huà)出邏輯圖 【例例2.162.16】已知邏輯函數(shù)已知邏輯函數(shù) ，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的邏輯圖。，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的邏輯圖。 解：將邏輯函數(shù)式中的乘積項(xiàng)用與門(mén)符號(hào)代替，或項(xiàng)用或門(mén)代替，按解：將邏輯函數(shù)式中的乘積項(xiàng)用與門(mén)符號(hào)代替，或項(xiàng)用或門(mén)代替，按 運(yùn)算順序連接，得到函數(shù)運(yùn)算順序連接，得到函數(shù)Y Y的邏輯圖。的邏輯圖。 （5 5）由真值表畫(huà)出波形圖）由真值表畫(huà)出波形圖 將邏輯函數(shù)的輸入變量與輸出值的邏輯關(guān)系，將邏輯函數(shù)的輸入變量與輸出值的邏輯關(guān)系， 按

39、時(shí)間順序排列，得到邏輯函數(shù)的波形圖，按時(shí)間順序排列，得到邏輯函數(shù)的波形圖， 也稱(chēng)為時(shí)序圖。也稱(chēng)為時(shí)序圖。 YABBCCA 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 2.3.2 2.3.2 邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法 最簡(jiǎn)的與最簡(jiǎn)的與- -或邏輯表達(dá)式滿(mǎn)足兩個(gè)條件：邏輯表達(dá)式中的乘積項(xiàng)數(shù)量最或邏輯表達(dá)式滿(mǎn)足兩個(gè)條件：邏輯表達(dá)式中的乘積項(xiàng)數(shù)量最 少；每個(gè)乘積項(xiàng)的變量因子數(shù)目最少。少；每個(gè)乘積項(xiàng)的變量因子數(shù)目最少。 乘積項(xiàng)數(shù)少，需要的元件數(shù)量少；每一項(xiàng)的變量因子數(shù)越少，元件結(jié)構(gòu)就乘積項(xiàng)數(shù)少，需要的元件數(shù)量少；每一項(xiàng)的變量因子數(shù)越少，元件結(jié)構(gòu)就 越簡(jiǎn)單。越簡(jiǎn)單。 公式化簡(jiǎn)中的常用方法有如下幾種。公式化簡(jiǎn)中

40、的常用方法有如下幾種。 （1 1）并項(xiàng)法：利用）并項(xiàng)法：利用 、 合并乘積項(xiàng)，消去多余變量合并乘積項(xiàng)，消去多余變量 【例例2.172.17】 應(yīng)用并項(xiàng)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)應(yīng)用并項(xiàng)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 解：解： BCCABC)BB(CA AA1ABABA 1 YA(BCBC)ABCABC(ABCABC)(ABCABC) AC(BB)AC(BB)ACAC A(CC)A CA)B1 (CABCCA 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) （2 2）吸收法：吸收律）吸收法：吸收律 ，消去包含，消去包含A A的乘積項(xiàng)。的乘積項(xiàng)。 【例例2.182.18】 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)Y Y1 1= (A+AB+ABC)(A+B+C)= (A+AB+A

41、BC)(A+B+C)。 解：解： （3 3）消去法：公式）消去法：公式 、 消去多余項(xiàng)。消去多余項(xiàng)。 【例例2.192.19】 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) 解解: : 先添加冗余項(xiàng)先添加冗余項(xiàng)ADAD，再消去多余項(xiàng)：，再消去多余項(xiàng)： AABA 1 Y(AABABC)(ABC) A(ABC) AAABAC AABAC A AABABABACBCABAC 1 YABACBCCDD 2 YABBDDADCEABBD(ADDA)DCE ABBDDDCEABD 1 YABACBCCDDABACBCCD ABABCDBABCD1 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) （4 4）配項(xiàng)法：利用公式）配項(xiàng)法：利用公式 、A+A=AA+A=A為

42、邏輯函數(shù)配項(xiàng)為邏輯函數(shù)配項(xiàng) 消去更多的乘積項(xiàng)。消去更多的乘積項(xiàng)。 【例例2.202.20】化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) ， 解：解： AA1 1 YABCABCABC 2 YABBCBCAB 1 YABCABCABC(ABCABC)(ABCABC) AB(CC)BC(AAABBC ） 2 YABBCBCABABBCBC(AA)AB(CC) ABBCABCABCABCABCAB(1C)BC(1A)AC(BB) ABBCAC 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 對(duì)或與表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，可以先求對(duì)偶，轉(zhuǎn)換成與或表達(dá)式后再化簡(jiǎn)對(duì)或與表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，可以先求對(duì)偶，轉(zhuǎn)換成與或表達(dá)式后再化簡(jiǎn) ?；?jiǎn)后再求對(duì)偶，得到原函數(shù)的最簡(jiǎn)式?；?jiǎn)后再求

43、對(duì)偶，得到原函數(shù)的最簡(jiǎn)式。 【例例2.212.21】 化簡(jiǎn)函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù) 解：先求解：先求Y Y的對(duì)偶式的對(duì)偶式 化簡(jiǎn)后再求對(duì)偶，得到原函數(shù)?；?jiǎn)后再求對(duì)偶，得到原函數(shù)。 求原函數(shù)：求原函數(shù)： 在實(shí)際邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)中，很少單獨(dú)使用一個(gè)公式和一種規(guī)則，往往在實(shí)際邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)中，很少單獨(dú)使用一個(gè)公式和一種規(guī)則，往往 需要綜合利用上述幾種方法才能得到最簡(jiǎn)的邏輯表達(dá)式。需要綜合利用上述幾種方法才能得到最簡(jiǎn)的邏輯表達(dá)式。 Y(AB)(ACD)(AC)(BC) Y = AB + ACD + AC + BC= (AB + BC + ACD) + AC = AB + BC + AC Y = (Y ) = (A

44、 + B)(B + C)(A + C) 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 2.3.3 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法 卡諾圖是將真值表變換為方格圖的形式卡諾圖是將真值表變換為方格圖的形式, ,將最小項(xiàng)按照相鄰原則排列將最小項(xiàng)按照相鄰原則排列 的圖形。卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)比公式法簡(jiǎn)單、直觀(guān)，可以直接寫(xiě)出最的圖形?？ㄖZ圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)比公式法簡(jiǎn)單、直觀(guān)，可以直接寫(xiě)出最 簡(jiǎn)邏輯表達(dá)式。簡(jiǎn)邏輯表達(dá)式。 1 1卡諾圖的構(gòu)成卡諾圖的構(gòu)成 （1 1）相鄰項(xiàng)）相鄰項(xiàng) 若兩個(gè)最小項(xiàng)中只有一個(gè)變量為互反變量，其余變量均相同時(shí)，則這若兩個(gè)最小項(xiàng)中只有一個(gè)變量為互反變量，其余變量均相同時(shí)，則這 兩個(gè)最小項(xiàng)為邏輯相鄰，稱(chēng)為相鄰項(xiàng)。兩個(gè)最小項(xiàng)

45、為邏輯相鄰，稱(chēng)為相鄰項(xiàng)。 例如，例如，ABCABC和和 兩個(gè)最小項(xiàng)中只有變量?jī)蓚€(gè)最小項(xiàng)中只有變量B B和和 為互反，其余變量為互反，其余變量ACAC 都相同，所以它們是相鄰項(xiàng)。兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可以合并為一項(xiàng)，同時(shí)都相同，所以它們是相鄰項(xiàng)。兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可以合并為一項(xiàng)，同時(shí) 消去互反變量。消去互反變量。 （2 2）卡諾圖的構(gòu)成）卡諾圖的構(gòu)成 卡諾圖是依據(jù)相鄰原則，按照格雷碼序列排列的矩形方格圖，每個(gè)方卡諾圖是依據(jù)相鄰原則，按照格雷碼序列排列的矩形方格圖，每個(gè)方 格代表一個(gè)最小項(xiàng)。格代表一個(gè)最小項(xiàng)。n n變量邏輯函數(shù)的卡諾圖中有變量邏輯函數(shù)的卡諾圖中有2 2n n個(gè)方格。個(gè)方格。 卡諾圖相鄰性的判別

46、：在卡諾圖的兩個(gè)方格中，如果只有一個(gè)變量的卡諾圖相鄰性的判別：在卡諾圖的兩個(gè)方格中，如果只有一個(gè)變量的 取值不同，其余變量的取值都相同，則這兩個(gè)方格對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)是邏取值不同，其余變量的取值都相同，則這兩個(gè)方格對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)是邏 輯相鄰的。輯相鄰的。 ABCB 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 2 2變量卡諾圖，輸入變量變量卡諾圖，輸入變量 A A、B B有有4 4種組合，即最小項(xiàng)為種組合，即最小項(xiàng)為m m0 0m m3 3。 圖形兩側(cè)標(biāo)注變量圖形兩側(cè)標(biāo)注變量A A、B B的的0 0、1 1狀態(tài)，狀態(tài)，0 0和和1 1組合的二進(jìn)制數(shù)值所對(duì)應(yīng)的組合的二進(jìn)制數(shù)值所對(duì)應(yīng)的 十進(jìn)制數(shù)，表示對(duì)應(yīng)方格內(nèi)最小項(xiàng)的編號(hào)。十

47、進(jìn)制數(shù)，表示對(duì)應(yīng)方格內(nèi)最小項(xiàng)的編號(hào)。 3 3變量卡諾圖，輸入變量變量卡諾圖，輸入變量A A、B B、C C有有8 8個(gè)最小項(xiàng)個(gè)最小項(xiàng)m m0 0m m7 7，卡諾圖由，卡諾圖由8 8個(gè)方個(gè)方 格組成，格組成，ABCABC按照格雷循環(huán)碼的順序排列。按照格雷循環(huán)碼的順序排列。 這種排列方式使得卡諾圖不但幾何位置相鄰的最小項(xiàng)具有邏輯相鄰性這種排列方式使得卡諾圖不但幾何位置相鄰的最小項(xiàng)具有邏輯相鄰性 ，而且以中線(xiàn)為軸的對(duì)稱(chēng)位置也相鄰，即首尾相鄰。，而且以中線(xiàn)為軸的對(duì)稱(chēng)位置也相鄰，即首尾相鄰。 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 4 4變量卡諾圖，由變量卡諾圖，由1616個(gè)方格組成，個(gè)方格組成，ABAB和和CDCD

48、也按照循環(huán)碼的也按照循環(huán)碼的 順序排列。幾何位置相鄰方格和中線(xiàn)對(duì)稱(chēng)位置方格都是相順序排列。幾何位置相鄰方格和中線(xiàn)對(duì)稱(chēng)位置方格都是相 鄰最小項(xiàng)。鄰最小項(xiàng)。 5 5變量卡諾圖，除幾何位置相鄰的方格具有邏輯相鄰性外變量卡諾圖，除幾何位置相鄰的方格具有邏輯相鄰性外 ，以雙豎線(xiàn)為軸對(duì)稱(chēng)位置的方格都是相鄰最小項(xiàng)。，以雙豎線(xiàn)為軸對(duì)稱(chēng)位置的方格都是相鄰最小項(xiàng)。 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 2 2用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù) n n變量卡諾圖可以表示任意一個(gè)變量卡諾圖可以表示任意一個(gè)n n變量的邏輯函數(shù)。變量的邏輯函數(shù)。 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)的方法是，在邏輯函數(shù)式最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)用卡諾圖表示邏輯函數(shù)的

49、方法是，在邏輯函數(shù)式最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的方格內(nèi) 填填1 1（稱(chēng)為（稱(chēng)為1 1格），在其余方格內(nèi)填格），在其余方格內(nèi)填0 0或不填?；虿惶?。 【例例2.222.22】 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù) 解：先將邏輯函數(shù)解：先將邏輯函數(shù)Y Y變換為最小項(xiàng)之和的形式：變換為最小項(xiàng)之和的形式： 【例例2.232.23】 將邏輯函數(shù)將邏輯函數(shù) 填入卡諾圖。填入卡諾圖。 解：不必將每項(xiàng)都配成最小項(xiàng)，只需尋找卡諾圖中含有某個(gè)乘積項(xiàng)的解：不必將每項(xiàng)都配成最小項(xiàng)，只需尋找卡諾圖中含有某個(gè)乘積項(xiàng)的 方格，將其均填入方格，將其均填入1 1。 YAB(ABABAB)C YAB CC(ABABAB)CABCABCABC

50、ABCABC m(0,1,3,5,7) () YABCDABDABD 一個(gè)乘積項(xiàng)如果缺少一個(gè)變量，一個(gè)乘積項(xiàng)如果缺少一個(gè)變量， 對(duì)應(yīng)卡諾圖中兩個(gè)方格；對(duì)應(yīng)卡諾圖中兩個(gè)方格； 缺少兩個(gè)變量，缺少兩個(gè)變量， 對(duì)應(yīng)卡諾圖中對(duì)應(yīng)卡諾圖中4個(gè)方格；個(gè)方格； 缺少缺少n個(gè)變量，個(gè)變量， 對(duì)應(yīng)卡諾圖中對(duì)應(yīng)卡諾圖中2n個(gè)方格。個(gè)方格。 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 3 3利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 如果兩個(gè)乘積項(xiàng)只有一個(gè)變量不同，其余變量都相同，則這兩個(gè)乘積如果兩個(gè)乘積項(xiàng)只有一個(gè)變量不同，其余變量都相同，則這兩個(gè)乘積 項(xiàng)可以合并，消去一個(gè)變化的變量。項(xiàng)可以合并，消去一個(gè)變化的變量。 卡諾圖的兩個(gè)相

51、鄰卡諾圖的兩個(gè)相鄰1 1格間僅有一個(gè)變量不同，所以可以合并成一項(xiàng)，格間僅有一個(gè)變量不同，所以可以合并成一項(xiàng)， 并消去一個(gè)變量。并消去一個(gè)變量。 卡諾圖中卡諾圖中4 4個(gè)個(gè)1 1格相鄰，合并成一項(xiàng)，可以消去格相鄰，合并成一項(xiàng)，可以消去2 2個(gè)變量；個(gè)變量； 8 8個(gè)個(gè)1 1格相鄰，合并后消去格相鄰，合并后消去3 3個(gè)變量；個(gè)變量； 2 2n n個(gè)個(gè)1 1格合并，可以消去格合并，可以消去n n個(gè)變量。個(gè)變量。 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 卡諾圖化簡(jiǎn)最簡(jiǎn)與或式的一般步驟：卡諾圖化簡(jiǎn)最簡(jiǎn)與或式的一般步驟： 畫(huà)出畫(huà)出n n變量邏輯函數(shù)的卡諾圖，在邏輯函數(shù)乘積項(xiàng)包含的方格中填變量邏輯函數(shù)的卡諾圖，在邏輯函數(shù)乘

52、積項(xiàng)包含的方格中填 入入1 1； 先找出孤立先找出孤立1 1格，寫(xiě)出乘積項(xiàng)；格，寫(xiě)出乘積項(xiàng)； 再合并只有一個(gè)合并方向的再合并只有一個(gè)合并方向的1 1格；格； 合并其余最小項(xiàng)，每個(gè)合并圈內(nèi)必須有一個(gè)合并其余最小項(xiàng)，每個(gè)合并圈內(nèi)必須有一個(gè)1 1格未被圈過(guò)；格未被圈過(guò)； 寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。 卡諾圖化簡(jiǎn)最簡(jiǎn)與或式的原則：卡諾圖化簡(jiǎn)最簡(jiǎn)與或式的原則： 每個(gè)每個(gè)1 1格至少被圈一次。當(dāng)某個(gè)格至少被圈一次。當(dāng)某個(gè)1 1格被圈多于一次時(shí)，相當(dāng)于對(duì)這格被圈多于一次時(shí)，相當(dāng)于對(duì)這 個(gè)最小項(xiàng)使用同一律個(gè)最小項(xiàng)使用同一律A+A=AA+A=A，并不改變函數(shù)的值。，并不改變函數(shù)的值。 合并圈的個(gè)數(shù)越

53、少越好，圈數(shù)越少，得到的乘積項(xiàng)數(shù)量就越少。合并圈的個(gè)數(shù)越少越好，圈數(shù)越少，得到的乘積項(xiàng)數(shù)量就越少。 合并圈越大越好，圈越大消去的變量越多，乘積項(xiàng)包含的變量就合并圈越大越好，圈越大消去的變量越多，乘積項(xiàng)包含的變量就 越少。每個(gè)合并圈中包含的越少。每個(gè)合并圈中包含的1 1格的個(gè)數(shù)必須是格的個(gè)數(shù)必須是2 2的整數(shù)次方。的整數(shù)次方。 第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 【例例2.242.24】 用卡諾圖法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)為最簡(jiǎn)與或表達(dá)式，并轉(zhuǎn)換為用卡諾圖法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)為最簡(jiǎn)與或表達(dá)式，并轉(zhuǎn)換為 與非與非- -與非的形式。與非的形式。 Y Y1 1=m(0,2,5,6,7,9,10,14,15)=m(0,2,5,6,7,9,10,14,15) 解：（解：（1 1）將邏輯函數(shù)）將邏輯函數(shù)Y Y1 1中最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的方格填入中最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的方格填入1 1。 先圈孤立先圈孤立1 1格，寫(xiě)出乘積項(xiàng)；格，寫(xiě)出乘積項(xiàng)； 圈一個(gè)合并方向的圈一個(gè)合并方向的1 1格；格； 將剩余將剩余1 1格合并，圈越大越好；格合并，圈越大越好； 將所得乘積項(xiàng)相加將所得乘積項(xiàng)相加 兩次求反，得到兩次求反，得到Y(jié) Y1 1的與非的與非- -與非形式：與非形式： 1 YABCDABDABDCDBC 1 YA