III-1-8(2)函數(shù)四則運算連續(xù)性和初等函數(shù)連續(xù)性

1、第八節(jié)（第八節(jié)（2）連續(xù)函數(shù)的運算和）連續(xù)函數(shù)的運算和初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性 四則運算的連續(xù)性四則運算的連續(xù)性 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性 小結(jié)與思考小結(jié)與思考一、四則運算的連續(xù)性一、四則運算的連續(xù)性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處處也也連連續(xù)續(xù)在在點點則則處處連連續(xù)續(xù)在在點點若若函函數(shù)數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)故故xxxx二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性二、反

2、函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理定理2 2 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù)續(xù)反函數(shù). .例如例如,2,2sin上單調(diào)增加且連續(xù)上單調(diào)增加且連續(xù)在在 xy. 1 , 1arcsin上上也也是是單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上單調(diào)減少且連續(xù)上單調(diào)減少且連續(xù)在在同理同理 xy.,cot,arctan上單調(diào)且連續(xù)上單調(diào)且連續(xù)在在 xarcyxy反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).定理定理3 3).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則則有有連連續(xù)續(xù)在在點點函

3、函數(shù)數(shù)若若證證,)(連連續(xù)續(xù)在在點點auuf .)()(, 0, 0成成立立恒恒有有時時使使當(dāng)當(dāng) afufau,)(lim0axxx 又又,0, 0, 00時時使使當(dāng)當(dāng)對對于于 xx.)(成成立立恒恒有有 auax將上兩步合起來將上兩步合起來:,0, 0, 00時時使使當(dāng)當(dāng) xx)()()()(afxfafuf .成成立立 )()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 意義意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換極限符號可以與函數(shù)符號互換;.)(. 2的理論依據(jù)的理論依據(jù)變量代換變量代換xu 例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(li

4、mln10 xxx eln 解解例例2 2.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx 則則. 0,0yx時時當(dāng)當(dāng)yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx .)(,)(,)(,)(00000也也連連續(xù)續(xù)在在點點則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)在在點點而而函函數(shù)數(shù)且且連連續(xù)續(xù)在在點點設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情況的特殊情況.例如例如,), 0()0,(1內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xu,),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 uy.), 0()0,(1si

5、n內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 xy例例6（p71）三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的.)1, 0( aaayx指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);),(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);), 0(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)在在 定理定理5 5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 ,不不同同值值討討論論 (均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù) )定理定理6 6 一切初等函數(shù)在其一切初

6、等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連內(nèi)都是連續(xù)的續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0點的鄰域內(nèi)沒有定義點的鄰域內(nèi)沒有定義.), 1上連續(xù)上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間注意注意注意注意2. 初等函數(shù)求極限的方法初等函數(shù)求極限的方法代入法代入法.例例3 3. 1sinlim1 xxe求求1sin1

7、e原式原式. 1sin e例例4 4.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定義區(qū)間定義區(qū)間 xxfxfxx P71 例例7（與課件第八節(jié)（與課件第八節(jié)（1）最后一）最后一個例題類似）個例題類似）四、小結(jié)四、小結(jié)連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法求極限的又一種方法.兩個定理兩個定理; 兩點意義兩點意義.反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性

8、.思考題思考題 設(shè)設(shè)xxfsgn)( ，21)(xxg ，試試研研究究復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(xgf與與)(xfg的的連連續(xù)續(xù)性性.思考題解答思考題解答21)(xxg )1sgn()(2xxgf 1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上處處處處連連續(xù)續(xù))(xgf在在)0 ,( ), 0( 上上處處處處連連續(xù)續(xù))(xfg0 x是它的可去間斷點是它的可去間斷點 0, 10, 00, 1)(xxxxf一、一、 填空題：填空題：1 1、 43lim20 xxx_. .2 2、 xxx11lim0_. .3 3、 )2cos2ln(lim6xx _._.4 4、 xxx24tanco

9、s22lim _. .5 5、 tett1lim2_. . 6 6、設(shè)設(shè),0,0,)( xxaxexfx 當(dāng)當(dāng) a_ _ _ _ _ _時時，)(xf在在 ),( 上上連連續(xù)續(xù) . .練練 習(xí)習(xí) 題題7 7、 函數(shù)函數(shù)61)(24 xxxxxf的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為 _. _.8 8、 設(shè)設(shè) 時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)1,11,2cos)(xxxxxf確定確定 )(lim21xfx_; ; )(lim1xfx_._.二、二、 計算下列各極限：計算下列各極限：1 1、axaxax sinsinlim； 2 2、xxxcot20)tan31(lim ；3 3、1)1232(lim xxxx；三、三、 設(shè)設(shè) 0),ln(0,10,)(22xxxbxxxaxf已知已知)(xf在在 0 x處連續(xù)，試確處連續(xù)，試確 定定a和和b的值的值. .四、四、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在0 x處連續(xù)，且處連續(xù)，且0)0( f, ,已知已知)()(xfxg ，試證函數(shù)，試證函數(shù))(xg在在0 x處也連續(xù)處也連續(xù). .一、一、1 1、2 2；