泛函中三大定理的認(rèn)識

1、泛函中三大定理及其應(yīng)用泛函分析科學(xué)體系的建立得益于20世紀(jì)初關(guān)于巴拿赫空間的三大基本定理，即hahn-banach定理，共鳴定理和開映射、逆算子及閉圖像定理。其中：一致有界定理，該定理描述一族有界算子的性質(zhì)；譜定理包括一系列結(jié)果，其中最常用的結(jié)果給出了希爾伯特空間上正規(guī)算子的一個(gè)積分表達(dá)，該結(jié)果在量子力學(xué)數(shù)學(xué)描述中起核心作用；罕-巴拿赫定理（hahn-banachtheorem）研究了如何保范地將某算子從某子空間延拓到整個(gè)空間。另一個(gè)相關(guān)結(jié)果則是描述對偶空間非平凡性的；開映射定理和閉圖像定理。1、hahn-banach延拓定理定理：設(shè)為線性賦范空間的線性子空間，是上的任一線性有界泛函，則存在上

2、的線性有界泛函，滿足：(1) 當(dāng)時(shí)，； (2) ；其中表示作為上的線性泛函時(shí)的范數(shù)；表示上的線性泛函的范數(shù)延拓定理被應(yīng)用于riesz定理、liouville定理的證明及二次共軛空間等的研究中2、逆算子定理在微積分課程中介紹過反函數(shù)的概念，并且知道“單調(diào)函數(shù)必存在反函數(shù)”，將此概念和結(jié)論推廣到更一般的空間定義1逆算子(廣義上)：設(shè)和是同一數(shù)域上的線性賦范空間，算子：，的定義域?yàn)?；值域?yàn)橛帽硎緩牡哪嬗成?蘊(yùn)含是單射)，則稱為的逆算子(invertiable operator)定義2正則算子：設(shè)和是同一數(shù)域上的線性賦范空間，若算子：滿足(1)是可逆算子； (2) 是滿射，即； (3) 是線性有界算子

3、，則稱為正則算子(normal operator)注： 若是線性算子，是線性算子嗎？若是線性有界算子，是線性有界算子嗎？性質(zhì)1 若：是線性算子，則是線性算子證明 ：，由線性性知：由于可逆，即不是零算子，于是，故是線性算子定理2逆算子定理：設(shè)是banach空間到banach空間上的雙射(既單又滿)、線性有界算子，則是線性有界算子例1 設(shè)線性賦范空間上有兩個(gè)范數(shù)和，如果和均是banach空間，而且比強(qiáng)，那么范數(shù)和等價(jià)(等價(jià)范數(shù)定理)證明：設(shè)是從由到上的恒等映射，由于范數(shù)比強(qiáng)，所以存在，使得有于是是線性有界算子，加之既是單射又滿射，因此根據(jù)逆算子定理知是線性有界算子，即存在，使得有故范數(shù)和等價(jià)。3、

4、一致有界原理定義1一致有界：設(shè)和是同一數(shù)域上的線性賦范空間，如果是有界集，則稱算子族為一致有界定理1 共鳴定理：設(shè)是banach空間，是線性賦范空間，算子族，那么：是有界集(一致有界)，為有界集證明：(1) 必要性 因?yàn)槭怯薪缂?，所以存在，有，于是，不妨設(shè)，那么因此為有界集(2) 充分性，定義，顯然是上的范數(shù)且比強(qiáng)，下面證明完備如果，由是banach空間知存在，使得又因?yàn)椋沟弥灰?，便有從而有因此得，即，可見完備根?jù)等價(jià)范數(shù)定理知范數(shù)和等價(jià)，從而存在，使得有于是可得有注： 共鳴定理也稱為一致有界定理(或原理)，由共鳴定理知，當(dāng)不一致有界時(shí)，即，則存在，使得，稱為算子族的共鳴點(diǎn)。例2 設(shè)無窮矩陣滿足，并對任何有其中，證明算子是線性連續(xù)算子例3 (fourier級數(shù)的發(fā)散問題) 存在一個(gè)周期為的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，它的fourier級數(shù)在點(diǎn)發(fā)散.證明 ： 記周期是的實(shí)值連續(xù)函數(shù)全體為，對于，導(dǎo)出的fourier級數(shù)為：，其中 ()； ().當(dāng)時(shí)，級數(shù)為，前項(xiàng)部分和為記，計(jì)算可得，于是下面證明存在，使得發(fā)散顯然是線性泛函又因?yàn)?/p>