核物理20114380135鐘長游

1、畢業(yè)設計(論文)題 目 一維Fokker-Plank方程的數值解法 學院名稱 核科學技術學院 指導教師 黃千紅 職 稱 講師 班 級 核物理111 學 號 20114380135 學生姓名 鐘長游 2015年 5 月 18 日 南華大學本科畢業(yè)設計（論文）任務書論文 (設計) 內容及要求：一、畢業(yè)設計（論文）主要內容1、閱讀等離子體的相關書籍，了解等離子體的一些知識。2、閱讀相關論文，了解Fokker-Planck的相關知識。3、了解偏微分方程三維數值解法。4、用數值解法模擬解Fokker-Planck方程。二、畢業(yè)設計（論文）基本要求1、根據設計任務書設計內容，作出設計進度安排，寫出開題報告

2、；2、通過文獻調研，掌握國內、外托卡馬克平衡與宏觀穩(wěn)定性的研究現狀；3、通過閱讀和調研了解并理解托卡馬克平衡與宏觀穩(wěn)定性的規(guī)律；4、按要求撰寫畢業(yè)設計（論文），論文表述清楚，圖、表描述準確；三、畢業(yè)設計（論文）進度安排12 月 3日-1 月 3 日 收集資料，完成開題報告 1 月 3日-3 月 15 日 完成基礎理論知識的閱讀和理解 3 月16 日-5 月 5日 完成大量的調研工作5月 6 日-6 月1 日 完成論文初稿、定稿、裝訂主要參考文獻：1朱士堯.核聚變原理，合肥；中國科技大學出版社，19922石秉仁.磁約束聚變原理與實踐，北京；原子能出版社，1999.123李定等.等離子體物理學，北

3、京；高等教育出版社，2006.54杜凱.宋國利.冷等離子體中的Fokker-Plank方程.黑龍江大學自然科學學報N.2012-4(4)5ALI SHAJII，DANIEL SMITH.基于Fokker-Plank方程的等離子體模擬6王勛成.有限單元法基本原理和數值方法(第2版)M.清華大學出版社 指導老師： 年 月 日南華大學本科生畢業(yè)設計（論文）開題報告設計（論文）題目一維Fokker-Plank方程的數值模擬設計（論文）題目來源研科在研課題設計（論文）題目類型軟件仿真起止時間2014/12-2015/05一、 設計（論文）依據及研究意義：依據： 意義：這篇論文可以加強我對數理知識的提升和

4、應用，以及搜索獲取知識的能力。增強我引進消化吸收創(chuàng)新的能力，同時也能讓我熟練了常用的Office等辦公軟件，以及常用的編程軟件MATLAB 和Fortran等和常用的圖像處理軟件Origin的使用。二、 設計（論文）主要研究的內容、預期目標：（技術方案、路線）基本路線 1、第一階段：2014年12月2015年1月收集資料確定研究方向完成論文選題。 2.第二階段：2015年1月3月，完成論文開題報告、撰寫提綱 3、第三階段：2015年3月5月，完成論文初稿、二稿。 4、第四階段：2015年5月6月，畢業(yè)論文完稿，答辯。論文內容 第一部分：介紹Fokker-Plank方程的推導來源和適用環(huán)境 第二

5、部分：比較Fokker-Plank與薛定諤方程的相關異同 第三部分：簡述解偏微分方程的幾種方法原理和優(yōu)劣 第四部分; 寫出Fokker-Plank方程的數值解法Fortran程序 第五部分：對Fortran解出的數據用繪圖工具進行分析 第六分布：后續(xù)引文感謝詞等具體做法是： 1） 認真科學地收集、查閱、整理與Fokker-Plank方程相關的文獻；2） 結合文獻資料和調研，詳細分析Fokker-Plank方程的原理，推導過程以及在等離子體中的應用。最后在邊界條件下用Fortran編程模擬 解出數值解3) 論文篇幅8000字以上，論點清楚、論據準確、材料詳實、論證完整、嚴密，并具有獨立的觀點和見

6、解；4)語言通順，邏輯性強三、設計（論文）的研究重點及難點： Fokker-plank方程是一個多維的非線性 微分方程，要直接解出解析解是非常困難的，所以我們采用計算機模擬的方式解出數值解。這項工作中最難的就是軟件編程，因為很多參數要考慮。而且還要在特定的情況下去。解出有大量的數值要分析。四、 設計（論文）研究方法及步驟（進度安排）：基本路線 1、第一階段：2014年12月2015年1月，收集資料，確定研究方向，完成論文選題。 2、第二階段：2015年1月3月，完成論文開題報告、撰寫提綱 3、第三階段：2015年3月5月，完成論文初稿、二稿。 4、第四階段：2015年5月6月，畢業(yè)論文完稿，答

7、辯。具體做法是：1） 認真科學地收集、查閱、整理與Fokker-Plank方程相關的文獻；2） 結合文獻資料和調研，詳細分析Fokker-Plank方程的原理，推導過程以及在等離子體中的應用。最后在邊界條件下用Fortran編程模擬解出數值解3) 論文篇幅8000字以上，論點清楚、論據準確、材料詳實、論證完整、嚴密，并具有獨立的觀點和見解；4)語言通順，邏輯性強五、進行設計（論文）所需條件：一些資料(老師給的和自己查的)電腦（自帶）軟件教材（Fortran）老師和學長的指導五、 指導教師意見：簽名： 年 月 日摘要：目前，很多領域的科學計算都遇到一個問題，方程很難解。隨著計算機的發(fā)展，科學運算

8、能力也得到很大的提高，這樣給方程的模擬解提供了可能。本文介紹了一下布朗運動，以及從布朗運動衍生得到Fokker-Planck方程的推理過程，以及用動力論角度推導了在等離子體中的Fokker-Planck方程。該方程在很多領域都很重要，所以文章中介紹了一下常見的應用。本文也簡單的對比了一下薛定諤方程和Fokker-Planck的相關之處，更好的去理解該方程的物理意義。等離子體中的Fokker-Planck方程是一個微分方程，所以本文介紹了一下微分方程的數值解法。后面本文用有限元法去解等離子體中的Fokker-Plank方程，給出了用Fortran編程的程序，最后用Origin畫圖軟件畫出了相關的

9、圖像。關鍵詞：Fokker-Planck方程，微分方程數值解，Fortran,有限元法，等離子體。AbstractNow, many field of scientific computing have a problem of equation is very difficult to solution. Along with the development of the computer, scientific computing and got great development, it gives equation simulation a possible. This paper i

10、ntroduces the Brownian motion, using dynamic theory Angle on the activities in the plasma - Plank equation. Because of the equation are important in many fields, so the article introduces the application of some common, such as the movement of the nuclear fission in nuclear fission, the distribution

11、 of glass cracks in condensed matter physics, etc. The program of Fortran programming is given, and finally draw the relevant images with Origin drawing software. Keywords: Fokker- Planck equation, differential equation numerical solution, Fortran, finite element method ,the plasma.目錄0引言1第一章 .布朗運動和郎

12、之萬方程11.1布朗運動介紹11.2布朗運動到郎之萬方程2第二章 .Fokker-Plank方程的推導和應用32.1位行空間中的擴散方程32.2速度空間中的擴散方程42.3 Fokker-Plank方程以及應用5第三章 .Fokker-Plank方程與Schrödinger方程的關系6第四章 .微分方程的數值解法74.1常微分方程數值解法84.1.1Euler法84.1.2Runge-Kutta方法94.2偏微分方程的數值解法104.2.1有限差分法104.2有限元法14第五章 .基于等離子體的Fokker-Planck方程145.1等離子體的動力論方程145.2目前等離子體中Fok

13、ker-Planck方程的解的情況16第六章 等離子體中的一維Fokker-Planck方程的數值模擬186.1 初始設置186.2 程序代碼196.3圖形仿真19致謝21引文2380引言1布朗運動和郎之萬方程 1.1布朗運動介紹我們都知道Fokker-Planck是從布朗運動展開來的1?；ǚ畚⒘＝]在液體中時，看到微粒會出現非常不規(guī)則狀的運動。這種運動被我們稱為為布朗運動，其有幾個的主要特性如下：1. 微粒運動的軌跡顯得非常沒規(guī)則而且可以看出微粒在做布朗運動時是做平移和轉移運動的。2. 即使距離接近到可以和自身的直徑相比較粒子間也不會有相互作用。3. 當液體粘性越低或溫度越高或者微粒越小時，

14、布朗運動就越活潑。4. 微粒的及密度和成分對其運動不會產生影響。5. 微粒的運動永不停止布朗運動的運動軌跡如圖1.1.1，圖1.1.2和圖1.1.3。 圖1.1 圖1.2 圖1.3 布朗運動屬于機械運動，所以它表現出來的是一種機械能。這種機械能是由內能轉化而來同時它又在向內能轉化而去，這個兩個過程同時發(fā)生著，當兩種轉化的速度達到了動態(tài)平衡時就表現為布朗運動。布朗運動是隨機運動的體現。1.2布朗運動到郎之萬方程在某種密度為、粘度為、的液 體內，假設有一個質量為m 、半徑為a顆粒，則m=4a3/3。由斯托克斯定可以得到律可得f=6u2 ,f稱為拖曳力或說是摩擦力。把作用在顆粒上的力分解為拖拽力和布

15、朗力FBt兩部分：因此我們可以得到 mdudt+6au=FB(t) (1.1)郎之萬方程如下 其中布朗力FB(t)是一個隨機的力，它描述了微粒在液體中收到的力的大小。它的產生和液體分子的碰撞有關，所以溫度等因數都會影響隨機力，進而影響布朗運動。 2.Fokker-Plank方程的推導和應用2.1位行空間中的擴散方程上面我們提到郎之萬方程。郎之萬力FB(t)其實就是一個隨機的力，它與液體分子的碰撞有關。當在液體中的顆粒的直徑比較大，達到一定的數字時，顆粒四周受到液體分子撞擊的統計量很大。當一個隨機量的統計值足夠大時，往往會表現出一個確定響應3。就如同扔硬幣，當統計量足夠大，則向上的概率表現的結果

16、是1/2，同樣這里的FB(t)會表現出確定的值。當然在一個靜止的或者變化不大液體環(huán)境中，在內每個方位d的值是相等的，也就是說在空間方位角內布朗力的平均值FB(t).：FB(t)=0 (2.1)FBt,FB(t)=2Dt,-t (2.2) 其中t,-t是一個狄拉克函數，當t,=t時，t,-t=0。我們可以看出公式（1.2）描述的是對液體粒子統計的效果；公式（1.3）對應了我們“各粒子間互不影響”的結論。然而當在液體中的顆粒直徑較小，比如布朗在他的實驗里面的花粉顆粒，因為統計量不夠，所以總體不會表現出一個確定值，同樣一仍硬幣為例子，僅僅是數量有限的次數統計后可以知道圖案向上的概率不一定為1/2。所

17、以我們可以看到布朗運動在三維中如圖1.4。 圖2.1空間中布朗運動的分布圖從上圖中我們可以得出這個一個結論，做布朗運動的粒子在以一個概率P出現在空間r任何一個地方，而且這個P不一定相等。既然這樣，我們完全可以用概率論的角度去思考這個問題。定義位置的躍遷概率密度，按歸一化要求，對一定的t有 Ptrr,tdr=1 (2.3)我們由概率論的知識可以得到 rr=rrPtrr,tdr=KT3at (2.4)那么P(r,t+t)可按下式推得： Pr,t+t=Pr-r,tPr,tdr (2.5)我們將Pr-r,t按r展開為 Taylor級數得 Pr-r,t=Pr,t-rP+rr:P- (2.6)同時將Pr,

18、t+t按t展開為 Taylor級數得：Pr+r,t=Pr,t+rP+rr:P+ (2.7)再由 (7) +(8)得 P(r,t)t=KT62P(r,t) (2.8)這個就是位行空間中的擴散方程 。2.2速度空間中的擴散方程同樣對于Pu,t按歸一化要求，有 Ptru,tdr=1 (2.10) Pu,t+t它可按下式得： Pr,t=Pu,t+t=Pu-u,tPu,tdu (2.11) 然后再將然后再將 Pu-u,t和 Pu,t+t分別按u和t展開為 Taylor級數；P(u,t)t=6am22Pr,t+6amdivuPu,t (2.12)這個就是我們從布朗運動的理論出發(fā)用概率論的角度推導的Fokk

19、er-Planck方程，人們的這里的基礎上進一步的把Fokker-Planck一般化，從而它的應用就更加廣泛了。所以解Fokker-Planck方程也成了一個新的研究領域。2.3 Fokker-Plank方程以及應用上面說的從布朗運動引申出的Fokker-Planck方程可以進一步的一般化，是描述非平衡狀態(tài)的一個非常重要的方程。它描述了隨機系統的狀態(tài)概率躍遷密度，很多問題都可以歸結為這個方程的研究。他的一維情況下的一般形式如下： -px,tt=cxpx,tx-122(c(x)p(x,t)x2 （2.13）如果是非線性漂移的一維Fokker-Planck方程其一般形式如下： px,tt=-cxp

20、x,tx+2p(x,t)x2 （2.14）以上式子中的p(x,t)是概率分布函數。它在固體物理領域，量子力學領域，理論物理領域，經融領域，氣候等等各方面都用廣泛的應用。Fokker-Planck在不同的領域表示方法不一樣，但是它們有三個共同的特點：1.有密度函數。2.對密度函數的時間一階偏導。3對密度函數的某個做一階偏導數以及對密度函數的某個量做二階偏導數 。我們可以用下面的寬泛的方程表示Fokker-Planck方程的特點：p(x,t)t=LFPp(x,t) （2.15）其中LFP=xD1x,t+x2D2(x,t)國內外有很多領域最終都是要解一個Fokker-Plank方程。比如研究質量為m

21、的一個微粒的布朗運動，粒子在液體中運動是一個無規(guī)律的概率分布。他的運動情況也就是粒子概率密度分布w(x,t)的一維Fokker-Planck方程為5： wt=(vw)v+KTm2wv2 （2.16）在研究原子核的裂變核的情況，每個核裂變后的運動情況是一個隨機概率的過程。所以可以用一維Fokker-Planck方程描述裂變核的情況6 ：wt+uwx-1mVxwu=(wuu+D2wu2) （2.17） 在凝聚態(tài)物理中，玻璃的裂紋是一個隨機概率的過程，裂紋可以以一定的概率出現在整個玻璃的任何地方。所以裂紋分布函數P(c,t)可以Fokker-Planck方程來表示7: p(c,t)t=xAc+Q2c

22、ccpc,t+Q22C22cpc,t （2.18）還有就是接下來我們要研究的等離子體中的Fokker-Planck方程，等離子體是被部分或者完全電離的氣體，各個被電離的分離子和電子表現出集體效應，它被稱為物資的第四狀態(tài)。等離子體的這些性質使得我們可以用電磁流體力學模型來處理，從而可以把等離子體的運動看做是一個概率分布的問題。所以在等離子體中的粒子概率密度函數f(r,v,t)的Fokker-Planck方程為。f t+v*ft+emeE+v×B*ft=(ft)c (2.19) 式（2.19）中具體的一些信息在下文中我會具體說明。3.Fokker-Plank方程與Schrödi

23、nger方程的關系薛定諤方程描述微觀粒子的運動規(guī)律，是量子力學的最基本的方程，其表達式如下： i(r,t)t=(-22m2+V)(r,t) （3.1）其中(r,t)就是微粒的波函數，每個微觀系統一般來說都有一個上面的薛定諤方程表達式與之對應，只是不同的粒子質量或者在不同的勢場中因為勢能V 不一樣具體的薛定諤方程會不一樣。通過解方程可得到粒子的波函數 (r,t)，從而可以知道該微粒系統一些物理量如動量以及對應的能量的信息，但是這個只是一個概率，就是我們不能完全確定一個微粒系統的全部信息，這個也是微觀和宏觀的不同點。但是可以說如果我們解出了我們的波函數，這樣我就可以知道這個微粒的一切性質且隨時間變

24、化的概率。在我們的Fokker-Planck方程中，fr,v,t包涵了等立體子在空間的分布情況，我們只要解得了等離子體的粒子密度分布函數，我們也就可以知道粒子分布和能量、速度等隨時間的分布信息，這一點和薛定諤方程非常相似。下面我具體說一下兩者的相似情況。和薛定諤方程類似，我我們可以把Fokker-Planck方程寫成如下形式。 -Pt=HP （3.2）可以解的其一般的解為： Px,t=e-HtPx,0-P0x+P0(x) （3.3）如果對其做一個虛變化可以的： Py,t=e-ztPy,0-P0y+P0(y) （3.4）我們假設算符z的本征函數為n(y),則其本征函數如下： Zny=Znn(y)

25、 （3.5）我們把Py,0用算符Z的本征函數n(y)展開，有如下。 Py,0=nAnn(y) （3.6）所以方程的解為： Py,t=nAne-ntn(y) （3.7）也就是說我們解的算符Z的本征函數的話就可以解的我們的Fokker-Planck方程，但是這個難度也是非常大的。至此也說明了薛定諤方程和Fokker-Planck的相似點。4.微分方程的數值解法 在我們的科研工程等領域很多地方都要解微分方程。高等數學課程給了一些特殊的微分方程的解法，但是在我們的實際中有大量的微分方程是無法給出解析值的。所以我們只能用數值模擬法給出數值8。微分方程可以分為常微分方程和偏微分方程兩種，下面分別介紹一下兩

26、種微分方程的數值解法。4.1常微分方程數值解法 一些比較簡單的常微分方程根據不同的形式有不同的解法，可分離變量微分方程、其次微分方程、常系數齊次線性微分方程等，這個不同的形式有不同的解法。就如我上面說的在科學計算中解常微分方程一般比較復雜，而且不能用上述的一些解法解，或者說根本就解不出解析解，我們只能通過數值模擬解出數值解。4.1.1Euler法 Euler方法解微分方程比較簡單，其實就是利用導數的定義把數值遞推到我們設置的誤差以內。請看圖3.1.1，再舉一個舉例子來說明數值解的意義。比如我們解微分方： y,=y-2x/y (4.2) y(0)=1 圖3.1.1根據導數定義yi,=yi+1-y

27、ixi+1-xi=yi+1-yih (4.3)變形得到yi+1=yi+hyi, (4.4)上式中令我們的xi+1-xi=h，把h叫做步長。我們假設步長為0.1，則 yi+1=1.1yi-0.2xiyi (4.5)所以我們只要知道一個初值就可以遞推到我們想要的數值解，當然這個數值解是有誤差的。從圖3.1.1我們可以很明顯的看出步長越小越精確，但是計算量變大，在大型的科學計算中，計算量大小和計算精度一樣都是我們要考慮的一個問題。為了更好說明其中的意義我例子中的常微分方程是可以得到解析解的，通過對比我們的解析解和數值解，我們畫出了如下圖4.1.3:圖4.1.3Euler方法收斂比較慢而且精確度不是很

28、高，所以Euler一般方法用于精確度要求不高的計算中4.1.2Runge-Kutta方法 Euler方法雖然比較簡單，但是他誤差大，收斂慢。這里我介紹一種Runge-Kutta。把一個函數展開到K階泰勒級數，如下：Uti+1=Uti+hU'ti+12h2U''ti+hkk!Ukti+ (4.6)泰勒展開是函數上的一個點的各階導數數值近似表示與他臨近的點的函數值，而我們的Runge-Kutta方法是正好相反，他是用相鄰的一些點的函數值來表示一個點的導數值，從而達到解微分方程的。 這種方法可以看作是在上取一些點的斜率，然后再進行加權平均運算產生的新斜率。再按這個斜率從出發(fā)，

29、用歐拉方法以直線代曲線向前遞推，直到我們規(guī)定的精度。這是基本思想9。微分方程的數值解法除這兩個之外還有Talor方法和Gill方法就不介紹了。4.2偏微分方程的數值解法我們的計算機是不能對我們的函數做積分、求導數、求偏導數等計算，就更不用說是解偏微分方程，它能做的只是有限次的加減乘除。所以我們如果要用計算機來解的話用差商代替偏導得到一個差分方程組，通過求解這個方程組的解作為我們要解的偏微分方程的數值解。4.2.1有限差分法偏微分方程的種類很多數值解法也很多，這里介紹有限差分法。它的基本思想是：先把偏微分方程所在連續(xù)區(qū)域劃分為一個個小網格，用網格點來代替偏微分方程中自變量的變化區(qū)域。這樣就把偏微

30、分方程轉化成了代數方程組，叫做差分方程組。如果差分格式有解，則這個解就可以作為偏微分方程的數值解，但是這個解只是一個近似的解。我們還要知道差分和差商是有限形式表達出來的，而微分和微商是用極限的形式表達出來。 如圖3.2.1把連續(xù)的區(qū)域分為若干個格點，圖中的x和t表示步長，我們用自己設定的一個步長把自變量離散化，可以得如果在二維中 xi=x0+ix i=0.1.2.3 (4.11) ti=jt j=0.1.2.3所以ux,y=ux0+ix,nt=u(x0+ih,k),可以簡寫成ui,j式中令x=h,t=k，下文中步長都用h和k表示。所以我們可以用差商代替我們的微商如下 。微分一階向前差商 yx=

31、fx+x-f(x)x微分一階向后差商 yx=fx-x-f(x)x (4.12)微分一階中心差商 yx=fx+x-f(x-x)2x偏微分一階向前差商 (ux)i,j=ui+1,j-ui,jx 或者(uy)i,j=ui,j+1-ui,jy 偏微分一階向后差商 (ux)i,j=ui-1,j-ui,jx 或者(uy)i,j=ui,j-1-ui,jy 偏微分一階中心差商 (ux)i,j=ui+1,j-ui+1,j2x 或者(ux)i,j=ui,j+1-ui,j2x偏微分混合二階差商 (uxy)i,j=ui+1,j+1-ui+1,j-1+ui-1,j-1-ui-1,j+14xy偏微分二階差商 (2ux2)

32、i,j=ui+1,j-2ui,j+ui-1,j(x)2在解偏微分方程時，用差分去代替偏導數，建立差分方程組，解出差分方程組就得到了各個節(jié)點ui,j的數值，也就近視得到了我們的數值解。但是不同的邊界值會有不同的處理方式，例如舉個和我們一維Fokker-Planck方程類似的例子來說明我們的有限差分法的思想。如下。 ut=a2u2x2 , 0< l,t>0. (4.13) ux=0=0,ux=l=0. t>0 ux=0=sinxl, 0< x<l第一步.用差商代替微商如下： ui,j-ui-1,jt=a2 ui,j+1,-2ui,j+ui,j-1(x)2 (4.14)

33、第二步.構建差分方程組1+2r.ui,j-r.ui,j+1-rui,j-1=ui-1,j，其中r=a2t(x)2. (4.15)第三步，用矩陣表示差分方程組 1+2r-r000-r1+2r-r0000-r1+2r-r0000-r1+2r.ui,1ui,2ui,j-2ui,j-1=ui-1,1+rui,0ui-1,2ui-1,j-2ui-1,j-1+rui,j第四步，編程解方程通過MALTAB運算可以得到如下數據和圖像 圖4.2 有限差分法解處的熱傳導方程三維圖圖4.3數值解與解析解的比較4.2有限元法將連續(xù)的區(qū)域離散化成為小單元組合，這些小單元組合是相互聯系的。自變量函數通常用一個近似的函數去

34、代替，而近似函數一般由函數和其導數的數值做插值得到插值函數來表達。這是有限元法的基本思路10。運用步驟 步驟1：剖分: 這個步驟是把求解區(qū)域按照我們實際的需要分割成許多個小單元。小單元的形狀可以是任意的。但是在處理二維問題通常采用的是三角形單元或者矩形單元。對于三維空間通常采用用四面體等。我們稱這樣的小單元的頂點為為節(jié)點。 步驟2：單元分析: 對小單元進行分片插值運算。未知函數用該網格點上的函數值展開步驟3：求我們求解區(qū)域的近似變分方程 。對這個有限的小單元進行分片插值，從而得到偏微分方程的近似函數。5.基于等離子體的Fokker-Planck方程5.1等離子體的動力論方程 目前等離子體是實現

35、核聚變最好的材料。等離子體是我們把布朗運動放到我們的等離子體模型中去，現在我們把布朗運動放到等離子體中去考慮，等離子體是一個多粒子體系，為了更好研究，我們會把它放在一個空間（三個坐標和三個分速度的六維空間，即每個粒子在這個相空間中用一個點去表示.所以我們定義一個粒子分布函數f(r,v,t)，表示在某個時刻，在r處，速度為v,的粒子的個數，那么far,va,t表示某種成分的分布函數，表示在某個時刻，在r處，速度為v的，a成分粒子的個數。那么在單位空間元dxdydzdvxdvydvz中，a成分的粒子個數是:dNa=fa(r,va,t)drdva （5.1）其中r和va位置矢量和速度矢量。 現在研究

36、等離子體碰撞過程，在研究Fokker-Planck方程之前，首先要做如下假設：（1）碰撞是彈性的而且是對心碰撞；（2）在碰撞過程中，粒子間狀態(tài)的改變的概率和過去無關，只和兩個狀態(tài)有關。（3）粒子的碰撞效應可以看作是多重小角度碰撞，也就是很多二體碰撞效應的線性疊加。實際上，等離子體中這種經過多次小角度散射累積的碰撞效應在托克馬克占主導地，那么在短暫的時間內因為碰撞而引起的分布函數far,va,t的變化率可以表示為： (ft)c=fx,v,t+t-f(x,v,t)t （5.2）分布函數的變化是由這段時間內發(fā)生的速度改變v引起的積分效應產生的5,因此， f(x,v,t+t)=fx,v-v,t(v-v

37、,v)d(v) (5.3) 式中(v,v)是速度為v的粒子在t時間內發(fā)生速度改變v的概率8。式中的被積函數可以展開成泰勒級數:f(x,v-v,t)v-v,v=f(x,v,t)v,v-i(f)vi+12i,j2vivj(f)vivj (5.4)利用歸一原理有; (v,v)d(v)=1 (5.5)把（5.5）帶入（5.4）有如下fx,v,t+t-fx,v,t=-ivi(fx,v,tv,vvidvi+12i,j2vivjf(x,v,t)v,vvivjd(v) (5.6)我們定義Fokker-Planck系數：<vi>=vid(v)/t (5.7) <vivj>=vivjd(v

38、)/t (5.8)其中<vi>被稱為為動力學摩擦系數，<vivj>被稱為為擴散系數9。如果將（4.5）式代入（4.1）式便得到Fokker-Planck碰撞項：（ft)c=-ivi<vi>f+12i,j2vivj(<vivj>f) (5.9)把碰撞項帶入動力論方程為：fat+vfr+Fmfv=（ft)c (5.10)所以(5.10)是在等離子體中的Fokker-Planck方程 在我們的托克馬克中等離子體受到了洛倫茲力即： F=qE+qv×B (5.11)5.2目前等離子體中Fokker-Planck方程的解的情況目前，Fokker-P

39、lanck方程已經成為研究非平衡狀態(tài)下等離子體分布函數f(r,v,t)的主導方程11。只要解出了等離子體中粒子的分布函數，我們就可以更好的研究等離子體在任意時刻位置粒子的信息，為控制等離子體提供很好的參數依據。 等離子體的分布函數在相空間的時間演化要考慮粒子遷移和粒子碰撞兩種因素。而且粒子的遷移碰撞是相互關聯的。Fokker-Planck方程是從玻爾茲曼方程演化的結果, 主要是考慮了粒子遷移和粒子間的碰撞。等離子體粒子內多體小角度散射而引起的長程Coulomb 作用是等離子體間作用的主要形式。如果把等離子體的塊Debye屏蔽作用考慮進去的話，Coulomb作用屏蔽后可以長程的Coulomb作用

40、看成短程作用.在等離子體中的 Fokker-Planck方程是一個非線性微分方程, 然而在6N維的相空間里方程幾乎得不到比較嚴格的解析解，即使有也是通過簡化條件得到的一些不是很嚴格的解析解。由于這些解精確度不高這些解析解有時候對我們的實際科學應用幫組并不是很大，更多情況下我們會用模擬的思想去求的精確度更高的數值解。Fokker-Planck方程中碰撞項與分子間相互作用的形式有密切的相關性，我們一般處理的方式是將方程線性化。當然，這種簡化方法僅僅局限于粒子勢能遠遠小于分子熱運動動能的情況。當系統狀態(tài)處于近平衡態(tài)時,將非平衡狀態(tài)的密度函數用局域熱平衡的分布函數函數fMBr,v=Ce(k-p)/KT

41、近似12當然我們說的上面等離子體是指沒有約束下的等離子，當我們把等離子體放到特定的裝置時，研究Fokker-Planck就會不一樣了。在我們的核聚變裝置-托克馬克中，等離子體被磁場約束在裝置中，這種方法叫做約束性受控核聚變。它的一個關鍵的一個問題是，利用磁場把一定密度等離子體約束在托克馬克中裝置中達到平衡足夠長的時間足夠長的時間，從而達到勞遜條件，這樣的條件下才有可能實現能量的增益。其中等離子體平衡是指磁壓強和等離子體的熱壓強平衡13。在我們的等離子體裝置托克馬克中，它開始是冷等離子體，不能發(fā)生反應，要加熱至能發(fā)生核聚變反應，這個過程中就涉及到一個等離子體加熱的問題。一般在等離子體的加熱有三種

42、方法：歐姆加熱、射頻波加熱、中性束注入加熱14。歐姆加熱顧名思義就是利用歐姆定律把電能轉化為熱量對托克馬克中的等離子體經行加熱。但是這樣加熱的溫度不夠高，不能達到等離子體的點火溫度，所以要進行二次加熱。射頻波加熱就是利用射頻波對等離子體加熱，他的原理是波波動性與裝置中的等離子體產生共振，讓等離子體自身發(fā)熱從而達到聚變點火。目前有很多這方面的文章比如15,16,17。射頻波的有波長有長有短，不同頻率波有不同的優(yōu)劣，所以要根據具體的情況去選擇。中性束注入加熱是指把中性的分子或者原子注入到等離子體中去達到加熱目的。他的原理是中性的分子或者原子與裝置中的等離子體發(fā)生電荷交換，從而是注入的中性束粒子帶電

43、荷，所以它和等離子體有了Coulomb碰撞，在這個過程得到了慢化，有動能轉化為熱能實現了加熱。注入的中性束粒子能量不同加熱的效果也不一樣。有文章研究了高能注入粒子的加熱。比如18,19。在不同的模型下等離子體的分布函數也是不一樣的，也有人專門去研究在不同的溫度下電子的分布函數。比如20。 我們用計算機模擬解Fokker-Planck方程也是利用了有限元的思想21。下面我們來解在沒有裝置約束下的等離子體中的Fokker-Planck方程，求出其粒子分布函數。首先, 把邊界條件簡化；再將空間離散化為ri 和ti 。在離散化后的ri 和ti小體元內碰撞輸運過程中等離子體的分布函數f(x,v,t)沒有

44、顯著的變化，在體元riti局域內，仍具有宏觀統計性。其次, 在給定初值后, 在計算機模擬以下兩個過程:（1）在體元riti局域內, 每個粒子以一個v速度運動, 到達新的體元粒子經過對稱線對稱面或邊界, 重新給所有粒子編號.在ri和ti體元內碰撞僅發(fā)生在兩體間,我們假設碰撞的時間間隔為tc，隨著碰撞時間的積累當tc積累到ti時,可以認為在riti這個體元內所有粒子間的碰撞都完成了。（2）計算所有的ti時間內，所有粒子的碰撞和轉移，這樣就完成了我們的計算。這個結果就可以作為我們的Fokker-Planck方程的數值解。6 .等離子體中的一維Fokker-Planck方程的數值模擬6.1 初始設置 我們這里研究的等離子體是在一種理想情況下的，沒有裝置約束的一種情況，所以我們可以認為它的初始情況就是達到熱平衡的一種分布，就是麥克分布：fv=4(m2kT)32e-mv22kTv2 (6.1) 我們可以做一個概率密度的變換 fvdv=F(X)dx (6.2)所以可以的到 FX=(4)-12x2e-x2 (6.3)把時間考慮進去的話： ft=e-(t-0.5)2dv(2)32 (6.4)在時間步長我選擇0.1s,計算的 6.2 程序代碼 本文的程序代碼是用FORTRAN程序編譯器編譯的.6.3圖形仿真 圖6.1 初始分布函