函數(shù)、極限、連續(xù)(13)課件

1、12一、什么是高等數(shù)學(xué)一、什么是高等數(shù)學(xué) ?初等數(shù)學(xué) 研究對象為常量常量, 以靜止觀點(diǎn)研究問題.高等數(shù)學(xué) 研究對象為變量變量, 運(yùn)動運(yùn)動和辯證法辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)變數(shù).有了變數(shù) , 運(yùn)動運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù)，辯證法辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué) ,有了變數(shù) , 微分和積分微分和積分也就立刻成為必要的了,而它們也就立刻產(chǎn)生. 恩格斯恩格斯3哪些主要的科學(xué)問題呢?有四種主要類型的問題.Archimedes4 第一類問題 已知物體移動的距離表為時(shí)間的函數(shù)的公式，求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度；反過來，已知物體的加速度表為時(shí)間的函數(shù)的公式，求速度和距離。5 困難在于：十七世紀(jì)所

2、涉及的速度和加速度每時(shí)每刻都在變化。例如，計(jì)算瞬時(shí)速度，就不能象計(jì)算平均速度那樣，用運(yùn)動的時(shí)間去除移動的距離，因?yàn)樵诮o定的瞬刻，移動的距離和所用的時(shí)間都是 0，而 0 / 0 是無意義的。但根據(jù)物理學(xué)，每個(gè)運(yùn)動的物體在它運(yùn)動的每一時(shí)刻必有速度，是不容懷疑的。 第一類問題6 求曲線的切線。 這個(gè)問題的重要性來源于好幾個(gè)方面：純幾何問題、光學(xué)中研究光線通過透鏡的通道問題、運(yùn)動物體在它的軌跡上任意一點(diǎn)處的運(yùn)動方向問題等。 第二類問題7 第二類問題 困難在于：曲線的“切線”的定義本身就是一個(gè)沒有解決的問題。 古希臘人把圓錐曲線的切線定義為“與曲線只接觸于一點(diǎn)而且位于曲線的一邊的直線”。這個(gè)定義對于十七

3、世紀(jì)所用的較復(fù)雜的曲線已經(jīng)不適應(yīng)了。8 第三類問題 求函數(shù)的最大最小值問題。 十七世紀(jì)初期，伽利略斷定，在真空中以 角發(fā)射炮彈時(shí)，射程最大。 研究行星運(yùn)動也涉及最大最小值問題。459 困難在于：原有的初等計(jì)算方法已不適于解決研究中出現(xiàn)的問題。但新的方法尚無眉目。 第三類問題10 第四類問題 求曲線的長度、曲線所圍成的面積、曲面所圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一個(gè)物體上的引力。11 困難在于：古希臘人用窮竭法求出了一些面積和體積，盡管他們只是對于比較簡單的面積和體積應(yīng)用了這個(gè)方法，但也必須添加許多技巧，因?yàn)檫@個(gè)方法缺乏一般性，而且經(jīng)常得不到數(shù)值的解答。 窮竭法先是被逐步修改

4、，后來由微積分的創(chuàng)立而被根本修改了。 第四類問題121. 分析基礎(chǔ): 函數(shù) , 極限, 連續(xù) 2. 微積分學(xué): 一元微積分3. 向量代數(shù)與空間解析幾何4. 無窮級數(shù)5. 常微分方程多元微積分131. 認(rèn)識高等數(shù)學(xué)的重要性, 培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣.2. 學(xué)數(shù)學(xué)最好的方式是做數(shù)學(xué).聰明在于學(xué)習(xí)聰明在于學(xué)習(xí) , 天才在于積累天才在于積累 .學(xué)而優(yōu)則用學(xué)而優(yōu)則用 , 學(xué)而優(yōu)則創(chuàng)學(xué)而優(yōu)則創(chuàng) .由薄到厚由薄到厚 , 由厚到薄由厚到薄 .馬克思馬克思 恩格斯恩格斯要辨證而又唯物地了解自然 ,就必須熟悉數(shù)學(xué).一門科學(xué), 只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí),才能達(dá)到真正完善的地步 .華羅庚華羅庚143.教學(xué)計(jì)劃教學(xué)計(jì)劃作業(yè)

5、要求作業(yè)要求(平時(shí)成績平時(shí)成績)3.1.1 教學(xué)計(jì)劃教學(xué)計(jì)劃3.1.2 基本教學(xué)計(jì)劃基本教學(xué)計(jì)劃 共共45學(xué)時(shí)學(xué)時(shí) ( 3學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)/周周) 317周：周：153.2.1 平時(shí)成績平時(shí)成績 總評成績總評成績=X平時(shí)成績平時(shí)成績+Y期末（考試）成績期末（考試）成績 X+Y=1 （0.1X0.3）3.2.2 作業(yè)要求作業(yè)要求(作業(yè)情況將作為本課程成績的組成部分作業(yè)情況將作為本課程成績的組成部分) 認(rèn)真完成作業(yè)，教師隨機(jī)抽查評分認(rèn)真完成作業(yè)，教師隨機(jī)抽查評分. 具體要求具體要求: 寫作業(yè)本上寫作業(yè)本上; 格式規(guī)范、字跡清晰格式規(guī)范、字跡清晰;3.2作業(yè)要求作業(yè)要求(平時(shí)成績平時(shí)成績)163.2.3 考

6、勤要求考勤要求 (考勤情況將作為本課程成績的組成部分考勤情況將作為本課程成績的組成部分) 不遲到、不早退、不曠課。不遲到、不早退、不曠課。(2)請班長將班級名單于下周上課時(shí)交任課教師請班長將班級名單于下周上課時(shí)交任課教師 ,),(Rxbxaxba,Rxbxaxba,),(RxaxxaU,0),(RxaxxaUo),()(DxxfyyDf.)0(, 1)0(,0)0(, 1)sgn(xxxxxyo-11.)(, 0)(, 1)(nTtnTttyxoy) 1(1) 10)(2xxxxxf（xyo30且0)0(f,)()(1xcxfbxfa,ba 證明)(xf證證: 令,1xt 則,1tx t ct

7、fbfat)()(1由xcxfbxfa)()(1xcxfbfax)()(1消去),(1xf得)0()(22xxaxbabcxf),()(xfxf顯然, 0)0(f又)(xf故0 x時(shí)其中a, b, c 為常數(shù), 且為奇函數(shù) .為奇函數(shù) .1. 設(shè)31),(, )(xxfy的圖形與,ax 均對稱, 求證)(xfy 是周期函數(shù).)(babx證證: 由 )(xaf)(xf的對稱性知),(xaf )(xbf)(xbf于是)(xf)(axaf)(axaf)2(xaf)2(bxabf)2(bxabf)(2abxf故)(xf是周期函數(shù) , 周期為)(2abTy = lnu ， u = tanx 。y = u

8、8 ，u = sinv ， v = 8x+sinx 。41符號函數(shù)xysgn當(dāng) x 0,1當(dāng) x = 0,0當(dāng) x N 時(shí), 總有記作此時(shí)也稱數(shù)列收斂 , 否則稱數(shù)列發(fā)散 .幾何解釋 :aaa)(axan)(Nn 即),(axn)(Nn axnnlim或)(naxn1Nx2Nxaxn則稱該數(shù)列nx的極限為 a ,) 1(nnxnn證明數(shù)列nx的極限為1. 證證: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 1N則當(dāng)Nn 時(shí), 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn49,) 1() 1(2nxnn證明.0limnnx證證:0nx0) 1() 1(

9、2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11N則當(dāng)Nn 時(shí), 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2) 1(10nnx. 11N 與 有關(guān), 但不唯一.不一定取最小的 N .說明說明: 取11N5023baab22abnabax證證: 用反證法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax從而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使當(dāng) n N2 時(shí), 有2banx1. 收斂數(shù)列的極限唯一收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng) n N1 時(shí)

10、, 2ba2ab2ab假設(shè)22abnabbxnbax223ab,2abnbx從而2banx矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng) n N 時(shí), ,max21NNN 取故假設(shè)不真 !nx滿足的不等式51說明說明: 此性質(zhì)反過來不一定成立 . 例如,1)1(n雖有界但不收斂 .數(shù)列Axfx)(lim)()(xAxfAxfx)(lim54XXAAoxy)(xfy A定義定義 . 設(shè)函數(shù)xxf當(dāng))(大于某一正數(shù)時(shí)有定義,若,0X,)(,AxfXx有時(shí)當(dāng)則稱常數(shù)時(shí)的極限,Axfx)(lim)()(xAxf當(dāng)或幾何解釋幾何解釋:AxfA)(XxXx或記作直線 y = A 為曲線)(xfy 的水平漸近線,0

11、xxf當(dāng))(A 為函數(shù)55x1x11oyxxxgxxf11)(,1)(直線 y = A 仍是曲線 y = f (x) 的漸近線 .Axfx)(lim,0,0X當(dāng)Xx 時(shí), 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X當(dāng)Xx時(shí), 有 Axf)(幾何意義幾何意義 :例如，都有水平漸近線;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平漸近線. 1y又如，oxyx21x21點(diǎn)點(diǎn)附近有定義附近有定義x0Axfxx)(lim0)()(0 xxAxf57)(xf在點(diǎn)0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,0,0當(dāng)00 xx時(shí), 有 Axf)(則稱常數(shù) A 為函數(shù))(xf當(dāng)0 xx 時(shí)的極限,Axfxx)(lim0或)()(

12、0 xxAxf當(dāng)即,0,0當(dāng)),(0 xx時(shí), 有若記作 Axf)(Axfxx)(lim0幾何解釋幾何解釋:0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 極限存在函數(shù)局部有界這表明: 59211lim21xxx證證:Axf)(2112xx21 x故,0取,當(dāng)10 x時(shí) , 必有2112xx因此211lim21xxx1 xxx1limxxarctanlimxxarctanlim022xxsinlim)1 (lim2xxxxsinlim21)1 (lim22xx5xx1lim0 xx1sinlim0 x1sin Axfxfxx)(lim)0(00)()(0 xxAxfAxfxfxx)(lim)0(00)

13、()(0 xxAxf0, 10, 00, 1sgnxxxxo x y1-1 )00(f)(lim0 xfx1lim0 x1 )00(f)(lim0 xfx1) 1(lim0 xAxfxx)(lim0Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00Axfxf)0(0(00）650,10,00, 1)(xxxxxxf討論 0 x時(shí))(xf的極限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理 3 .因?yàn)?(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1顯然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .)2(2)2(2)2(10

14、)(2xaxxaxxxf)(lim)02(2xffx)(lim) 02(2xffx)2(lim22axxa24xx10lim220,)(lim,)(limBxgAxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理 . 若,)(lim,)(limBxgAxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA70.4532lim21xxxx解解: x = 1 時(shí)3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因7

15、1.125934lim22xxxxx解解: x時(shí),分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x則54分母“ 抓大頭抓大頭”原式72為非負(fù)常數(shù) )nmba,0(00mn 當(dāng)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 當(dāng)mn 當(dāng)xxx39lim0)39(lim0 xxxx391lim0 xx61xxx1lim2xxxx211lim= -142lim222xxxx)2)(2()1)(2(lim2xxxxx43741.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 為什么 ?答答: 不存在 . 否則由)()()()(xf

16、xgxfxg利用極限四則運(yùn)算法則可知)(limxg存在 , 與已知條件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解: 原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.問75. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令,1xt tttt1111lim2021則原式 =22011limttt111lim20tt0t76.0)1(lim33xaxx解解 : 令,1xt 則tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故1a因此1sinlim0 xxx781sincosxxx圓扇形AOB的面積1si

17、nlim. 10 xxx證證: 當(dāng)即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時(shí)，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有AOB 的面積AOD的面積DCBAx1oxxxcos1sin1故有79當(dāng)20 x時(shí)xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xxxxxtanlimttttx)tan(lim0tttttsinlimcos1lim00= -1ttttanlim0nnn21sin2limnnn2121sinlim=1xxx3sinlim0 xxx33sin3lim0 xxx33sinlim30=381.t

18、anlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 則,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1xxxxxsin)sin(lim02sin)2cos(21lim0 xxxxx22sin)2cos(lim0 xxxxx22sinlim)2cos(lim00 xxxxxxxcos83nnnRcossinlim2Rn.cos1lim20 xxx解解: 原式 =2220sin2limxxx212121例例. 已知圓內(nèi)接正 n 邊形面

19、積為證明: .lim2RAnn證證: nnAlimnnnnRnAcossin22R說明說明: 計(jì)算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx20sinlimx2x2x21exxx)11 (limexxx10)1 (lim85exxx)1(lim1證證: 當(dāng)0 x時(shí), 設(shè), 1nxn則xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim186當(dāng)x, ) 1( tx則,t從而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1

20、 (limttt)1 ()1(lim11tttte故exxx)1 (lim1說明說明: 此極限也可寫為ezzz1)1 (lim0時(shí), 令31(limxxxx）3)1(lim)1(limxxxxxxxxxx)11 (lime1xxx)21 (lim22)21 (limxxx2 e1)11 (limxxxxxx)211 (lim212)211(limxxx21e88limx.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin189例例. 求.1lim0 xaxx 解解: 令,1 xat則,

21、 )1(log txa因此原式)1(loglim0 ttat 1lim0 t)1(log1 ttaealog1 且0,0tx有有tatt10)1(loglim1 90lim0 x.)(coslim2csc0 xxx 解解: 原式 =xxx2sin1)1(cos1lim0 xxx2sin1)2sin21(lim2 )2sin21(2x 21 e2cos212x 2sin212x 0)(lim0 xfxx, 0) 1(lim1xx, 01limxx, 03lim20 xxx,3lim20 xxx.313sinlim0 xxx95其中 為0 xx 時(shí)的無窮小量 . Axfxx)(lim0 Axf)(

22、,證證:Axfxx)(lim0,0,0當(dāng)00 xx時(shí),有 Axf)(Axf)(0lim0 xx對自變量的其它變化過程類似可證 .0)()(lim)1(0 xgxfxx)()(lim)2(0 xgxfxx0)()(lim)3(0kxgxfxx98)(o0 x時(shí)3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x時(shí)xcos1是關(guān)于 x 的二階無窮小,xcos1221x且03lim20 xxx,3lim20 xxx即, 639lim23xxx2211xax),0(1122xxax22011limxaxx) 11(11l

23、im2220axxaxx2a, 1),()(),()(2121xgxgxfxf)()(lim22xfxg)()(lim)()(lim2211xfxgxfxg.3sinlim30 xxxx0 xxxxxxxxx3lim3sinlim303031lim20 xx.31102.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例1. 求解解: 原式 231x221x.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0時(shí)當(dāng) x1)1 (312 x231x1cos x221x0limx原式32,)(lim0 xfxx0lim0yxx

24、0f(x0)x0+xf(x0+x)yf(x)xxxysin)sin(2sin)2cos(2xxxyx0lim2sinlim)2cos(lim200 xxxxx, 0)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx)lim()()(lim000 xfxfxfxxxx)()(lim)(lim)(0000 xfxfxfxxfxxxx連續(xù)在1121) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去間斷點(diǎn) .1,1,)(21xxxxfyxoy2110,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點(diǎn) .,1sin)(xxfyxxgytan)( x=0

25、=0為振蕩間斷點(diǎn)為振蕩間斷點(diǎn)為無窮間斷點(diǎn)為無窮間斷點(diǎn)xyxy1sin0 xytan2xyo2x1141. 求的間斷點(diǎn), 并判別其類型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 為第一類可去間斷點(diǎn))(lim1xfx x = 1 為第二類無窮間斷點(diǎn), 1)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx x = 0 為第一類跳躍間斷點(diǎn)xexyln116xy1sin是由連續(xù)函數(shù)鏈),(,sinuuy,1xu *Rx因此xy1sin在*Rx上連續(xù) .復(fù)合而成 ,xyoxy1sin117設(shè))()(xgxf與均在,ba上連續(xù),

26、 證明函數(shù))(, )(max)(xgxfx 也在,ba上連續(xù).證證:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則 , 可知)(, )(xx也在,ba上連續(xù) .)(, )(min)(xgxfx 119.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat則, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln說明說明: 當(dāng), ea 時(shí), 有0 x)1ln(x1xexx120.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e說明說明: 若,0)(lim0 xuxx則有)()(