2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章函數(shù)的概念與性質(zhì)第9節(jié)函數(shù)的應(yīng)用學(xué)案含解析新人教B版

1、高考復(fù)習(xí)資料第9節(jié)函數(shù)的應(yīng)用一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1常見的函數(shù)模型(1)正比例函數(shù)模型：f(x)kx(k為常數(shù)，k0)；(2)反比例函數(shù)模型：f(x)(k為常數(shù)，k0)；(3)一次函數(shù)模型：f(x)kxb(k，b為常數(shù)，k0)；(4)二次函數(shù)模型：f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)；(5)指數(shù)函數(shù)模型：f(x)abxc(a，b，c為常數(shù)，a0，b>0，b1)；(6)對數(shù)函數(shù)模型：f(x)mlogaxn(m，n，a為常數(shù)，m0，a>0，a1)；(7)冪函數(shù)模型：f(x)axnb(a，b，n為常數(shù)，a0，n1)；(8)“對勾”函數(shù)模型：yx(a&g

2、t;0)(1)“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；指數(shù)增長先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；對數(shù)增長先快后慢，其增長速度緩慢(2)充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵(3)易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗證數(shù)學(xué)結(jié)果的合理性(4)對于函數(shù)f(x)x(a>0)，當(dāng)x>0時，在x處取得最小值2；當(dāng)x<0時，在x處取得最大值2.2指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù) 性質(zhì)yax(a>1)ylogax(a>1)yxn(n>0)在(0，)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相

3、對平穩(wěn)圖像的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同二、基本技能·思想·活動體驗1判斷下列說法的正誤，對的打“”，錯的打“×”(1)冪函數(shù)增長比直線增長更快( × )(2)不存在x0，使ax0<x<logax0.( × )(3)在(0，)上，隨著x的增大，yax(a>1)的增長速度會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于yxa(a>1)的增長速度( )(4)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)ya·bxc(a0，b>0，b1)增長速度越來越快的形象比喻( × )2已知f(x)x2，g(x

4、)2x，h(x)log2x，當(dāng)x(4，)時，對三個函數(shù)的增長速度進(jìn)行比較，下列選項中正確的是()af(x)g(x)h(x) bg(x)f(x)h(x)cg(x)h(x)f(x) df(x)h(x)g(x)b題目解析：當(dāng)x(4，)時，易知增長速度由大到小依次為g(x)f(x)h(x)故選b.3在某個物理實驗中，測量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00則對x，y最適合的擬合函數(shù)是()ay2x byx21cy2x2 dylog2xd題目解析：根據(jù)x0.50，y0.99，代入計算，可以排除a；根據(jù)x2.01，y0.98，代入計算，可以

5、排除b，c；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)ylog2x，可知滿足題意故選d.4生產(chǎn)一定數(shù)量商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為c(x)x22x20(萬元)，一萬件商品的售價是20萬元為獲取最大利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為()a36萬件 b18萬件c22萬件 d9萬件b題目解析：設(shè)利潤為l(x)，則l(x)20xc(x)(x18)2142.當(dāng)x18時，l(x)有最大值5某商品價格前兩年每年遞增20%，后兩年每年遞減20%，則四年后的價格與原來價格比較，變化的情況是()a減少7.84% b增加7.84%c減少9.5% d不增不減a題目解析：設(shè)該商品原來價格為a.依題意得

6、，a(10.2)2(10.2)2a×1.22×0.820.921 6a，所以(0.921 61)a0.078 4a，所以四年后的價格與原來價格比較，減少7.84%.考點(diǎn)1利用函數(shù)圖像刻畫實際問題基礎(chǔ)性1有一個盛水的容器，由懸在它上空的一條水管均勻地注水，最后把容器注滿，在注水過程中時間t與水面高度y之間的關(guān)系如圖所示若圖中pq為一線段，則與之對應(yīng)的容器的形狀是()b題目解析：由函數(shù)圖像可判斷出該容器的形狀不規(guī)則，又函數(shù)圖像的變化先慢后快，所以容器下邊粗，上邊細(xì)再由pq為線段，知這一段是均勻變化的，所以容器上端必是直的一段，排除a，c，d.故選b.2設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a

7、>0)，小王騎自行車勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時間x的函數(shù)圖像為()d題目解析：y為“小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程”而不是位移，故排除a，c.又因為小王在乙地休息10分鐘，排除b.故選d.3(多選題)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1 l汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況下列敘述中正確的是()a消耗1 l汽油，乙車最多可行駛5 kmb以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多c甲車以80 km/h的速度行駛1 h，消耗8 l汽油d某

8、城市機(jī)動車最高限速80 km/h，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油cd題目解析：由題圖可知，當(dāng)乙車速度大于40 km/h時，乙車每消耗1升汽油，行駛里程都超過5 km，a錯；由題意可知，以相同速度行駛相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三輛車中甲車耗油最少，b錯；甲車以80 km/h的速度行駛時，燃油效率為10 km/l，則行駛1小時，消耗了汽油80×1÷108(l)，c正確；速度在80 km/h以下時，丙車比乙車燃油率更高，所以更省油，d正確判斷實際問題中兩變量變化的過程的方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖像(2)驗

9、證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則根據(jù)實際問題中兩變量的變化特點(diǎn)，結(jié)合圖像的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的參考答案考點(diǎn)2已知函數(shù)模型解決實際問題基礎(chǔ)性某市家庭煤氣的使用量x(單位：m3)和煤氣費(fèi)f(x)(單位：元)滿足關(guān)系f(x)已知某家庭2020年前三個月的煤氣費(fèi)如表：月份用氣量煤氣費(fèi)一月份4 m34元二月份25 m314元三月份35 m319元若四月份該家庭使用了20 m3的煤氣，則其煤氣費(fèi)為()a11.5元b11元c10.5元 d10元a題目解析：根據(jù)題意可知f(4)c4，f(25)cb(25a)14，f(35)cb(35a)19，解得a5，b

10、，c4，所以f(x)所以f(20)4×(205)11.5.已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)注點(diǎn)(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)(2)根據(jù)已知條件利用待定系數(shù)法，確定函數(shù)模型中的待定系數(shù)(3)利用函數(shù)模型求解實際問題1某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進(jìn)一批商品，若該商品零售價定為p元，銷售量為q件，銷售量q(單位：件)與零售價p(單位：元)有如下關(guān)系：q8 300170pp2，則最大毛利潤為(毛利潤銷售收入進(jìn)貨支出)()a30元 b60元 c28 000元 d23 000元d題目解析： 設(shè)毛利潤為l(p)元，則由題意知l(p)pq20qq(p20)(8 300170pp2)

11、(p20)p3150p211 700p166 000，所以l(p)3p2300p11 700. 令l(p)0，解得p30或p130(舍去)當(dāng)p(0,30)時，l(p)>0；當(dāng)p(30，)時，l(p)<0.故l(p)在p30時取得極大值，即最大值，且最大值為l(30)23 000.2加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分)滿足函數(shù)關(guān)系pat2btc(a，b，c是常數(shù))如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為_分鐘3.75題目解析：根據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3，0.7)，

12、(4，0.8)，(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立得方程組解得所以p0.2t21.5t222.所以，當(dāng)t3.75時，p取得最大值，即最佳加工時間為3.75分鐘考點(diǎn)3構(gòu)造函數(shù)模型解決實際問題應(yīng)用性考向1二次函數(shù)、分段函數(shù)模型(2020·唐山一中模擬)“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn)研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數(shù)當(dāng)x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當(dāng)4<x20時，v是x的一次函數(shù)；當(dāng)x達(dá)到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年(1)當(dāng)0&l

13、t;x20時，求函數(shù)v關(guān)于x的函數(shù)題目解析式(2)當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時，魚的年生長量(單位：千克/立方米)可以達(dá)到最大？求出最大值解：(1)由題意得，當(dāng)0<x4時，v2.當(dāng)4<x20時，設(shè)vaxb(a0)，由已知得解得所以vx.故函數(shù)v(2)設(shè)年生長量為f(x)千克/立方米，依題意，由(1)得f(x)當(dāng)0<x4時，f(x)單調(diào)遞增，故f(x)maxf(4)4×28；當(dāng)4<x20時，f(x)x2x(x220x)(x10)2，f(x)maxf(10)12.5.所以，當(dāng)0<x20時，f(x)的最大值為12.5.故當(dāng)養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達(dá)

14、到最大，最大值為12.5千克/立方米解決分段函數(shù)模型問題的注意點(diǎn)(1)實際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解(2)構(gòu)造分段函數(shù)模型時，要力求準(zhǔn)確、簡捷，做到分段合理、不重不漏(3)分段函數(shù)的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者. 考向2指數(shù)(對數(shù))函數(shù)模型(1)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入若該公司2020年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.

15、30.11，lg 20.30)a2022年 b2023年c2024年 d2025年c題目解析：設(shè)第n(nn*)年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元根據(jù)題意得130(112%)n1200，則lg130(112%)n1lg 200，所以lg 130(n1)lg 1.12lg 22，所以2lg 1.3(n1)lg 1.12lg 22，所以0.11(n1)×0.050.30，解得n.又因為nn*，所以n5，所以該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是2024年故選c.(2)(2020·新高考全國卷)基本再生數(shù)r0與世代間隔t是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)基本再生數(shù)指

16、一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型i(t)ert描述累計感染病例數(shù)i(t)隨時間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與r0，t近似滿足r0 1rt.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出r03.28，t6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln 20.69)()a1.2天 b1.8天 c2.5天 d3.5天b題目解析：因為r03.28，t6，r01rt，所以r0.38，所以i(t)erte0.38t.設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為t1天，則e0.38(tt1)2e0.38t，

17、所以e0.38t12，所以0.38t1ln 2，所以t11.8(天)故選b. 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用技巧(1)要先學(xué)會合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型(2)在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)題目解析式，再借助函數(shù)的圖像求解最值問題1某景區(qū)提供自行車出租，該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元根據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x(單位：元)只取整數(shù)，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y(單位：元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后得到的部分)(1)求函數(shù)yf(x)的題目解析式；(2)試問當(dāng)每輛自行車的日租金為多少元時，才能使一日的凈收入最多？解：(1)當(dāng)x6時，y50x115.令50x1150，解得x2.3.因為x為整數(shù)，所以3x6，xz.當(dāng)x6時，y503(x6)x1153x268x115.令3x268x1150，有3x268x1150，結(jié)合x為整數(shù)得6x20，xz.f(x)(2)對于y50x115(3x6，xz)，顯然當(dāng)x6時，ymax185；對于y