極限的運(yùn)算法則(14)課件

1、2.3 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則1. 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則 2. 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則 一、一、 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則,)(lim,)(limBxgAxf則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理 2.3.1 若若1 1、)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA2 2、)()(limxgxf)(lim)(limxgxf)0(時(shí)BBA3 3、定理定理2.3.12.3.1中的中的1 1、2 2、可以推廣到有限個(gè)函數(shù)、可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的的)()()(xhxgxflim),()()(xlimhxlim

2、gxlimf)()()(xhxgxflim),()()(xlimhxlimgxlimf（1 1）（2 2）推論推論 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 為常數(shù)為常數(shù) )推論推論 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 為正整數(shù)為正整數(shù) )情形，如：情形，如：二、二、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理定理2.3.2 設(shè),)(lim0axxx且 x 滿(mǎn)足100 xx時(shí),)(ax 又,)(limAufau則有 )(lim0 xfxxAufau)(lim證證: Aufau)(lim,0,0當(dāng)au0時(shí), 有 Auf)(axxx)(lim0,0,02當(dāng)200 xx時(shí), 有

3、ax)(對(duì)上述取,min21則當(dāng)00 xx時(shí)ax )(au故0Axf)(Auf)(,因此式成立.說(shuō)明說(shuō)明:若定理若定理2.3.2中中,)(lim0 xxx則類(lèi)似可得 )(lim0 xfxxAufu)(lim例例2.3.1 .12lim1）（求求 xx解解）（12lim1 xx1lim2lim11 xxx1limlim211 xxx. 1112 例例2.3.2 253lim341 xxxx求求解解253lim341 xxxx)25(lim)3(lim3141 xxxxx2limlim5lim3limlim1131141 xxxxxxxx2)1(5)1(3)1(34 .32 一般地有：一般地有：設(shè)

4、有分式函數(shù)設(shè)有分式函數(shù),)()()(xQxPxR其中其中)(, )(xQxP都是都是多項(xiàng)式多項(xiàng)式 ,0)(0 xQ試證試證: . )()(lim00 xRxRxx證證: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR說(shuō)明說(shuō)明: 若若,0)(0 xQ不能直接用商的運(yùn)算法則不能直接用商的運(yùn)算法則 . 若若補(bǔ)例補(bǔ)例求求.4532lim21xxxx解解: x = 1 時(shí)時(shí)3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母分母 = 0 , 分子分子0 ,但因但因例例2.3.3 求極限求極限.11lim321 xxx解解 11li

5、m321 xxx)1)(1()1)(1(lim21 xxxxxx11lim21 xxxx111112 .32 例例2.3.4 求極限求極限)81221(lim32xxx解解 )81221(lim32xxx8122lim322xxxx)42)(2()4)(2(lim22xxxxxx21424lim22xxxx型極限。型極限。此例稱(chēng)為此例稱(chēng)為 常通過(guò)通分化為分式來(lái)解。常通過(guò)通分化為分式來(lái)解。 例例2.3.5 求極限求極限42lim22xxx解解 因?yàn)橐驗(yàn)?4121lim42lim222xxxxx21lim42lim4122uxxux 所以所以例例2.3.6型極限。型極限。此例為此例為 解解 357

6、243lim2323 xxxxx求求357243lim2323xxxxx73357243lim33xxxxx分子分母同除以分子分母同除以x3，可得，可得分式求極限一般有如下結(jié)果：分式求極限一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù) )nmba,0(00mn 當(dāng)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 當(dāng)mn 當(dāng)若,lim,limByAxnnnn則有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(時(shí)且當(dāng)BynBAyxnnnlimBABA定理定理2.3.3（數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則）（數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則）例例2.3.7 求極限求極限) 1(1321211limn

7、nn解解 因?yàn)橐驗(yàn)? 1(1321211nn所以，所以，) 1(1321211limnnn)111()3121()211 (nn111n)111 (limnn1例例2.3.8 求極限求極限322221limnnn解解 因?yàn)橐驗(yàn)?22221nn所以，所以，322221limnnn)12)(11 (61limnnn36) 12)(1(nnnn),12)(11 (61nn31內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則(1) 極限四則運(yùn)算法則極限四則運(yùn)算法則(2) 復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件注意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法分式函數(shù)極限求法0) 1xx 時(shí)時(shí), 用代入法用代入法( 分母不