概率論公式總結(jié)60016

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第1章 隨機(jī)事件及其概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)0時，P(A+B)=P(A)+P(B)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BA時，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)A=時，P()=1- P(B)乘法公式乘法公式：更一般地，對事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)>0，則有。獨立性兩個事件的獨立性設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨立的。若事件、相互獨立，且，則有多個事件的獨立性設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足

2、P(ABC)=P(A)P(B)P(C）全概公式。貝葉斯公式，i=1，2，n。此公式即為貝葉斯公式。，（，），通常叫先驗概率。，（，），通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。第二章 隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)，對任意實數(shù)，有， 則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面性質(zhì)： 。 離散與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系。積分元在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。設(shè)為隨機(jī)變量，是任意實數(shù)，則函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函

3、數(shù)。 可以得到X落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間（ ，x內(nèi)的概率。1. ；2。 是單調(diào)不減的函數(shù)，即時，有 ；3。，；4。 ，即是右連續(xù)的；5. 。對于離散型隨機(jī)變量，；對于連續(xù)型隨機(jī)變量， 。 （5）八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二項分布在重貝努里試驗中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為，則可能取值為。， 其中，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項分布。記為。當(dāng)時，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的分布律為，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。超幾何分布隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超

4、幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布，其中p0，q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布當(dāng)ax1<x2b時，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為設(shè)隨機(jī)變量的值只落在a，b內(nèi)，其密度函數(shù)在a，b上為常數(shù)，即 axb 其他指數(shù)分布 , 0, , 其中，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為記住積分公式 , x<0。 正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為其中、為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為。具有如下性質(zhì)：1° 的圖形是關(guān)于對稱的；2° 當(dāng)時，為最大值；若，則的分布函數(shù)為是

5、不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。(-x)1-(x)且(0)。如果，則。 函數(shù)分布離散型已知的分布列為 ，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，則應(yīng)將對應(yīng)的相加作為的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)P(g(X)y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。第三章 二維隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型對于二維隨機(jī)向量，如果存在非負(fù)函數(shù)，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有則稱為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱f(x,y)為=（X，Y）的分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。分布密度

6、f(x,y)具有下面兩個性質(zhì)：（1） f(x,y)0;（2） 離散型與連續(xù)型的關(guān)系邊緣分布離散型X的邊緣分布為；Y的邊緣分布為。連續(xù)型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為離散型有零不獨立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形隨機(jī)變量的函數(shù)若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互獨立， h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（X1，X2,Xm）和g（Xm+1,Xn）相互獨立。特例：若X與Y獨立，則：h（X）和g（Y）獨立。例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。函數(shù)分布 Z=X+Y根據(jù)定義計算：態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組

7、合，仍服從正態(tài)分布。， Z=max,min(X1,X2,Xn)若相互獨立，其分布函數(shù)分別為，則Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函數(shù)為：分布設(shè)n個隨機(jī)變量相互獨立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和W我們稱隨機(jī)變量W服從自由度為n的分布記為所謂自由度是指獨立正態(tài)隨機(jī)變量的個數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個重要參數(shù)。分布滿足可加性：設(shè)則t分布設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，且可以證明函數(shù)我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)。F分布設(shè)，且X與Y獨立，可以證明我們稱隨機(jī)變量F服從第一個自由度為n1，第二個自由度為n2的F分布，記為Ff(n1, n2).第四章 隨機(jī)變量

8、的數(shù)字特征（1）一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型連續(xù)型期望期望就是平均值設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為P()pk，k=1,2,n，（要求絕對收斂）設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，（要求絕對收斂）函數(shù)的期望Y=g(X) Y=g(X)方差D(X)=EX-E(X)2，標(biāo)準(zhǔn)差， （2）期望的性質(zhì)（1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和Y獨立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。（3）方差的性質(zhì)（1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)（3） D(a

9、X+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（4） D(X)=E(X2)-E2(X)（5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E(X-E(X)(Y-E(Y)，無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。（4）常見分布的期望和方差期望方差0-1分布p二項分布np泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布n2nt分布0(n>2)二維隨機(jī)變量數(shù)字特征期望函數(shù)的期望方差協(xié)方差對于隨機(jī)變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，

10、記為，即與記號相對應(yīng)，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。相關(guān)系數(shù)對于隨機(jī)變量X與Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作（有時可簡記為）。|1，當(dāng)|=1時，稱X與Y完全相關(guān)：完全相關(guān)而當(dāng)時，稱X與Y不相關(guān)。以下五個命題是等價的：；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差的性質(zhì)(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);

11、(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).獨立和不相關(guān)若隨機(jī)變量X與Y相互獨立，則；反之不真。（2）中心極限定理列維林德伯格定理設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，相互獨立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn(x)對任意的實數(shù)x，有此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理。棣莫弗拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量為具有參數(shù)n, p(0<p<1)的二項分布，則對于任意實數(shù)x,有第六章 樣本及抽樣分布常見統(tǒng)計量及其性質(zhì)樣本均值樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階原點矩樣本k階中心矩，其中，為二階中心矩（2）正態(tài)總體下的四大分布正態(tài)分布設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)t分布其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，則表示自由度為n-1的分布分布F分布設(shè)為來自正態(tài)總體的一