第三章-向量與線性方程組補(bǔ)充習(xí)題答案

1、精品資料歡迎下載第三章向量與線性方程組補(bǔ)充習(xí)題答案1設(shè)有三維列向量111011, 2 1, 31,1112問(wèn)取何值時(shí)，（ 1） 可由 1, 2 , 3 線性表示，且表達(dá)式惟一；（ 2） 可由 1, 2 , 3 線性表示，且表達(dá)式不惟一；（ 3） 不能由 1 , 2, 3 線性表示【解】 設(shè) x11x22x33，得線性方程組111x10111x2，111x32其系數(shù)行列式111A1112 (3) 111（1）若0且3 ，則方程組有惟一解，可由1, 2 , 3 惟一地線性表示（2）若=0 ，則方程組有無(wú)窮多個(gè)解，可由1, 2,3 線性表示，但表達(dá)式不惟一（3）若=-3，則方程組的增廣矩陣21100

2、3-318A121303312112911290006033121129可見方程組得系數(shù)矩陣A 與增廣矩陣A 不等秩，故方程組無(wú)解，從而不能由1, 2,3線性表示精品資料歡迎下載2設(shè)向量組1(a,2,10)T ，2( 2,1,5)T ，3( 1,1,4) T ,(1, b, c)T . 試問(wèn)：當(dāng) a,b,c 滿足什么條件時(shí)，（ 1） 可由 1 , 2 , 3 線性表出，且表示唯一？（2）不能由1,2, 3 線性表出？（ 3） 可由 1 , 2 , 3 線性表出，但表示唯一？并求出一般表達(dá)式?！窘狻?設(shè)有一組數(shù) x1 , x2 , x3 ，使得x1 1x22x33，ax12x2x31即2x1x2

3、x3b10 x15x24x3ca21該方程組的系數(shù)行列式A211a 4.1054（ 1）當(dāng) a4 時(shí)，行列式A0，方程組有唯一解，可由1, 2 , 3 線性表出，且表示唯一；（ 2）當(dāng) a= 4 時(shí)，對(duì)增廣矩陣作行初等變換，有4211210b1A211b0012b11054c0003b c 1若 3b-c1，則秩 r(A)秩 r( A ),方程組無(wú)解，不能由1, 2 , 3 線性表出；（ 3）當(dāng) a=-4且 3b-c=1時(shí)，秩r(A)= 秩 r( A )=2<3 ，方程組有無(wú)窮多組解，可由1 ,2 ,3 線性表出，但表示唯一。解方程組，得x1C ， x22Cb1， x32b1 （C 為任

4、意常數(shù)） 。因此有C 1(2Cb1)2(2b1)3 .3設(shè)1(1,1,1),2(1,2,3),3(1,3,t).（ 1）問(wèn)當(dāng) t 為何值時(shí)，向量組1 ,2 ,3 線性無(wú)關(guān)？精品資料歡迎下載（ 2）問(wèn)當(dāng) t 為何值時(shí)，向量組1 ,2 ,3 線性相關(guān)？（ 3）當(dāng) 1, 2,3 線性相關(guān)時(shí)，將3 表示為1 和2 的線性組合 .111【解】 因?yàn)?1,2,3 123t5 ，13t故當(dāng) t5時(shí)，向量組1,2 ,3 線性無(wú)關(guān)； 當(dāng) t=5 時(shí)，向量組1, 2 , 3 線性相關(guān)。當(dāng) t=5時(shí)，令3x11x2 2 ，得方程組x1x21,x12x23,解得 x11, x22.x13x25,故3122 .4設(shè)向量

5、1,2 ,t 是齊次線性方程組Ax=0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系，向量不是方程組Ax=0 的解，即 A0 試證明：向量組,1 ,2 , ,t 線性無(wú)關(guān)【解】 設(shè)有一組數(shù) k, k1 , k2 , kt ，使得t即tt，kkii0,kkikiii1i 1i1上式兩邊同時(shí)左乘矩陣A, 有ttkkiAkiA i0 i1i1因?yàn)?A0 ，故tkki=0，i1t從而，由式得i1kii=0，由于向量組1 ,t 是基礎(chǔ)解系，所以k1k2kt0 因而，由式得k=0精品資料歡迎下載因此，向量組,1,t 線性無(wú)關(guān)5 設(shè)向量組1 ,2 , 3線性無(wú)關(guān)，則下列向量組中，線性無(wú)關(guān)的是(A)12 ,23 ,31 (B)12 ,23

6、 ,1223 (C)122 ,2233 ,331 (D)123 , 2132223,3152 53【】【解】(A):(B) :1223310,122312230,可見（ A）、（ B）中向量線性相關(guān)， （ C）、（ D）不能直接觀察得出，對(duì)于（C），令k112 2k2 2 23 3k3 3 310,即k1k312k1 2k223k2 3k330 ，由于1, 2 , 3 線性無(wú)關(guān)，故k1k30,2k12k20,3k23k30.101因上述齊次線性方程組的系數(shù)行列式220120，故方程組有惟一零解，即033k1 k2k3 0，故（ C）中向量組線性無(wú)關(guān)，應(yīng)選（C）6設(shè) 1, 2,s 均為 n 維列

7、向量， A 為 mn 矩陣，下列選項(xiàng)正確的是(A)若 1 ,2 ,s線性相關(guān)，則A1, A2 , A s 線性相關(guān) .(B)若 1 ,2 ,s線性相關(guān)，則A1, A2 , A s 線性無(wú)關(guān) .(C)若1,2 ,s線性無(wú)關(guān)，則A1, A2 , As 線性相關(guān) .(D) 若 1, 2,s 線性無(wú)關(guān)，則 A 1, A2 , As 線性無(wú)關(guān) .【】【解】記B(1 ,2 , , s ) ，則 ( A1,A 2, As ) AB .精品資料歡迎下載所以，若向量組1,2,s 線性相關(guān)，則r (B)s ，從而 r ( AB)r (B)s ，向量組A1 , A2 , As 也線性相關(guān)，故應(yīng)選().7. 設(shè)41a

8、,1,1,1T2,2 a,2,2T,T維向量組1,233,3,3 a,3 ,4,4,4,4aT1,2 ,3 ,4 線性相關(guān) ?當(dāng)1 ,2 ,3,4 線性相關(guān)時(shí) ,4，問(wèn) a 為何值時(shí)求其一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組,并將其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表出.【解】記以1,2 ,3 ,4 為列向量的矩陣為A ，則1a234A12a334(10a)a3 .12a41234a于是當(dāng) A0,即 a0或 a10 時(shí)，1,2 ,3 ,4 線性相關(guān) .當(dāng) a0時(shí)，顯然1是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且221,331,441 ；當(dāng) a10 時(shí)，12349234A1834，12741236923由于此時(shí) A 有三階非零行列式183

9、400 0，所以1, 2 , 3 為極大線性無(wú)127關(guān)組，且 12340，即4123 .8 設(shè)齊次線性方程組x1x2x30,x1x2x30, 只有零解，則應(yīng)滿足的條件是.x1x2x30,【解】 當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同時(shí)，Ax=0 只有零解的充分必要條件是A0.而精品資料歡迎下載1111(1) 2 ，所以應(yīng)有1.1119 k 為何值時(shí)，線性方程組x1x2kx34x1kx2x3k 2 ，x1x22x34有惟一解、無(wú)解、有無(wú)窮多組解？在有解的情況下，求出其全部解【解】用初等行變換化增廣矩陣為階梯形11k411k4A1 k 1k 20 2k 28112401k(4k)4)02k(k當(dāng) k 1和

10、 4時(shí)，有100k 22k11k41kA0 1k 240 1 0k 22k 4 21k0012k0012k1 k1k這時(shí)方程組有惟一解：x1k 22k , x2k 22k 4 , x212k 1k1kk當(dāng) k=1 時(shí)， r ( A)2r ( A)3 ，方程組無(wú)解當(dāng) k=4 時(shí)，有11441030A01140114，00000000r ( A)r ( A)2n3 ,故方程組有無(wú)窮多組解，這時(shí)，同解方程組為：x13x3,x2x34.令 x3c ，得方程組的全部解：精品資料歡迎下載3c03x 4 c 或 x4c 1，其中 c 為任意常數(shù)c0110 設(shè)線性方程組x12x13x12x2x2x22x3x3

11、x30,0,0,的系數(shù)矩陣為A，三階矩陣BO ，且ABO 試求的值【解】令B(b1 ,b2 , b3 ) ，則由題設(shè)ABA(b1, b2 ,b3 )(Ab1, Ab2 , Ab3)O ，即Abj0( j1,2,3) 又 BO ，所以b1 ,b2 , b3 不全為零，說(shuō)明齊次線性方程組Ax=0 有非零解，所以必有秩(A)<3 ，從而A =0，即122210311解得1 11.設(shè) A 是 mn 矩陣， Ax0 是非齊次線性方程組Axb 所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是(A) 若 Ax 0 僅有零解，則 Ax b 有唯一解(B) 若 Ax 0 有非零解，則 Ax b 有無(wú)窮多個(gè)解(C

12、) 若 Ax b 有無(wú)窮多個(gè)解，則 Ax 0 僅有零解(D) 若 Axb 有無(wú)窮多個(gè)解，則 Ax0 有非零解【】【解】由解的判定定理知，對(duì)Axb ，若有秩 ( A)秩 ( A) r ，則 Axb 一定有解進(jìn)一步，若 r=n ，則 Ax b 有唯一解；若 r<n ，則 Axb 有無(wú)窮多解而對(duì) Ax0 一定有解，且設(shè)秩(A)=r ，則若 r=n ，Ax0 僅有零解；若r<n ， Ax0 有非零解因此，若 Axb 有無(wú)窮多解， 則必有秩 ( A)秩(A)r <n，從而秩 (A)=r<n， Ax 0有非零解，所以 (D) 成立但反過(guò)來(lái)，若秩 (A)=r=n( 或 <n)

13、，并不能推導(dǎo)出秩 (A)= 秩 ( A) ，所以 Ax b 可能無(wú)解，更談不上有唯一解或無(wú)窮多解12非齊次線性方程組 Ax b 中未知量個(gè)數(shù)為n，方程個(gè)數(shù)為 m，系數(shù)矩陣 A 的秩為 r ，則精品資料歡迎下載(A) r=m 時(shí)，方程組(B) r=n 時(shí)，方程組(C) m=n 時(shí)，方程組(D) r<n 時(shí)，方程組Axb 有解Axb 有唯一解Axb 有唯一解Axb 有無(wú)窮多解【】【解】Axb 有解的充要條件是：rAr A b 題設(shè)A 為 mn 矩陣，若rA m ，相當(dāng)于 A 的 m個(gè)行向量現(xiàn)行無(wú)關(guān)，因此添加一個(gè)分量后得A b 的 m個(gè)行向量仍線性無(wú)關(guān)，即有rA rA b ，所以 Axb 有解故（ A）成立對(duì)于（ B）、（C）、（ D）均不能保證 rArA b，即不能保證有解，更談不上唯一解或無(wú)窮多解13設(shè)1 ,2 ,3 是四元非齊次線性方程組AX=b 的三個(gè)解向量，且秩r(A)=3 ，1(1,2,3,4)T ，23(0,1,2,3)T ， C表示任意常數(shù)，則線性方程組AX=b 的通解 X=1110(