金版教程高考數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí)講義：第二編 專題整合突破 專題八系列4選講 第二講 選修4－5不等式選講 Word版含解析

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第二講(選修45)不等式選講重要定理1絕對值不等式定理1：如果a，b是實數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時，等號成立定理2：如果a，b，c是實數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時，等號成立2絕對值不等式的解法(1)|axb|c(c>0)和|axb|c(c>0)型不等式的解法|axb|c(c>0)caxbc.|axb|c(c>0)axbc或axbc.(2)|xa|xb|c(c>0)和|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法利用絕對值不等式幾何意義求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)分類

2、討論思想通過構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)圖象求解，體現(xiàn)函數(shù)與方程思想3證明不等式的基本方法(1)比較法；(2)綜合法；(3)分析法；(4)反證法；(5)放縮法4二維形式的柯西不等式若a，b，c，dr，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時，等號成立失分警示1應(yīng)用絕對值不等式性質(zhì)求函數(shù)的最值時，一定要注意等號成立的條件特別是多次使用不等式時，必須使等號同時成立2利用基本不等式證明要注意“一正、二定、三相等”三個條件同時成立，缺一不可3在去掉絕對值符號進(jìn)行分類時要做到不重不漏考點絕對值不等式典例示法題型1絕對值不等式的解法典例120xx·沈陽模擬設(shè)函數(shù)f(x)|2x1|x4|

3、.(1)解不等式f(x)2；(2)求函數(shù)yf(x)的最小值解(1)解法一：令2x10，x40分別得x，x4.原不等式可化為：或或所以原不等式的解集為.解法二：f(x)|2x1|x4|畫出f(x)的圖象y2與f(x)圖象的交點為(7,2)，.由圖象知f(x)2的解集為.(2)由(1)的解法二中的圖象知：f(x)min.題型2含絕對值不等式的恒成立問題典例220xx·長春質(zhì)檢設(shè)函數(shù)f(x)|x2|xa|(ar)(1)若不等式f(x)a0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若不等式f(x)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a0時，f(x)a0恒成立，當(dāng)a<0時，要保證f(x)a恒成

4、立，即f(x)的最小值|a2|a，解得1a<0，故a1.(2)由題意可知，函數(shù)yf(x)的圖象恒在直線yx的上方，畫出兩個函數(shù)圖象可知，當(dāng)a2時，符合題意，當(dāng)a>2時，只需滿足點(a，a2)不在點的下方即可，所以a2a，即2<a4.綜上，實數(shù)a的取值范圍是(，41解絕對值不等式的步驟和方法(1)用零點分段法解絕對值不等式的步驟求零點劃區(qū)間、去絕對值號分別解去掉絕對值的不等式取每個結(jié)果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值(2)用圖象法求解不等式用圖象法，數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對值的不等式，使得代數(shù)問題幾何化，既通俗易懂，又簡潔直觀，是一種較好的方法2解決含參數(shù)的絕對值不等式

5、問題的兩種常用方法(1)將參數(shù)分類討論，將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)解決；(2)借助于絕對值的幾何意義，先求出f(x)的最值或值域，然后再根據(jù)題目要求，求解參數(shù)的取值范圍3解答含參數(shù)的絕對值不等式應(yīng)熟記的幾個轉(zhuǎn)化f(x)>a恒成立f(x)min>a；f(x)<a恒成立f(x)max<a；f(x)>a有解f(x)max>a；f(x)<a有解f(x)min<a；f(x)>a無解f(x)maxa；f(x)<a無解f(x)mina.考點不等式的證明典例示法典例320xx·湖北二聯(lián)已知f(x)|x1|x1|，不等式f(x)<4的解集為m.

6、(1)求m；(2)當(dāng)a，bm時，證明：2|ab|<|4ab|.解(1)f(x)|x1|x1|當(dāng)x<1時，由2x<4得2<x<1；當(dāng)1x1時，f(x)2<4；當(dāng)x>1時，由2x<4得1<x<2.所以m(2,2)(2)證明：當(dāng)a，bm，即2<a，b<2時，4(ab)2(4ab)24(a22abb2)(168aba2b2)(a24)(4b2)<0，4(ab)2<(4ab)2，2|ab|<|4ab|.不等式證明的常用方法(1)不等式的證明常利用綜合法、分析法、基本不等式和柯西不等式等，要根據(jù)題目特點靈活選用方法；

7、(2)證明含絕對值的不等式主要有以下三種方法：利用絕對值的定義去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為普通不等式再證明；利用三角不等式|a|b|a±b|a|b|進(jìn)行證明；轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行證明針對訓(xùn)練20xx·陜西質(zhì)檢已知函數(shù)f(x)|x1|.(1)解不等式f(2x)f(x4)8；(2)若|a|1，|b|1，a0，求證：f.解(1)f(2x)f(x4)|2x1|x3|當(dāng)x3時，由3x28，解得x；當(dāng)3x時，x48無解；當(dāng)x時，由3x28，解得x2.所以不等式f(2x)f(x4)8的解集為.(2)證明：f等價于f(ab)|a|f，即|ab1|ab|.因為|a|1，|b|1，所以|

8、ab1|2|ab|2(a2b22ab1)(a22abb2)(a21)(b21)0，所以|ab1|ab|.故所證不等式成立考點柯西不等式典例示法典例420xx·福建高考已知a>0，b>0，c>0，函數(shù)f(x)|xa|xb|c的最小值為4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值解(1)因為f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，當(dāng)且僅當(dāng)axb時，等號成立又a>0，b>0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值為abc.又已知f(x)的最小值為4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式得(491)2(abc)216，即

9、a2b2c2.當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b，c時等號成立故a2b2c2的最小值為.柯西不等式的求解方法柯西不等式在解決多變量代數(shù)式的最值問題中有著重要的應(yīng)用，運(yùn)用柯西不等式求最值時，關(guān)鍵是進(jìn)行巧妙的拼湊，構(gòu)造出柯西不等式的形式針對訓(xùn)練20xx·陜西高考已知關(guān)于x的不等式|xa|<b的解集為x|2<x<4(1)求實數(shù)a，b的值；(2)求的最大值解(1)由|xa|<b，得ba<x<ba，則解得a3，b1.(2)24，當(dāng)且僅當(dāng)，即t1時等號成立，故()max4.全國卷高考真題調(diào)研120xx·全國卷已知函數(shù)f(x)|x1|2x3|.(1)畫出yf(x)的圖

10、象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集解(1)f(x)yf(x)的圖象如圖所示(2)由f(x)的表達(dá)式及圖象知，當(dāng)f(x)1時，可得x1或x3；當(dāng)f(x)1時，可得x或x5.故f(x)>1的解集為x|1<x<3；f(x)<1的解集為.所以|f(x)|>1的解集為.220xx·全國卷已知函數(shù)f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)當(dāng)a1時，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時，f(x)>1化為|x1|2|x1|1>0.當(dāng)x1時，不等式化為x4>

11、0，即x>4，無解；當(dāng)1<x<1時，不等式化為3x2>0，解得<x<1；當(dāng)x1時，不等式化為x2>0，解得1x<2.綜上，f(x)>1的解集為.(2)由題設(shè)可得，f(x)所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為a，b(2a1,0)，c(a，a1)，abc的面積為(a1)2.由題設(shè)得(a1)2>6，故a>2.所以a的取值范圍為(2，)320xx·全國卷設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且abcd，證明：(1)若ab>cd，則>；(2)>是|ab|<|cd|的充要條件證明(1)因為()2ab

12、2，()2cd2，由題設(shè)abcd，ab>cd得()2>()2.因此>.(2)若|ab|<|cd|，則(ab)2<(cd)2，即(ab)24ab<(cd)24cd.因為abcd，所以ab>cd.由(1)得>.若>，則()2>()2，即ab2>cd2.因為abcd，所以ab>cd.于是(ab)2(ab)24ab<(cd)24cd(cd)2.因此|ab|<|cd|.綜上，>是|ab|<|cd|的充要條件其它省市高考題借鑒420xx·江蘇高考設(shè)a>0，|x1|<，|y2|<，求證

13、：|2xy4|<a.證明因為|x1|<，|y2|<，所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|<2×a.520xx·湖南高考設(shè)a>0，b>0，且ab.證明：(1)ab2；(2)a2a<2與b2b<2不可能同時成立證明由ab，a>0，b>0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時等號成立(2)假設(shè)a2a<2與b2b<2同時成立，則由a2a<2及a>0得0<a<1；同理，0<b<1，從而ab<1，這與ab1矛盾故a2a

14、<2與b2b<2不可能同時成立620xx·福建高考已知定義在r上的函數(shù)f(x)|x1|x2|的最小值為a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正實數(shù)，且滿足pqra，求證：p2q2r23.解(1)因為|x1|x2|(x1)(x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)1x2時，等號成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)證明：由(1)知pqr3，又因為p，q，r是正實數(shù)，所以(p2q2r2)(121212)(p×1q×1r×1)2(pqr)29，即p2q2r23.120xx·湖北八校聯(lián)考已知函數(shù)f(x)|x10|x20|，且滿足f(x)<10

15、a10(ar)的解集不是空集(1)求實數(shù)a的取值集合a；(2)若ba，ab，求證：aabb>abba.解(1)|x10|x20|<10a10的解集不是空集，則(|x10|x20|)min<10a10，10<10a10，a>0，a(0，)(2)證明：不妨設(shè)a>b，則ab，a>b>0，>1，ab>0，ab>1，aabb>abba.220xx·河南測試已知函數(shù)f(x)|x2|.(1)解不等式f(x)f(x5)9；(2)若|a|<1，|b|<1，求證：f(ab3)>f(ab2)解(1)f(x)f(x5)

16、|x2|x3|當(dāng)x<3時，由2x19，解得x5；當(dāng)3x2時，f(x)9，不成立；當(dāng)x>2時，由2x19，解得x4.所以不等式f(x)f(x5)9的解集為x|x5或x4(2)證明：f(ab3)>f(ab2)，即|ab1|>|ab|.因為|a|<1，|b|<1，所以|ab1|2|ab|2(a2b22ab1)(a22abb2)(a21)(b21)>0，所以|ab1|>|ab|，故所證不等式成立3已知函數(shù)f(x)|x2|x1|.(1)解不等式f(x)>1；(2)當(dāng)x>0時，函數(shù)g(x)(a>0)的最小值總大于函數(shù)f(x)，試求實數(shù)a的取

17、值范圍解(1)當(dāng)x>2時，原不等式可化為x2x1>1，此時不成立；當(dāng)1x2時，原不等式可化為2xx1>1，即1x<0；當(dāng)x<1時，原不等式可化為2xx1>1，即x<1，綜上，原不等式的解集是x|x<0(2)因為g(x)ax121，當(dāng)且僅當(dāng)ax，即x時“”成立，所以g(x)min21，f(x)所以f(x)3,1)，所以211，即a1為所求420xx·全國卷已知函數(shù)f(x)|2xa|a.(1)當(dāng)a2時，求不等式f(x)6的解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)|2x1|.當(dāng)xr時，f(x)g(x)3，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a2時，f(x)|2x2|2

18、.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集為x|1x3(2)當(dāng)xr時，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a.所以當(dāng)xr時，f(x)g(x)3等價于|1a|a3.當(dāng)a1時，等價于1aa3，無解當(dāng)a>1時，等價于a1a3，解得a2.所以a的取值范圍是2，)520xx·湖北七市聯(lián)考設(shè)函數(shù)f(x)|xa|，ar.(1)若a1，解不等式f(x)(x1)；(2)記函數(shù)g(x)f(x)|x2|的值域為a，若a1,3，求a的取值范圍解(1)由于a1，故f(x)當(dāng)x<1時，由f(x)(x1)，得1x(x1)，解得x.當(dāng)x1時，由f(x)(x1)，得x

19、1(x1)，解得x3.綜上，不等式f(x)(x1)的解集為3，)(2)當(dāng)a<2時，g(x)g(x)的值域aa2,2a，由a1,3，得解得a1，又a<2，故1a<2；當(dāng)a2時，g(x)g(x)的值域a2a，a2，由a1,3，得解得a3，又a2，故2a3.綜上，a的取值范圍為1,3620xx·西安交大附中六診設(shè)函數(shù)f(x)|xa|.(1)求證：當(dāng)a時， 不等式ln f(x)>1成立；(2)關(guān)于x的不等式f(x)a在r上恒成立，求實數(shù)a的最大值解(1)證明：由f(x)得函數(shù)f(x)的最小值為3，從而f(x)3>e.所以ln f(x)>1成立(2)由絕對值的性質(zhì)得f(x)|xa|，所以f(x)最小值為，從而a，解得a，因此a的最大值為.7.20xx·太原測評對于任意的實數(shù)a(a0)和b，不等式|ab|ab|m·|a|恒成立，記實數(shù)m的最大值是m.(1)求m的值；(2)解不等式|x1|x2|m.解(1)不等式|ab|ab|m·|a|恒成立，即m對于任意的實數(shù)a(a0)和b恒成立，所以m的最大值m是的最小值因為|ab|ab|(ab)(ab)