第四章概率論

1、第四章第四章 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征 龔小慶4.1 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望引例引例1 分賭本問題(產(chǎn)生背景) 甲、乙甲、乙 兩人賭技相同兩人賭技相同, 各出各出賭金賭金50元元,并約定先勝三局者為并約定先勝三局者為勝勝, 取得全部取得全部 100 元元.由于出現(xiàn)意由于出現(xiàn)意外情況外情況 ,在在 A 勝勝 2 局局 B 勝勝1 局時局時,不得不終止賭博不得不終止賭博, 如果要分賭金如果要分賭金,該如何分配才算公平該如何分配才算公平?甲甲 勝勝 2 局局 乙乙 勝勝 1 局局前三局前三局: :后二局后二局: :把已賭過的三局(A 勝2局B 勝1局)與上述結(jié)果相結(jié)合,即 甲和乙 賭完五局,A

2、 AA B B AB B甲甲勝勝乙乙 勝勝 分析：分析：假設(shè)繼續(xù)賭兩局, 用A和B分別表示甲和乙獲勝，則結(jié)果有以下四種情況:A AA B B AB B因此, 甲 能“期望期望”得到的數(shù)目應(yīng)為 31100044 75(),元而乙 能“期望期望”得到的數(shù)目, 則為13100044 25().元 故有, 在賭技相同的情況下,甲、乙 最終獲勝的可能性大小之比為3:1.即甲 應(yīng)獲得賭金的3/4，而 乙 只能獲得賭金的1/4.因而甲期望所得的賭金即為X的 “期望”值,等于即, X 的可能值與其概率之積的累加.31100075().44 元 若設(shè)隨機變量 X 為:在甲勝2局乙勝1局的前提下, 繼續(xù)賭下去甲最

3、終所得的賭金.則X 的分布列為:10003/41/4 設(shè)某射擊手在同樣的條件下,瞄準(zhǔn)靶子相繼射擊90次,(命中的環(huán)數(shù)是一個隨機變量).射中次數(shù)記錄如下引例引例2 射擊問題試問:該射手每次射擊平均命中靶多少環(huán)?5432101513220103090159013902902090109030命中環(huán)數(shù)命中環(huán)數(shù) k命中次數(shù)命中次數(shù)頻率頻率knnnk解解平均射中環(huán)數(shù)平均射中環(huán)數(shù)射擊次數(shù)射擊次數(shù)射中靶的總環(huán)數(shù)射中靶的總環(huán)數(shù) 0 2 1 13 2 15 3 10 4 20 5 3090 21315102030012345909090909090 .37. 3 50kknnk 50kknnk 平均射中環(huán)數(shù)平均

4、射中環(huán)數(shù)頻率隨機波動頻率隨機波動隨機波動隨機波動 50kknnk n 50kkpk隨機波動隨機波動 穩(wěn)定值穩(wěn)定值 “平均射中環(huán)數(shù)平均射中環(huán)數(shù)”的穩(wěn)定值的穩(wěn)定值? “平均射中環(huán)數(shù)平均射中環(huán)數(shù)”等于等于射中環(huán)數(shù)的可能值與其概率之積的累加射中環(huán)數(shù)的可能值與其概率之積的累加2.2.2 數(shù)學(xué)期望的定義數(shù)學(xué)期望的定義 定義定義2.2.2 設(shè)連續(xù)型隨機變量 X 的概率密度為f(x) ,若積分( )dxfxx絕對收斂,則稱 的值為 X 的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望,記為E(X),即有( )dxfxx()( )dE Xxf xx數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望簡稱為期望期望,又稱為均值均值. 例例4.1.14.1.1 甲、乙兩個人進(jìn)行射

5、擊,所得的分?jǐn)?shù)分別為,21XX它們的分布律分別為1X2Xkpkp6 . 02 . 02 . 02104 . 05 . 01 . 0210試評定他們成績的好壞.解解 甲乙兩個人得分的數(shù)學(xué)期望分別為4 . 16 . 022 . 012 . 00)(1XE3 . 14 . 025 . 011 . 00)(2XE由于)()(21XEXE故甲的成績強于乙的成績. 例例4.1.24.1.2 設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為p的0-1分布， 試求X 的數(shù)學(xué)期望.解解 由題意知X的分布律為011XPpp故pppXE1)1 (0)( 例例4.1.3 4.1.3 某商店對某種家用電器的銷售采用先使用后付款的方法,記使用壽命

6、為X(以年計),規(guī)定 一臺付款1500元;, 1X 一臺付款2000元;, 21 X 一臺付款2500元;, 32 X 一臺付款3000元;, 3X設(shè)壽命X服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布,試求該商店一臺收費Y的數(shù)學(xué)期望. 解解 由題意, X的分布函數(shù)為Y的可能的取值為1500,2000,2500,3000，且10( )1 exF x )0( x0952. 0e1) 1 (115001 . 0FXPYP0861. 0) 1 ()2(212000FFXPYP0779. 0)2()3(322500FFXPYP7408. 0) 3(133000FXPYP所以15.27327408. 03000779. 0

7、25000861. 020000952. 01500)(YE即平均一臺收費2732.15元 例例4.1.44.1.4 設(shè)X服從參數(shù)為 的泊松分布,求 X 的數(shù)學(xué)期望.解解 由于X的分布律為()e0,1,2,!kP Xkkk故101()eeee!(1)!kkkkE Xkkk101e!(1)!kkxkkxxkk例例4.1.54.1.5 設(shè),baUX求)(XE解解 由于 X 的概率密度為1,( )0,elseaxbf xba故()( )ddbaxE Xxf xxxba22112baxabba 例例4.1.64.1.6 設(shè)隨機變量 X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布,求).(XEe,0( )0,elsexxf

8、 x解解例例4.1.74.1.7 設(shè)隨機變量 ,求E(X).),(2NX 解解22()21()e2xE Xxdx令xu則2222221()()ed2eded22uuuE Xuuuuu例例4.1.8 柯西分布的數(shù)學(xué)期望不存在柯西分布的數(shù)學(xué)期望不存在 設(shè)隨機變量 X 服從柯西分布柯西分布，則其概率密度為211( ),1f xxx 由于211|d1xxx 故 E(X) 不存在.4.1.3 隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 在很多實際問題中，經(jīng)常遇到求在很多實際問題中，經(jīng)常遇到求隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望問題下隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望問題下面兩個定理給出了求隨機變量函數(shù)面兩個定理給出了求隨機變量

9、函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的簡便方法利用這二的數(shù)學(xué)期望的簡便方法利用這二個定理可以省略求隨機變量函數(shù)的個定理可以省略求隨機變量函數(shù)的分布分布解解 由定理4.1.1，得22222()20.100.410.340.23.9E X 解解 由定理2.2.1，得 例例4.1.104.1.10 設(shè)某種商品每周的需求量X服從區(qū)間10,30上的均勻分布,而經(jīng)銷商進(jìn)貨數(shù)為區(qū)間10,30中的某一整數(shù),商店每銷售一單位商品可獲利500元;若供大于求則削價處理,每處理一單位商品虧損100元;若供不應(yīng)求,則可從外部調(diào)劑供應(yīng),此時每單位僅獲利300元.為使商店所獲利潤期望值不少于9280,試確定最小的進(jìn)貨量.500()300,30(

10、)500()100,10aaXaaXYg XXaXXaaXaXXaaX10,10060030,200300解解 設(shè)進(jìn)貨數(shù)為a,則利潤為故期望利潤為30101()()( ) ( )d( )d20aE YEg Xg x f xxg xx而由題意知,X的概率密度為1,1030( )200,xf x其它301011(600100 )d(300200 )d2020aaxaxxax52503505 . 72aa040303505 . 72aa263220 a 故利潤期望值不少于9280元的最少進(jìn)貨量為21單位依題意,有928052503505 . 72aa2()7.53505250aE Yaa ()( ,

11、 )d dE Xxf x yx y 類似的還有( )( , )d dE Yyf x yx y 解解 ,d dE XYxyfx yx y 1200d12dxxxyyy15013d2xx4.1.4 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1) 設(shè)C為常數(shù),則有CCE)(2) 設(shè)X是隨機變量,k是常數(shù),則()()E kXkE X(3) 設(shè)X,Y是隨機變量,則)()()(YEXEYXE性質(zhì)(2)(3)稱為數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì),可寫成1212()()( )E k Xk Yk E Xk E Y證明證明1212()() ( , )d dE k Xk Yk xk y f x yx y 12( , )d d( , )d d

12、kxf x yx ykyf x yx y 12()( )k E Xk E Y(4) 若X,Y相互獨立,則有()() ( )E XYE X E Y證明證明d)(d)(dd)()(yyfyxxxfyxyfxxyfYXYX yxyxxyfXYEdd),()()()(YEXE性質(zhì)(3)和(4)可推廣到n維隨機變量的情形.)()()(1111nnnnXECXECXCXCE(5) 若 相互獨立,則有nXXX,21)()()()(2121nnXEXEXEXXXE(6) 例例4.1.124.1.12 一民航送客車載有20位旅客自機場開出,旅客有10個車站可以下車.如到達(dá)一個車站沒有旅客下車就不停車.以X表示停

13、車的次數(shù),求E(X)(設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相互獨立) 解解 引入隨機變量站無人下車第站有人下車第iiXi, 0, 110, 2 , 1 ,i則有1021XXXX又由題意，有,) 9 . 0(020iXP,) 9 . 0(1120iXP所以209 . 01)(iXE10, 2 , 1i由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，得1210()()()()E XE XE XE X20910 18.78410 重要結(jié)論重要結(jié)論:設(shè)隨機變量 相互獨立且均服從參數(shù)為p的0-1分布：nXXX,21則1( ,)niiXB n p 證明證明 設(shè)有一個n重伯努利試驗,每次試驗中成功的概率為p,引進(jìn)隨機變

14、量次試驗沒有成功第次試驗成功第iiXi, 0, 1ni, 2 , 1則Xi服從參數(shù)為p的0-1分布，令,1nkiXX 則它表示在這個伯努利試驗中成功的次數(shù),故有),(pnBX4.2 方差方差 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望是隨機變量取值的平均值，是一種位置特征數(shù)位置特征數(shù)，但數(shù)學(xué)期望畢竟只反映了中心位置，它無法反映出隨機變量圍繞中心位置取值的“波動”的幅度大小 (1)若X是離散型隨機變量,分布律為1,2,kkP Xxpk則21()()kkkD XxE Xp(2) 若X是連續(xù)型隨機變量,概率密度為f(x)，則2()()( )dD XxE Xf xx由于)()(2)()(222XEXXEXEXEXEXD2222

15、)()()()()(2)(XEXEXEXEXEXE所以有下列公式22)()()(XEXEXD例例4.2.14.2.1 設(shè)X服從參數(shù)為p的0-1分布,則E(X)=p又pppXE2221)1 (0)(故有)1 ()()()(222ppppXEXEXD因此若X服從參數(shù)為p的0-1分布,則)1 ()()(ppXDpXE0-1分布的數(shù)學(xué)期望和方差分布的數(shù)學(xué)期望和方差例例4.2.24.2.2 若 ,則)(PX,)(XE又22011()e(1)ee!kkkkkkkE Xk kkkkk2222e(2)!kkk2222)()()(XEXEXD所以)()(XDXE泊松分布的數(shù)學(xué)期望和方差泊松分布的數(shù)學(xué)期望和方差

16、例例4.2.3 三角分布、均勻分布三角分布、均勻分布和倒三角分布倒三角分布的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.-11xO1( )f x1.1.三角分布三角分布111,10( )1,010,xxXf xxx 其它1()0E X0122211101()()(1)d(1)d6D XE Xxxxxxx11()0.4082XD X設(shè)則由對稱性，有于是2.2.均勻分布均勻分布-11xO2( )fx設(shè)2( 1,1)XU ，則221/2,11( )0,xXfx 其它2()0E X則由對稱性，有2122211()()d23xD XE Xx22()0.5774XD X故3.3.倒三角分布倒三角分布33,10( ),010,

17、xxXfxxx 其它3()0E X0122233101()()()dd2D XE Xxxxxx x33()0.7071XD X設(shè)則由對稱性，有于是-11xO1( )f x三個分布方差之間的比較三個分布方差之間的比較-11xO1( )f x-11xO2( )fx-11xO3( )fx 三角分布三角分布在中間較為集中，故方差最小方差最??；倒三角倒三角分布分布集中于兩側(cè)，故方差最大方差最大；均勻分布均勻分布介于其中，故方差也介于其中方差也介于其中.即三角分布均勻分布倒三角分布123()()()D XD XD X參數(shù)為參數(shù)為 指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差22()()()D XE X

18、E X2221122()1/()1/E XD X故0, 00,e)(xxxfXx設(shè)4.2.2 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 常數(shù)的方差為0，即( )0D c 22( )( )()0D cE cE cE cc其中c為常數(shù)證明證明 若c為常數(shù)，則性質(zhì)性質(zhì)2 若a, b為常數(shù)，則2()()D aXba D X2()()D aXbE aXbE aXb22 ()()E a XE Xa D X證明證明因此，由性質(zhì)2，有()()DXD X另外，由22()() ()0D XE XE X知，若E( X 2)=0,則E(X)=0,且D(X)=0.性質(zhì)性質(zhì)3 對任意常數(shù)c，)()(2cXEXD且等號成立的充分必要

19、條件為c=E(X).證明證明222)()()()(cXEcXEXEXEXD)(2cXE若)(XEc 性質(zhì)性質(zhì)4 若X與Y相互獨立,則有22()() ()D X YE X YE X Y證明證明)()()(2)()()(2)(2222YEYEXEXEYEXYEXE()( )2 ()() ( )D XD YE XYE X E Y(最后的一個等式由X與Y的獨立性推得)()()( )D XYD XD Y()( )D XD Y11()nnkkkkDXD X并且還有211()nnkkkkkkDa Xa D X于是，若X與Y獨立，則)()()(YDXDYXD)(9)(4)32(YDXDYXD注意注意：以下兩個

20、式子是等價的,即)()()()()()(YDXDYXDYEXEXYE切比雪夫不等式切比雪夫不等式 定理定理4.2.1 （切比雪夫不等式）（切比雪夫不等式） 設(shè)隨機變量的X的數(shù)學(xué)期望和方差均存在，則對任意的 ，有02()()D XP XE X或等價地，有 2()()1D XP XE X 證明證明僅對連續(xù)型隨機變量給出證明 ()()( )dx E XP XE Xf xx22()()( )dx E XxE Xf xx222()()( )dRxE XD Xf xx 上述不等式給出了在隨機變量X的分布未知時對事件 的概率下界的一個估計.| )(|XEX 記 , 則有 )(),(XDXE983|XP1|

21、4 16PX 由于切比雪夫不等式對任何分布都成立，因此在很多情況下我們就不能指望得到的概率上界能夠非常接近于真正概率比如 |1PX11()0()nXE XXE Xn所以11()0)()nP XE XPXE Xn11()nP XE Xn21()01nD Xn二項分布數(shù)字特征的簡便求法二項分布數(shù)字特征的簡便求法nXX,1 設(shè) 相互獨立且均服從參數(shù)為p的0-1分布,則由前面的討論知1 ( , )nkkXXb n p則由數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì),有npXEXEnkk)()(11()()(1)nkkD XD Xnpp正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差由于221( )ed02uE Uuu2222

22、1( )()ed2uD UE Uuu221()de2uu222211()eed122uuuu故()()0E XEU 22()()( )D XDUD U 因此，正態(tài)分布的兩個參數(shù)恰好就是相應(yīng)隨機變正態(tài)分布的兩個參數(shù)恰好就是相應(yīng)隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差量的數(shù)學(xué)期望和方差 結(jié)論結(jié)論: 若2( ,),XN 則2()()E XD X 例例4.2.44.2.4 設(shè)隨機變量X與Y相互獨立且均服從正態(tài)分布 ，試求 .21 , 0N(|)DXY解解 令Z=X-Y，則Z服從正態(tài)分布，由于( )()( )0E ZE XE Y( )()( )1D ZD XD Y所以) 1 , 0( NZ，故221(|)(|)|ed2

23、zEXYEZzz2e2de22020222zzzz1)()()|(|22ZDZEZE222(|)(|)()(|)1D XYD ZE ZE Z 4.3 4.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 為了刻劃兩個隨機變量之間的關(guān)系,本節(jié)討論兩個重要的數(shù)字特征:協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)4.3.1協(xié)方差協(xié)方差由前面的討論知,若X與Y相互獨立,則有0)()()(YEXEXYE 因此,若上式不成立,則X與Y 必不相互獨立,也就是說,當(dāng)上式的左端不等于零時,兩個隨機變量之間就存在著某種關(guān)系.因此量E(XY)E(X)E(Y)在某種程度上刻劃了兩個隨機變量之間的關(guān)系.我們將其稱之為協(xié)方差協(xié)方差.定義定義3.4.1 設(shè)(X,

24、Y)是二維隨機變量，若 ( )( )E XE XYE Y存在，則稱此數(shù)學(xué)期望為X與Y的協(xié)方差協(xié)方差,并記作Cov( , )( )( )X YE XE XYE Y特別地，有Cov(,)Var()X XX性質(zhì)性質(zhì)1Cov(, )()() ( )X YE XYE X E YCov(, )()( )X YEXE XYE Y)()()()(YEXEYXEXYEXYE)()()(YEXEXYE)()()()()()()(YEXEYEXEXEYEXYE證明證明 性質(zhì)性質(zhì)2 若X與Y相互獨立，則Cov(X,Y)=0, 反之不然.證明證明 這是因為若X與Y獨立，則()() ( )E XYE X E YCov(,

25、 )0X Y X與Y不相關(guān)X與Y相互獨立見下面的反例.反之不然，即 例例4.3.14.3.1 設(shè)(X,Y)服從單位圓 上的均勻分布,則它們的聯(lián)合密度為 1| ),(22yxyxD221,1( , )0,xyf x y其它( )( , )dXfxf x yy22111d| | 10,xxyx其它其它,01|,122xx-11-11x21 xy21 xy由對稱性可知221,| 1( )0,Yyyfy其它( , )( )( )XYf x yfx fy因為所以X與Y不相互獨立.221()( , )d dd dxyxE Xxf x yx yx y 0dd1221111yyxxy由對稱性0)(YE2211

26、()( , )d dd d0 xyE XYxyf x yx yxy x y 所以0)()()(),cov(YEXEXYEYX即X與Y不相關(guān) 性質(zhì)性質(zhì)3 對于任意的二維隨機變量(X,Y)，有()()( )2Cov(, )D XYD XD YX Y22()() ()D X YE X YE X Y)()()(2)()()(2)(2222YEYEXEXEYEXYEXE()( )2 ()() ( )D XD YE XYE X E Y()( )2Cov(, )D XD YX Y證明證明因此，若X與Y不相關(guān)，則()()( )D XYD XD Y以下四個命題是等價的：以下四個命題是等價的：()() ( )E

27、XYE X E Y（1）（2）()()( )D XYD XD Y（3）Cov(, )0X Y 推廣：推廣：（4）X與Y不相關(guān)111()2Cov(,)nniiijiiij nDXD XXX 協(xié)方差的基本性質(zhì)協(xié)方差的基本性質(zhì)(1) 對稱性對稱性Cov(, )Cov( ,)X YY X(2) 任意隨機變量X與常數(shù)a的協(xié)方差為零,即Cov(, )0X a (3) 對任意常數(shù)a,b，有Cov(,)Cov(, )aX bYabX Y(4) 設(shè)X,Y,Z是任意三個隨機變量，則Cov(,)Cov(,)Cov( ,)XY ZX ZY Z2111()2Cov(,)nniiiiijijiiij nDa Xa D X

28、a aXX 由前面所述性質(zhì)，有由于2Cov(,)Cov(, )kX kYkX Y 因此,協(xié)方差的大小依賴于度量單位,這是它的一個明顯缺陷.為了克服這個缺陷,我們引入相關(guān)系數(shù)的概念.4.3.2 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)定義定義4.3.2 假設(shè) X,Y 的方差均存在，則稱Cov(,)Cov(,)()( )XYXYX YX YD XD Y 為X與Y的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 注：注：相關(guān)系數(shù)是一個無量綱的數(shù).它與協(xié)方差具有相同的符號.兩個隨機變量標(biāo)準(zhǔn)化后不會影響它們的相關(guān)系數(shù)兩個隨機變量標(biāo)準(zhǔn)化后不會影響它們的相關(guān)系數(shù)則, 0)()(*YEXE*()()1,D XD Y*()XYX YE X Y*()()XE XXD

29、 X*( )( )YE YYD Y令相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1| 1XY證明證明將隨機變量X和Y標(biāo)準(zhǔn)化,即*(),()XE XXD X*( )( )YE YYD Y則有*()()0,E XE Y*()()1D XD Y*XYX Y因此,有* *()()()2()()X YD XYD XD YD XD Y2(1)0XY由此可推出| 1XY注：注：由該性質(zhì)立即可得如下的施瓦茨不等式施瓦茨不等式|Cov(, )|XYX Y * *()()()2()()X YD XYD XD YD XD Y*()2(1)0XYD XY因此，有*()01P XYE XYP XY即()1YXP YXEXEY取

30、,YXa ( )()YXbE YE X,YXa( )()YXbE YE X()1YXP YXEXEY幾點說明：幾點說明：1XY XY1XYXYXY01XY10XY 解解因為 121)()(APABPABP）()1( )()6P ABP BP A B從而XY的分布律為 111(1)(),(0)1212P XYP ABP XYX的邊緣分布律為41) 1(XP43)0(XP所以 121121101211)(XYECov,()( )X YE XYE XE Y2416141121Cov,()( )XYX YD XD Y151365163241解解 34()9 ( )6Cov,D XYD XD YX Y(

31、)9 ( )6()( )XYD XD YD X D Y516369解解（1）由題意有 2212e21d ),(d ),(xyyxyyx2212e21d ),(d ),(yxyxxyx于是有222211222e21e2121e2121d),(),(21d ),()(xxxyyxyxyyxfxf222212222e21e2121e2121d),(),(21d ),()(yyyxyxyxxyxfyfCov(, )()( , )d dX YE XYxyf x yx y 12121( , )( , )d d21( , )d d( , )d d2xyx yx yx yxyx yx yxyx yx y 1

32、1102 33因此 0XY（2）由題設(shè)ee283),()32(169)32(1692222yxyxyxyxyxf22122e21)()(yxxfxf)()(),(21xfxfyxf所以X與Y不獨立。 注：注：如果隨機變量X和Y都服從正態(tài)分布，只有當(dāng)只有當(dāng)X和和Y的聯(lián)合分布是二維正的聯(lián)合分布是二維正態(tài)分布時兩個隨機變量相關(guān)系數(shù)等于零態(tài)分布時兩個隨機變量相關(guān)系數(shù)等于零才是它們獨立的充分必要條件才是它們獨立的充分必要條件。否則，即使兩個隨機變量都服從正態(tài)分布，它們的聯(lián)合分布也不一定是二維正態(tài)分布，此時相關(guān)系數(shù)等于零就僅僅是它們獨立的必要條件。4.3.3 4.3.3 協(xié)方差矩陣和多維正態(tài)分布協(xié)方差矩陣和多維正態(tài)分布12()( (),(),()nE XE XE XE X為n維隨機向量X的數(shù)學(xué)期望向量數(shù)學(xué)期望向量，簡稱為X的數(shù)學(xué)期望，而稱111212122212nnnnnnbbbbbbBbbb111212122212nnnnnnbbbbbbBbbb 定義定義3.4.43.4.4 若n維隨機變量 的聯(lián)合概率密度為),(1nXX 11()()21