多元函數(shù)的極值及其應用

1、第六講第六講 多元函數(shù)的極值及其應用多元函數(shù)的極值及其應用 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 1.多元函數(shù)的極大值與極小值；多元函數(shù)的極大值與極小值； 2.最值問題；最值問題； 3.條件極值。條件極值。 教學要求教學要求 1.理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念；理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念； 2.掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件；掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件； 3.了解二元函數(shù)極值存在的充分條件；了解二元函數(shù)極值存在的充分條件； 4.會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值；會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值； 5.會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡 單的應用問題

2、。單的應用問題。實例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每實例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進價瓶進價1元，外地牌子每瓶進價元，外地牌子每瓶進價1.2元元.如果本地如果本地牌子的每瓶賣牌子的每瓶賣 元，外地牌子的每瓶賣元，外地牌子的每瓶賣 元，元，則每天可賣出則每天可賣出 瓶瓶本地牌子的果汁本地牌子的果汁 ， 瓶瓶外地牌子的果外地牌子的果 汁汁,問：店主每天以什么價格問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？xyyx4570 yx7680 每天的收益為每天的收益為 ),(yxf)7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 一、多元函

3、數(shù)的極值和最大值、最小值一、多元函數(shù)的極值和最大值、最小值求最大收益即為求二元函數(shù)求最大收益即為求二元函數(shù) 的最大值的最大值.),(yxf 設函數(shù)設函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx的某鄰域的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于),(00yx的點的點),(yx：若滿足不等式：若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則，則稱函數(shù)在稱函數(shù)在),(00yx有極大值；若滿足不等式有極大值；若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)在，則稱函數(shù)在),(00yx有極有極小值；小值；1 1、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義極極大大值值、極極小小值值統(tǒng)統(tǒng)稱稱為

4、為極極值值. .使使函函數(shù)數(shù)取取得得極極值值的的點點),(00yx稱稱為為極極值值點點. .與一元函數(shù)類似，多元函數(shù)的最值與極值有關(guān)，與一元函數(shù)類似，多元函數(shù)的最值與極值有關(guān)，下面以二元函數(shù)為例討論多元函數(shù)的極值問題下面以二元函數(shù)為例討論多元函數(shù)的極值問題.22yxz 又如函數(shù)又如函數(shù)再如再如xyz 函數(shù)函數(shù)例如例如2243yxz 函數(shù)函數(shù)處有極小值處有極小值在在)0 , 0(處有極大值處有極大值在在)0 , 0(處無極值處無極值在在)0 , 0(oxyzoxy定定理理 1 1（必必要要條條件件）設設函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx具具有有偏偏導導數(shù)數(shù)，且且在在點點),(00yx

5、處處有有極極值值，則則它它在在該該點點的的偏偏導導數(shù)數(shù)必必然然為為零零, ,即即 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、二元函數(shù)取得極值的條件、二元函數(shù)取得極值的條件不妨設不妨設),(yxfz 在點在點),(00yx處有極大值處有極大值,則則對對于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,證證故故當當0yy ，0 xx 時時，有有 ),(0yxf),(00yxf,說明一元函數(shù)說明一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值,即即 0),(00 yxfx;類類似似地地可可證證 0),(00 y

6、xfy.例如例如 點點)0 , 0(是函數(shù)是函數(shù)xyz 的駐點，的駐點，但但不不是是極極值值點點. 凡能使一階偏導數(shù)同時為零的點，均稱為凡能使一階偏導數(shù)同時為零的點，均稱為函數(shù)的函數(shù)的駐點駐點.駐點駐點極值點極值點對可偏導的函數(shù)對可偏導的函數(shù)問題：如何判定一個駐點是否為極值點？問題：如何判定一個駐點是否為極值點？注意：注意：定定理理 2 2（充充分分條條件件）設設函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，有有一一階階及及二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)，記記ayxfxx ),(00，byxfxy ),(00，cyxfyy ),(00，且且 0),(00 yxfx,

7、 , 0),(00 yxfy，則則),(yxf在在點點),(00yx處處是是否否取取得得極極值值的的條條件件如如下下：（1 1）當當,02時時 acb點點),(00yx是是極極值值點點 當當0 a時時是是極極大大值值點點， 當當0 a時時是是極極小小值值點點；（2 2）02 acb時時不不是是極極值值點點；（3 3）02 acb時可能是極值點時可能是極值點, ,也可能不是極值也可能不是極值點，還需另作討論點，還需另作討論求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟：第第一一步步 解解方方程程組組求出實數(shù)解，得駐點求出實數(shù)解，得駐點.第二步第二步 對于每一個駐點對于每一個駐點),(

8、00yx，求出二階偏導數(shù)的值求出二階偏導數(shù)的值 a、b、c.第第三三步步 定定出出acb 2的的符符號號，再再判判定定是是否否是是極極值值., 0),( yxfx0),( yxfy ),(000zyxfaxx ),(000zyxfbxy ),(000zyxfcyy （1 1）當當,02時時 acb點點),(00yx是是極極值值點點 當當0 a時時是是極極大大值值點點， 當當0 a時時是是極極小小值值點點；（2 2）02 acb時時不不是是極極值值點點；., 0)3(2不確定不確定 acb的極值的極值求函數(shù)求函數(shù)例例xyyxz3 133 解解xyyxyxf3),(33 3,6),(,6),( 3

9、3),(,33),(22 xyyyxxyxfyyxfxyxfxyyxfyxyxf 解得駐點解得駐點由由 033),(033),(22xyyxfyxyxfyx)0 , 0( , )1 , 1(有有對對于于駐駐點點)1 , 1(6)1 , 1(, 3)1 , 1(, 6)1 , 1( yyxyxxfcfbfa,03692 acb于于是是,06 a因因為為1)1 , 1( )1 , 1( f點點取取得得極極小小值值所所以以函函數(shù)數(shù)在在0,3,0),0,0( cba對對于于駐駐點點,09 2 acb所所以以.)0 ,0(不不是是極極值值點點于于是是點點求最值的一般方法求最值的一般方法： 將函數(shù)在將函數(shù)

10、在 d d 內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在在 d d 的邊界上的最大值和最小值相互比較，的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值其中最大者即為最大值，最小者即為最小值. . 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值極值來求函數(shù)的最大值和最小值.二、二元函數(shù)的最值二、二元函數(shù)的最值例例 2 2 求二元函數(shù)求二元函數(shù))4(),(2yxyxyxfz 在直線在直線6 yx，x軸和軸和y軸所圍成的閉區(qū)域軸所圍成的閉區(qū)域 d上的最大值與最小值上的最大值與最小值.解解先求函數(shù)在先求函數(shù)在d內(nèi)的駐點

11、，內(nèi)的駐點，xyo6 yxd 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx 一階偏導數(shù)為一階偏導數(shù)為令令求駐點求駐點,yxyxxyyxfx2)4(2),( yxyxxyxfy22)4(),( 得得區(qū)區(qū)域域d內(nèi)內(nèi)唯唯一一駐駐點點)1 , 2(,且且4)1 , 2( f,再再求求),(yxf在在d邊邊界界上上的的最最值值， 在在邊邊界界0 x和和0 y上上0),( yxf,)4(),(2yxyxyxfz xyo6 yx2624xxfx 322212)2)(6(),( xxxxyxf 于是于是,6)3(上上在邊界在邊界 yxxy 6即即)0 ( , 2|64 xxyx舍

12、去舍去,64)2 , 4( f于是于是 比較后可知比較后可知4)1 , 2( f為最大值為最大值,4, 00)(21 xxxfx 得得令令為最小值為最小值64)2 , 4( f),( yxf歸結(jié)出來的函數(shù)歸結(jié)出來的函數(shù)知知道道,按問題的性質(zhì)按問題的性質(zhì)若若在解決實際問題時在解決實際問題時, 由該問題由該問題內(nèi)內(nèi)在在開開區(qū)區(qū)域域 d內(nèi)只有內(nèi)只有而函數(shù)在而函數(shù)在或最小值或最小值一定能取得最在值一定能取得最在值d),(的的函函數(shù)數(shù)值值就就是是那那么么可可以以肯肯定定該該駐駐點點處處一一個個駐駐點點 ,.)(),(值值小小上上的的最最大大在在函函數(shù)數(shù)dyxf yxs0 ,0的定義域為的定義域為,的偏導

13、數(shù)的偏導數(shù)求求s222 ,2yvxysxvyxs ,)2,2( 33只有一個只有一個求得駐點求得駐點vv, , 在定義域內(nèi)必有最小值在定義域內(nèi)必有最小值可知可知 s, )2,2(33取得最小值取得最小值vv當容器的當容器的這就是說這就是說 , .,22,2,2333用料最省用料最省時時高為高為寬為寬為長長vvv 由問題的性質(zhì)由問題的性質(zhì)在在所以所以s為為一一定定的的無無蓋蓋長長方方體體用用鋼鋼板板制制作作一一個個容容積積例例v 3.,才能使用料最省才能使用料最省高高寬寬問如何選取長問如何選取長容器容器 解解,xyvyx則則高高為為寬寬為為設設容容器器的的長長為為的的表表面面積積為為)22(yx

14、xyvxys )11(2yxvxy 因因此此容容器器實例：實例： 毛毛有毛毛有200元錢，他決定用來購買兩元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設他種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設他購買購買 張磁盤，張磁盤， 盒錄音磁帶達到最佳效果，盒錄音磁帶達到最佳效果，效果函數(shù)為效果函數(shù)為 設每張磁設每張磁盤盤8元，每盒磁帶元，每盒磁帶10元，問他如何分配這元，問他如何分配這200元以達到最佳效果元以達到最佳效果xyyxyxulnln),( 問題的實質(zhì)：求問題的實質(zhì)：求 在條在條件件 下的極值點下的極值點yxyxulnln),( 200108 yx三、條件極值三、條件極值 拉格朗日乘

15、數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法無條件極值無條件極值：在研究極值時，對自變量除了在研究極值時，對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其它條件限制在定義域內(nèi)外，并無其它條件.條件極值條件極值：對自變量有附加條件的極值：對自變量有附加條件的極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)要找函數(shù)),(yxfz 在條件在條件0),( yx 下的可能極下的可能極值點，值點，先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)),(),(),(yxyxfyxl 其中其中 為某一待定常數(shù)為某一待定常數(shù) 求求),( yxl的一階偏導數(shù)，并求駐點的一階偏導數(shù)，并求駐點 ),(),(),(),(),(yxlyxyxflyxyxflyyyxxx 000

16、 lllyx令令解出解出 , yx，其中，其中yx,就是就是可能可能的極值點的坐標的極值點的坐標.求條件極值的方法：求條件極值的方法：.,24求求出出面面積積最最大大的的矩矩形形的的條條件件下下在在周周長長等等于于例例a解解，寬為寬為設矩形的長為設矩形的長為yx,)20 ,20(:ayaxdxya 面積函數(shù)面積函數(shù)則則.ayx 約束條件為約束條件為)(),(ayxxyyxl 作拉格朗日函數(shù)作拉格朗日函數(shù) 000ayxxylyxl .2,2ayxa 解之解之上上的的唯唯一一駐駐點點，為為開開區(qū)區(qū)域域daa)2,2(.2的的正正方方形形即即為為所所求求所所以以邊邊長長為為a拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自

17、變量多于兩個的情況：拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個的情況：要找函數(shù)要找函數(shù)),(zyxfu 在條件在條件0),( zyx ，0),( zyx 下的極值。下的極值。 先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù) ),(),(21zyxfzyxl ),(),(21zyxzyx 其中其中21, 均為待定常數(shù)，可由均為待定常數(shù)，可由 偏導數(shù)為零及條件解偏導數(shù)為零及條件解出出zyx,，即得極值點的坐標，即得極值點的坐標.例例 5 5 將正數(shù)將正數(shù) 12 分成三個正數(shù)分成三個正數(shù)zyx,之和之和 使得使得zyxu23 為最大為最大.解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxl , 0120020323322zyxlyxlyzxlzyxlzyx 解解得得唯唯一一駐駐點點)2 , 4 , 6(，.691224623max u則則故最大值為故最大值為例例6,0上找一點上找一點在平面在平面 dczbyax的的距距離離最最小小使使其其到到),(0000zyxp解解 設尋找的那一點為設尋找的那一點為),(zyxp顯然要求函數(shù)顯然要求函數(shù)202020)()()(),(zzyyxxzyxl 下的最小值下的最小值在約束條件在約束條件0 dczbyax, 2具有相同的極值狀態(tài)具有相同的極值狀態(tài)與與注意到注意到ll所以所以202020)()()(),(zzyyxxzy