中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克賽前培訓(xùn)練習(xí)

1、中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克賽前培訓(xùn)練習(xí)11.求出所有的整數(shù)x，使得多項(xiàng)式f (x) = x6 + 15x5 + 85x4 + 225x3 + 274x2 + 120x + 1的值是完全平方數(shù)。2.設(shè) 三角形ABC的外接園為， M為三角形內(nèi)一點(diǎn)， 且在角A的平分線上，設(shè)AM,BM,CM與交于, P為與AB的交點(diǎn)， Q為與AC的交點(diǎn)。證明：PQ平行于BC.3. 某羽毛球俱樂(lè)部的2n名成員為n對(duì)夫妻。俱樂(lè)部準(zhǔn)備為所有成員安排一輪回避配偶的混合雙打比賽。規(guī)定配偶夫妻在賽程中既不作為搭檔，也不作為對(duì)立面出現(xiàn)。要求：( i) 同性別的每?jī)擅蓡T恰作為對(duì)立面在一場(chǎng)混雙比賽中相遇；4. 設(shè)數(shù)軸的0，1區(qū)間里有六個(gè)質(zhì)點(diǎn)，

2、依照從0到1的次序?qū)⑦@六個(gè)質(zhì)點(diǎn)標(biāo)記為初始時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置都在區(qū)間內(nèi)部；相鄰質(zhì)點(diǎn)與的距離分別是 ；并且各質(zhì)點(diǎn)都以相同的不變速度沿?cái)?shù)軸朝指向0點(diǎn)的方向運(yùn)動(dòng)，在以后的運(yùn)動(dòng)中，如果某個(gè)質(zhì)點(diǎn)碰到區(qū)間端0或1，那么該質(zhì)點(diǎn)立即折返，以同樣大小的不變速度值反向運(yùn)動(dòng)，如果某兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相向運(yùn)動(dòng)發(fā)生對(duì)撞，那么這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)立即各自折返，都以同樣大小的不變速度值反向運(yùn)動(dòng)。約定以表示第個(gè)質(zhì)點(diǎn)與第個(gè)質(zhì)點(diǎn)第次對(duì)撞的位置坐標(biāo)，試求所有可能的。5、求所有自然數(shù)n>1,使得不整除(n-2)!參考答案1.求出所有的整數(shù)x，使得多項(xiàng)式f (x) = x6 + 15x5 + 85x4 + 225x3 + 274x2 + 120x + 1

3、的值是完全平方數(shù)。解：f (x) = x (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) + 1，則x = 0, 1, 2, 3, 4, 5時(shí)，f (x) = 1為完全平方數(shù)，f (2) = f (7) = 71 2，也為完全平方數(shù)，進(jìn)一步驗(yàn)證，x = 1, 3, 4, 5, 6時(shí)，f (x)不是完全平方數(shù)。下面證明：只有上述8個(gè)數(shù)使得f (x)為完全平方數(shù)。 f (x) = f (x5)， 只需考慮x > 0的情況：當(dāng)x 7時(shí)，2x + 5 19，令u = 2x + 5，則u 19為奇數(shù)。64 f (x) = u 635u 2 + 259u 2161，令v =

4、8 f ，則考慮不定方程v 2 = u 635u 4 + 259u 2161。u 19為奇數(shù)。令v = u 3u + a，a Î Z，則v 2 = (u 3u + a) 2 = u 635u 4 + 259u 2161，整理得 h(a) = a 2 + (35u2u 31) a + (u 3 + + 161 + ) = 0， h(0) < 0，h(2) > 0，求h(a) = 0的整數(shù)根， h(1) = 0，即4u 3 = 189u 2 + 70u + 645 (*)若u 47，則4u 3 188u 2 189u 2；若u 48，則4u 3 189u 2 + 70u +

5、74u > 189u 2 + 70u + 645，這表明(*)不成立，因此本題沒(méi)有u 19的奇數(shù)解。故x = 7, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 2時(shí)，f (x)為完全平方數(shù)。3. 某羽毛球俱樂(lè)部的2n名成員為n對(duì)夫妻。俱樂(lè)部準(zhǔn)備為所有成員安排一輪回避配偶的混合雙打比賽。規(guī)定配偶夫妻在賽程中既不作為搭檔，也不作為對(duì)立面出現(xiàn)。要求：( i) 同性別的每?jī)擅蓡T恰作為對(duì)立面在一場(chǎng)混雙比賽中相遇；解：給俱樂(lè)部的成員按家庭用0, 1, , n1編號(hào)。第i 個(gè)家庭成員記為hi和wi，其中hi是丈夫、wi是妻子。 將n×n方格表的行用0, 1, , n1編號(hào)，列也用0, 1, , n

6、1編號(hào)。仿照第1題解答中的辦法填寫n×n方格表，按照所填方格表安排賽程，規(guī)定：如果i < j，aij = k，aji = l，那么就安排hi與wk作為搭檔，hj與wl作為搭檔，雙方進(jìn)行一場(chǎng)混和雙打比賽。在所填n×n方格表上，主對(duì)角線的第i格填寫的是i。因此，如果i < j，aij = k，aji = l，那么k i, j，l i, j。因而配偶回避，既不作為搭檔，也不作為對(duì)立面。任何兩個(gè)非配偶的不同性別成員，恰作為搭檔一次，也作為對(duì)立面一次。(因?yàn)槊啃惺?, 1, , n1的一個(gè)排列，每列也是)任兩同性別成員恰作為對(duì)立面一次。對(duì)于不同的i, j，由aij和aji安排的混雙比賽恰讓hi和hj作為對(duì)立面一次。不同的k和l恰作為 (aij, aji) (i < j) 出現(xiàn)一次，于是wk與wl恰作為對(duì)立面一次。4. 設(shè)數(shù)軸的0，1區(qū)間里有六個(gè)質(zhì)點(diǎn)，依照從0到1的次序?qū)⑦@六個(gè)質(zhì)點(diǎn)標(biāo)記為初始時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置都在區(qū)間內(nèi)部；相鄰質(zhì)點(diǎn)與的距離分別是 ；并且各質(zhì)點(diǎn)都以相同的不變速度沿?cái)?shù)軸朝指向0點(diǎn)的方向運(yùn)動(dòng)，在以后的運(yùn)動(dòng)中，如果某個(gè)質(zhì)點(diǎn)碰到區(qū)間端0或1，那么該質(zhì)點(diǎn)立即折返，以同樣大