信息光學(xué)第一章

1、常用數(shù)學(xué)函數(shù)常用數(shù)學(xué)函數(shù) v卷積與相關(guān)卷積與相關(guān)v傅立葉變換性質(zhì)與定理傅立葉變換性質(zhì)與定理 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論基礎(chǔ)理論v線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析v二維光波場分析二維光波場分析本章的教學(xué)目的與要求：本章的教學(xué)目的與要求：v本章是課程的基礎(chǔ)本章是課程的基礎(chǔ)v要求學(xué)生在解決光學(xué)問題中可應(yīng)用傅立葉變換性質(zhì)和定理要求學(xué)生在解決光學(xué)問題中可應(yīng)用傅立葉變換性質(zhì)和定理v加深對空間頻率、空間頻譜概念的理解加深對空間頻率、空間頻譜概念的理解本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容第一章第一章 傅立葉分析傅立葉分析2021-11-262第一章 傅里葉分析Joseph Fourier（1768-1830）2021-11-263

2、第一章 傅里葉分析 函數(shù)分類函數(shù)分類 基本初等函數(shù)：基本初等函數(shù)：在函數(shù)論中，將冪函數(shù)、指數(shù)函在函數(shù)論中，將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)。數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)。 初等函數(shù)：初等函數(shù)：指在自變量的定義域內(nèi)，能用單一解指在自變量的定義域內(nèi)，能用單一解析式對五種基本初等函數(shù)進(jìn)行有限次數(shù)的四則運(yùn)析式對五種基本初等函數(shù)進(jìn)行有限次數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的函數(shù)。算和復(fù)合所構(gòu)成的函數(shù)。 非初等函數(shù)：非初等函數(shù)：指在自變量的定義域中，不能用單指在自變量的定義域中，不能用單一解析式表示的函數(shù)一解析式表示的函數(shù) 1.1 光學(xué)中幾種常用函數(shù)光學(xué)中幾種常用函數(shù)v介紹它們的定義和性質(zhì)及

3、其在信息光學(xué)中的應(yīng)用介紹它們的定義和性質(zhì)及其在信息光學(xué)中的應(yīng)用; ;v要求掌握它們的定義、基本性質(zhì)、函數(shù)變形要求掌握它們的定義、基本性質(zhì)、函數(shù)變形; ;v主要介紹以下函數(shù)：主要介紹以下函數(shù)：1.1.矩形函數(shù)矩形函數(shù)2.Sinc函數(shù)函數(shù)3.3.階躍函數(shù)階躍函數(shù)4.4.符號函數(shù)符號函數(shù)5.5.三角形函數(shù)三角形函數(shù)6.6.高斯函數(shù)高斯函數(shù)7.7.圓域函數(shù)圓域函數(shù)8.8.函數(shù)函數(shù)9.9.梳狀函數(shù)梳狀函數(shù)常用函數(shù)常用函數(shù)變型變型xf(x)xf(x- x0)x0平移平移(原點(diǎn)移至原點(diǎn)移至x0)xf(-x)折疊折疊與與f(x)關(guān)于關(guān)于y軸軸鏡像對稱鏡像對稱x-f(x)取反取反與與f(x)關(guān)于關(guān)于x軸軸鏡像對

4、稱鏡像對稱xbf(x)倍乘倍乘y方向幅度方向幅度變化變化xf(x/a)比例縮放比例縮放a1, 在在x方向展寬方向展寬a倍倍a1, 在在x方向壓縮方向壓縮a倍倍平移平移縮放縮放取反取反倍乘倍乘折疊折疊常用函數(shù)變型（例）常用函數(shù)變型（例）解解1： f(-2x+4)= f-2(x-2)，包含折疊、壓縮、平移，包含折疊、壓縮、平移xf(-x)0-1先折疊xf(-2x)0-1/2再壓縮x0f-2(x-2)3/2最后平移xf(x)01例例: f(x)=求求 f (-2x+4)x, 0 x10 其它其它光學(xué)中幾種常用函數(shù)光學(xué)中幾種常用函數(shù)1 矩形函數(shù)矩形函數(shù) 定義：定義：一維一維 應(yīng)用應(yīng)用：單縫透過率、門函

5、數(shù)、時(shí)間脈沖波形：單縫透過率、門函數(shù)、時(shí)間脈沖波形. .1( )0 xrecta/2xa其它11/2( )0 xrect xelse標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型： )( rect0axx x0ax0y例題：例題：f(x)=rect(x)，將該函數(shù)壓縮，將該函數(shù)壓縮2倍，然后向左平移倍，然后向左平移3，并，并以以x=1為軸折疊，求最后得到的函數(shù)，并畫出函數(shù)圖。為軸折疊，求最后得到的函數(shù)，并畫出函數(shù)圖。向左向左平移平移3 311/2oxf(x)-1/211/2( )01/2xrect xx11/4oxf(2x)-1/4x=111/4(2 )01/4xrectxx壓縮壓縮2倍倍壓縮壓縮2倍倍y1-11/4oxf(2

6、x+6)-13/4113/411/4(26)0 xrectxelse以以x=1為軸為軸折疊折疊y1 19/421/410 20 xrectxelsex=11x-11/4o-13/419/421/4x=-3x=52 sinc函數(shù)函數(shù)定義：定義：應(yīng)用：應(yīng)用：單縫或矩形孔的夫瑯和費(fèi)衍射的振幅分布單縫或矩形孔的夫瑯和費(fèi)衍射的振幅分布sin()sinc( )xxx注意歸一化和非歸一注意歸一化和非歸一化的兩種表達(dá)方法?；膬煞N表達(dá)方法。sin( )sinc( )xxx強(qiáng)度分布為強(qiáng)度分布為sinc函數(shù)平方函數(shù)平方3 階躍函數(shù)階躍函數(shù) 定義：定義： 00( )1 2010 x axstepx aax aTx應(yīng)

7、用應(yīng)用：光學(xué)直邊或刀口的透過率：光學(xué)直邊或刀口的透過率標(biāo)準(zhǔn)型：標(biāo)準(zhǔn)型：00( )1 2010 xstep xxx4 符號函數(shù)符號函數(shù)定義定義：應(yīng)用應(yīng)用：與某函數(shù)相乘，可使該函數(shù)在某點(diǎn)的正負(fù)發(fā)生反轉(zhuǎn)。：與某函數(shù)相乘，可使該函數(shù)在某點(diǎn)的正負(fù)發(fā)生反轉(zhuǎn)。相位突變。相位突變。10sgn( )0010 x axx aax a0 x/aSgn(x/a)標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型：10sgn( )0010 xxxx5 三角函數(shù)（三角函數(shù)（tir(x)或或（x) 定義：定義：應(yīng)用應(yīng)用：矩形光瞳的非相干成像系統(tǒng)光學(xué)傳遞函數(shù)。矩形光瞳的非相干成像系統(tǒng)光學(xué)傳遞函數(shù)。11,00 xxxaaaaelse-aa1Ox 注意：函數(shù)形狀非真

8、三角形。注意：函數(shù)形狀非真三角形。標(biāo)準(zhǔn)型：標(biāo)準(zhǔn)型： 11,00 xxxaelse 6 高斯函數(shù)高斯函數(shù)定義定義：2( )( ),0 xaxGausseaa標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型：2( )( )xGauss xe特點(diǎn)特點(diǎn)：1）函數(shù)分布在整個(gè)區(qū)域連函數(shù)分布在整個(gè)區(qū)域連續(xù)、可導(dǎo)。續(xù)、可導(dǎo)。2）光滑、中心強(qiáng)邊緣弱。）光滑、中心強(qiáng)邊緣弱。3）其傅里葉變換還是高斯）其傅里葉變換還是高斯函數(shù)。函數(shù)。應(yīng)用應(yīng)用：1）是激光的常見模式：基膜高斯分布。）是激光的常見模式：基膜高斯分布。2）光信息處理中的）光信息處理中的“切趾術(shù)切趾術(shù)”，實(shí)，實(shí)質(zhì)：軟邊光欄。質(zhì)：軟邊光欄。Tr7 圓域函數(shù)圓域函數(shù)定義定義：應(yīng)用應(yīng)用：描述圓孔的透

9、過率、二維的門函數(shù)描述圓孔的透過率、二維的門函數(shù). .220001()0rrxyrcirccircrr其它8 函數(shù)函數(shù)定義定義：()0()1xaxaxa dx物理意義物理意義：描述脈沖狀態(tài)這樣一類物理量，描述脈沖狀態(tài)這樣一類物理量，函數(shù)表示某種極函數(shù)表示某種極限狀態(tài)，可用于描述高度集中的物理量，如：點(diǎn)電荷、點(diǎn)光源、限狀態(tài)，可用于描述高度集中的物理量，如：點(diǎn)電荷、點(diǎn)光源、瞬間光電脈沖等，又稱脈沖函數(shù)。瞬間光電脈沖等，又稱脈沖函數(shù)。焦點(diǎn)處光能描述焦點(diǎn)處光能描述點(diǎn)電荷處電場描述點(diǎn)電荷處電場描述 )(axx=a 函數(shù)的函數(shù)序列定義式函數(shù)的函數(shù)序列定義式：(0)lim( )0(0)lim( )1NNNN

10、xfxxfx dx 函數(shù)序列表達(dá)式的意義是在實(shí)際操作中可以將函數(shù)序列表達(dá)式的意義是在實(shí)際操作中可以將 函數(shù)具體函數(shù)具體化，便于處理?；阌谔幚?。是一類函數(shù)而不是某一種函數(shù)函數(shù)是一類函數(shù)而不是某一種函數(shù)函數(shù), 根據(jù)需要有多種形式。根據(jù)需要有多種形式。lim( )()NNfx dxA 常數(shù)？ /A還是還是 函數(shù)函數(shù)！函函 數(shù)數(shù)一維二維矩形函數(shù)矩形函數(shù)高斯函數(shù)高斯函數(shù)Sinc函數(shù)函數(shù)圓域函數(shù)圓域函數(shù)貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)( )lim()NxNrect Nx2( , )lim()()Nx yN rect Nx rect Ny22( )limexp()NxNNx2222( , )limexpNx yNN

11、xy( )limsin ()NxNc Nx2( , )limsin ()sin ()Nx yNc Nxc Ny222()( , )limNN circ Nxyx y22122(2)( , )limNNJNxyx yxy幾種表示幾種表示 函數(shù)的函數(shù)序列及其極限形式函數(shù)的函數(shù)序列及其極限形式 1 1） 篩選特性：篩選特性： 對任一連續(xù)函數(shù)對任一連續(xù)函數(shù) (x), 有：有：00( ) ( )(0)( ) ()()xx dxandxxxdxx 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)：物理意義：所有的有限函數(shù)都可以分解成物理意義：所有的有限函數(shù)都可以分解成 函數(shù)的函數(shù)的線性組合線性組合, 很有現(xiàn)實(shí)意義。很有現(xiàn)實(shí)意義。應(yīng)用

12、：信息處理中函數(shù)取點(diǎn)。應(yīng)用：信息處理中函數(shù)取點(diǎn)。2 2 可分離變量特性：可分離變量特性：直角坐標(biāo)系里，有直角坐標(biāo)系里，有極坐標(biāo)系里，有極坐標(biāo)系里，有000()()()rrrrr 什么是可分離變量？什么是可分離變量？這里這里2200000000(0)arctan(0)rxyryx同時(shí)同時(shí)002000()10()102rrdrrdr ？3 坐標(biāo)縮放：坐標(biāo)縮放：推論：推論： 偶函數(shù)偶函數(shù) 1()( )axxa()( )xx001()()xaxxxaa試證明？試證明？試證明？試證明？物理意義？物理意義？1()()axxa試 證 明()00(),()10()0(1)()()0()lim()lim()11

13、()0()lim()limma mma mmmmmmmxxxxd xxa xa xd xa xda xaa xd xa xd xaXdXaaaa xdaa xd xa xd x ，證 明 ： 對 于有 ： 顯 然 對 于也 有 而 對 于當(dāng)時(shí) ，當(dāng)時(shí) ，()111()( 2 )1(1) ( 2 )()()a ma ma xaXdXaaaa xd xaa xxa 綜 合、式 ， 得4 乘積特性乘積特性從物理上去怎么理解呢？從物理上去怎么理解呢？000( ) ()() ()xxxxxx( ) ( )(0) ( )f xxfx00() ( )0(0)xxxx( ) ( )xx無定義推論：推論：當(dāng)當(dāng)x

14、 x0, 由于由于 (x x0)=0, 所以等式成立。所以等式成立。當(dāng)當(dāng)x=x0, (x)= (x0), 等式等式顯然顯然成立。成立。5 積分形式：積分形式：1( )cos()21( )2ixxx dxed或者物理意義：物理意義： 函數(shù)可以由等振幅的不同頻率正弦或余弦波合成，或函數(shù)可以由等振幅的不同頻率正弦或余弦波合成，或者說者說 函數(shù)可以分解成等振幅的不同頻率正弦或余弦波。函數(shù)可以分解成等振幅的不同頻率正弦或余弦波。（傅里葉級數(shù)）（傅里葉級數(shù)） 9 梳狀函數(shù)（梳狀函數(shù)（comb function）定義：）定義：( )()ncomb xxn* 各個(gè)梳之間等間距；各個(gè)梳之間等間距；* 每個(gè)梳具有

15、每個(gè)梳具有 函數(shù)性質(zhì)。函數(shù)性質(zhì)。T 二維梳狀函數(shù)的圖形是什么？試說明。二維梳狀函數(shù)的圖形是什么？試說明。,( , )( )( )(,)n mcomb x ycomb x comb yxn ym二維：二維：梳狀函數(shù)與普通函數(shù)的乘積：梳狀函數(shù)與普通函數(shù)的乘積：0000( )()() ()mxf x combxf mxxmxx應(yīng)用：重復(fù)取樣、描述時(shí)間上重復(fù)出現(xiàn)的光電脈沖、空間應(yīng)用：重復(fù)取樣、描述時(shí)間上重復(fù)出現(xiàn)的光電脈沖、空間上等間距排列的點(diǎn)或線光源。上等間距排列的點(diǎn)或線光源。實(shí)現(xiàn)重復(fù)取樣！實(shí)現(xiàn)重復(fù)取樣！1.2 卷積卷積卷積運(yùn)算的意義：一個(gè)函數(shù)繞函數(shù)軸反轉(zhuǎn)并沿自變量軸做卷積運(yùn)算的意義：一個(gè)函數(shù)繞函數(shù)軸

16、反轉(zhuǎn)并沿自變量軸做某一平移后與另一函數(shù)的重疊區(qū)域的積分。某一平移后與另一函數(shù)的重疊區(qū)域的積分。( )( )( )( ) ()g xf xh xfh xd1 定義：定義：設(shè)設(shè)f(x)和和h(x)是兩個(gè)復(fù)函數(shù)，其卷積定義為是兩個(gè)復(fù)函數(shù)，其卷積定義為f()h()h()x/2h(x-)2.2.卷積的應(yīng)用卷積的應(yīng)用1）卷積運(yùn)算在線性系統(tǒng)、光學(xué)成像理論和傅立葉變換中經(jīng)）卷積運(yùn)算在線性系統(tǒng)、光學(xué)成像理論和傅立葉變換中經(jīng)常用到。常用到。x0y0 xiyi透鏡透鏡1線光源線光源獲得線光源的獲得線光源的遠(yuǎn)場衍射圖案遠(yuǎn)場衍射圖案狹縫狹縫2）光學(xué)系統(tǒng)具有卷積功能。）光學(xué)系統(tǒng)具有卷積功能。I0( )d 透鏡透鏡2fff

17、f2002sin()/( )( )( ) ()()/iiiia xfI xIdIP xda xf22sin()/()()/iiia xfP xa xfx0= 處單位強(qiáng)度點(diǎn)光源對應(yīng)的像強(qiáng)度分布處單位強(qiáng)度點(diǎn)光源對應(yīng)的像強(qiáng)度分布像平面上的光強(qiáng)分布是物的光強(qiáng)分布與單位強(qiáng)度點(diǎn)光源對應(yīng)像平面上的光強(qiáng)分布是物的光強(qiáng)分布與單位強(qiáng)度點(diǎn)光源對應(yīng)的像強(qiáng)度分布的卷積。的像強(qiáng)度分布的卷積。像平面上總的光強(qiáng)分布像平面上總的光強(qiáng)分布卷積是關(guān)于卷積是關(guān)于x的函數(shù)，而的函數(shù)，而 只是中間的積分變量。只是中間的積分變量。 卷積的幾何意義：置換變量卷積的幾何意義：置換變量翻轉(zhuǎn)翻轉(zhuǎn)平移平移相乘相乘積分積分f(x)f()h()h(-)

18、h(x- )f()h(x- )置換變量置換變量h(x)相乘和積分相乘和積分( )( )( )( ) ()g xf xh xfh xd置換變量置換變量反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)平移平移1) 展寬效應(yīng)：卷積的效果往往是使原函數(shù)變胖展寬效應(yīng)：卷積的效果往往是使原函數(shù)變胖 （光斑變大，（光斑變大，脈沖變寬）脈沖變寬）卷積后信號的非零區(qū)域大概為原來兩個(gè)信號的非零區(qū)域之和。卷積后信號的非零區(qū)域大概為原來兩個(gè)信號的非零區(qū)域之和。只要兩函數(shù)非零區(qū)域存在重疊，卷積函數(shù)就不為零。只要兩函數(shù)非零區(qū)域存在重疊，卷積函數(shù)就不為零。卷積的兩個(gè)效應(yīng)：卷積的兩個(gè)效應(yīng)：f()h(x- )x0h(x- )2)平滑效應(yīng)：使原來劇烈變化的函數(shù)變緩。例

19、如快變函平滑效應(yīng)：使原來劇烈變化的函數(shù)變緩。例如快變函數(shù)數(shù)f (x)與寬度為與寬度為a的矩形函數(shù)卷積的矩形函數(shù)卷積/2/2( )( )()( )x ax axg xfrectdfda原函數(shù)原函數(shù)f(x)在某點(diǎn)在某點(diǎn)x的值卷積后用某一段的值卷積后用某一段(x-a/2, x+a/2)的積分值來表示的積分值來表示, 等價(jià)于這段區(qū)間的平均值。等價(jià)于這段區(qū)間的平均值。 ( )( )( )( )f xh xh xf x交換律：( )( )( )( )( )( )( )aw xbv xh xaw xh xbv xh x分配律： ( )( )( )( ) ( )( )v xw xh xv xw xh x結(jié)合律

20、：卷積的運(yùn)算性質(zhì)卷積的運(yùn)算性質(zhì)可分離變量特性可分離變量特性: 如果參與卷積的兩個(gè)函數(shù)是可分離的如果參與卷積的兩個(gè)函數(shù)是可分離的, 其其二維卷積也是可分離的。（極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)）二維卷積也是可分離的。（極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)）分配律體現(xiàn)了卷積的線性特性。分配律體現(xiàn)了卷積的線性特性。參與卷積的任一函數(shù)在參與卷積的任一函數(shù)在x方向方向上平移上平移x0 0，其卷積的形狀不，其卷積的形狀不變，只是也在變，只是也在x方向上平移方向上平移x0 0卷積的位移不變性卷積的位移不變性卷積的坐標(biāo)縮放性質(zhì)：卷積的坐標(biāo)縮放性質(zhì)： 兩個(gè)卷積函數(shù)的自變量放大兩個(gè)卷積函數(shù)的自變量放大a，其卷積結(jié)果等價(jià)于卷積值的壓，其卷積結(jié)果等價(jià)于

21、卷積值的壓縮縮1/|1/|a| |。卷積函數(shù)的形狀和位置均不變。卷積函數(shù)的形狀和位置均不變。復(fù)函數(shù)卷積：利用卷積的交換律、分配律將實(shí)部和虛部分開復(fù)函數(shù)卷積：利用卷積的交換律、分配律將實(shí)部和虛部分開進(jìn)行。進(jìn)行。注意：絕對值符號。注意：絕對值符號。與與 函數(shù)的函數(shù)的卷積卷積1 1）任一函數(shù)與）任一函數(shù)與 函數(shù)卷積運(yùn)算的結(jié)果只是將該函數(shù)在坐標(biāo)函數(shù)卷積運(yùn)算的結(jié)果只是將該函數(shù)在坐標(biāo)上平移上平移x0, y0，函數(shù)值分布不變，曲線形狀不變。，函數(shù)值分布不變，曲線形狀不變。2 2）任一函數(shù)與任一函數(shù)與 函數(shù)的函數(shù)的（k, l）次微分的卷積是該函數(shù)經(jīng)過次微分的卷積是該函數(shù)經(jīng)過在坐標(biāo)上平移在坐標(biāo)上平移x0, y0

22、后的微分。后的微分。卷積的運(yùn)算舉例（習(xí)題課，留作業(yè)）卷積的運(yùn)算舉例（習(xí)題課，留作業(yè)）首先畫出它們的函數(shù)圖。首先畫出它們的函數(shù)圖。11oxf(x)12oxh(x)h(- )o -211o f( )改寫改寫變量變量改寫改寫變量、變量、折疊折疊解：解：然后根據(jù)它們的相對位置不同，重疊情況不同劃分討論區(qū)域。然后根據(jù)它們的相對位置不同，重疊情況不同劃分討論區(qū)域。1) x 0, 此時(shí)兩函數(shù)沒有重疊區(qū)，顯然，卷積值為此時(shí)兩函數(shù)沒有重疊區(qū)，顯然，卷積值為0；2) 0 x 1, 隨著隨著h(x)右移，它與右移，它與f(x)發(fā)生重疊，但發(fā)生重疊，但h(x)的右邊緣的右邊緣沒有進(jìn)入沒有進(jìn)入f(x) 函數(shù)在右邊的零區(qū)

23、。此時(shí)有函數(shù)在右邊的零區(qū)。此時(shí)有h(x- )x1o f( )1平移平移xx 01h(x- )o f( )10 x 1x注意：經(jīng)位移注意：經(jīng)位移x后。矩形函數(shù)的前、后沿坐標(biāo)。后。矩形函數(shù)的前、后沿坐標(biāo)。 3）1x 2, h(x)與與f(x)發(fā)生重疊，但發(fā)生重疊，但h(x)的左邊緣沒有進(jìn)入的左邊緣沒有進(jìn)入f(x) 函數(shù)在的非零區(qū)。在這段區(qū)域，兩函數(shù)的重疊區(qū)面積是一常量，函數(shù)在的非零區(qū)。在這段區(qū)域，兩函數(shù)的重疊區(qū)面積是一常量，與與x無關(guān)。無關(guān)。 4）2 x3, h(x)與與f(x)發(fā)生重疊，但發(fā)生重疊，但h(x)的左邊緣已進(jìn)入的左邊緣已進(jìn)入f(x) 函數(shù)在的非零區(qū)。此時(shí)有函數(shù)在的非零區(qū)。此時(shí)有1h(

24、x- )o f( )12x13, h(x)與與f(x)不發(fā)生重疊，不發(fā)生重疊，h(x)的左邊緣已進(jìn)入的左邊緣已進(jìn)入f(x) 函數(shù)函數(shù)右側(cè)的零區(qū)，此時(shí)卷積為零。右側(cè)的零區(qū)，此時(shí)卷積為零。1h(x- )o f( )1x-2x1h(x- )o f( )1x2 x3解：首先畫出它們的函數(shù)圖解：首先畫出它們的函數(shù)圖, 并做變量變換，然后按照它們并做變量變換，然后按照它們的重疊情況劃分討論區(qū)域。的重疊情況劃分討論區(qū)域。1o h( )21o f( )-2h(x- )xf( )1o -2f( )1o h(x- )-2xx -2折疊、平移折疊、平移x根據(jù)不同根據(jù)不同x決 定 計(jì) 算決 定 計(jì) 算表達(dá)式表達(dá)式f(

25、 )1o h(x- )-2x-2x 0f( )1o h(x- )2x00h(-x)f()x0h()f(x)x0h()不失一般性，設(shè)函數(shù)為不失一般性，設(shè)函數(shù)為實(shí)函數(shù)。實(shí)函數(shù)。卷積滿足交卷積滿足交換律！換律！f()h()f()h()f(x)h()0藍(lán)藍(lán)1紅紅2藍(lán)藍(lán)1紅紅1 藍(lán)藍(lán)2紅紅2 藍(lán)藍(lán)2紅紅1不失一般性，設(shè)函數(shù)為不失一般性，設(shè)函數(shù)為實(shí)函數(shù)。實(shí)函數(shù)。卷積滿足交卷積滿足交換律！換律！f()h()f()h(x-)0=0 0f()h(x-)f()h(x-)f()h(x-)1212藍(lán)藍(lán)1紅紅2藍(lán)藍(lán)1紅紅1 藍(lán)藍(lán)2紅紅2 藍(lán)藍(lán)2紅紅1互相關(guān)與卷積的比較：互相關(guān)與卷積的比較：1）互相關(guān)時(shí)有一函數(shù)要取復(fù)共軛

26、，而卷積沒有；）互相關(guān)時(shí)有一函數(shù)要取復(fù)共軛，而卷積沒有；2）互相關(guān)圖形不需要反轉(zhuǎn)；）互相關(guān)圖形不需要反轉(zhuǎn)；3）兩者在位移、相乘和積分這三個(gè)過程是一樣的。）兩者在位移、相乘和積分這三個(gè)過程是一樣的。如果如果f (x)為實(shí)偶函數(shù)，那么互相關(guān)和卷積的結(jié)果相等。為實(shí)偶函數(shù)，那么互相關(guān)和卷積的結(jié)果相等。這時(shí)函數(shù)折疊和共軛都不改變函數(shù)值。這時(shí)函數(shù)折疊和共軛都不改變函數(shù)值?；ハ嚓P(guān)的意義：互相關(guān)的意義：衡量兩個(gè)函數(shù)間存在的關(guān)聯(lián)程度，兩信號關(guān)聯(lián)衡量兩個(gè)函數(shù)間存在的關(guān)聯(lián)程度，兩信號關(guān)聯(lián)程度高互相關(guān)值就大。程度高互相關(guān)值就大。2 2 自相關(guān)自相關(guān)定義：定義：性質(zhì)：性質(zhì)：意義：意義：衡量同一函數(shù)不同點(diǎn)之間的相關(guān)程度。

27、衡量同一函數(shù)不同點(diǎn)之間的相關(guān)程度。( )( )( )( ) ()() ( )eff xf xf xff xdfx fd( )( )( )()()()ffffexf xf xfxfxex應(yīng)用：自相關(guān)測量應(yīng)用：自相關(guān)測量自相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)：自相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)：2 2、自相關(guān)函數(shù)的模在原點(diǎn)處有極大值。即、自相關(guān)函數(shù)的模在原點(diǎn)處有極大值。即( )( )( )(0)(0)(0)ffffexf xf xeff書本有誤！書本有誤！22( ) ( )( )( )g x h x dxg xdxh xdx取施瓦茨不等式證明：證明：1/ 22*1/ 222( )( )( )()( )()( )(0)fff xf xff

28、x dfdfxdfde1 1、厄米特對稱：、厄米特對稱：若若f(x)為實(shí)函數(shù)，則自相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)。為實(shí)函數(shù)，則自相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)。( )( )( )()()ffexf xf xfxfx相關(guān)的運(yùn)算舉例相關(guān)的運(yùn)算舉例( )( ), ( )( )f xrect x h xrect x例1 設(shè)，求它們的相關(guān)函數(shù)。解解1：1) 第一函數(shù)取共軛。這里是實(shí)函數(shù)，可以省略。第一函數(shù)取共軛。這里是實(shí)函數(shù)，可以省略。 2) 兩函數(shù)變量變換：兩函數(shù)變量變換：f (x) f ( ), h(x) h( ) 。 3) 第二函數(shù)平移：第二函數(shù)平移： h( ) h(x+ )。 4) 確定積分區(qū)域劃分、積分。確定積分區(qū)域劃分

29、、積分。h(x+ )的中心在的中心在 = -x處處.f ( )h (x+ )-1/21/2 x- x f( ) 與與h(x+ )不重合，相關(guān)函數(shù)。不重合，相關(guān)函數(shù)。( )( )( )0g xf xh xf ( )h (x+ )-1/21/2-x-x = -x-1 x 0， f( ) 與與h(x+ )部分重部分重合，相關(guān)函數(shù)合，相關(guān)函數(shù)1/21/2( )()1xg xrect xdx f ( )h (x+ )-1/21/2-x-x = -x0 x 1， f( ) 與與h(x+ )部分重部分重合，相關(guān)函數(shù)合，相關(guān)函數(shù)1/21/2( )()1xg xrect xdx 11122xx f ( )h (

30、x+ )-1/21/2 x- x = -xf ( )h (x+ )-1/21/2-x-x = -x1 x ， f( ) 與與h(x+ )不重合，不重合，相關(guān)函數(shù)為相關(guān)函數(shù)為001110( )10101xxxg xxxx 與書本不一致！與書本不一致！解解2：根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義，有根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義，有1/21/2( )( )()()g xrectrect xdrect xd01110( )10101xxxg xxxx rect(x+ )的非零值區(qū)域?yàn)榈姆橇阒祬^(qū)域?yàn)?/21/2,1/21/2xxx 即1/21/21/21/2/1/21/1/2/1/1/2/1( )()1/1/2/0( )()1xx

31、xxxxxxg xrect xdxxxg xrect xdx 當(dāng)12，即時(shí)，在-12 12積分區(qū)間，被積函數(shù)為始終為0。當(dāng)12，即時(shí)，在-12 12積分區(qū)間，被積函數(shù)為始終為0。當(dāng)-1212，即0時(shí)，當(dāng)-1212，即-1時(shí)，11( )(), ( )()22( )xxf xrecth xrectg x例2 設(shè)，求它們的相關(guān)函數(shù)02111( )()()()222xxg xrectrectdrectdf ( )-20 h(x+ -1)/22-x-x = 1-x解：解：2-x4, f( ) 與與h(x+ )不重合不重合( )( )( )0g xf xh xf ( )-20 h (x+ -1)/22-x

32、-x = 1-x-2 2-x0， 2 x4, f( ) 與與h(x+ )部分重合部分重合0( )xg xdxf ( )-20 h (x+ -1)/22-x-x = 1-x0 2-x2， 0 x2， x0,b0, 有11(,)(,)(,),yyxxyxffffxyababffxyaaF F FFFabababFFXax YbY這里 2 ()2 ()2 ()2 ()2 ()(,)(,)1(,)1(,)1(, )xyxyffyxabffyxabxyif xf yif xf yiaxbyiaxbyiF XF Yf ax by edxdyf ax by edxdyf ax by ed ax d byab

33、f ax by ed ax d byabf X Y ed X d Yab如果a0,b0, 有11(,)(,)yxffxyabF F FFabab同理可證同理可證a 0,b 0的情況的情況 2 ()2 ()2 ()2 ()2 (,)(,)1(,)11(,)1(, )xyxyffyxabffyxabxif xf yif xf yiaxbyiaxbyiF Xf ax by edxdyf ax by edxdyf ax by ed ax d byabf ax by ed ax d byabf X Y eab如果a0,b0, 有 )11(,)(,)yyxF Yffxyabd X d YF F FFaba

34、b證畢證畢v3 3）位移定理）位移定理 A A 位移和時(shí)移：位移和時(shí)移： 即函數(shù)即函數(shù)f(x,y)在空域或時(shí)域平移，只引起其頻譜的相位線性在空域或時(shí)域平移，只引起其頻譜的相位線性平移，而不改變其振幅頻譜。平移，而不改變其振幅頻譜。 B B 頻移頻移 即原函數(shù)在空域中的相移會引起其頻譜函數(shù)在頻域的平移。即原函數(shù)在空域中的相移會引起其頻譜函數(shù)在頻域的平移。),(2),(),(bfafiyxyxeffFbyaxf2 () ( , )(,)ixyxyf x y eF ff 注意：這里所謂的相移、位移都是與橫向空間坐標(biāo)相關(guān)的。注意：這里所謂的相移、位移都是與橫向空間坐標(biāo)相關(guān)的。 2 ()22222(,)

35、 ( , )( , )(,)(, )(, )xyxyxyxyxyxyif xf yifx a afy b bifXafYbif af bif Xf Yif af bF fx fyf x yf x y edxdyf xa yb ed xa d ybf X Y edXdYef X Y edXdYe 證明：，(,),F fx fyXxa YYb這里2 (,) (,)(,)xyif a f bxyf xa ybF ffe試證：2 () ( , )(,)ixyxyf x y eF ff 證明：4 4）卷積定理）卷積定理),(),(),(),(),(),(),(),(yxyxyxyxffGffFyxgyx

36、fffGffFyxgyxf通過傅立葉變換，可將空域（或頻域）中的卷積運(yùn)算，通過傅立葉變換，可將空域（或頻域）中的卷積運(yùn)算，對應(yīng)為頻域（或空域）中的乘積運(yùn)算。避開了復(fù)雜的對應(yīng)為頻域（或空域）中的乘積運(yùn)算。避開了復(fù)雜的卷積運(yùn)算。卷積運(yùn)算。兩個(gè)函數(shù)卷積的傅立葉變換等于兩函數(shù)各自傅立葉兩個(gè)函數(shù)卷積的傅立葉變換等于兩函數(shù)各自傅立葉變換的乘積；而兩個(gè)函數(shù)乘積的傅立葉變換等于此變換的乘積；而兩個(gè)函數(shù)乘積的傅立葉變換等于此兩函數(shù)各自傅立葉變換的卷積兩函數(shù)各自傅立葉變換的卷積. . ( , )( , )(,) (,)xyxyf x yg x yF ffG ff證明：2222 ( , )( , )( , ) (,

37、)( , ) (,)( , )( , )xyxyxyxyif x f yifxfyiffif Xf Yf x yg x yfg xyd dedxdyfg xyd dedxdyfeg X Y ed d 證明：22( , )( , )( ,) ( ,)xyxyiffif Xf YxyxydXdYfed dg X Y edXdYF ff G ff 5 5）互相關(guān)定理）互相關(guān)定理v兩函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)和它們的互功率譜構(gòu)成傅立葉變換對。兩函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)和它們的互功率譜構(gòu)成傅立葉變換對。),(),(),(),(),(),(),(),(yxyxyxyxffGffFyxgyxfffGffFyxgyxff(x,

38、 y)與與g(x, y)的的互功率互功率譜譜有興趣的同學(xué)可以自行證明有興趣的同學(xué)可以自行證明6 6）自相關(guān)定理）自相關(guān)定理v信號的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜之間存在傅立葉變換關(guān)系。信號的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜之間存在傅立葉變換關(guān)系。),(),(),(),(),(),(22yxyxyxffFffFyxfffFyxfyxf互功率互功率譜譜7）轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動定理定理 ( , )( ,), ( ,)( ,)f rFf rF設(shè)則 原函數(shù)在空域中轉(zhuǎn)動原函數(shù)在空域中轉(zhuǎn)動 角，對應(yīng)的譜函數(shù)在頻域也轉(zhuǎn)角，對應(yīng)的譜函數(shù)在頻域也轉(zhuǎn)動了同樣的動了同樣的 角。（需知道結(jié)論）角。（需知道結(jié)論）8 8）能量守恒定理（岶色渥定理）能量守恒

39、定理（岶色渥定理）22( , )(,)xyxyf x ydxdyF ffdf df廣義岶色渥定理廣義岶色渥定理*( , )( , )(,)(,)xyxyxyf x y gx y dxdyF ffGffdf df不要求證不要求證明，但要明，但要掌握！掌握！9）積分定理積分定理即對函數(shù)連續(xù)進(jìn)行變換和逆變換，又重新得到原函數(shù)（即對函數(shù)連續(xù)進(jìn)行變換和逆變換，又重新得到原函數(shù)（可逆可逆）。10）多次變換定理多次變換定理 在函數(shù)在函數(shù)f(x,y)連續(xù)的各點(diǎn)上，有：連續(xù)的各點(diǎn)上，有：即對函數(shù)即對函數(shù)f(x,y)連續(xù)作兩次傅立葉變換或逆變換，得其連續(xù)作兩次傅立葉變換或逆變換，得其“鏡像鏡像”（傅立葉變換的（傅

40、立葉變換的對稱性）對稱性）。光學(xué)模型為。光學(xué)模型為4f 成像系統(tǒng)成像系統(tǒng)),(),(),(11yxfyxfyxf),(),(),(11yxfyxfyxff f f f 像面像面譜面譜面物面物面透鏡透鏡透鏡透鏡11）微分性質(zhì)微分性質(zhì)即空域的微分運(yùn)算可被頻域內(nèi)乘以即空域的微分運(yùn)算可被頻域內(nèi)乘以2 fi 代替。代替。12）積分性質(zhì)積分性質(zhì) 即函數(shù)的積分運(yùn)算可通過傅立葉變換簡化為除法運(yùn)算。即函數(shù)的積分運(yùn)算可通過傅立葉變換簡化為除法運(yùn)算。)(2)0()(21)(xxxxfFfFfidf)()(2)(2)(xxxxxfFdfdxffifFfixfdxd13）共軛變換定理共軛變換定理若若f(x,y)為非負(fù)實(shí)

41、函數(shù)，有為非負(fù)實(shí)函數(shù)，有 *1*( , )(,)(,)( , )xyxyfx yFffFfffx y*(,)(,)xyxyF ffFff復(fù)函數(shù)的傅立葉變換復(fù)函數(shù)的傅立葉變換( ,)( , ) ,( , )( , )( , )xyRiF fff x yf x yf x yif x y如果那么(,)( , )( , )xyRiF fffx yif x y 用到傅里葉變換用到傅里葉變換的什么特性？的什么特性？注意下列問題！注意下列問題！(,)Re(,)Im(,)xyxyxyF ffF ffiF ffRe(,)( , ) ?Im(,)( , ) ?xyRxyIF fffx yF fffx y 不一定不

42、一定是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)不一定是不一定是虛數(shù)虛數(shù)結(jié)論：結(jié)論：1 1）復(fù)函數(shù)的）復(fù)函數(shù)的傅立葉變換等于其實(shí)函數(shù)部分和虛函數(shù)部分的分傅立葉變換等于其實(shí)函數(shù)部分和虛函數(shù)部分的分別傅立葉變換之和。別傅立葉變換之和。2 2）如果）如果f(x, y)為實(shí)函數(shù)，其傅立葉變換的實(shí)部為偶函數(shù)，虛部為實(shí)函數(shù)，其傅立葉變換的實(shí)部為偶函數(shù)，虛部為奇函數(shù)。為奇函數(shù)。3 3）如果）如果f(x, y)為實(shí)奇函數(shù)，其傅立葉變換的實(shí)部為零。為實(shí)奇函數(shù)，其傅立葉變換的實(shí)部為零。常見函數(shù)的傅里葉變換對常見函數(shù)的傅里葉變換對原函數(shù)原函數(shù)譜函數(shù)譜函數(shù)原函數(shù)原函數(shù)譜函數(shù)譜函數(shù)1(fx, fy)rect(x) rect(y)sinc(fx) si

43、nc(fy) (x, y)1(x) (y)sinc2(fx) sinc2(fy)(x-x0, y-y0)exp-i2 (fxx0+fyy0)comb(x) comb(y) comb(fx) comb(fy)exp-i2 (ax+ by) (fx a, fyb)step(x)(fx)/2+1/(2ifx)cos(2fxx) (fx f0)+(fx+f0)/2exp-(x2+y2)exp-(fx2+fy2)sin(2fxx) (fx f0)- (fx+f0)/2i circ(x2+y2)0.5 (x x0)+ (x+x0) /2cos(2fxx0)sgn(x)sgn(y)i (x-x0)- (x+

44、x0)/2sin( 2fxx0)expi(x2+y2)expi/2 exp-i(fx2+fy2)221222xyxyJffff11xyifif1.6 線性系統(tǒng)與線性空不變系統(tǒng)線性系統(tǒng)與線性空不變系統(tǒng)1 1 系統(tǒng)的算符表示系統(tǒng)的算符表示v系統(tǒng)：系統(tǒng)：對給定的信號作出響應(yīng)而給出另外的信號，對給定的信號作出響應(yīng)而給出另外的信號，即對信號產(chǎn)生即對信號產(chǎn)生作用作用。v作用：作用：將其定義為將其定義為一種變換一種變換，把對系統(tǒng)的，把對系統(tǒng)的輸入稱為輸入稱為激勵(lì)激勵(lì)，而對此系統(tǒng)的，而對此系統(tǒng)的輸出稱為響應(yīng)輸出稱為響應(yīng)。系 統(tǒng)激勵(lì)激勵(lì)( (輸入輸入) )響應(yīng)響應(yīng)( (輸出輸出) ),(11yxf),(22yx

45、g實(shí)際存在的系統(tǒng)有很多形式，我們這里只討論具有實(shí)際存在的系統(tǒng)有很多形式，我們這里只討論具有線性或同時(shí)具有平移不變性的系統(tǒng)。線性或同時(shí)具有平移不變性的系統(tǒng)。比較簡單、常比較簡單、常見的有應(yīng)用價(jià)值。見的有應(yīng)用價(jià)值。系統(tǒng)的作用系統(tǒng)的作用就是完成物理或數(shù)學(xué)上的某種變換或運(yùn)算。就是完成物理或數(shù)學(xué)上的某種變換或運(yùn)算。算符算符 表示系統(tǒng)的作用，表示系統(tǒng)的作用，這個(gè)算符的性質(zhì)，要針對這個(gè)算符的性質(zhì)，要針對具體系統(tǒng)而定。具體系統(tǒng)而定。處理的處理的特點(diǎn)特點(diǎn)：簡化信息處理。：簡化信息處理。信息處理對系統(tǒng)的信息處理對系統(tǒng)的核心任務(wù)核心任務(wù): 找出系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)。找出系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)。1 1）光學(xué)成像過程：）光學(xué)成像過程

46、：“物物”光分布光分布線性變換線性變換“像像”光分布光分布v分析一個(gè)系統(tǒng)，就是要確定系統(tǒng)輸入輸出之間的對應(yīng)關(guān)系；分析一個(gè)系統(tǒng)，就是要確定系統(tǒng)輸入輸出之間的對應(yīng)關(guān)系；v描述系統(tǒng)輸入輸出之間關(guān)系就是把一個(gè)激勵(lì)轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的描述系統(tǒng)輸入輸出之間關(guān)系就是把一個(gè)激勵(lì)轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的一個(gè)響應(yīng)，這種轉(zhuǎn)換可以用一個(gè)算子表示為：一個(gè)響應(yīng)，這種轉(zhuǎn)換可以用一個(gè)算子表示為： g(x)=f(x)v對于線性系統(tǒng)，則有：對于線性系統(tǒng)，則有： c1g1(x)+c2g2(x)=c1f1(x)+c2f2(x)2 2 線性系統(tǒng)的意義線性系統(tǒng)的意義( (不變形不變形) )2)2)線性系統(tǒng)的定義線性系統(tǒng)的定義112211221212( )(

47、 )( )( )( )( );( )( )( )( )f (x)gxf (x)gxfxgxfxgxfxfxgxgx假設(shè)一個(gè)激勵(lì)作用于某系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)為；激勵(lì)作用于某系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)為；用符號表示為：，那么系統(tǒng)滿足可加性它的重要性質(zhì)就它的重要性質(zhì)就是線性疊加性是線性疊加性由幾個(gè)激勵(lì)函數(shù)相加產(chǎn)生的總響應(yīng)是各個(gè)激由幾個(gè)激勵(lì)函數(shù)相加產(chǎn)生的總響應(yīng)是各個(gè)激勵(lì)單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)函數(shù)之和勵(lì)單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)函數(shù)之和含義：若把一個(gè)線性組合整體輸入線性系統(tǒng)，則系含義：若把一個(gè)線性組合整體輸入線性系統(tǒng)，則系統(tǒng)的總響應(yīng)是單個(gè)響應(yīng)的同樣的線性組合；統(tǒng)的總響應(yīng)是單個(gè)響應(yīng)的同樣的線性組合；也可以理解為：也可以理解為：系統(tǒng)

48、對任意輸入的響應(yīng)能夠用它對系統(tǒng)對任意輸入的響應(yīng)能夠用它對此輸入分解成的某些基元函數(shù)的響應(yīng)表示出來。此輸入分解成的某些基元函數(shù)的響應(yīng)表示出來。1 1111( )( )c f xc g xc齊次性（均勻性）：，其中 為任意常數(shù).當(dāng)系統(tǒng)未加激勵(lì)當(dāng)系統(tǒng)未加激勵(lì)時(shí)它不產(chǎn)生任何時(shí)它不產(chǎn)生任何響應(yīng)，保持比例響應(yīng)，保持比例因子不變。因子不變。1 1221 122( )( )( )( )c f xc f xcg xc g x綜合上述兩特性，線性系統(tǒng)的定義可表示為：假設(shè)系統(tǒng)的激勵(lì)函數(shù)為假設(shè)系統(tǒng)的激勵(lì)函數(shù)為11111()niif(x ,y )f x ,y相應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)為相應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)為22221()niig

49、(x ,y )g x ,yai為常數(shù)，為常數(shù)， .為系統(tǒng)算符。那么對于線性系統(tǒng)有為系統(tǒng)算符。那么對于線性系統(tǒng)有2211221111inniiiiiig(x ,y )f (x ,y )a g (x ,y )a f (x ,y )以及問題：問題：根據(jù)系統(tǒng)的定義，傅立葉變換算符可看作系統(tǒng)的變換算符，根據(jù)系統(tǒng)的定義，傅立葉變換算符可看作系統(tǒng)的變換算符，那么它是線性系統(tǒng)嗎？為什么？那么它是線性系統(tǒng)嗎？為什么？對于連續(xù)的激勵(lì)對于連續(xù)的激勵(lì)( , )( , )( , )g x yagd dafd d 可以表示為積分形式：v處理線性系統(tǒng)常用方法：處理線性系統(tǒng)常用方法：3)3)線性系統(tǒng)的分析與綜合：傅立葉分析線

50、性系統(tǒng)的分析與綜合：傅立葉分析一個(gè)復(fù)一個(gè)復(fù)雜輸入雜輸入分解分解多個(gè)簡單多個(gè)簡單“基基元元”輸入輸入計(jì) 算 每 個(gè)計(jì) 算 每 個(gè)“基元基元”輸輸入的響應(yīng)入的響應(yīng)總響應(yīng)總響應(yīng)疊加疊加傅立葉分析提供了一個(gè)進(jìn)行信號分解的手段！傅立葉分析提供了一個(gè)進(jìn)行信號分解的手段！2()(,)( , )xyif xf yxyF fff x y edxdy基元函數(shù)基元函數(shù)權(quán)重因子權(quán)重因子基元函數(shù)的意義：基元函數(shù)的意義：代表了傳播方向?yàn)椋捍砹藗鞑シ较驗(yàn)椋?cos fx，cos fy的單位振幅的平的單位振幅的平面波。面波。逆傅立葉變換的物理意義：逆傅立葉變換的物理意義：物函數(shù)物函數(shù)f(x,y)可看作是無數(shù)振可看作是無數(shù)振

51、幅不同幅不同 (|F(fx,fy) |dfxdfy)方向不同方向不同（ cos fx，cos fy ）的平面波線性疊加的結(jié)果的平面波線性疊加的結(jié)果(傅立葉分解傅立葉分解)。yxyfxfiyxyxdfdfeffFffFyxfyx)(21),(),(),(基元函數(shù)基元函數(shù)權(quán)重因子權(quán)重因子逆傅立葉變換提供了分解函數(shù)的一種手段。逆傅立葉變換提供了分解函數(shù)的一種手段。v線性系統(tǒng)的基本特點(diǎn)：線性系統(tǒng)的基本特點(diǎn)：它對同時(shí)作用的幾個(gè)激勵(lì)函數(shù)的它對同時(shí)作用的幾個(gè)激勵(lì)函數(shù)的響應(yīng)等于每個(gè)激勵(lì)函數(shù)單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)之和。響應(yīng)等于每個(gè)激勵(lì)函數(shù)單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)之和。v系統(tǒng)對任一輸入函數(shù)的響應(yīng)可用基元函數(shù)響應(yīng)的線性組

52、系統(tǒng)對任一輸入函數(shù)的響應(yīng)可用基元函數(shù)響應(yīng)的線性組合來表示。合來表示。v基元函數(shù)基元函數(shù): 指不能指不能再分解的基本函數(shù)單元再分解的基本函數(shù)單元,且它們的且它們的響應(yīng)是響應(yīng)是比較易于確定比較易于確定的。在光學(xué)系統(tǒng)中，常用的基元函數(shù)有三種：的。在光學(xué)系統(tǒng)中，常用的基元函數(shù)有三種：函數(shù)、復(fù)指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)函數(shù)、復(fù)指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)v線性系統(tǒng)對某種線性系統(tǒng)對某種“基元基元”激勵(lì)的響應(yīng)。激勵(lì)的響應(yīng)。已知已知f(x1,y1)是系統(tǒng)的激勵(lì)（輸入），求系統(tǒng)對輸入是系統(tǒng)的激勵(lì)（輸入），求系統(tǒng)對輸入f(x1, y1)的響應(yīng)的響應(yīng)g(x2, y2)研究系統(tǒng)的主要任務(wù)是要知道它如何作用于輸入信號。研究系統(tǒng)的主要任務(wù)

53、是要知道它如何作用于輸入信號。最原始的方法就是最原始的方法就是一點(diǎn)一點(diǎn)一點(diǎn)一點(diǎn)取樣分析。求助于取樣分析。求助于函數(shù)函數(shù)的篩選的篩選性質(zhì)。性質(zhì)。1111( ,)( , ) (,)f x yfxyd d 根據(jù) 函數(shù)的篩選性質(zhì)：系統(tǒng)輸入函系統(tǒng)輸入函數(shù)的分解式數(shù)的分解式f(x1, y1)看成以看成以函數(shù)為基元函數(shù)函數(shù)為基元函數(shù)以以f( , )為權(quán)重的組合。為權(quán)重的組合。系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，也稱點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)也稱點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)2211112211222211(,) ( ,)( , ) (,)(,)( , ) (,)( , ) (, )(, ) (,)g x yf x yfxyd dg x y

54、fxyd dfh xyd dh x yxy 則：；式中，；線性系統(tǒng)輸線性系統(tǒng)輸出函數(shù)的疊出函數(shù)的疊加積分加積分知道了系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（脈沖響應(yīng)函數(shù)）就知道系統(tǒng)知道了系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（脈沖響應(yīng)函數(shù)）就知道系統(tǒng)的傳輸特性。的傳輸特性。1)1)線性空不變系統(tǒng)的定義線性空不變系統(tǒng)的定義101020200000 (,)(,)xxyyh xxyyxyxy 這里、只與、有關(guān)。3 3 線性空不變系統(tǒng)線性空不變系統(tǒng)一個(gè)一個(gè)線性線性系統(tǒng)，當(dāng)激勵(lì)函數(shù)僅在輸入面上位移時(shí)，系統(tǒng)的系統(tǒng)，當(dāng)激勵(lì)函數(shù)僅在輸入面上位移時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)始終具有相同的形式，僅造成響應(yīng)函數(shù)在輸出面響應(yīng)函數(shù)始終具有相同的形式，僅造成響應(yīng)函數(shù)在輸出面

55、上的位移。即上的位移。即 首先是線性系統(tǒng)，其對激勵(lì)的作用具有線性疊加特性。首先是線性系統(tǒng)，其對激勵(lì)的作用具有線性疊加特性。線性空不變系統(tǒng)對輸入信號空間位置的平移所產(chǎn)生的唯一線性空不變系統(tǒng)對輸入信號空間位置的平移所產(chǎn)生的唯一效應(yīng)是使輸出信號的位置也產(chǎn)生成常數(shù)比例的平移效應(yīng)是使輸出信號的位置也產(chǎn)生成常數(shù)比例的平移, ,而系統(tǒng)而系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)不變。的脈沖響應(yīng)函數(shù)不變。 系統(tǒng)對激勵(lì)的作用與激勵(lì)的空間坐標(biāo)無關(guān)，系統(tǒng)對激勵(lì)的作用與激勵(lì)的空間坐標(biāo)無關(guān)，只與空間坐標(biāo)的相對量有關(guān)。只與空間坐標(biāo)的相對量有關(guān)。1221111202011010(,)(,)(,)(,)gxyfxygxxyyfxxyy脈沖響應(yīng)形式較

56、簡單：脈沖響應(yīng)形式較簡單：),(),;,(2222yxhyxh2)2)線性空不變系統(tǒng)的性質(zhì)線性空不變系統(tǒng)的性質(zhì)實(shí)際上存在像差的影響。實(shí)際上存在像差的影響。只依賴于位置差而與具體位置坐標(biāo)無關(guān)。當(dāng)點(diǎn)光源在物只依賴于位置差而與具體位置坐標(biāo)無關(guān)。當(dāng)點(diǎn)光源在物場中移動時(shí)，像只改變位置而不改變形狀（等暈性）場中移動時(shí)，像只改變位置而不改變形狀（等暈性）.疊加積分式：疊加積分式：),(*),(),(),(),(22222222yxhyxfddyxhfyxg像可表示為物與系統(tǒng)脈沖響應(yīng)在輸出平面上的一個(gè)二維卷積。像可表示為物與系統(tǒng)脈沖響應(yīng)在輸出平面上的一個(gè)二維卷積。線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是其脈沖傳遞函數(shù)的傅里葉

57、變換。線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是其脈沖傳遞函數(shù)的傅里葉變換。),(),(),(),(),(yxhffHffFffHffGyxyxyxyx其中傅立葉變換形式簡單傅立葉變換形式簡單系統(tǒng)傳遞函數(shù)，表示系統(tǒng)在頻域?qū)π盘柕膫鬟f能力。系統(tǒng)傳遞函數(shù)，表示系統(tǒng)在頻域?qū)π盘柕膫鬟f能力。系統(tǒng)傳遞函數(shù)在頻域域刻畫系統(tǒng)對信號的傳遞特性，而脈系統(tǒng)傳遞函數(shù)在頻域域刻畫系統(tǒng)對信號的傳遞特性，而脈沖響應(yīng)函數(shù)是在空間域表征系統(tǒng)的傳遞特性。沖響應(yīng)函數(shù)是在空間域表征系統(tǒng)的傳遞特性。1. 1. 對于線性系統(tǒng)，任何復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)都是輸入函數(shù)與脈沖對于線性系統(tǒng)，任何復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)都是輸入函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)乘積的積分；響應(yīng)函數(shù)乘積的積分；2

58、. 2. 對于線性不變系統(tǒng)，任何復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)都是輸入函數(shù)對于線性不變系統(tǒng)，任何復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)都是輸入函數(shù) 與脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積；與脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積；3. 3. 線性不變系統(tǒng)輸出的頻譜等于系統(tǒng)傳遞函數(shù)與輸入頻譜的線性不變系統(tǒng)輸出的頻譜等于系統(tǒng)傳遞函數(shù)與輸入頻譜的乘積；乘積；4. 4. 對線性不變系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)對線性不變系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)h(x)與傳遞函數(shù)與傳遞函數(shù)H(fx) 構(gòu)成一個(gè)傅立葉變換對。而其它系統(tǒng)就沒有這種關(guān)系。構(gòu)成一個(gè)傅立葉變換對。而其它系統(tǒng)就沒有這種關(guān)系。注意：注意：如果一輸入函數(shù)經(jīng)過一線性空不變系統(tǒng)后，輸入、輸出函數(shù)如果一輸入函數(shù)經(jīng)過一線性空不變系統(tǒng)后，輸入、輸出函數(shù)滿足滿足其中

59、其中a為常數(shù)（稱為為常數(shù)（稱為本征值本征值），則），則f(x,y)是該系統(tǒng)的是該系統(tǒng)的本征函數(shù)本征函數(shù)。),(),(yxafyxf本征函數(shù)通過該系統(tǒng)函數(shù)的形式不變，空間也沒被放大本征函數(shù)通過該系統(tǒng)函數(shù)的形式不變，空間也沒被放大或縮小，只是空間各點(diǎn)的幅值被均勻的放大或衰減或產(chǎn)或縮小，只是空間各點(diǎn)的幅值被均勻的放大或衰減或產(chǎn)生常數(shù)相移。生常數(shù)相移。如果能將輸入函數(shù)按本征函數(shù)分解，將有利于信號處理。如果能將輸入函數(shù)按本征函數(shù)分解，將有利于信號處理。線性空不變系統(tǒng)的本征函線性空不變系統(tǒng)的本征函數(shù)數(shù)1 復(fù)指數(shù)函數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)00002()2()00(,)xyxyifxfyifxfyxyeH ffe線性空不

60、變系統(tǒng)基元函數(shù)的響應(yīng)線性空不變系統(tǒng)基元函數(shù)的響應(yīng) (即已知基元函數(shù)即已知基元函數(shù)f(x,y)求求g(x,y)00002 ()0000000000002 ()001)(,)2)(,)(,) (,)(,) (,)3)()(,) (,)(,)xyxyifx fyxxyyxyxyxxyyxyxxyyxyxxyyifx fyxyeffffffH ffffffH ffffffg x,yH ffffffH ffe第一步：對原函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換，第二步：計(jì)算響應(yīng)函數(shù)的頻譜，G第三步：計(jì)算響應(yīng)函數(shù)，復(fù)指數(shù)函數(shù)是線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)。復(fù)指數(shù)函數(shù)是線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)。3 3 余弦函數(shù)余弦函數(shù)00002()00