全國通用版2019版高考數(shù)學一輪復習第十一單元空間位置關(guān)系學案文201806133217_20210103224752

1、第十一單元 空間位置關(guān)系教材復習課“空間位置關(guān)系”相關(guān)基礎知識一課過4個公理過雙基1平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)(2)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面；推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面；推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線2平行公理公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行1以下四個命題中，不共面的四點中，其中任意三點不共線；若點a，b，c，d共面，點a，b，c，e共面，則點a

2、，b，c，d，e共面；若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；依次首尾相接的四條線段必共面正確命題的個數(shù)是()a0b1c2 d3解析：選b假設其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面這與四點不共面矛盾，故其中任意三點不共線，所以正確從條件看出兩平面有三個公共點a，b，c，但是若a，b，c共線，則結(jié)論不正確；不正確；不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊形2下列命題中，真命題是()a空間不同三點確定一個平面b空間兩兩相交的三條直線確定一個平面c兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形d和同一直線都相交的三條平行線在同一平面內(nèi)解析：選da是假命題，當三點

3、共線時，過三點有無數(shù)個平面；b不正確，兩兩相交的三條直線不一定共面；c不正確，兩組對邊相等的四邊形可能是空間四邊形；d正確，故選d.3三個不同的平面可能把空間分成_部分(寫出所有可能的情況)解析：如圖(1)，可分成四部分(互相平行)；如圖(2)(3)，可分成六部分(兩種情況)；如圖(4)，可分成七部分；如圖(5)，可分成八部分答案：4,6,7,8清易錯1三點不一定確定一個平面當三點共線時，可確定無數(shù)個平面2判斷由所給元素(點或直線)確定平面時，關(guān)鍵是分析所給元素是否具有確定唯一平面的條件，如不具備，則一定不能確定一個平面1如圖是正方體或四面體，p，q，r，s分別是所在棱的中點，則這四個點不共面

4、的一個圖是()解析：選da，b，c圖中四點一定共面，d中四點不共面2過同一點的4條直線中，任意3條都不在同一平面內(nèi)，則這4條直線確定平面的個數(shù)是_解析：設四條直線為a，b，c，d，則這四條直線中每兩條都確定一個平面，因此，a與b，a與c，a與d，b與c，b與d，c與d都分別確定一個平面，共6個平面答案：6空間點、線、面的位置關(guān)系過雙基1空間直線間的位置關(guān)系(1)空間中兩直線的位置關(guān)系(2)異面直線所成的角定義：設a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點o作直線aa，bb，把a與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍：.(3)定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩

5、個角相等或互補2空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況1若空間三條直線a，b，c滿足ab，bc，則直線a與c()a一定平行b一定相交c一定是異面直線d平行、相交或異面都有可能解析：選d當a，b，c共面時，ac；當a，b，c不共面時，a與c可能異面也可能相交2若平面上存在不同的三點到平面的距離相等且不為零，則平面與平面的位置關(guān)系為()a平行 b相交c平行或重合 d平行或相交解析：選d當兩個平面平行時，平面上存在無數(shù)多個點到平面的距離相等且不為零，滿足題意；當兩個平面相交時，可以從交線的兩側(cè)去找三

6、個點到平面的距離相等且不為零故選d.3在正方體abcd­a1b1c1d1中，m，n分別為棱bc和棱cc1的中點，則異面直線ac和mn所成的角為()a30° b45°c60° d90°解析：選c連接ad1，則ad1與mn平行所以d1ac為異面直線ac和mn所成的角的平面角因為d1ac是正三角形，所以d1ac60°.4在正四面體abcd中，m，n分別是bc和da的中點，則異面直線mn和cd所成的角為_解析：因為abcd是正四面體，所以abcd.取ac的中點e，連接me，ne，則enm的大小為異面直線mn和cd所成角的大小因為mene，且m

7、ene，所以enm.答案：清易錯1異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個平面，因此異面直線既不平行，也不相交2直線與平面的位置關(guān)系在判斷時最易忽視“線在面內(nèi)”1.如圖所示，在三棱錐p­abc的六條棱所在的直線中，異面直線共有()a2對 b3對c4對 d6對解析：選b依題意，異面直線有ap與bc，pb與ac，cp與ab，共3對2若直線ab，且直線a平面，則直線b與平面的位置關(guān)系是()abbbcb或b db與相交或b或b解析：選db與相交或b或b都可以平行關(guān)系4定理過雙基1直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判

8、定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行線面平行)la，a，l，l性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行線線平行”)l，l，b，lb2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行面面平行”)a，b，abp，a，b，性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行，a，b，ab1過平面外的直線l，作一組平面與相交，如果所得的交線分別為a，b，c，那么這些交線的位置關(guān)系為()a都平行b都相

9、交且一定交于同一點c都相交但不一定交于同一點d都平行或交于同一點解析：選d若l平面，則交線都平行；若l平面a，則交線都交于同一點a.2下列說法中正確的是()一條直線如果和一個平面平行，它就和這個平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行；一條直線和一個平面平行，它就和這個平面內(nèi)的任何直線無公共點；過直線外一點，有且僅有一個平面和已知直線平行abc d解析：選d由線面平行的性質(zhì)定理知正確；由直線與平面平行的定義知正確；錯誤，因為經(jīng)過一點可作一直線與已知直線平行，而經(jīng)過這條直線可作無數(shù)個平面3已知直線a平面，p，那么過點p且平行于直線a的直線()a只有一點，不在平面內(nèi)b有無數(shù)條，不一定在平面內(nèi)c只有一條，在平面內(nèi)d有

10、無數(shù)條，一定在平面內(nèi)解析：選c由線面平行的性質(zhì)可知c正確4設，為三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“m，n，且_，則mn”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題，n；m，n；n，m.可以填入的條件有_解析：由面面平行的性質(zhì)定理可知，正確；當n，m時，n和m在同一平面內(nèi)，且沒有公共點，所以平行，正確答案：或清易錯1直線與平面平行的判定中易忽視“線在面內(nèi)”這一關(guān)鍵條件2面面平行的判定中易忽視“面內(nèi)兩條直線相交”這一條件，如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行，易誤認為這兩個平面平行，實質(zhì)上也可以相交1已知直線a與直線b平行，直線a與平面平行，則直線b與的關(guān)系為()a平

11、行 b相交c直線b在平面內(nèi) d平行或直線b在平面內(nèi)解析：選d依題意，直線a必與平面內(nèi)的某直線平行，又ab，因此直線b與平面的位置關(guān)系是平行或直線b在平面內(nèi)2設，是兩個不同的平面，m是直線且m，“m ”是“ ”的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件解析：選b當m時，過m的平面與可能平行也可能相交，因而m / ；當時，內(nèi)任一直線與平行，因為m，所以m.綜上知，“m ”是“ ”的必要不充分條件.垂直關(guān)系4定理過雙基1直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直 l性質(zhì)定理垂直于同一個平

12、面的兩條直線平行ab2平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直l1.如圖，在三棱錐p­abc中，不能證明apbc的條件是()aappb，appcbappb，bcpbc平面bpc平面apc，bcpcdap平面pbc解析：選ba中，因為appb，appc，pbpcp，所以ap平面pbc，又bc平面pbc，所以apbc，故a正確；c中，因為平面bpc平面apc，bcpc，所以bc平面apc，又ap平面apc，所以apbc，故c正確；d中，由a知d正確；b中

13、條件不能判斷出apbc，故選b.2設，為不同的平面，m，n，l為不同的直線，則m的一個充分條件為()a，l，ml bm，c，m dn，n，m解析：選d若，l，ml，則m與的位置不確定；若m，則，可能平行，此時m；若，m，則，不一定平行，所以m不一定與垂直；若n，n，則，又m，則m.故選d.3.如圖，bac90°，pc平面abc，則在abc和pac的邊所在的直線中，與pc垂直的直線有_；與ap垂直的直線有_解析：pc平面abc，pc垂直于直線ab，bc，ac；abac，abpc，acpcc，ab平面pac，與ap垂直的直線是ab.答案：ab，bc，acab4已知pd垂直于正方形abcd

14、所在的平面，連接pb，pc，pa，ac，bd，則一定互相垂直的平面有_對解析：由于pd平面abcd，故平面pad平面abcd，平面pdb平面abcd，平面pdc平面abcd，平面pda平面pdc，平面pac平面pdb，平面pab平面pad, 平面pbc平面pdc，共7對答案：75.如圖所示，在四棱錐p ­abcd中，pa底面abcd，且底面各邊都相等，m是pc上的一動點，當點m滿足_時，平面mbd平面pcd.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)解析：連接ac，bd，則acbd.pa底面abcd，pabd.又paaca，bd平面pac，bdpc.當dmpc(或bmpc)時，即有pc平

15、面mbd.而pc平面pcd，平面mbd平面pcd.答案：dmpc(或bmpc)清易錯1證明線面垂直時，易忽視“面內(nèi)兩條直線相交”這一條件2面面垂直的判定定理中，直線在面內(nèi)且垂直于另一平面易忽視3面面垂直的性質(zhì)定理在使用時易忘面內(nèi)一線垂直于交線而盲目套用造成失誤1已知m，n為不同的直線，為不同的平面，則下列說法中正確的是()am，nmnbm，nmncm，n，mndn，n解析：選d對于選項a，由直線與平面平行的判定定理可知，還需要滿足n在平面外；對于選項b，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知，要使直線垂直平面，直線應該垂直平面內(nèi)的兩條相交直線；對于選項c，這兩個平面也有可能相交；由平面與平面垂直的判

16、定可知，選項d成立故選d.2下列說法中，錯誤的是()a如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面b如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面c如果平面平面，平面平面，l，那么l平面d如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面解析：選da項顯然正確根據(jù)面面垂直的判定，b項正確對于選項c，設m，n，在平面內(nèi)取一點p不在l上，過p作直線a，b，使am，bn.，am，a，al，同理有bl，又abp，a，b，l，故選項c正確對于選項d，設l，則l，但l，故在內(nèi)存在直線不垂直于平面，即選項d錯誤3若不同的兩點a，b到平面的距離相等，則下列命題中一定正確的是()aa，b兩點在平面的同側(cè)b

17、a，b兩點在平面的異側(cè)c過a，b兩點必有垂直于平面的平面d過a，b兩點必有平行于平面的平面解析：選c由題意得a，b兩點在平面的同側(cè)或異側(cè)，排除a、b；當a，b兩點在平面的異側(cè)時，過a，b兩點不存在平行于平面的平面，排除d.故選c.一、選擇題1設三條不同的直線l1，l2，l3，滿足l1l3，l2l3，則l1與l2()a是異面直線b是相交直線c是平行直線d可能相交、平行或異面解析：選d如圖所示，在正方體abcd­efgh中，abad，aead，則abaea；abae，aedc，則abdc；abae，fhae，則ab與fh是異面直線，故選d.2.如圖所示，在正方體abcd­a1b

18、1c1d1中，e，f，g，h分別為aa1，ab，bb1，b1c1的中點則異面直線ef與gh所成的角等于()a45°b60°c90° d 120°解析：選b如圖所示，連接ba1，bc1，a1c1，易知三角形ba1c1是等邊三角形，因為e，f，g，h分別為aa1，ab，bb1，b1c1的中點，則efba1，ghbc1，所以a1bc160°是異面直線ef與gh所成的角3已知空間兩條不同的直線m，n和兩個不同的平面，則下列命題中正確的是()a若m，n，則mnb若m，n，則mnc若m，n，則mnd若m，n，則mn解析：選d若m，n，則m與n平行或異面，即

19、a錯誤；若m，n，則m與n相交或平行或異面，即b錯誤；若m，n，則m與n相交、平行或異面，即c錯誤，故選d.4.(2018·廣東模擬)如圖是一個幾何體的平面展開圖，其中四邊形abcd為正方形，e，f分別為pa，pd的中點，在此幾何體中，給出下面四個結(jié)論：be與cf異面；be與af異面；ef平面pbc；平面bce平面pad.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()a1b2c3 d4解析：選b畫出該幾何體，如圖，因為e，f分別是pa，pd的中點，所以efad，所以efbc，be與cf是共面直線，故不正確；be與af滿足異面直線的定義，故正確；由e，f分別是pa，pd的中點，可知efad，所以efbc，因

20、為ef平面pbc，bc平面pbc，所以ef平面pbc，故正確；因為be與pa的關(guān)系不能確定，所以不能判定平面bce平面pad，故不正確故選b.5.如圖所示，p為矩形abcd所在平面外一點，矩形對角線交點為o，m為pb的中點，給出下列五個結(jié)論：pd平面amc；om平面pcd；om平面pda；om平面pba；om平面pbc.其中正確的個數(shù)有()a1 b2c3 d4解析：選c因為矩形abcd的對角線ac與bd交于點o，所以o為bd的中點在pbd中，m是pb的中點，所以om是pbd的中位線，ompd，則pd平面amc，om平面pcd，且om平面pda.因為mpb，所以om與平面pba、平面pbc相交6

21、(2018·余姚模擬)如圖，在正方體abcd­a1b1c1d1中，m，n分別是bc1，cd1的中點，則下列說法錯誤的是()amn與cc1垂直bmn與ac垂直cmn與bd平行dmn與a1b1平行解析：選d如圖，連接c1d，在c1db中，mnbd，故c正確；cc1平面abcd，bd平面abcd，cc1bd，mn與cc1垂直，故a正確；acbd，mnbd，mn與ac垂直，故b正確，故選d.7.如圖，正方體abcd­a1b1c1d1的棱長為1，線段b1d1上有兩個動點e，f，且ef，則下列結(jié)論中錯誤的是()aacbebef平面abcdc三棱錐a­bef的體積為定

22、值daef的面積與bef的面積相等解析：選d因為ac平面bdd1b1，be平面bdd1b1，所以acbe，a項正確；根據(jù)線面平行的判定定理，知b項正確；因為三棱錐的底面bef的面積是定值，且點a到平面bdd1b1的距離是定值，所以其體積為定值，c項正確；很顯然，點a和點b到ef的距離不相等，故d項錯誤8(2018·福州質(zhì)檢)在三棱柱abc­a1b1c1中，e，f分別為棱aa1，cc1的中點，則在空間中與直線a1b1，ef，bc都相交的直線()a不存在 b有且只有兩條c有且只有三條 d有無數(shù)條解析：選d在ef上任意取一點m，直線a1b1與m確定一個平面，這個平面與bc有且僅有

23、1個交點n，當m的位置不同時確定不同的平面，從而與bc有不同的交點n，而直線mn與a1b1，ef，bc分別有交點p，m，n，如圖，故有無數(shù)條直線與直線a1b1，ef，bc都相交二、填空題9如圖所示，平面，兩兩相交，a，b，c為三條交線，且ab，則a，b，c的位置關(guān)系是_解析：ab，a，b，b.又b，c，bc.abc.答案：abc10(2018·天津六校聯(lián)考)設a，b為不重合的兩條直線，為不重合的兩個平面，給出下列命題：若a且b，則ab；若a且a，則；若，則一定存在平面，使得，；若，則一定存在直線l，使得l，l.其中真命題的序號是_解析：中a與b也可能相交或異面，故不正確垂直于同一直線

24、的兩平面平行，正確中存在，使得與，都垂直，正確中只需直線l且l就可以，正確答案：11如圖所示，在棱長為2的正方體abcd­a1b1c1d1中，e，f分別是cc1，ad的中點，那么異面直線d1e和a1f所成角的余弦值等于_解析：取bb1的中點g，連接fg，a1g，易得a1gd1e，則fa1g是異面直線d1e和a1f所成角或補角，易得a1fa1g，fg，在三角形fa1g中，利用余弦定理可得cosfa1g.答案：12.如圖，三棱柱abc­a1b1c1中，側(cè)棱aa1底面abc，aa12，abbc1，abc90°，外接球的球心為o，點e是側(cè)棱bb1上的一個動點則有以下結(jié)論：

25、ac與c1e是異面直線；a1e一定不垂直于ac1；三棱錐e­aa1o的體積為定值；aeec1的最小值為2.其中正確的個數(shù)是_解析：由異面直線的定義可知，顯然正確；當點e與b重合時，a1eac1，故錯誤；由題意可知，三棱柱的外接球的球心o是正方形aa1c1c的中心，則三角形aa1o的面積為定值，且e到平面aa1o的距離即為bb1與平面aa1c1c之間的距離，所以三棱錐e­aa1o的體積為定值，故正確；將側(cè)面aa1b1b與側(cè)面bb1c1c展開成矩形，則矩形的對角線ac1的長即為aeec1的最小值為2，故正確答案：3三、解答題13.如圖所示，在三棱錐p ­abc中，pa

26、底面abc，d是pc的中點已知bac，ab2，ac2，pa2.求：(1)三棱錐p ­abc的體積；(2)異面直線bc與ad所成角的余弦值解：(1)因為sabc×2×22，所以三棱錐p ­abc的體積v·sabc·pa×2×2.(2)如圖所示，取pb的中點e，連接de，ae，則debc，所以ade(或其補角)是異面直線bc與ad所成的角在ade中，de2，ae，ad2，則cosade.即異面直線bc與ad所成角的余弦值為.14如圖，在直四棱柱abcd­a1b1c1d1中，底面abcd為等腰梯形，abcd，a

27、b4，bccd2，aa12，e，e1，f分別是棱ad，aa1，ab的中點(1)證明：直線ee1平面fcc1；(2)證明：平面d1ac平面bb1c1c.證明：(1)f是ab的中點，ab cd，ab4，bccd2，af綊cd，四邊形afcd為平行四邊形，cfad.又abcd­a1b1c1d1為直四棱柱，c1cd1d.而fcc1cc，d1ddad，平面add1a1平面fcc1.ee1平面add1a1，ee1平面fcc1.(2)在直四棱柱中，cc1平面abcd，ac平面abcd，cc1ac，底面abcd為等腰梯形，ab4，bc2，f是棱ab的中點，cfadbf2，bcf為正三角形，bcfcf

28、b60°，fcafac30°，acbc.又bc與cc1都在平面bb1c1c內(nèi)且交于點c，ac平面bb1c1c，而ac平面d1ac，平面d1ac平面bb1c1c.高考研究課(一) 平行問題3角度線線、線面、面面全國卷5年命題分析考點考查頻度考查角度線面關(guān)系基本問題5年3考空間線面平行、垂直關(guān)系判斷線面平行的證明5年6考證明線面平行面面平行的證明未考查平行關(guān)系的基本問題典例(1)(2018·成都一診)已知三個不同的平面，三條不同的直線a，b，c，則下列命題正確的是()a若，則b若ac，bc，則abc若a，b，則abd若a，b在內(nèi)的射影相互平行，則ab(2)若l，m是兩

29、條不同的直線，m垂直于平面，則“l(fā)m”是“l(fā)”的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件解析(1)若，則與可能垂直，排除a；若ac，bc，則a與b可能異面，排除b；若a，b在內(nèi)的射影相互平行，則a與b平行或異面，排除d；垂直于同一平面的兩直線平行，c正確故選c.(2)m，若l，則必有l(wèi)m，即llm.但lm/ l，lm時，l可能在內(nèi)故“l(fā)m”是“l(fā)”的必要不充分條件答案(1)c(2)b方法技巧解決平行關(guān)系基本問題的3個注意點(1)注意判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件，如線面平行的條件中線在面外易忽視(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷(3)會舉反例或用反證法

30、推斷命題是否正確即時演練1在正方體abcd­a1b1c1d1中，下列結(jié)論正確的是_(填序號)ad1bc1；平面ab1d1平面bdc1；ad1dc1；ad1平面bdc1.解析：如圖，因為ab綊c1d1，所以四邊形ad1c1b為平行四邊形故ad1bc1，從而正確；易證bdb1d1，ab1dc1，又ab1b1d1b1，bddc1d，故平面ab1d1平面bdc1，從而正確；由圖易知ad1與dc1異面，故錯誤；因為ad1bc1，ad1平面bdc1，bc1平面bdc1，所以ad1平面bdc1，故正確答案：2如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形efgh為截面，則四邊形efgh的形狀為_解析：

31、平面abfe平面dcgh，又平面efgh平面abfeef，平面efgh平面dcghhg，efhg.同理ehfg，四邊形efgh的形狀是平行四邊形答案：平行四邊形直線與平面平行的判定與性質(zhì)直線與平面平行的判定與性質(zhì)是高考的考查重點.多考查直線與平面平行的判定.利用線面平行的性質(zhì)判定線線平行及探索存在性問題.常見的命題角度有：(1)直線與平面平行的判定；(2)直線與平面平行的性質(zhì)；(3)與平行相關(guān)的探索性問題.角度一：直線與平面平行的判定1.如圖，空間幾何體abcdfe中，四邊形adfe是梯形，且efad，p，q分別為棱be，df的中點求證：pq平面abcd.證明：法一：如圖，取ae的中點g，連接

32、pg，qg.在abe中，pbpe，agge，所以pgba，又pg平面abcd，ba平面abcd，所以pg平面abcd.在梯形adfe中，dqqf，agge，所以gqad，又gq平面abcd，ad平面abcd，所以gq平面abcd.因為pggqg，pg平面pqg，gq平面pqg，所以平面pqg平面abcd.又pq平面pqg，所以pq平面abcd.法二：如圖，連接eq并延長，與ad的延長線交于點h，連接bh.因為efdh，所以efqhdq，又fqqd，eqfdqh，所以efqhdq，所以eqqh.在beh中，bppe，eqqh，所以pqbh.又pq平面abcd，bh平面abcd，所以pq平面abc

33、d.方法技巧證明直線與平面平行的3種方法定義法一般用反證法判定定理法關(guān)鍵是在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行，證明時注意用符號語言敘述證明過程性質(zhì)判定法即兩平面平行時，其中一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個平面角度二：直線與平面平行的性質(zhì)2.如圖所示，四邊形abcd是平行四邊形，點p是平面abcd外一點，m是pc的中點，在dm上取一點g，過g和ap作平面交平面bdm于gh.求證：apgh.證明：如圖所示，連接ac交bd于點o，連接mo，四邊形abcd是平行四邊形，o是ac的中點，又m是pc的中點，apmo.又mo平面bmd，pa平面bmd，ap平面bmd.平面pahg平面bmdgh，且a

34、p平面pahg，apgh.方法技巧判定線面平行的4種方法(1)利用線面平行的定義(無公共點)；(2)利用線面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(，aa)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(，a，a，aa)角度三：與平行相關(guān)的探索性問題3.在如圖所示的多面體中，四邊形abb1a1和四邊形acc1a1都為矩形設d，e分別是線段bc，cc1的中點，在線段ab上是否存在一點m，使直線de平面a1mc？請證明你的結(jié)論證明：存在點m為線段ab的中點，使直線de平面a1mc，證明如下：如圖，取線段ab的中點m，連接a1m，mc，a1c，ac1，設o為a1c，ac1的交點由已知，得o為ac

35、1的中點連接md，oe，則md，oe分別為abc，acc1的中位線，所以md綊ac，oe綊ac，因此md綊oe.連接om，從而四邊形mdeo為平行四邊形，則demo.因為直線de平面a1mc，mo平面a1mc，所以直線de平面a1mc.即線段ab上存在一點m(線段ab的中點)，使直線de平面a1mc.方法技巧解決探究性問題一般先假設求解的結(jié)果存在，從這個結(jié)果出發(fā)，尋找使這個結(jié)論成立的充分條件，如果找到了使結(jié)論成立的充分條件，則存在；如果找不到使結(jié)論成立的充分條件(出現(xiàn)矛盾)，則不存在而對于探求點的問題，一般是先探求點的位置，多為線段的中點或某個三等分點，然后給出符合要求的證明面面平行的判定與性

36、質(zhì)典例如圖，在多面體abcdef中，底面abcd是邊長為2的正方形，四邊形bdef是矩形，平面bdef平面abcd，bf3，g和h分別是ce和cf的中點(1)求證：平面bdgh平面aef；(2)求多面體abcdef的體積解(1)證明：在cef中，因為g，h分別是ce，cf的中點，所以ghef.又因為gh平面aef，ef平面aef，所以gh平面aef.設ac與bd的交點為o，連接oh，在acf中，因為o，h分別是ac，cf的中點，所以ohaf.又因為oh平面aef，af平面aef，所以oh平面aef.又因為ohghh，oh平面bdgh，gh平面bdgh，所以平面bdgh平面aef.(2)因為ac

37、平面bdef，又易知ao，s矩形bdef3×26，所以四棱錐a­bdef的體積v1·ao·s矩形bdef4.同理可得四棱錐c­bdef的體積v24.所以多面體abcdef的體積vv1v28.方法技巧判定面面平行的4種方法(1)面面平行的定義，即判斷兩個平面沒有公共點；(2)面面平行的判定定理；(3)垂直于同一條直線的兩平面平行；(4)平面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行即時演練1已知平面平面，p是，外一點，過點p的直線m與，分別交于點a，c，過點p的直線n與，分別交于點b，d，且pa6，ac9，pd8，則bd的長為

38、()a16b24或c14 d20解析：選b設bdx，由abcdpabpcd.當點p在兩平面之間時，如圖1，得x24；當點p在兩平面外側(cè)時，如圖2，得x.2.如圖，四邊形abcd與adef均為平行四邊形，m，n，g分別是ab，ad，ef的中點(1)求證：be平面dmf；(2)求證：平面bde平面mng.證明：(1)連接ae，則ae必過df與gn的交點o，連接mo，則mo為abe的中位線，所以bemo.又be平面dmf，mo平面dmf，所以be平面dmf.(2)因為n，g分別為平行四邊形adef的邊ad，ef的中點，所以degn，又de平面mng，gn平面mng，所以de平面mng.又m為ab的中

39、點，所以mn為abd的中位線，所以bdmn，又mn平面mng，bd平面mng，所以bd平面mng，又debdd，de平面bde，bd平面bde，所以平面bde平面mng.1(2017·全國卷)如圖，在下列四個正方體中，a，b為正方體的兩個頂點，m，n，q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線ab與平面mnq不平行的是()解析：選a法一：對于選項b，如圖所示，連接cd，因為abcd，m，q分別是所在棱的中點，所以mqcd，所以abmq .又ab平面mnq，mq平面mnq，所以ab平面mnq.同理可證選項c、d中均有ab平面mnq.故選a.法二：對于選項a，設正方體的底面對角線的交點為

40、o(如圖所示)，連接oq，則oqab.因為oq與平面mnq有交點，所以ab與平面mnq有交點，即ab與平面mnq不平行，根據(jù)直線與平面平行的判定定理及三角形的中位線性質(zhì)知，選項b、c、d中ab平面mnq.故選a.2(2017·全國卷)已知直三棱柱abc­a1b1c1中，abc120°，ab2，bccc11，則異面直線ab1與bc1所成角的余弦值為()a. b.c. d.解析：選c法一：如圖所示，將直三棱柱abc­a1b1c1補成直四棱柱abcd­a1b1c1d1，連接ad1，b1d1，則ad1bc1，所以b1ad1或其補角為異面直線ab1與bc

41、1所成的角因為abc120°，ab2，bccc11，所以ab1，ad1.在b1d1c1中，b1c1d160°，b1c11，d1c12，所以b1d1，所以cosb1ad1.法二：如圖，設m，n，p分別為ab，bb1，b1c1的中點，連接mn，np，mp，則mnab1，npbc1，所以pnm或其補角為異面直線ab1與bc1所成的角易知mnab1，npbc1.取bc的中點q，連接pq，mq，可知pqm為直角三角形，pq1，mqac.在abc中，ac2ab2bc22ab·bc·cosabc412×2×1×7，所以ac，mq.在mqp

42、中，mp，則在pmn中，cospnm，所以異面直線ab1與bc1所成角的余弦值為.3(2017·全國卷)如圖，四棱錐p­abcd中，側(cè)面pad為等邊三角形且垂直于底面abcd，abbcad，badabc90°.(1)證明：直線bc平面pad；(2)若pcd的面積為2，求四棱錐p­abcd的體積解：(1)證明：在平面abcd內(nèi)，因為badabc90°，所以bcad.又bc平面pad，ad平面pad，所以bc平面pad.(2)取ad的中點m，連接pm，cm.由abbcad及bcad，abc90°，得四邊形abcm為正方形，則cmad.因為

43、側(cè)面pad為等邊三角形且垂直于底面abcd，平面pad平面abcdad，所以pmad，pm底面abcd.因為cm底面abcd，所以pmcm.設bcx，則cmx，cdx，pmx，pcpd2x.取cd的中點n，連接pn，則pncd，所以pnx.因為pcd的面積為2，所以×x×x2，解得x2(舍去)或x2.于是abbc2，ad4，pm2.所以四棱錐p­abcd的體積v××24.4(2016·全國卷)如圖，四棱錐p­abcd中，pa底面abcd，adbc，abadac3，pabc4，m為線段ad上一點，am2md，n為pc的中點(1

44、)證明mn平面pab；(2)求四面體n­bcm的體積解：(1)證明：由已知得amad2.取bp的中點t，連接at，tn，由n為pc中點知tnbc，tnbc2.又adbc，故tn綊am，所以四邊形amnt為平行四邊形，于是mnat.因為mn平面pab，at平面pab，所以mn平面pab.(2)因為pa平面abcd，n為pc的中點，所以n到平面abcd的距離為pa.取bc的中點e，連接ae.由abac3得aebc，ae.由ambc得m到bc的距離為，故sbcm×4×2.所以四面體n­bcm的體積vn­bcm×sbcm×.5(20

45、14·全國卷)如圖，四棱錐p­abcd中，底面abcd為矩形，pa平面abcd，e為pd的中點 (1)證明：pb平面aec；(2)設ap1，ad，三棱錐p­abd的體積v，求a到平面pbc的距離解：(1)證明：設bd與ac的交點為o，連接eo.因為平面abcd為矩形，所以o為bd的中點又e為pd的中點，所以eopb.又eo平面aec，pb平面aec，所以pb平面aec.(2)由vpa·ab·adab.v，可得ab.作ahpb交pb于h.由題設知bc平面pab，所以bcah，又bcpbb，故ah平面pbc.又ah，所以a到平面pbc的距離為.一、

46、選擇題1(2018·惠州模擬)設直線l，m，平面，則下列條件能推出的是()al，m，且l，mbl，m，且lmcl，m，且lmdl，m，且lm解析：選c借助正方體模型進行判斷易排除選項a、b、d，故選c.2.如圖，在長方體abcd­abcd中，下列直線與平面adc平行的是()abcbabcab dbb解析：選b連接ab，abcd，cd平面adc，ab平面adc.3設，是兩個不同的平面，m，n是平面內(nèi)的兩條不同直線，l1，l2是平面內(nèi)的兩條相交直線，則的一個充分不必要條件是()aml1且nl2 bm且nl2cm且n dm且l1解析：選a由ml1，m，l1，得l1，同理l2，又l

47、1，l2相交，所以，反之不成立，所以ml1且nl2是的一個充分不必要條件4(2018·福州模擬)已知直線a，b異面，給出以下命題：一定存在平行于a的平面使b；一定存在平行于a的平面使b；一定存在平行于a的平面使b；一定存在無數(shù)個平行于a的平面與b交于一定點則其中命題正確的是()a bc d解析：選d對于，若存在平面使得b，則有ba，而直線a，b未必垂直，因此不正確；對于，注意到過直線a，b外一點m分別引直線a，b的平行線a1，b1，顯然由直線a1，b1可確定平面，此時平面與直線a，b均平行，因此正確；對于，注意到過直線b上的一點b作直線a2與直線a平行，顯然由直線b與a2可確定平面，

48、此時平面與直線a平行，且b，因此正確；對于，在直線b上取一定點n，過點n作直線c與直線a平行，經(jīng)過直線c的平面(除由直線a與c所確定的平面及直線c與b所確定的平面之外)均與直線a平行，且與直線b相交于一定點n，因此正確綜上所述，正確5如圖，透明塑料制成的長方體容器abcd­a1b1c1d1內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊bc于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個命題：沒有水的部分始終呈棱柱形；水面efgh所在四邊形的面積為定值；棱a1d1始終與水面所在平面平行；當容器傾斜如圖所示時，be·bf是定值其中正確命題的個數(shù)是()a1 b2c3 d4解析：選c由題圖，顯

49、然是正確的，是錯誤的；對于，a1d1bc，bcfg，a1d1fg且a1d1平面efgh，a1d1平面efgh(水面)是正確的；對于，水是定量的(定體積v)，sbef·bcv，即be·bf·bcv.be·bf(定值)，即是正確的，故選c.6(2018·合肥模擬)在空間四邊形abcd中，e，f分別是ab和bc上的點，若aeebcffb12，則對角線ac和平面def的位置關(guān)系是()a平行 b相交c在平面內(nèi) d不能確定解析：選a如圖，由得acef.又因為ef平面def，ac平面def，所以ac平面def.二、填空題7有下列四個命題，其中正確命題的序號是

50、_若直線l上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則l；若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都平行；若平面與平面平行，直線l在平面內(nèi)，則l；若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點解析：若直線l上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則l或l與相交，故錯誤；若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線平行或異面，故錯誤；由面面平行的定義可知，正確；若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點，故正確答案：8在正四棱柱abcd ­a1b1c1d1中，o為底面abcd的中心，p是dd1的中點，設q是cc1上的點，則點q滿足條件_時，有平面d1bq平面pao.解析：如圖所示，假設q為cc1的中點，因為p為dd1的中點，所以qbpa.連接db，因為p，o分別是dd1，db的中點，所以d1bpo，又d1b平面pao，qb平面pao，