淺談數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

1、淺談數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用一、研究數(shù)形結(jié)合思想的必要性數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實lit界屮空間形式和數(shù)最關(guān)系的科汛數(shù)和形是數(shù)學(xué)屮最基本的兩人概 念，也是整個數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的兩大柱石，數(shù)借助形產(chǎn)牛直觀效果，形依賴數(shù)能深刻入微. 數(shù)和形以一定條件互相轉(zhuǎn)化，數(shù)最關(guān)系借用圖形的性質(zhì)，使許多抽象的概念肓觀化，形象化, 簡單化；而圖形問題在運用了數(shù)量關(guān)系的公式法則后，使較艱深的問題歸結(jié)為較容易處理的 數(shù)量關(guān)系式的研究.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，通過喚起表象或通過再造想象，構(gòu)造出與之相適應(yīng)的 幾何圖形，并利用圖形的特征和規(guī)律，解決數(shù)的問題，或?qū)D形信息部分或全部轉(zhuǎn)化成代數(shù) 信息，削弱或清除形的推理部分，使要解決的形的問題

2、轉(zhuǎn)化為數(shù)最關(guān)系的討論.數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要思維原則之一，其解法跨越了數(shù)學(xué)各分科知 識的界限數(shù)形結(jié)合是溝通數(shù)形之間的聯(lián)系，并通過這種聯(lián)系所產(chǎn)工的感知或認知的作用， 形成和諧完關(guān)的數(shù)學(xué)概念，廿找問題解決途徑的種有效方法數(shù)形結(jié)合是直觀與抽象，感 知與思維的結(jié)合.數(shù)形結(jié)合思想采用了代數(shù)方法和兒何方法最好的方血：兒何圖形形象直觀，便于理解；代數(shù) 力法的般性，解題過程的程序化，可操作性強，數(shù)形結(jié)合的思想方法是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的重 要思想方法.因此，研究數(shù)形結(jié)合思想是相當必要的.二、數(shù)與形在解題中的轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)研究的対象是數(shù)量關(guān)系與兒何圖形，數(shù)和形既是對立的乂是統(tǒng)一的，并且在一定 條件下可以相互轉(zhuǎn)化

3、，結(jié)合運用數(shù)最關(guān)系可以通過圖形或圖像肓觀的表示出來，然麻應(yīng)用 幾何知識形象的解答行關(guān)代數(shù)問題；另方面，冇關(guān)圖形的性質(zhì)可通過數(shù)最關(guān)系來描述和計 算，從而用代數(shù)方法來解決兒何問題.1.數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為圖形問題有關(guān)數(shù)的問題，借用形的性質(zhì)之后，有助于對問題的內(nèi)在聯(lián)系更進一步的了解，從而 變易錯為準確，化繁瑣為簡捷而數(shù)最問題轉(zhuǎn)化為圖形問題的匸要力法是用幾何力法解決代 數(shù)問題，而兒何方法具有直觀，形象的優(yōu)勢.例1求方程實根的個數(shù)"分析：本方程用初等方法難以求解，考慮此題只求實根的個數(shù)，可借助于正弦函數(shù)的圖卩 家及其性質(zhì)研究解決“解原方程變形為lgx =2 sin x 2v |sin r|<l

4、 => |lgr|<2 => -2 < lgx < 2 => x<100.但1/100- 100§然不是方程的根，故x (0.01,100)亦有|lg x| < 2 j作y = lg x和y = 2 sin x的圖像 (圖2),不難看出交點只在正值區(qū)間上存在，由于31開<100<32兀比較卩 (2k-l)<100<2kxk6n)jk=16,說明廠 2 池在 x e (0.01,100)to且僅有 16 個正值區(qū)間， 又7=lg,嚴格謹増，且lg,<27 = 2sin,的圖像除卩，開)有一個交點外，在其余15

5、個正值區(qū)間均例2 設(shè)世都在內(nèi)求證：x(l-y)+y(l-z)+z(l-x) <1"分析：證明代數(shù)不等式，直接從條件向結(jié)論溝通，難達目的注意結(jié)論并考慮條件可知卩 &1-心1-兒1-2均為正數(shù)，且似兩線段積之和，聯(lián)想三角形面積公式s=-ab sin g構(gòu)造三角形從而將數(shù)量間題轉(zhuǎn)化為圖形間題2證明 構(gòu)造辺長為1的等辺三角形abc,在少老上各取菽得ap =心“bq = z, ce =廠則 bp = 1 - cq = 1 - z, ae = 1 - ”，由圖孑知： 軋觀 + 沐嗣 +，則知不等式成立3圖3a例3已知”一舖一»|=1,求使國最大的復(fù)數(shù)z“分析：本題為最大值

6、間題，可設(shè)£=兀+ 代入已知等式中，把它轉(zhuǎn)化為一般求最值的間3題，但過程比較鑿難，現(xiàn)結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義進行討論2解 滿足條件|z-5-jj|=l的z在復(fù)平面上杲以（甩-1）為圓心，1為半徑的圓上的點a（圖4）,按要求在這些z中找出模最大的一個，即到原點距離最遠的一個顯然，過原點。和圓心c作直線 交圓于則叼的模數(shù)為最大：于杲知叼為所求，即z= 亞丄i模數(shù)最大22 22 圖形間題轉(zhuǎn)化為數(shù)量間題a有些平面幾何，立體幾何間題若利用代數(shù)方法去解決，其解題方法變得容易尋找，解題過程也變得簡單因此化形為數(shù)，解題思路較明確，規(guī)律性較強2例4已知正方體遊q,延長至e, ce = -bc,在cd上截取d

7、f = -dc , de與心23腫的延長線交于g,則g在正方形肋cq的外接圓上（圖5）2分析：這是一個圖形間題，如何創(chuàng)造條件將它轉(zhuǎn)化為數(shù)壘間題呢？對圖形進行壘化是將3 圖形i可題轉(zhuǎn)化為數(shù)量i可題的關(guān)鍵本題為五點共圓i可題，由于as爼是正方形，故只須證g在d所 在的區(qū)1上，亦可證a, c, g, d四點共圓.2迄陰 連接在三旁弓加p豐悵疼正弦走倉.令屈之.， ap則smcaf = -.在rtg 豐.smcds= = - tzcaf 2z0龍 巻為滲.5db 5.zcaf = zcde總ac,g,d四點吳圓即g在王方殄個外冬回上.例5 abcd的爲主朋cdz.和弓于一蠶方c矣一蛍肋的中點為e求遼:

8、 加丄分折：引入平盤言楚坐標罷.刮至熒折迭即可待三， 證明 取坐標系如圖6設(shè)班o),bs，o),c(0,c),d(d,c),則'ev | + | - | ' a+(-d)= j(2+c d = a +0 -q(q +c$c- -02r r =2_ _2=!：=_ig "b-±±-a(p-ay-(a-by-c因為數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形問題的條件是將數(shù)量問題圖形化，圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量 問題的條件是對圖形問題進行量化，所以研究數(shù)量問題的圖形化與對圖形問題進行量化對提 高解題能力是相當有必要的同時在數(shù)學(xué)解題屮若能很好的根據(jù)問題的特點和需要，由數(shù)思 形，以形助數(shù)

9、，適時轉(zhuǎn)化，相互作用，能使我們解題思路開闊，解題敏捷.三、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的優(yōu)越性數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中一種重耍思想方法，也是高考要考查的重點思想方法z,數(shù)形結(jié) 合以解題的直觀，形象，簡潔著稱，下而從幾方而談?wù)勂湓阱鴮W(xué)數(shù)學(xué)解題屮的優(yōu)越性.1.簡潔性lg（2,）例1若方程 一 =2有實數(shù)解，求實數(shù)住的取值范圍21附-0）分析：此題是一個含參數(shù)的對數(shù)方程若按方程思想來加以解決，那必須首先要注意函數(shù)的定義域，而 呂利用一元二次方程根的分步思想來加以解決，需要進行分類討論，過程較堅瑣，若能轉(zhuǎn)變思路，利用函i 更的圖像，那么間題可以簡潔的加以解決.卩白原方程可得：，bp lg2- x2 j = lg（x-

10、 <7）,那么2-只=（x-a）,令yx - 2 - x2 ,y2 = x-a f :j壬同一坐標系中作出函數(shù)的圖像，如圖1,此時，實數(shù)口的意義就是直線y2=x-a在卩軸上的截距，由圖 y知：當2wqw龐時兩曲線有交點，又因兀-qhi,令兀=。+1代入原方程得：.越& = -2,所以： 口工一2,所以，實數(shù)說的取值范圍是:（-2,0）u（0,v2）.,圖72.奇異性a例2已知等差數(shù)列%中，前”項之和為若0二顯伽h勿，求s”的值*分析：這是數(shù)列中的一個典型間題，可利用數(shù)列的不同方法來加以解決，此處若能充分"理解數(shù)列的函數(shù)屬性，利用函數(shù)圖像來加以解決，那真是有神來之笙！充分

11、體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的奇異性在數(shù)列 的學(xué)習(xí)中,我們知道等差數(shù)列前”項之和瓦是關(guān)于"的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0,因為耳=©時,點（比）3 突破性3例3試判斷方程八+ 1八+2x+2a （° > o且°工1）的解的個數(shù)*分析：這是我們經(jīng)常能見到的一種題目的類型，要解出方程是不可能的，但是題目只要心龍們判斷方程解的個數(shù)，我們?nèi)裟芡黄苽鹘y(tǒng)的解方程思想，轉(zhuǎn)而利用圖形的觀點來處理，那么這類間題的: 律決:將變的輕而易舉，方程+1=-八+2尤+2.且儀工1）的解的個數(shù)，實質(zhì)上杲尹=/和: 卩2 = -” + 2兀-1 + 2幺圖像交點的個數(shù)，分別作出a >1和0<a<l的圖像，如圖9,易得兩曲線有兩個交上面一個方面是數(shù)形結(jié)合的二要優(yōu)越性，在解決問題時，我們要多注意發(fā)揮圖像的功 能，幫助我們開拓思路，輔助我們解決問題.四、總述綜觀中學(xué)數(shù)學(xué)，可以知道其研究的對彖不外是一些常見的數(shù)量關(guān)系與簡單的圖形，數(shù) 與形不僅是兩個相互對立的概念，而口是數(shù)學(xué)中較其他對立較為特殊的一種對立，然而，數(shù) 與形與其他對立的雙方一樣，也可以在一定的條件下實現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化.華羅庚曾說