12、分式方程及其應用(2)

1、x12、分式方程及其應用【知識精讀】1解分式方程的基本思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。2解分式方程的一般步驟：(1)在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程；(2)解這個整式方程；(3)驗根：把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)果是否等于零，使最簡公分母等于 零的根是原方程的增根，必須舍去，但對于含有字母系數(shù)的分式方程，一般不要求檢驗。3.列分式方程解應用題和列整式方程解應用題步驟基本相同，但必須注意，要檢驗求得 的解是否為原方程的根，以及是否符合題意。下面我們來學習可化為一元一次方程的分式方程的解法及其應用?！痉诸惤馕觥縳 2例1.解方程：1x1 x+1分析：首先要確定各分式分母的

2、最簡公分母，在方程兩邊乘這個公分母時不要漏乘，解完后記著要驗根解：方程兩邊都乘以(x+1)(x1)，得2x -2(x -1) =(x 1)(x -1)，即 x2_2x _x2二 _1 _2,3x =2經(jīng)檢驗：x=3是原方程的根。2例2.解方程分析：直接去分母，可能出現(xiàn)高次方程，給求解造成困難，觀察四個分式的分母發(fā)現(xiàn)(x 6)與(x 7)、(x 2)與(x 3)的值相差1,而分子也有這個特點，因此，可將分母的值相差1的兩個分式結(jié)合，然后再通分，把原方程兩邊化為分子相等的兩個分式,式的等值性質(zhì)求值。解：原方程變形為:方程兩邊通分，得1 _ 1(x 6)( x 7) (x 2)( x 3) 所以(x

3、 6)(x 7) =(x 2)(x 3) 即 8x 一 -36利用分x6x5x 2x1x7x6x3x2經(jīng)檢驗：原方程的根是X =-9。2例3.解方程:12x -1032X-3424x - 23 16x -194x3 8x 9 8x-7 4x-5分析：方程中的每個分式都相當于一個假分數(shù)，因此，可化為一個整數(shù)與一個簡單的分數(shù)式之和。解：由原方程得：314232414x38x98x-74x-5即28x -92_28x -6一8x -1028x -7于是1 _ 1(8x _9)(8x _6) _ (8x _10)(8x _7)所以(8x -9)(8x _6) = (8x _10)(8x _7)例4.解

4、方程：2 26y 12y -4. y7 2 20y - 4y 4 y _ 4y 4 y - 4經(jīng)檢驗：x=1 是原方程的根。解：原方程變形為：6(y 2) (y 2)(y-2)y22 20(y 2)2(y-2)2(y 2)(y-2)分析：此題若用一般解法，則計算量較大。當把分子、分母分解因式后，會發(fā)現(xiàn)分子與 分母有相同的因式，于是可先約分。約分，得6J 2y2y -2 (y 2)(y-2)-0方程兩邊都乘以(y，2)(y-2)，得6(y -2) -(y 2)2y2= 0整理，得2y =16y = 8經(jīng)檢驗：y=8是原方程的根。注：分式方程命題中一般滲透不等式，恒等變形，因式分解等知識。因此要學

5、會根據(jù)方 程結(jié)構(gòu)特點，用特殊方法解分式方程。5、中考題解：例1若解分式方程2x m亠1 x亠1絲一工二產(chǎn)生增根，則m的值是(A. -1或-2B.-1 或 2C.1 或 2D.1 或2分析：分式方程產(chǎn)生的增根，是使分母為零的未知數(shù)的值。由題意得增根是：x二0 或 x - -1，化簡原方程為：2x2-（m T） = （x T）2，把x二0 或 x - -1代入解得m = 1或-2，故選擇D。例2.甲、乙兩班同學參加“綠化祖國”活動，已知乙班每小時比甲班多種2棵樹，甲班種60棵所用的時間與乙班種66棵樹所用的時間相等，求甲、乙兩班每小時各種多少棵樹？分析：利用所用時間相等這一等量關系列出方程。解：設

6、甲班每小時種x棵樹，則乙班每小時種（x+2）棵樹,60 x120 = 66xx = 20經(jīng)檢驗：x=20是原方程的根x 2 =22答：甲班每小時種樹20棵，乙班每小時種樹22棵。 說明：在解分式方程應用題時一定要檢驗方程的根。6、題型展示：例1.輪船在一次航行中順流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小時；在另- 次航行中，用相同的時間，順流航行40千米，逆流航行70千米。求這艘輪船在靜水中的速 度和水流速度分析：在航行問題中的等量關系是“船實際速度=水速+靜水速度”，有順水、逆水，取水速正、負值，兩次航行提供了兩個等量關系。解：設船在靜水中的速度為x千米/小時，水流速度為y千米/小時80

7、42“7x y x - y由題意，得40 i 70- + =7-X + y x _ yx= 17解得：*1葉3x= 17經(jīng)檢驗：是原方程的根卜=3答：水流速度為3千米/小時，船在靜水中的速度為17千米/小時。例2. m為何值時，關于x的方程一2竺 會產(chǎn)生增根？由題意得:60 _ 66x x 2A. -1或-2B.-1 或 2x2 x 4 x+22解：方程兩邊都乘以X -4，得2x 4 mx = 3x - 6整理，得（m -1）x - -101 0m -1如果方程產(chǎn)生增根么那-4 =0,（1） 若 x =2，貝 V 一 丄0=2 . m - -4m -11 0（2）若 x = -2,則-2 .

8、m =6m -1（3）綜上所述，m- -4 或 6 時，原方程產(chǎn)生增根說明：分式方程的增根，一定是使最簡公分母為零的根【實戰(zhàn)模擬】1.甲、乙兩地相距S千米，某人從甲地出發(fā)，以 改乘汽車，又過b小時到達乙地，則汽車的速度（SA.a +bS avC.a +bv千米/小時的速度步行，走了a小時后 ）B.D.2.如果關于A. -33解方程:的方程-x-3B. -2S - avb2Sa b=1一旦有增根,x-3-1D. 3則m的值等于（C.(1)x 10+(x 1)(x2)+(x 2)(x3)(x 9)(x 10 廠22x（2）21 -x 1 +x 1 +x21+x2x 912 “ 的值等于x 3 x

9、- 3 x5.甲、乙兩個工程隊共同完成一項工程，乙隊先單獨做4.求x為何值時，代數(shù)式成了全部工程。已知甲隊單獨完成工程所需的天數(shù)是乙隊單獨完成所需天數(shù)的1天后，再由兩隊合作2天就完-，求甲、3乙兩隊單獨完成各需多少天?【試題答案】1由已知，此人步行的路程為av千米，所以乘車的路程為（S-av）千米。S _ av又已知乘車的時間為b小時，故汽車的速度為千米/小時，應選B。b2.把方程兩邊都乘以x 3，得 2=x3 m . x=5，m.若方程有增根，則x =3,即卩 5 m = 3 . m = -2 應選 B（1）分析：方程左邊很特殊，從第二項起各分式的分母為兩因式之積，兩因式的值都1 1裂項,n

10、(n 1) n n 1丄=2x 1即2x 2 =1經(jīng)檢驗：原方程的根是（2）分析：用因式分解（提公因式法）簡化解法112 4解：x（2了）= 01-x 1+x 1 +x 1 + x 112 4因為其中的241 -x 1 + x 1 +x21 +x41 x 1 -x241 -x21 x21 x4二 4_1 -x41 x4x = 0經(jīng)檢驗：x = 0是原方程的根。4.解：由已知得心-丄-空2x + 3 x 3 x3.相差1，且相鄰兩項的分母中都有相同的因式。因此，可利用即用互為相反數(shù)的和為解：原方程可變?yōu)?”將原方程化簡1x 10 x 2 x 3 x 9 x 10二 2_1 -x21 x2亠3120 x 3 x-3x3解 Wx =2經(jīng)檢驗：x 二3是原方程的根232x+91