2010年數(shù)學(xué)建模c題輸油管的布置解析

1、12012 高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽輸油管的布置摘要能源的運輸線路關(guān)系到國家的經(jīng)濟發(fā)展，本文根據(jù)問題的條件和要求，針對兩煉油 廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形建立最優(yōu)化模型。通過分析，將煉油 廠、車站、鐵路線之間的距離作為未知常量，列出費用優(yōu)化模型，完整地解決了問題。針對第一問：首先畫出兩煉油廠及車站的位置關(guān)系圖，通過對問題的分析，在位置 關(guān)系圖的基礎(chǔ)上采用分步設(shè)計的思路，設(shè)計出了輸油管道及車站的通用方案圖。利用通 用方案圖，設(shè)定能夠表示非共用管道交匯點位置及火車站建設(shè)點位置的變量x、y，依據(jù)幾何知識建立費用最小方案模型：W=p(J(a-y)7 + J(b y)2+(c-x)

2、2) + y，利用lingo軟件編寫程序，從而求解出任意情況下的費用最小方案。針對問題二：首先分析三家公司對附加費用的不同預(yù)測及自身的資質(zhì)，我們采用加權(quán)平均的方法計算出合理的附加費用法，再由第一問的模型建立最優(yōu)化模型：W = R (J(x2+(a-y)2+ J(b -d - y)2+(c-x)2) + P?y +卩3孫+(|_c)2通過ling軟件編程從而求解出設(shè)計方案，該方案計算的費用為283.20萬。方案如圖所示：針對問題三：首先比較第三問與第二問，得出第三問與第二問的區(qū)別在于輸油管道 費用不再是固定的值。改進第二問中的模型，建立第三問的最優(yōu)化模型：min W = R!+ R2L2+ By

3、 + P3L3=PHE+Q-y)2+ P2j(b_d_y)2+(c_x)2+卩2丫+皿2+ (l -c)2代入數(shù)據(jù)從而得出了最優(yōu)方案。方案計算的費用為252.47萬關(guān)鍵詞：lin go最優(yōu)化模型加權(quán)平均值一.問題重述1問題的重述某油田計劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一個車站，用來運 送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計院希望建立管線建設(shè)費用最省的 一般數(shù)學(xué)模型與方法。2提出問題：2（1）針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出設(shè)計方 案。在方案設(shè)計時，若有共用管線，應(yīng)考慮共用管線費用與非共用管線費用相同或不同 的情形。（2）設(shè)計院目前需對一更為

4、復(fù)雜的情形進行具體的設(shè)計。兩煉油廠的具體位置由附圖所示，其中A廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），B廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），兩 個區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a = 5,b = 8，c = 15，l = 20。ILI)若所有管線的鋪設(shè)費用均為每千米7.2萬元。鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用，為對此項附加費用進行估計，聘請三家工程咨詢公司（其中公司一具有甲級資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級資質(zhì)）進行了估算。估算結(jié)果如下表所示:工程咨詢公司公司一公司二公司三附加費用（萬元/千米）212420請為設(shè)計院給出管線布置方案及相應(yīng)的費用。（3）在該實際

5、問題中，為進一步節(jié)省費用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。這時的管線鋪設(shè)費用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬元，共用管線費用為每千米7.2萬元，拆遷等附加費用同上。 然后給出管線最佳布置方案及相應(yīng)的費用。二.問題分析（1）針對問題一，由題意可知，此問未提供任何與解題有關(guān)的已知的數(shù)據(jù)，僅給 出有兩個煉油廠需要鋪設(shè)通往火車站的管道，火車站也是未知待定的。要想設(shè)計出合理 的方案，就需要畫出草圖，以此形象的顯示設(shè)計方案所涉及的不同情形， 未知數(shù)據(jù)先用 字母表示出來。 設(shè)計方案的總體思路是采用分步設(shè)計，首先架設(shè)非公用管道，其次架設(shè) 共用管道，最后確定

6、火車站的位置，。根據(jù)設(shè)計過程中總結(jié)的規(guī)律，建立最優(yōu)化模型， 解決問題一提出的問題。（2）針對問題二，通過比較問題一和問題二的題設(shè)條件可知，問題二給出了影響總費用的因素，每千米的鋪設(shè)費用7.2萬元和附加費用。因三家工程咨詢公司評估的附 加費用不同（其3中公司一21萬元/千米，公司二24萬元/千米,公司三20萬元/千米）， 并且資質(zhì)也不同（其中公司一具有甲級資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級資質(zhì)）。所以我們采用加權(quán)平均的方法對評估出來的三種不同費用進行處理，求出更為合理的附加費用值。在設(shè)計費用最優(yōu)化模型時，考慮到城市的拆遷費用，我們將輸油管穿過城區(qū)的部分 用L3表示。然后分共線和不共線兩種情況進行比較分

7、析：當(dāng)A廠,B廠輸油管有共用管線時，從B廠出發(fā)架設(shè)到共用管線時的非共用管線分兩部分考慮L2,L3,共用管線用丫表示。未知變量均用字母表示出來，建立最優(yōu)化模型，在lingo中輸入目標(biāo)函數(shù)與約束 條件，導(dǎo)出結(jié)果目標(biāo)函數(shù)值；當(dāng)A廠,B廠到車站的輸油管沒用共用管線時，由模型可知， 此時Y=0b同理，運用lingo軟件，在共線模型的基礎(chǔ)上給約束條件中的丫賦值為0， 計算出此時的目標(biāo)函數(shù)值。通過比較A廠，B廠到車站是否使用共用管線的兩種情況所 需費用，得出最優(yōu)方案。（3）針對問題三：問題三在問題二的基礎(chǔ)上考慮到實際問題，依據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力不同，選用相適應(yīng)的輸油管。這時的管線鋪設(shè)費用將分別降為：輸送A廠成

8、品油的每千米5.6萬元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬元，共用管線費用為每千米7.2萬元.根據(jù)問題二共線和不共線兩種情況下建立的模型，修改在lingo程序里的每千米的管道 費用值，即可導(dǎo)出結(jié)果，通過比較A廠，B廠到車站是否共用管線時的費用，確定最佳二.問題假設(shè)1、鋪設(shè)的管道所經(jīng)區(qū)域均為平整無阻隔的平地，不存在影響管道鋪設(shè)的地形，如 河流，山谷等。2、鋪設(shè)管道的路線由若干條直線段構(gòu)成，不存在曲線。3、鐵路線不存在拐彎或曲線的情況，可看做是一條直線四、名詞解釋及符號說明1.名詞解釋：1.2.2.符號說明W方案總費用R非共用管線單位長度的費用P2共用管線單位長度的費用p1由煉油廠A導(dǎo)出的非共用管線的

9、費用p2由煉油廠B導(dǎo)出的非共用管線的費用4P3公司i評估的附加費用P三家公司評估的加權(quán)平均值國i公司i的權(quán)重a煉油廠A到鐵路線的垂直距離b煉油廠B到鐵路線的垂直距離c煉油廠A、B在以鐵路線為水平線的豎直距離Li由煉油廠A導(dǎo)出的非共用管線的長L2由煉油廠B導(dǎo)出的非共用管線的長1L.建模前共用管線的長的表示y建模后共用管線的長的表示L3在U區(qū)域內(nèi)的非共用管線的長T非共用管線的交匯點D車站的建設(shè)位置x車站距離煉油廠A在鐵路線上的垂點之間的距離五、 模型的建立及求解針對問題一：由題知本文是根據(jù)兩個煉油廠的之間的位置及與鐵路線的距離設(shè)定方案，方案中要確定輸油管道的鋪設(shè)路線及火車站的位置。方案要使鋪設(shè)管道

10、的費用最省。問題一中未提供任何數(shù)據(jù)，說明解決第一問要解決兩煉油廠在任意位置下的費用最優(yōu)化 問題。由題意知鋪設(shè)管線分為有共用管線和無共用管線兩種情況，下面就對這兩種情況 單獨討論：（1）有共用管線情況下的最優(yōu)方案：分析問題知，要想費用最省的方案，就要知曉這幾個數(shù)據(jù)：兩煉油廠距離鐵路線各自的垂直距離；兩煉油廠以鐵路線為水平線的水平距離，單位長度共用管線的費用R及非共用管線的費用P2。如圖一：5A、B為兩個煉油廠，a、b分別為A、B兩個煉油廠距離鐵路線的垂直距離，c為以鐵 路線為水平線的水平距離。由于第一問中未提供任何數(shù)據(jù)，所以先把這些變量看作是常 量。知道這幾個數(shù)據(jù)的值我們才能進一步設(shè)計方案。對于

11、有共用管線的情況下確定的方案，一定包含有圖二中的信息：圖二曠11AJL3.rL/y1D車站-C-圖中設(shè)非公用管線和公共管線單位長度的費用分別為R、P2，Li、L2分別表示從A、B煉油廠導(dǎo)出的非共用管線的長度，T點表示兩非共用管線的交匯處，從T點導(dǎo)出公用 管線連接到車站D，L表示共用管線的長度。在設(shè)計方案的時候我們先確定了T點，如圖三：圖三再從T點導(dǎo)出公用管線連接到車站D，從而確定L,由于鐵路線上任一點均可作為 火車站，所以有無數(shù)條線可作為L，如圖四：圖四611AF1i、bDID2LU12車站CD3D4由于點到直線的垂線段是該點到直線上任意一點的線段的最短直線，所以當(dāng)D點為點T在鐵路線上的垂點時

12、L最小，共用管線的鋪設(shè)費用最低。所以我們在設(shè)計輸油管道 此時我們重新定義y表示L。圖五曠1A丿- x=simple(x)x =1/2*(p2A2*b-4*p1A2*b-p2A2*a+4*p1A2*a+p2*c*(4*p1A2-p2A2)A(1/2)/p2/(4*p1A2-p2A2F(1/2)-1/2*(p2A2*b-4*p1A2*b-p2A2*a+4*p1A2*a-p2*c*(4*p1A2-p2A2)A(1/2)/p2/(4*p1A2-p2A2)A(1/2) y=simple(y)y =1/2*(4*p1A2*a-p2A2*a-p2A2*b+4*p1A2*b-p2*c*(4*p1A2-p2A2

13、)A(1/2)/(4*p1A2-p2A2)1/2*(4*p1A2*a-p2A2*a-p2A2*b+4*p1A2*b+p2*c*(4*p1A2-p2A2)A(1/2)/(4*p1A2-p2A2)syms a b c x yW=(a-y)A2+xA2)A(1/2)+(b-y)A2+(c-x)A2)A(1/2)+y; jacobia n( W,x,y) ans =1/(a-y)A2+xA2)A(1/2)*x+1/2/(b-y)A2+(c-x)A2)A(1/2)*(-2*c+2*x),1/2/(a-y)A2+xA2)A(1/2)*(2*y-2*a)+1/2/(b-y)A2+(c-x)A2)A(1/2)

14、*(2*y-2*b)+120syms a b c x y f1=(1/(a-y)A2+xA2)A(1/2)*x+1/2/(b-y)A2+(c-x)A2)A(1/2)*(-2*c+2*x)=0); f2=(1/2/(a-y)A2+xA2)A(1/2)*(2*y-2*a)+1/2/(b-y)A2+(c-x)A2)A(1/2)*(2*y-2*b)+仁O); x,y=solve(f1,f2,x,y)x =1/2*(-3*bA2+6*a*b+cA2-3*aA2-3*(-b+a+1/3*3A(1/2)*c)*b+3*a*(-b+a+1/3*3A(1/2)*c)/c1/2*(-3*bA2+6*a*b+cA2-3*aA2-3*(-b+a-1/3*3A(1/2)*c)*b+3*a*