固體理論講義-周期性結(jié)構(gòu)

1、第一章 周期性結(jié)構(gòu)1.正格矢與倒格矢晶體的第一重要特征是原子（離子、分子）的周期性排列-可用周期性點(diǎn)陣表示點(diǎn)陣中任一格點(diǎn)的位置由 正格矢決定：TTTTR =h ai +l2a2 +13a3li, 12, 13是整數(shù)，ai, a2, a3為點(diǎn)陣的基矢（或基平移）。元胞：點(diǎn)陣的最小重復(fù)單元1.由ai, a2, a3組成的平行六面體被稱(chēng)為初基元胞。2.每個(gè)元胞中平均只包含一個(gè)格點(diǎn)。3.元胞和基矢的選擇并非唯一。,T T T元胞的體積：；t -ai（a2a3）魏格納-賽茨元胞（W-S 元胞）它是由一個(gè)格點(diǎn)與最近鄰格點(diǎn)（有時(shí)也包括次近鄰格點(diǎn)）的連線(xiàn)中垂面所圍 成的多面體，其中只包含一個(gè)結(jié)點(diǎn)。它能更明顯地

2、反映點(diǎn)陣的對(duì)稱(chēng)性。它具有所屬點(diǎn)陣點(diǎn)群的全部對(duì)稱(chēng)性（旋轉(zhuǎn)、反射、反演操作）倒格矢由于元激發(fā)的狀態(tài)都是由波矢來(lái)描述的-引入波矢空間及響應(yīng)的點(diǎn)陣，即 倒點(diǎn)陣。倒點(diǎn)陣的基矢是由晶格點(diǎn)陣的基矢定義的：T T為（i = j）厲巾=2感j.J（i,j=1,2,3）.0 （i和）T 2 兀 T Tb1（a2a3）Qr 2、 、可求出：6 二丁 （旳ai）：2、 b3（aia2）在倒點(diǎn)陣中任一格點(diǎn)的位置矢：Kn = ni d n?b2 門(mén)3m為整數(shù)）稱(chēng)為倒格矢。一，* T T T元胞的體積：1=6山2b3）布里淵區(qū)：相應(yīng)的W-S元胞作為倒點(diǎn)陣的元胞：在此多面體邊界上的任意一點(diǎn)可由另一 點(diǎn)加上一個(gè)倒格矢的平移達(dá)到

3、。當(dāng)它的中心為原點(diǎn)時(shí)，W-S 元胞所包含的區(qū)域稱(chēng)為第一布里淵區(qū)，用 BZ 表示，又稱(chēng)簡(jiǎn)約區(qū)倒點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣的關(guān)系J*= （2二）- -3m為整數(shù)KnR|=2八門(mén)丄=2二miBZ具有晶格點(diǎn)陣點(diǎn)群的全部對(duì)稱(chēng)性。2.平移對(duì)稱(chēng)性點(diǎn)陣是格點(diǎn)在空間中的無(wú)限周期重復(fù)排列；點(diǎn)陣具有平移對(duì)稱(chēng)性，表現(xiàn)為將整體作任意正格矢的平移后，它將恢復(fù)原狀;即從空間任意一點(diǎn)出發(fā)，作任意正格矢的位移，必達(dá)到等效的點(diǎn)上；波恩-卡門(mén)邊界條件嚴(yán)格講，只有無(wú)限理想晶體才具有平移對(duì)稱(chēng)性；實(shí)際晶體的尺寸比元胞大得多，表面效應(yīng)并不重要；邊長(zhǎng)為Na, Na, Na的有限晶體沿ai, a2, a3二個(gè)方向首尾相接形成循環(huán)邊界條 件。波恩-卡門(mén)循環(huán)邊

4、界條件在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為:E| N.；=上|叫耳尸E|0；平移群的特性見(jiàn)P.4(1)任意兩次相繼的平移仍為一平移；相繼兩次平移的效果與它們作用的先 后次序無(wú)關(guān)。(2)滿(mǎn)足乘法結(jié)合律(3)存在逆元素。(4)存在恒等操作(E | 0f(r) = f( E|R|hf(rR)E | Rlr = rR|平移算符3.布洛赫定理對(duì)于N(N=NIN)個(gè)元胞的晶體滿(mǎn)足波恩-卡門(mén)條件時(shí)，具有平移對(duì)稱(chēng)性:由于N階平移群的每個(gè)元素本身自成一個(gè)共軛群EIR尸E|RE|R=E|Rm因此，平移群有N個(gè)不可約表示N n；=N說(shuō)明平移群的N個(gè)不可約表示都是一維的t |a/fJ :(r：(：E |aj) = (r a-) = D(t

5、|ajO (r)DNj(r)二E |Njaj(r) J.E |0 J(r)=(r) j=1,2,3D是表示一維矩陣，實(shí)際上是一個(gè)數(shù)。N-njDj=1,D = exp(2 i -)Nj其中n =0, -1, -2,有此可得：E |R|(r)二(r R)二(rai丄 a? g)-3 T二 exp 2 二 i、(ljnj/Nj)(r)IL j妊在倒逆空間中定義一個(gè)波矢布洛赫定理：日L歸(7)=歸(7+總)“啊(胃D定義的k可作為平移群不可約表示的標(biāo)記。njNjTbjj以上方程可理解為平移算符的本征方程，exp(iK.R)是它的k個(gè)本征值。布洛赫函數(shù)推導(dǎo)見(jiàn)P.6：k(r)二 Uk(r)exp(ikr)

6、其中 Uk(/ Ri) =Uk(r)是正點(diǎn)陣的周期函數(shù)。布洛赫函數(shù)是有晶體的平移對(duì)稱(chēng)性導(dǎo)出的，凡屬周期性結(jié)構(gòu)中的波函數(shù)都應(yīng)具有布洛赫函數(shù)的形式。K的非唯一性問(wèn)題k -k =Kn那么T Tf ?exp(i k R|) = exp( i k * R,)第一布里淵區(qū)：任意兩個(gè)波矢之差小于一個(gè)最短的倒格矢的區(qū)域。限于第一布里淵區(qū)(BZ)的波矢叫簡(jiǎn)約波矢，簡(jiǎn)約區(qū)體積為 *，其中有N個(gè)不同的波矢，它們可以唯一地標(biāo)記平移群的N個(gè)不可約表示。-兀 乙二 S(i=1,2, 3) (K=0的對(duì)稱(chēng)多面體，W-S元胞)詳細(xì)見(jiàn)P.6固體物理學(xué)的幾個(gè)關(guān)系(1)平移群不可約表示的正交關(guān)系、expT(kk) R| =NkkR

7、i(2)平移群特征標(biāo)的正交關(guān)系工exp-k(R|-RS) = N%艮k BZ(3)求和與積分關(guān)系相鄰k值的間距Tbi:心二丄(i=1,2, 3)Ni每一許可k值所占的體積為K空間單位體積內(nèi)有一 J 個(gè)不同波矢0)求和變積分：由于晶格結(jié)構(gòu)的周期性， 其哈密頓量H與平移算符對(duì)易， 兩者具有共同的本 征函數(shù)(見(jiàn)P.8)H l(r)二E(k) (r)n,k Kn= n,kEn(k KnHEn(k)同一n而不同k的所有能級(jí)包括在界內(nèi)，組成一個(gè)能帶 不同的n代表不同的能帶。能帶存在的結(jié)論來(lái)自布洛赫函數(shù)的振幅是正點(diǎn)陣的周期函數(shù)這一普遍性特 征。4.布里淵區(qū)和晶體的對(duì)稱(chēng)性空間群包含平移、旋轉(zhuǎn)、反射、滑移反映、

8、螺旋軸等對(duì)稱(chēng)操作空間群算符操作L 11 三 r tM弋表旋轉(zhuǎn)、反映等點(diǎn)群對(duì)稱(chēng)操作，t代表平移。?*NNN3(2二)3N-J(2二)3VV(2二)3d3k()E | R /-平移群匕| 0 -點(diǎn)群二 /-螺旋軸或滑移反映面算符相乘：二|t；：| sf： ：|二s t f逆：。|t嚴(yán)=4 |八t f晶體空間群的定義：包括平移群作為不變子群的1 |t元素集合la |dE | R Ka |t=E|ctR 不變子群條件要求:R|仍為正格矢，即點(diǎn)陣經(jīng)旋轉(zhuǎn)等點(diǎn)群操作后應(yīng)與自身重合， 這就限制了晶體中只可能出現(xiàn)2、3、4、6次旋轉(zhuǎn)軸，使晶體空間群成為有限群。(1)布里淵區(qū)(BZ)中En(k)的對(duì)稱(chēng)性設(shè)晶體屬于

9、空間群|t?，則晶體的漢密頓H應(yīng)與L |t?對(duì)易，即H對(duì)于空間群J 出的一切操作是不變的，有對(duì)稱(chēng)性：I fH I |t；=H可以證明:h：k(r)- I|t】n,k(r)|心1可求出En(：k)二：M(r)Hn,：k(r)d3r二n,k(r)X |tFH匕|t：n,k(r)d3r*3二.n,k(r)Hn,k(r)d r二En(k):只是屬于該晶體空間群的點(diǎn)群操作。在每一能帶中如果把能量En(k)看作布里淵區(qū)中“位置”的函數(shù)，它便具有點(diǎn)陣 點(diǎn)群 J|0 1的全部對(duì)稱(chēng)性，此即簡(jiǎn)單空間群中En(k)的對(duì)稱(chēng)性。例如：二維正點(diǎn)陣BZ為正方形，保持BZ不變的點(diǎn)群操作有8個(gè)，4mn標(biāo)記。 對(duì)于BZ中矢量ki

10、施于上述點(diǎn)群操作后，它變?yōu)閗2, k3, k4, k5, k6, k7, k8.這8個(gè)點(diǎn)在同一能帶中有相同的能量。巴(匕)=巳代)-.-EnK)(2)E(k)的簡(jiǎn)并度H Jr)二 E(k) l(r)HkUk(r) =E(k)Uk(r)Hk二exp(_ikr)H exp(ik *r)2k2+-2m簡(jiǎn)并：同一k不同態(tài)具有相同能量本征值。簡(jiǎn)并度：設(shè)在k點(diǎn)第n個(gè)能量本征值的簡(jiǎn)并度為dn,則有dn個(gè)布洛赫函數(shù)n,k,j(r)(j =1,2,.,dn)對(duì)應(yīng)于同一個(gè)能量En(k)。i2這種情況往往發(fā)生在BZ中某些高對(duì)稱(chēng)性的點(diǎn)與線(xiàn)上。這時(shí)點(diǎn)群中的某些元素對(duì)k運(yùn)算后保持k不變(或等于k+Kn)，但這些元素對(duì)布

11、洛赫函數(shù)作用將產(chǎn)生具有不同對(duì)稱(chēng)性的一組函數(shù)， 它們具有相同的k和本征能量En(k).K波矢群：點(diǎn)群:|0沖對(duì)k運(yùn)算后保持k不變（或等于k+K.）的那些對(duì)稱(chēng)操作 元素的集合所構(gòu)成的點(diǎn)群T T T：k = k Knk波矢群不可約表示的維數(shù)等于k點(diǎn)能級(jí)的簡(jiǎn)并度dn.例如：二維正方點(diǎn)陣的波矢群（i） 丨點(diǎn):K=0的波矢群即點(diǎn)群4mm這個(gè)群可分為5個(gè)共軛元素類(lèi)E, C4,C4,C4, mx, my, md, md因此，有5個(gè)不可約表示，這些表示的維數(shù)n.應(yīng)滿(mǎn)足5二：n2=8y -其解只可能有：1212121222=8，說(shuō)明丨波矢群有4個(gè)一維和1個(gè)兩維的 不可約表示，即4種單重態(tài)和1種雙重態(tài)，在丨點(diǎn)En（

12、0）可能有兩重簡(jiǎn)并發(fā)生。（ii）M點(diǎn)M點(diǎn)波矢經(jīng)4mn所有群元作用后仍在四角頂點(diǎn)上，波矢群也為4mm可能有兩重簡(jiǎn)并發(fā)生。（iii） X點(diǎn)X波矢群應(yīng)由E，m, m,C42等4個(gè)元素組成。這個(gè)群中各個(gè)元素自成一個(gè)共軛類(lèi)， 因此，有4個(gè)一維的不可約表示，說(shuō)明在X點(diǎn)能帶為非簡(jiǎn)并的。在點(diǎn)以及BZ中的一般k點(diǎn)En（k）均為非簡(jiǎn)并的對(duì)于三維晶格，點(diǎn)群品格表中恒等元素E的特征標(biāo)將告知波矢群的不可約表示的維數(shù)，從而得知En（k）的簡(jiǎn)并度。(3)時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性時(shí)間反演是改變時(shí)間符號(hào)(tt)的對(duì)稱(chēng)操作。無(wú)磁場(chǎng)時(shí)薛定諤方程對(duì)時(shí)間反演操作具有不變性；經(jīng)典力學(xué)的方程也具有時(shí)間反演不變性。A A時(shí)間反演操作：f ； r, k

13、； k,自旋反向 s； s。布洛赫函數(shù)(k,r)的時(shí)間反演態(tài)為：n(-k,r)；量子力學(xué)已經(jīng)證明時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性要求上述兩態(tài)滿(mǎn)足同一個(gè)H本征方程，并具有相同的能量本征值。En(k)= En( k)這是著名的克喇末(Kramers)定理。與空間反演對(duì)稱(chēng)性無(wú)關(guān)。當(dāng)晶體同時(shí)具有空間反演對(duì)稱(chēng)性時(shí)：En(k)二En(-k)En(k)二En(-k)可得：En(k)二 E(k)同一波矢的兩個(gè)不同自旋狀態(tài)具有相同的能量；這一附加的兩重自旋簡(jiǎn)并稱(chēng)為克喇末簡(jiǎn)并。5點(diǎn)陣傅里葉級(jí)數(shù)與周期性結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)公式(1)點(diǎn)陣傅里葉級(jí)數(shù)(i) 設(shè)函數(shù)f(r)滿(mǎn)足周期性邊界條件f(r)二f(rMaj)其中aj(j =1,2,3)代表正格基矢，叫“2“3二N為元胞數(shù)，根據(jù)傅里葉展開(kāi)為元胞體積，k為滿(mǎn)足周期性邊界條件的波矢。利用了以下關(guān)系：Jdre 也 =(N0)6,oNi 1(ii) 設(shè)f(r)是正點(diǎn)陣的周期函數(shù)f(r) = f(r R)f(r)可按倒格矢K展開(kāi):(iii) 當(dāng)f只在正格點(diǎn)I上定義時(shí)f(r)二1(N)1/21(N)1/2drf (r)ekNilf(r)二CJ1/2KfKeiK*drf (r)eKN.1f(l)二1(N)1/2ik f(k),則有1ujkf(l)=苗 f(k)eNk BZ(2)周期函數(shù)的格林定理設(shè)u(r)與v(r)均