中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn)專題20矩形含解析

1、中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn)專題20矩形含解析專題20 矩形 專題知識(shí)回顧 1矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。2矩形的性質(zhì)：（1）矩形的四個(gè)角都是直角； （2）矩形的對(duì)角線平分且相等。3矩形判定定理：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；（2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形； （3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。4矩形的面積：s矩形=長(zhǎng)×寬=ab專題典型題考法及解析 【例題1】（2019廣西桂林）將矩形按如圖所示的方式折疊，為折痕，若頂點(diǎn)，都落在點(diǎn)處，且點(diǎn)，在同一條直線上，同時(shí)點(diǎn)，在另一條直線上，則的值為abcd【答案】b【解析】由折疊可得，分別為，的中點(diǎn)，設(shè)，則，中，即，即，的

2、值為【例題2】（2019貴州省安順市） 如圖，在rtabc中，bac90°，ab3，ac4，點(diǎn)d為斜邊bc上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過d分別作dmab于點(diǎn)m，作dnac于點(diǎn)n，連接mn，則線段mn的最小值為 .bdmnca【答案】【解析】連接ad，即可證明四邊形amdn是矩形；由矩形amdn得出mnad，再由三角形的面積關(guān)系求出ad的最小值，即可得出結(jié)果連接ad，如圖所示：bdmncadmab，dnac，amdand90°，又bac90°，四邊形amdn是矩形；mnad，bac90°，ab3，ac4，bc5，當(dāng)adbc時(shí)，ad最短，此時(shí)abc的面積bcadabac，

3、ad的最小值，線段mn的最小值為。 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題1.（2019廣東廣州）如圖，矩形abcd中，對(duì)角線ac的垂直平分線ef分別交bc，ad于點(diǎn)e，f，若be3，af5，則ac的長(zhǎng)為（）a4b4c10d8【答案】a 【解析】連接ae，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出oaoc，aece，證明aofcoe得出afce5，得出aece5，bcbe+ce8，由勾股定理求出ab4，再由勾股定理求出ac即可連接ae，如圖：ef是ac的垂直平分線，oaoc，aece，四邊形abcd是矩形，b90°，adbc，oafoce，在aof和coe中，aofcoe（asa），afce5，aece5，bc

4、be+ce3+58，ab4，ac4；故選：a2.（2019貴州省銅仁市）如圖為矩形abcd，一條直線將該矩形分割成兩個(gè)多邊形，若這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和分別為a和b，則a+b不可能是（）a360°b540°c630°d720°【答案】c【解答】一條直線將該矩形abcd分割成兩個(gè)多邊形，每一個(gè)多邊形的內(nèi)角和都是180°的倍數(shù)，都能被180整除，分析四個(gè)答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°3（2019山東泰安）如圖，矩形abcd中，ab4，ad2，e為ab的中點(diǎn)，f為ec上一動(dòng)點(diǎn)，p為df中點(diǎn)，連接pb，則pb的最小值

5、是（）a2b4cd【答案】d 【解析】根據(jù)中位線定理可得出點(diǎn)點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段p1p2，再根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)bpp1p2時(shí)，pb取得最小值；由矩形的性質(zhì)以及已知的數(shù)據(jù)即可知bp1p1p2，故bp的最小值為bp1的長(zhǎng)，由勾股定理求解即可如圖：當(dāng)點(diǎn)f與點(diǎn)c重合時(shí)，點(diǎn)p在p1處，cp1dp1，當(dāng)點(diǎn)f與點(diǎn)e重合時(shí)，點(diǎn)p在p2處，ep2dp2，p1p2ce且p1p2ce當(dāng)點(diǎn)f在ec上除點(diǎn)c、e的位置處時(shí)，有dpfp由中位線定理可知：p1pce且p1pcf點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段p1p2，當(dāng)bpp1p2時(shí)，pb取得最小值矩形abcd中，ab4，ad2，e為ab的中點(diǎn)，cbe、ade、bcp1為等腰直角三角

6、形，cp12adecdecp1b45°，dec90°dp2p190°dp1p245°p2p1b90°，即bp1p1p2，bp的最小值為bp1的長(zhǎng)在等腰直角bcp1中，cp1bc2bp12pb的最小值是24.（2019湖北荊州）如圖，矩形abcd的頂點(diǎn)a，b，c分別落在mon的邊om，on上，若oaoc，要求只用無刻度的直尺作mon的平分線小明的作法如下：連接ac，bd交于點(diǎn)e，作射線oe，則射線oe平分mon有以下幾條幾何性質(zhì)：矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線互相平分，等腰三角形的“三線合一”小明的作法依據(jù)是（）abcd【答案】c【解析】四邊

7、形abcd為矩形，aece，而oaoc，oe為aoc的平分線二、填空題5（2019重慶）如圖，在矩形abcd中，以點(diǎn)a為圓心，ad長(zhǎng)為半徑畫弧，交ab于點(diǎn)e，圖中陰影部分的面積是_（結(jié)果保留）【答案】【解析】6.（2019湖南婁底）如圖，要使平行四邊形 abcd 是矩形，則應(yīng)添加的條件是 （添加一個(gè)條件即可）【答案】abc=90°或 ac=bd【解析】解：根據(jù)矩形的判定定理：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；故添加條件：abc=90°或 ac=bd 故答案為：abc=90°或 ac=bd7.（2019黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，矩形abc

8、d中，ab4，bc6，點(diǎn)p是矩形abcd內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且spab spcd，則pcpd的最小值是_【答案】.【解析】結(jié)合已知條件，根據(jù)spab spcd可判斷出點(diǎn)p在平行于ab，與ab的距離為2、與cd的距離為4的直線上，再根據(jù)“將軍飲馬問題”的解法解之即可.過點(diǎn)p作直線lab，作點(diǎn)d關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)d1，連接cd1，矩形abcd中，ab4，bc6，cd=4,dd1=8,在rtcdd1中，由勾股定理得cd1=，pcpd的最小值是. 8（2019內(nèi)蒙古通遼）如圖，在矩形abcd中，ad8，對(duì)角線ac與bd相交于點(diǎn)o，aebd，垂足為點(diǎn)e，且ae平分bac，則ab的長(zhǎng)為 【答案】【解答】四邊形abc

9、d是矩形aocobodo，ae平分baobaeeao，且aeae，aebaeo，abeaoe（asa）aoab，且aoobaoabbodo，bd2ab，ad2+ab2bd2，64+ab24ab2，ab9.（2019湖北省咸寧市）如圖，先有一張矩形紙片abcd，ab4，bc8，點(diǎn)m，n分別在矩形的邊ad，bc上，將矩形紙片沿直線mn折疊，使點(diǎn)c落在矩形的邊ad上，記為點(diǎn)p，點(diǎn)d落在g處，連接pc，交mn于點(diǎn)q，連接cm下列結(jié)論：cqcd；四邊形cmpn是菱形；p，a重合時(shí)，mn2；pqm的面積s的取值范圍是3s5其中正確的是 （把正確結(jié)論的序號(hào)都填上）【答案】【解析】先判斷出四邊形cfhe是平行

10、四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得cnnp，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出正確；假設(shè)cqcd，得rtcmqcmd，進(jìn)而得dcmqcmbcp30°，這個(gè)不一定成立，判斷錯(cuò)誤；點(diǎn)p與點(diǎn)a重合時(shí)，設(shè)bnx，表示出annc8x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，進(jìn)而用勾股定理求得mn，判斷出正確；當(dāng)mn過d點(diǎn)時(shí)，求得四邊形cmpn的最小面積，進(jìn)而得s的最小值，當(dāng)p與a重合時(shí)，s的值最大，求得最大值便可如圖1，pmcn，pmnmnc，mncpnm，pmnpnm，pmpn，ncnp，pmcn，mpcn，四邊形cnpm是平行四邊形，cnnp，四邊形cnpm是菱形，故正確；cpmn，bcp

11、mcp，mqcd90°，cpcp，若cqcd，則rtcmqcmd，dcmqcmbcp30°，這個(gè)不一定成立，故錯(cuò)誤；點(diǎn)p與點(diǎn)a重合時(shí)，如圖2，設(shè)bnx，則annc8x，在rtabn中，ab2+bn2an2，即42+x2（8x）2，解得x3，cn835，ac，mn2qn2故正確；當(dāng)mn過點(diǎn)d時(shí)，如圖3，此時(shí)，cn最短，四邊形cmpn的面積最小，則s最小為s，當(dāng)p點(diǎn)與a點(diǎn)重合時(shí)，cn最長(zhǎng)，四邊形cmpn的面積最大，則s最大為s，4s5，故錯(cuò)誤故答案為：10.（2019·貴州貴陽）如圖，在矩形abcd中，ab4，dca30°，點(diǎn)f是對(duì)角線ac上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

12、df，以df為斜邊作dfe30°的直角三角形def，使點(diǎn)e和點(diǎn)a位于df兩側(cè)，點(diǎn)f從點(diǎn)a到點(diǎn)c的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)e的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是 【答案】【解析】e的運(yùn)動(dòng)路徑是ee'的長(zhǎng)；ab4，dca30°，bc，當(dāng)f與a點(diǎn)重合時(shí)，在rtade'中，ad，dae'30°，ade'60°，de'，cde'30°，當(dāng)f與c重合時(shí)，edc60°，ede'90°，dee'30°，在rtdee'中，ee'.11（2019山東濰坊）如圖，在矩形abcd中，ad2將

13、a向內(nèi)翻折，點(diǎn)a落在bc上，記為a，折痕為de若將b沿ea向內(nèi)翻折，點(diǎn)b恰好落在de上，記為b，則ab【答案】【解析】利用矩形的性質(zhì)，證明adea'dea'dc30°，ca'b'd90°，推出db'a'dca'，cdb'd，設(shè)abdcx，在rtade中，通過勾股定理可求出ab的長(zhǎng)度四邊形abcd為矩形，adccb90°，abdc，由翻折知，aeda'ed，a'bea'b'e，a'b'eba'b'd90°，aeda'ed，

14、a'eba'eb'，beb'e，aeda'eda'eb×180°60°，ade90°aed30°，a'de90°a'eb30°，adea'dea'dc30°，又ca'b'd90°，da'da'，db'a'dca'（aas），dcdb'，在rtaed中，ade30°，ad2，ae，設(shè)abdcx，則beb'exae2+ad2de2，（）2+22（x+

15、x）2，解得，x1（負(fù)值舍去），x212.（2019北京市）在矩形abcd中，m，n，p，q分別為邊ab，bc，cd，da上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）對(duì)于任意矩形abcd，下面四個(gè)結(jié)論中，存在無數(shù)個(gè)四邊形mnpq是平行四邊形；存在無數(shù)個(gè)四邊形mnpq是矩形；存在無數(shù)個(gè)四邊形mnpq是菱形；至少存在一個(gè)四邊形mnpq是正方形所有正確結(jié)論的序號(hào)是_【答案】【解析】如圖，o為矩形abcd對(duì)角線的交點(diǎn)， 圖中任過點(diǎn)o的兩條線段pm，qn，則四邊形mnpq是平行四邊形；顯然有無數(shù)個(gè).本結(jié)論正確.圖中任過點(diǎn)o的兩條相等的線段pm，qn，則四邊形mnpq是矩形；顯然有無數(shù)個(gè).本結(jié)論正確.圖中任過點(diǎn)o的兩條垂直的線

16、段pm，qn，則四邊形mnpq是菱形；顯然有無數(shù)個(gè).本結(jié)論正確.圖中過點(diǎn)o的兩條相等且垂直的線段pm，qn，則四邊形mnpq是正方形；顯然有一個(gè).本結(jié)論錯(cuò)誤.故填： .13.（2019遼寧本溪）如圖，bd是矩形abcd的對(duì)角線，在ba和bd上分別截取be，bf，使be=bf；分別以e，f為圓心，以大于ef的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在abd內(nèi)交于點(diǎn)g，作射線bg交ad于點(diǎn)p，若ap=3，則點(diǎn)p到bd的距離為 .【答案】3.【解析】過點(diǎn)p作pqbd，垂足為q，根據(jù)題意可得bp平分abd.四邊形abcd為矩形，a=90°，pa=pq.pa=3，pq=3，故答案為3.14（2019遼寧撫順）在矩形

17、abcd中，ab6，ad3，e是ab邊上一點(diǎn)，ae2，f是直線cd上一動(dòng)點(diǎn)，將aef沿直線ef折疊，點(diǎn)a的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)a'，當(dāng)點(diǎn)e、a'、c三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，df的長(zhǎng)度為 【答案】1或11；【解析】在旋轉(zhuǎn)過程中a有兩次和e，c在一條直線上，第一次在ec線段上，第二次在ce線段的延長(zhǎng)線上，利用平行的性質(zhì)證出cfce，即可求解；如圖1：將aef沿直線ef折疊，點(diǎn)a的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)a'，aefea'f，aea'e，abcd，aefcfe，cfce，ab6，ad3，ae2，cfce6df，a'e2，be4，bc3，ec5，6df5，df1；如圖2：由折疊fe

18、a'fea，abcd，cfecef，cfce，cf5，df11；故答案為1或11；三、解答題15（2019湖南懷化）已知：如圖，在abcd中，aebc，cfad，e，f分別為垂足（1）求證：abecdf；（2）求證：四邊形aecf是矩形【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）證明：四邊形abcd是平行四邊形，bd，abcd，adbc，aebc，cfad，aebaeccfdafc90°，在abe和cdf中，abecdf（aas）；（2）證明：adbc，eafaeb90°，eafaecafc90°，四邊形aecf是矩形16（2019湖南郴州）如圖1，矩

19、形abcd中，點(diǎn)e為ab邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與a，b重合），把a(bǔ)de沿de翻折，點(diǎn)a的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為a1，延長(zhǎng)ea1交直線dc于點(diǎn)f，再把bef折疊，使點(diǎn)b的對(duì)應(yīng)點(diǎn)b1落在ef上，折痕eh交直線bc于點(diǎn)h（1）求證：a1deb1eh；（2）如圖2，直線mn是矩形abcd的對(duì)稱軸，若點(diǎn)a1恰好落在直線mn上，試判斷def的形狀，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)g為def內(nèi)一點(diǎn)，且dgf150°，試探究dg，eg，fg的數(shù)量關(guān)系【答案】（1）見解析；（2）def是等邊三角形，理由見解析；（3）dg2+gf2ge2【解析】解：（1）證明：由折疊的性質(zhì)可知：daeda1e90°，

20、ebheb1h90°，aeda1ed，behb1eh，dea1+heb190°又heb1+ehb190°，dea1ehb1，a1deb1eh；（2）結(jié)論：def是等邊三角形；理由如下：直線mn是矩形abcd的對(duì)稱軸，點(diǎn)a1是ef的中點(diǎn)，即a1ea1f，a1dea1df（sas），dedf，fda1eda1，又adea1de，adf90°adeeda1fda130°，edf60°，def是等邊三角形；（3）dg，eg，fg的數(shù)量關(guān)系是dg2+gf2ge2，理由如下：由（2）可知def是等邊三角形；將dge逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到dg

21、'f位置，如解圖（1），g'fge，dg'dg，gdg'60°，dgg'是等邊三角形，gg'dg，dgg'60°，dgf150°，g'gf90°，g'g2+gf2g'f2，dg2+gf2ge2，17（2019湖南益陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，矩形abcd的邊ab4，bc6若不改變矩形abcd的形狀和大小，當(dāng)矩形頂點(diǎn)a在x軸的正半軸上左右移動(dòng)時(shí)，矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)d始終在y軸的正半軸上隨之上下移動(dòng)（1）當(dāng)oad30°時(shí)，求點(diǎn)c的坐標(biāo)；（2）設(shè)ad的中點(diǎn)為m，連接

22、om、mc，當(dāng)四邊形omcd的面積為時(shí)，求oa的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)a移動(dòng)到某一位置時(shí)，點(diǎn)c到點(diǎn)o的距離有最大值，請(qǐng)直接寫出最大值，并求此時(shí)cosoad的值【答案】（1）（2，3+2）；（2）oa3；（3）當(dāng)o、m、c三點(diǎn)在同一直線時(shí)，oc有最大值8，cosoad【解析】解：（1）如圖1，過點(diǎn)c作cey軸于點(diǎn)e，矩形abcd中，cdad，cde+ado90°，又oad+ado90°，cdeoad30°，在rtced中，cecd2，de2，在rtoad中，oad30°，odad3，點(diǎn)c的坐標(biāo)為（2，3+2）；（2）m為ad的中點(diǎn)，dm3，sdcm6，又s四邊形o

23、mcd，sodm，soad9，設(shè)oax、ody，則x2+y236，xy9，x2+y22xy，即xy，將xy代入x2+y236得x218，解得x3（負(fù)值舍去），oa3；（3）oc的最大值為8，如圖2，m為ad的中點(diǎn)，om3，cm5，ocom+cm8，當(dāng)o、m、c三點(diǎn)在同一直線時(shí)，oc有最大值8，連接oc，則此時(shí)oc與ad的交點(diǎn)為m，過點(diǎn)o作onad，垂足為n，cdmonm90°，cmdomn，cmdomn，即，解得mn，on，anammn，在rtoan中，oa，cosoad18.（2019湖北省鄂州市）如圖，矩形abcd中，ab8，ad6，點(diǎn)o是對(duì)角線bd的中點(diǎn)，過點(diǎn)o的直線分別交ab、cd邊于點(diǎn)e、f（1）求證：四邊形debf是平行四邊形；（2）當(dāng)dedf時(shí)，求ef的長(zhǎng)【答案】見解析?！窘馕觥扛鶕?jù)矩形的性質(zhì)得到abcd，由平行線的性質(zhì)得到dfobeo，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得