專題03 幾何壓軸題專訓三-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學幾何滿分真題匯編（全國通用）（解析版）

1、專題03 幾何壓軸題專訓三1（2021臨沂）如圖，已知正方形，點是邊上一點，將沿直線折疊，點落在處，連接并延長，與的平分線相交于點，與，分別相交于點，連接（1）求證：；（2）若，求點到直線的距離；（3）當點在邊上（端點除外）運動時，的大小是否變化？為什么？【答案】（1）見解析（2）（3）不變【詳解】（1）證明：將沿直線折疊，點落在處，關(guān)于對稱，平分，四邊形是正方形，；（2）解：如圖1，連接，交于點，由（1）可知，又，的長為點到直線的距離，由（1）知，又，由（1）知，即點到直線的距離為；（3）不變理由如下：方法一：連接，如圖2，在中，在中，方法二：，點，四點共圓，的度數(shù)不變2（2021煙臺）有公

2、共頂點的正方形與正方形按如圖1所示放置，點，分別在邊和上，連接，是的中點，連接交于點【觀察猜想】（1）線段與之間的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；【探究證明】（2）將圖1中的正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點恰好落在邊上，如圖2，其他條件不變，線段與之間的關(guān)系是否仍然成立？并說明理由【答案】（1）；（2）仍然成立【詳解】解：（1）四邊形和四邊形都是正方形，在中，是的中點，又，即；故答案為，（2）仍然成立，證明如下：延長至點，使得，連接，是的中點，又，四邊形和四邊形是正方形，又，又，即故線段與之間的數(shù)量關(guān)系是線段與之間的位置關(guān)系是3（2021遂寧）如圖，的半徑為1，點是的直徑延長線上的一點，為上的一點，（1）

3、求證：直線是的切線；（2）求的面積；（3）點在上運動（不與、重合），過點作的垂線，與的延長線交于點當點運動到與點關(guān)于直徑對稱時，求的長；當點運動到什么位置時，取到最大值，并求出此時的長【答案】（1）見解析（2）（3）3；當為直徑，即時，最大，最大值為【詳解】（1）證明：連接，如圖1，是半徑，直線是的切線；（2）解：，是等邊三角形，作于點，則，如圖2，（3）當點運動到與點關(guān)于直徑對稱時，于點，如圖3，為的直徑，點在上運動過程中，在中，當最大時，取得最大值，當為直徑，即時，最大，最大值為4（2021棗莊）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形（1）概念理解：如圖2，在四邊形中，問四邊形是垂美

4、四邊形嗎？請說明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形的對角線，交于點猜想：與有什么關(guān)系？并證明你的猜想（3）解決問題：如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連結(jié)，已知，求的長【答案】（1）四邊形是垂美四邊形（2）（3）【詳解】解：（1）四邊形是垂美四邊形理由如下：如圖2，連接、，點在線段的垂直平分線上，點在線段的垂直平分線上，直線是線段的垂直平分線，即四邊形是垂美四邊形；（2），理由如下：如圖1中，由勾股定理得，；（3）如圖3，連接、，正方形和正方形，即，在和中，即，四邊形是垂美四邊形，由（2）得，5（2021南充）如圖，點在正方形邊上，點是線段上的動點（不與點重合），交于

5、點，于點，（1）求；（2）設(shè)，試探究與的函數(shù)關(guān)系式（寫出的取值范圍）；（3）當時，判斷與的位置關(guān)系并說明理由【答案】（1）（2）（3）當時，【詳解】解：（1）過點作于點，四邊形是邊長為1的正方形，；（2），；（3）當時，理由如下：，又，點與點重合，6（2021威海）（1）已知，如圖擺放，點，在同一條直線上，連接，過點作，垂足為點，直線交于點求證：（2）已知，如圖擺放，連接，過點作，垂足為點，直線交于點求的值【答案】（1）見解析（2）【詳解】（1）證明：如圖，連接，即，在與中有：，則，（2）解：如圖，過點作，垂足為點，過點作，交的延長線于點，在和中，設(shè)，則，即，同理可證，在和中，有：，7（202

6、1大連）已知，（1）找出與相等的角并證明；（2）求證：；（3），求【答案】（1）（2）見解析（3）【詳解】解：（1）如圖1，證明：，（2）證明：如圖2，連接交于點，（3）如圖3，作點關(guān)于直線的對稱點，連接、，作交于點，則垂直平分，8（2021達州）某數(shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：【觀察與猜想】（1）如圖1，在正方形中，點，分別是，上的兩點，連接，則的值為 ；（2）如圖2，在矩形中，點是上的一點，連接，且，則的值為 ；【類比探究】（3）如圖3，在四邊形中，點為上一點，連接，過點作的垂線交的延長線于點，交的延長線于點，求證：；【拓展延伸】（4）如圖4，在中

7、，將沿翻折，點落在點處得，點，分別在邊，上，連接，求的值；連接，若，直接寫出的長度【答案】（1）1（2）（3）見解析（4）；【詳解】解：（1）如圖1，設(shè)與交于點，四邊形是正方形，在和中，；（2）如圖2，設(shè)與交于點，四邊形是矩形，故答案為：（3）證明：如圖3，過點作交的延長線于點，四邊形為矩形，；（4）如圖4，過點作于點，連接交于點，與相交于點，在中，在中，設(shè)，則，（負值舍去），；，由得，又，9（2021泰州）如圖，在中，為直徑，為上一點，為常數(shù)，且過點的弦，為上一動點（與點不重合），垂足為連接、（1）若求證：；求的值；（2）用含的代數(shù)式表示，請直接寫出結(jié)果；（3）存在一個大小確定的，對于點的任

8、意位置，都有的值是一個定值，求此時的度數(shù)【答案】（1）見解析；（2）（3）故存在半徑為1的，對的任意位置，都有是定值1，此時為【詳解】解：（1）連接，如圖：即，是中點，又，是的垂直平分線，即是等邊三角形，；連接，如圖：是直徑，由知：，；（2）連接、，如圖：是直徑，又，與（1）中同理，可得：，；（3）由（2）得，即，若是定值，則的值與無關(guān)，當時，的定值為1，此時與重合，如圖：，是等腰直角三角形，故存在半徑為1的，對的任意位置，都有是定值1，此時為10（2021衢州）【推理】如圖1，在正方形中，點是上一動點，將正方形沿著折疊，點落在點處，連結(jié)，延長交于點（1）求證：【運用】（2）如圖2，在【推理】

9、條件下，延長交于點若，求線段的長【拓展】（3）將正方形改成矩形，同樣沿著折疊，連結(jié)，延長，交直線于，兩點，若，求的值（用含的代數(shù)式表示）【答案】（1）見解析（2）（3）或【詳解】（1）證明：如圖1中，是由折疊得到，四邊形是正方形，（2）如圖2中，連接，由折疊可知，四邊形是正方形，或（舍棄），（3）如圖3中，連接由題意，可以假設(shè)，設(shè)當點在點的左側(cè)時，由折疊可知，或（舍棄），當點在點的右側(cè)時，如圖4中，同理，或（舍棄），綜上所述，或11（2021東營）已知點是線段的中點，點是直線上的任意一點，分別過點和點作直線的垂線，垂足分別為點和點我們定義垂足與中點之間的距離為“足中距”（1）猜想驗證如圖1，當

10、點與點重合時，請你猜想、驗證后直接寫出“足中距” 和的數(shù)量關(guān)系是 （2）探究證明如圖2，當點是線段上的任意一點時，“足中距” 和的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由（3）拓展延伸如圖3，當點是線段延長線上的任意一點時，“足中距” 和的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；若，請直接寫出線段、之間的數(shù)量關(guān)系【答案】（1）（2）數(shù)量關(guān)系依然成立（3）結(jié)論成立；【詳解】解：（1）猜想：理由：如圖1中，在與中，故答案為：；（2）數(shù)量關(guān)系依然成立理由：過點作直線，交的延長線于點，四邊形為矩形，由（1）知，在與中，；（3）結(jié)論成立理由：如圖3中，延長交

11、的延長線于點，點為的中點，又，結(jié)論：理由：如圖3中，是等邊三角形，12（2021淄博）已知：在正方形的邊上任取一點，連接，一條與垂直的直線（垂足為點沿方向，從點開始向下平移，交邊于點（1）當直線經(jīng)過正方形的頂點時，如圖1所示求證：；（2）當直線經(jīng)過的中點時，與對角線交于點，連接，如圖2所示求的度數(shù)；（3）直線繼續(xù)向下平移，當點恰好落在對角線上時，交邊于點，如圖3所示設(shè)，求與之間的關(guān)系式【答案】（1）見解析（2）（3）【詳解】（1）證明：如圖1中，四邊形是正方形，（2）解：如圖2中，連接，四邊形是正方形，垂直平分線段，（3）解：過點作于，則四邊形是矩形，四邊形是正方形，13（2021菏澤）在矩形

12、中，點、分別是邊、上的動點，且，連接，將矩形沿折疊，點落在點處，點落在點處（1）如圖1，當與線段交于點時，求證：；（2）如圖2，當點在線段的延長線上時，交于點，求證：點在線段的垂直平分線上；（3）當時，在點由點移動到中點的過程中，計算出點運動的路線長【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【詳解】（1）證明：如圖1中，四邊形是矩形，由翻折變換可知，（2）證明：如圖2中，連接交于，連接，平分，由折疊的性質(zhì)可知，所以，平分，共線，點在線段的垂直平分線上（3）如圖3中，由題意，點由點移動到中點的過程中，點運動的路徑是圖中弧在中，是等邊三角形，點運動的路徑的長故答案為：14（2021長春）如圖，在中，點

13、為邊的中點動點從點出發(fā)，沿折線以每秒1個單位長度的速度向點運動，當點不與點、重合時，連結(jié)作點關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)、設(shè)點的運動時間為秒（1）線段的長為 ；（2）用含的代數(shù)式表示線段的長；（3）當點在內(nèi)部時，求的取值范圍；（4）當與相等時，直接寫出的值【答案】（1）2（2）（3）（4）或【詳解】解：（1）在中，由勾股定理得：，故答案為：2（2）當時，點在線段上運動，當時，點在上運動，綜上所述，（3）如圖，當點落在上時，在中，如圖，當點落在邊上時，在中，如圖，點運動軌跡為以為圓心，長為半徑的圓上，時，點在內(nèi)部（4）如圖，過點作于點，當時，如圖，當時，在中，綜上所述，或15（2021宜昌）如圖，在矩形中，是邊上一點，垂足為將四邊形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到四邊形，所在的直線