圓的面積教學(xué)設(shè)計(jì)

1、圓的面積教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)內(nèi)容】義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)（青島版）六年制六年級(jí)上冊(cè)第五單元信息窗3?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1.正確認(rèn)識(shí)圓的面積的含義，理解并掌握?qǐng)A的面積計(jì)算公式，并能正確地計(jì)算圓的面積。 2.激發(fā)學(xué)生參與整個(gè)課堂教學(xué)活動(dòng)的興趣，在“猜想嘗試交流改進(jìn)有據(jù)轉(zhuǎn)化發(fā)展驗(yàn)證總結(jié)應(yīng)用”的過(guò)程中推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式，建立數(shù)學(xué)模型。發(fā)展學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，極限思想。3.體會(huì)研究問(wèn)題可能經(jīng)歷多次探究，了解劉徽的“割圓術(shù)”等圓的面積發(fā)展歷史，有民族自豪感和開放看世界的情懷?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】圓面積計(jì)算公式的推導(dǎo)。圓面的剪拼轉(zhuǎn)化及圓面積公式的推導(dǎo)；極限思想的滲透?！窘虒W(xué)準(zhǔn)備】多媒體課件；每人一把剪刀，2張圓紙片?！窘虒W(xué)過(guò)程】一

2、、創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題談話：2008年北京奧運(yùn)會(huì)，我們中國(guó)的奧運(yùn)健兒共打破了43項(xiàng)世界紀(jì)錄。這是2008北京奧運(yùn)會(huì)閉幕式的中心舞臺(tái)，讀信息，你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？信息：圓形中心舞臺(tái)的直徑是20米；其中有一個(gè)直徑1.6米的圓形升降舞臺(tái)。預(yù)設(shè)1：圓形中心舞臺(tái)的面積是多少？預(yù)設(shè)2：升降舞臺(tái)的面積是多少？ 二、積極思考、引發(fā)猜想（一）認(rèn)識(shí)圓的面積談話：今天這節(jié)課咱們就來(lái)研究圓的面積。談話：什么是圓的面積？說(shuō)說(shuō)看。預(yù)設(shè)：圓所占平面的大小叫做圓的面積。（課件呈現(xiàn)）【設(shè)計(jì)意圖】基于以往的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很容易想到“圓的面積是圓所占平面的大小”。所以此處的設(shè)計(jì)比較簡(jiǎn)單。（二）基于以往經(jīng)驗(yàn)探究圓的面積1.初步探索，獨(dú)立

3、嘗試談話：以前咱們也接觸過(guò)一些平面圖形面積的求法，圓的面積怎么求咱們學(xué)過(guò)嗎？預(yù)設(shè)：沒求過(guò)。追問(wèn)：那是不是就沒有辦法了呢？有什么好辦法？先自己試試看。學(xué)生獨(dú)立嘗試，教師巡視發(fā)現(xiàn)有代表性的想法?！驹O(shè)計(jì)意圖】“學(xué)生不是空著腦袋進(jìn)課堂的”。由于在以往的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)多次接觸過(guò)“將沒學(xué)過(guò)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的問(wèn)題來(lái)解決”的轉(zhuǎn)化思想，所以對(duì)于“圓的面積”的求解一定會(huì)有些模糊的初步的想法。教師此處放手讓學(xué)生自己動(dòng)手嘗試，將自己的設(shè)想付諸實(shí)踐，在此過(guò)程中逐步清晰“轉(zhuǎn)化”的思路，同時(shí)也能感受到“圓的面積”與以往所學(xué)的平面圖形面積的不同，聚焦難點(diǎn)，激發(fā)進(jìn)一步研究的愿望。2.展示交流，確定轉(zhuǎn)化思路談話：同學(xué)們一定有些

4、想法，可能也會(huì)遇到一些解決不了的困難，沒關(guān)系，咱們一起交流一下，說(shuō)不定就能受到啟發(fā)。談話：你們是怎么想的？誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)？預(yù)設(shè)： 外切正方形。 內(nèi)接正方形。 轉(zhuǎn)化成小扇形。在交流中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)都是運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的方法。3.觀察比較：談話：同樣是轉(zhuǎn)化，大家轉(zhuǎn)化的結(jié)果有沒有哪些有相似之處？預(yù)設(shè)：前兩種都是用畫正方形的方法。都是想把圓的面積轉(zhuǎn)化為正方形的面積。不同是一個(gè)是在圓外面畫正方形，一個(gè)是在圓內(nèi)畫正方形。4.確立范圍：談話：這兩個(gè)正方形的面積等于圓的面積嗎？預(yù)設(shè)：不等于。談話：具體說(shuō)說(shuō)？預(yù)設(shè)學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：外面的正方形（外切正方形）比圓的面積大，里面的正方形（內(nèi)接正方形）比圓的面積小。圓的面積最大不會(huì)超過(guò)外

5、面的正方形，最小不會(huì)小于里面的正方形，它的面積范圍在大正方形與小正方形之間。5.逐步逼近，體驗(yàn)極限：（1）啟發(fā)思考談話：還能更接近嗎？（2）舉例說(shuō)明談話：怎樣才能更接近圓的面積？ 預(yù)設(shè)：繼續(xù)割。追問(wèn)：怎么割？指一指。（指名上黑板演示）（3）課件直觀演示，引導(dǎo)推想：割成正八邊形。【課件展示】談話：這樣我們就把圓形轉(zhuǎn)化成了正八邊形。真的更近了還能接近嗎？怎么辦？預(yù)設(shè)：繼續(xù)割。割成正十六邊形。（課件演示）談話：還能不能接近了？ 繼續(xù)割談話：同學(xué)們想一想，這樣不斷割下去，可以割多少次？預(yù)設(shè)：無(wú)數(shù)次。談話：如果我們繼續(xù)割下去，會(huì)怎樣？預(yù)設(shè)：多邊形的邊幾乎和圓重合了。（4）引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)規(guī)律：談話：也就是說(shuō)我們

6、割的次數(shù)越多，所割成的多邊形面積就越接近圓的面積。（5）類比延伸：談話：同樣的，從里面畫正方形的面積也可以更接近圓的面積。（課件演示）（6）小結(jié)提煉：談話：咱們同學(xué)們的這種想法非常符合我國(guó)古代數(shù)學(xué)家“劉徽”的割圓術(shù)的想法，是一種無(wú)窮逼近的極限思想。（板書 極限思想）談話：其他方法中是不是也蘊(yùn)涵著這樣的思想呢？我們還會(huì)研究?！驹O(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在轉(zhuǎn)化中自然想到與以往熟悉的正方形進(jìn)行聯(lián)系，通過(guò)比較確立了圓的面積范圍：“比外切正方形小，比內(nèi)接正方形大，在兩者之間。”體會(huì)在圓的面積研究發(fā)展過(guò)程中是如何一步步逼近圓的面積的；之后，借助課件展示和想象，進(jìn)一步滲透“割得越多，多邊形邊數(shù)越多越接近圓的面積”的極限

7、思想。6.思路調(diào)整，適時(shí)點(diǎn)撥（1）談話：這樣的方法能不能進(jìn)行圓面積的計(jì)算？（學(xué)生有爭(zhēng)議）（2）啟發(fā)思考談話：我們剛才自己已經(jīng)嘗試進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，遇到一些困難。這時(shí)候我們要靜下心來(lái)想一想：我們轉(zhuǎn)化的目的是什么？是不是隨便轉(zhuǎn)化？轉(zhuǎn)化有沒有一定的依據(jù)呢？ （3）想一想談話：圓的面積可能跟什么有關(guān)系？預(yù)設(shè)：半徑、直徑、圓周率（4）方法指導(dǎo)談話：是呀，看來(lái)我們解決問(wèn)題除了得有好點(diǎn)子轉(zhuǎn)化，還得有依據(jù)的進(jìn)行轉(zhuǎn)化?！驹O(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課中圓形面積的轉(zhuǎn)化對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度。借助以往經(jīng)驗(yàn)的轉(zhuǎn)化后學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)不論是轉(zhuǎn)化為正方形還是轉(zhuǎn)化成三角形都有一部分難以處理的弓形面積。此時(shí)學(xué)生會(huì)不知所措，需要進(jìn)一步的點(diǎn)撥指導(dǎo)。在教師指

8、導(dǎo)下學(xué)生思考“是不是隨便轉(zhuǎn)化，有沒有一定的依據(jù)”，同時(shí)又考慮“圓的面積可能與什么有關(guān)”，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)將轉(zhuǎn)化的活動(dòng)與探求面積計(jì)算方法的目的結(jié)合起來(lái)，主動(dòng)聯(lián)系半徑的重要作用，有據(jù)轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，提高了學(xué)生的邏輯思維能力。三、操作驗(yàn)證、總結(jié)公式1.基于課上經(jīng)驗(yàn)開展有據(jù)轉(zhuǎn)化（1）探究活動(dòng)談話：現(xiàn)在的你跟剛才的你可不一樣了，想不想帶著你的新經(jīng)驗(yàn)，自己動(dòng)動(dòng)手，折一折，剪一剪，再轉(zhuǎn)化一次試試？有結(jié)果后在小組里交流一下。學(xué)生自主活動(dòng)?；顒?dòng)小提示：我這樣剪的依據(jù)是剪一剪，我要把圓形轉(zhuǎn)化成現(xiàn)在的剪法能轉(zhuǎn)化成想要的圖形嗎？能接近想要圖形嗎？還能更接近嗎？（2）展示交流談話：有結(jié)果了嗎？哪個(gè)小組來(lái)說(shuō)一

9、下？你們是怎么剪的？怎么選的？預(yù)設(shè)1（四分法）：我們將圓形剪成了4個(gè)大小相等的扇形。又拼成了一個(gè)平行四邊形。教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：拼成的圖形是否標(biāo)準(zhǔn)的長(zhǎng)方形（平行四邊形），同時(shí)肯定經(jīng)過(guò)新的剪拼法已經(jīng)很接近我們熟悉的圖形了。預(yù)設(shè)2（八分法）：我們將圓形剪成了8個(gè)大小相等的扇形，然后拼起來(lái)。教師引導(dǎo)觀察：分成8份比分成4份拼成的圖形更接近標(biāo)準(zhǔn)的平行四邊形。（3）引導(dǎo)想象談話：還可以更像嗎？分成32份，64份，128份還可以繼續(xù)分嗎？可以分多少次？推理：分的份數(shù)越多，拼成的圖形就越接近標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)方形。談話：我們操作的次數(shù)是有限的，但是我們的想象卻是無(wú)限的，可以不斷地想下去。（4）課件展示，驗(yàn)證猜想：談話：我

10、們來(lái)看一下，事實(shí)跟你們的想象是不是一樣，注意觀察拼成的圖形發(fā)生了怎樣的變化。課件演示：8份，16份，32份談話：繼續(xù)分下去，會(huì)怎樣？談話：你發(fā)現(xiàn)了嗎，拼成的圖形發(fā)生了怎樣的變化？預(yù)設(shè)1：底邊的弧看起來(lái)就接近直的線段了。預(yù)設(shè)2：圖形就更像長(zhǎng)方形了。底邊的弧線越來(lái)越直了。（5）引導(dǎo)辨析談話：是真的變直了嗎？預(yù)設(shè)：不是，只是隨著分?jǐn)?shù)的增多越來(lái)越不明顯了，可以忽略不計(jì)了。追問(wèn)：圖形的形狀呢？預(yù)設(shè)：越來(lái)越接近長(zhǎng)方形了。（6）小結(jié)談話：這么說(shuō)來(lái)圓形經(jīng)過(guò)我們無(wú)數(shù)次的剪、拼，就可以用轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。2.聯(lián)系比較，推導(dǎo)公式（1）比較談話：轉(zhuǎn)化前后什么變了，什么沒變？預(yù)設(shè)：形狀變了，面積沒變。談話：轉(zhuǎn)化后的圖形各部

11、分與之前的圓形有怎樣的聯(lián)系？預(yù)設(shè)：轉(zhuǎn)化后長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓形周長(zhǎng)的一半，寬是圓的半徑。（2）課件直觀演示：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓的周長(zhǎng)的一半，寬是圓的半徑。談話：寬是圓的半徑嗎？結(jié)合課件幫助理解：轉(zhuǎn)化后的圖形雖然看起來(lái)是長(zhǎng)方形，但是小圓弧仍然是存在的，轉(zhuǎn)化后的寬就是之前圓的半徑。（3）推導(dǎo)公式：談話：我們可以用解決長(zhǎng)方形（平行四邊形）面積的計(jì)算方法來(lái)求圓的面積。追問(wèn)：長(zhǎng)方形的面積怎么求？預(yù)設(shè)：長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬。談話：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的一半，那么寬呢？是圓的半徑。談話：圓周長(zhǎng)的一半我們用來(lái)表示，半徑呢？預(yù)設(shè)：，也就是，等于r；再乘r，得r。長(zhǎng)方形面積= 長(zhǎng) × 寬圓形面積=圓周長(zhǎng)的

12、一半 × 圓的半徑 = × r = × r = r × r = r（4）提煉方法：談話：也就是說(shuō)，我們要求圓的面積只要知道什么就行了？預(yù)設(shè)：圓的半徑。談話：之前我們猜測(cè)圓的面積與半徑有關(guān)，得到驗(yàn)證了嗎？預(yù)設(shè)：圓的面積是半徑平方的倍。（5）回顧質(zhì)疑談話：同學(xué)們靜靜的回顧一下，剛才我們是怎樣得到圓的面積的計(jì)算公式的。預(yù)設(shè)：我們把圓沿半徑剪成若干個(gè)小扇形，拼成近似的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的一半，長(zhǎng)方形的寬是圓的半徑，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得出S=r。談話：對(duì)于剛才這個(gè)過(guò)程，同學(xué)們有問(wèn)題嗎？【設(shè)計(jì)意圖】極限思想的滲透是本節(jié)課的重要內(nèi)容?！疤骄刻崾尽敝笇?dǎo)學(xué)生思考“現(xiàn)在的剪法

13、能轉(zhuǎn)化成想要的圖形嗎？能接近想要圖形嗎？還能更接近嗎？”這樣學(xué)生在操作活動(dòng)中，邊做邊思，邊想象邊進(jìn)一步嘗試，認(rèn)識(shí)到“剪的份數(shù)越多，拼成的圖形越接近標(biāo)準(zhǔn)的長(zhǎng)方形”；同時(shí)借助直觀課件演示將抽象的問(wèn)題直觀呈現(xiàn)給學(xué)生，“觀察圖形發(fā)生了怎樣的變化” 使學(xué)生發(fā)現(xiàn)“弧線越來(lái)越不明顯”“拼成的圖形越來(lái)越接近長(zhǎng)方形”，驗(yàn)證猜想，再一次發(fā)展極限思想。“找一找拼成的長(zhǎng)方形與原來(lái)圓各部分有怎樣的聯(lián)系”，為學(xué)生進(jìn)一步借助長(zhǎng)方形面積公式推導(dǎo)圓面積公式做好鋪墊，整個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的空間觀念也得到發(fā)展。四、應(yīng)用公式，解決問(wèn)題1.談話：有了圓的面積公式，剛才我們提的問(wèn)題能解決了吧？學(xué)生獨(dú)立解決“圓形中心舞臺(tái)的面積是多少？”問(wèn)題。

14、指名說(shuō)。完成情況反饋。2.練習(xí)：自選一道獨(dú)立完成。結(jié)果反饋?！驹O(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活。把本節(jié)課所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中，將數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是有用的，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。五、圓的面積發(fā)展歷史介紹1.資料介紹：其實(shí)，今天我們研究的圓的面積問(wèn)題，是古代三大幾何難題之一：化圓為方。劉徽到底是怎樣研究割圓術(shù)的呢？我們一起來(lái)看看。相關(guān)介紹劉徽的割圓術(shù) 開普勒與圓的面積公式2.談話：談話：這時(shí)，距離劉徽的割圓術(shù)時(shí)間已經(jīng)過(guò)去了一千多年。談話：咱們同學(xué)們?cè)跒樽约鹤鎳?guó)古老數(shù)學(xué)文明感到榮耀的同時(shí)，也要知道一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的得出可能是全世界數(shù)學(xué)家不斷研究的結(jié)果，咱們也要敞開胸懷，以一種開

15、放的眼光來(lái)看世界?！驹O(shè)計(jì)意圖】肖川教育的理想與信念中這樣說(shuō)：“先進(jìn)的教學(xué)理念應(yīng)該是把教學(xué)過(guò)程視為：知識(shí)的構(gòu)建+情感豐富、細(xì)膩的純化+態(tài)度與價(jià)值觀的形成和完善以及思想的升華+智慧能力的培養(yǎng)?！迸囵B(yǎng)“視野開闊、才思敏捷、具有雄渾浩博的哲學(xué)氣質(zhì)的人才?！痹诮?jīng)歷了觀察、操作、想象、推理、歸納、應(yīng)用等多種方式的探索后，對(duì)學(xué)生進(jìn)行圓的面積研究發(fā)展的歷史，有助于學(xué)生從中找到“自己的數(shù)學(xué)”與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，學(xué)生的認(rèn)識(shí)向理論層次發(fā)展。同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感和開放看世界的情懷。六、回顧反思談話：今天這節(jié)課我們通過(guò)自己先猜想嘗試確定了轉(zhuǎn)化的思路，在交流中發(fā)現(xiàn)困難進(jìn)行改進(jìn)，明白了我們不但要轉(zhuǎn)化，而且要有據(jù)轉(zhuǎn)化，經(jīng)過(guò)發(fā)展驗(yàn)證得出了圓面積的計(jì)算公式，總結(jié)應(yīng)用，解決了我們提出的問(wèn)題。自己經(jīng)過(guò)克服困難研究出來(lái)的結(jié)論更讓我們覺得有收獲，是不是？說(shuō)說(shuō)這節(jié)課你有什么收獲？（學(xué)生自由回答）學(xué)生可能談到： 知識(shí)：怎樣計(jì)算圓的面積方法：知道了圓的面積計(jì)算公式是怎么推倒來(lái)的，學(xué)會(huì)了極限的思想，化圓為方的轉(zhuǎn)化方法感受：數(shù)學(xué)想象能解決我們動(dòng)手操作解決不了的問(wèn)題這節(jié)課馬上就要結(jié)束了，圓的面積轉(zhuǎn)化是不是只能將小扇形剪拼成長(zhǎng)方形這一種方法？還有沒有其他方法？之前